Procesy Stochastyczne I, część druga

wersja 18 maja 2003

8 Procesy Markowa - podstawowe fakty i definicje

W tym i następnych rozdziałach jak zwykle T ⊂ ℝ, (E, E) zaś jest przestrzenią mierzalną taką, że wszystkie zbiory jednoelementowe są mierzalne tzn. {x} ∈ E dla wszystkich x ∈ E.

Definicja 8.1 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem stochastycznym. Określamy następujące σ-ciała

F_{t}^{X} := σ(X_{s} : s t, s ∈ T), F_{t}^{X} := σ(X_{s} : s t, s ∈ T),
F_{=t}^{X} := σ(X_{t}) oraz F_{[s,t]}^{X} := σ(X_{u}: s u t, u ∈ T).

Jeśli określenie procesu X wynika z kontekstu, będziemy pomijać górny indeks pisząc np. F_{t} zamiast F_{t}^{X} .

Definicja 8.2 Proces stochastyczny (X_{t})_{t∈T} o wartościach w (E, E) nazywamy procesem Markowa, jeśli dla dowolnych t ∈ T, A ∈ F_{t}^{X} i B ∈ F_{t}^{X} zachodzi

P(A ∩ B|F_{=t}^{X} ) = P(A|F_{=t}^{X} )P(B|F_{=t}^{X} ).

Uwaga 8.1 Przypomnijmy, że P(A|F) := E(I_{A}|F), w szczególności P(A|F) jest zmienną losową F mierzalną przyjmującą p.n. wartości ze zbioru [0, 1].

Uwaga 8.2 Z definicji wynika natychmiast, że proces (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa wtedy i tylko wtedy gdy proces (X_{−t} )_{t∈T} jest procesem Markowa.

Fakt 8.1 Niech X = (X_{t})_{t∈T} będzie procesem stochastycznym, wówczas następujące warunki są równoważne

a) X jest procesem Markowa

b) ∀_{t∈T} ∀_{A∈F_{t}^{X}} P(A|F_{t}^{X} ) = P(A|F_{=t}^{X} ) p.n.

c) ∀_{t∈T} ∀_{B∈F_{t}^{X}} P(B|F_{t}^{X} ) = P(B|F_{=t}^{X} ) p.n.

Dowód. a) ⇒ b): Niech A ∈ F_{t}^{X} i B ∈ F_{t}^{X} , wtedy

EI_{A}I_{B} = EE(I_{A∩B} |F_{=t} ) = E(E(I_{A}|F_{=t} )E(I_{B}|F_{=t} ))
= E(E(I_{B}E(I_{A}|F_{=t} )|F_{=t} )) = E(I_{B}E(I_{A}|F_{=t} )).

Zmienna E(I_{A}|F_{=t} ) jest F_{=t} –, a więc również F_{t} –mierzalna, zatem powyższa równość (na mocy dowolności B ∈ F_{t}^{X} ) implikuje, że

E(I_{A}|F_{t} ) = E(A|F_{=t} ) p.n.

b) ⇒ a) Niech C ∈ F_{=t} , wówczas

EI_{A∩B} I_{C} = E(E(I_{B∩C} I_{A}|F_{t} )) = E(I_{B∩C} E(I_{A}|F_{t} ))

= E(I_{B∩C} E(I_{A}|F_{=t} )) = E(E(I_{B}I_{C}E(I_{A}|F_{=t} ))|F_{=t} ) = E(I_{C}E(I_{A}|F_{=t} )E(I_{B}|F_{=t} )).

Zmienna E(I_{A}|F_{=t} )E(I_{B}|F_{=t} ) jest F_{=t} mierzalna, więc powyższa równość (na mocy dowolności C ∈ F_{=t}^{X} ) implikuje, że

E(I_{A∩B} |F_{=t} ) = E(I_{A}|F_{=t} )E(I_{B}|F_{=t} ) p.n..

Równoważności warunków a) i c) dowodzimy w taki sam sposób. □

Uwaga 8.3 Proces (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich s_{1}, …, s_{n}, t, t_{1}, …, t_{m} ∈ T takich, że s_{1} … s_{n} t t_{1} … t_{m} oraz zbiorów Γ_{1}, …, Γ_{m}, Δ_{1}, …, Δ_{n} ∈ E

P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{m}} ∈ Γ_{m}, X_{s_{1}} ∈ Δ_{1}, …, X_{s_{n}} ∈ Δ_{n}|X_{t})

= P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{m}} ∈ Γ_{m}|X_{t})P(X_{s_{1}} ∈ Δ_{1}, …, X_{s_{n}} ∈ Δ_{n}|X_{t}) p.n..

Implikacja ⇒ jest oczywista, a idea dowodu ⇐ polega na tym, że rodzina zbiorów postaci {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{m}} ∈ Γ_{m}}, t t_{1} … t_{m}, Γ_{1}, …, Γ_{m} ∈ E jest π-systemem generującym F_{t}^{X} .

Terminologia Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa

• Jeśli T ⊂ ℤ, to X nazywamy łańcuchem Markowa;

• Jeśli T ⊂ ℤ oraz E jest zbiorem conajwyżej przeliczalnym, to X nazywamy dyskretnym łańcuchem Markowa;

• Jeśli T jest przedziałem (najczęściej [0, ∞)), a E jest zbiorem conajwyżej przeliczalnym, to X nazywamy łańcuchem Markowa z czasem ciągłym.

W przypadku dyskretnych łańcuchów Markowa definiujemy macierze przejścia. Jaki jest ich odpowiednik dla procesów Markowa?

Definicja 8.3 Rodzinę funkcji (P_{s,t} (x, Γ))_{s,t∈T,s t,x∈E,Γ∈E} nazywamy funkcją przejścia (funkcją prawdopodobieństwa przejścia, jądrem przejścia) jeśli zachodzą następujące trzy własności a)∀_{s,t∈T,s t} ∀_{x∈E} P_{s,t} (x, ·) jest miarą probabilistyczną na (E, E); b)∀_{s,t∈T,s t} ∀_{Γ∈E} x → P_{s,t} (x, Γ) jest funkcją mierzalną z (E, E) w (ℝ, B(ℝ)); c)∀_{s}∀_{x∈E,Γ∈E} P_{s,s} (x, Γ) = δ_{x}(Γ).

Definicja 8.4 Jeśli (P_{s,t} (·, ·)) jest funkcją przejścia, to mówimy, że (P_{s,t}) jest funkcją przejścia dla procesu Markowa X = (X_{t}), jeśli

∀_{s t,s,t∈T} ∀_{Γ∈E} P(X_{t} ∈ Γ|X_{s}) = P_{s,t} (X_{s}, Γ) p.n.

Uwaga 8.4 Nieco nieformalnie można powyższą definicję zapisać jako

P_{s,t} (x, Γ) = P(X_{t} ∈ Γ|X_{s} = x).

Przykład 1

Załóżmy, że E jest zbiorem przeliczalnym, wówczas w myśl naszych założeń E to wszystkie podzbiory E. Funkcja przejścia w tym przypadku jest wyznaczona przez macierz przejścia P^{s,t} (x, y) = (p_{s,t} (x, y))_{x,y∈E} , gdzie p_{s,t} (x, y) := P_{s,t} (x, {y}). Wtedy dla dowolnego Γ ⊂ E mamy P_{s,t} (x, Γ) = ∑ _{y∈Γ} P_{s,t} (x, {y}) = ∑ _{y∈Γ} p_{s,t} (x, y).

Macierz przejścia musi spełniać następujące dwa warunki: a)∀_{s t} ∀_{x∈E} ∑ _{y∈E} p_{s,t} (x, y) = 1 oraz ∀_{x,y∈E} p_{s,t} (x, y) 0 czyli P^{s,t} jest macierzą stochastyczną;

b) P^{s,s} = Id czyli p_{s,s} (x, y) = δ_{x}(y).

Przykład 2

Załóżmy, że (E, E) = (ℝ, B(ℝ)) (lub (ℝ^{d}, B(ℝ^{d}))) Mówimy, że rodzina funkcji (p_{s,t} (x, y))_{x,y∈E,s<t,s,t∈T} jest gęstością przejścia jeśli

∀_{s<t,s,t∈T} ∀_{x∈E,Γ∈E} P_{s,t} (x, Γ) = ∫_{Γ} p_{s,t} (x, y)dy.

Gęstość przejścia musi spełniać następujące dwa warunki:

a) ∀_{s<t} ∀_{x,y∈E} p_{s,t} (x, y) 0, ∫_{E} p_{s,t} (x, y)dy = 1

b) ∀_{s<t} (x, y) → p_{s,t} (x, y) jest funkcją mierzalną z (E × E, E ⊗ E) w (ℝ, B(ℝ)). Proces Wienera jest procesem Markowa z gęstością przejścia

p_{s,t} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2π(t − s)}} exp(−\frac{(y − x)^{2}}{2(t − s)} ).

Fakt 8.2 Załóżmy, że (P_{s,t} (·, ·)) jest funkcją przejścia. Wówczas X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{s t} ∀_{Γ∈E} P(X_{t} ∈ Γ|F_{s}^{X} ) = P_{s,t} (X_{s}, Γ) p.n..  (1)

Dowód. ⇒: Na podstawie własności Markowa mamy

P(X_{t} ∈ Γ|F_{s}^{X} ) = P(X_{t} ∈ Γ|X_{s}) = P_{s,t} (X_{s}, Γ) p.n.

Zanim przejdziemy do dowodu przeciwnej implikacji sformułujemy lemat

Lemat 8.3 Jeśli zachodzi (1), to dla dowolnych indeksów s = t_{0} t_{1} … t_{n} oraz funkcji mierzalnych f_{1}, …, f_{n} : E → ℝ zachodzi

E(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n}} )|F_{s}^{X} ) = φ(X_{s}) p.n.,

gdzie

φ(y_{0}) := ∫_{E} …∫_{E} f_{1}(y_{1}) ⋯ f_{n}(y_{n})P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}) …P_{t_{0} ,t_{1}} (y_{0}, dy_{1}).

⇐: Zbiory A ∈ F_{s}^{X} takie, że P(A|F_{s}^{X} ) = P(A|F_{=s}^{X} ) p.n. tworzą λ-system. Ponieważ σ-ciało F_{s}^{X} jest generowane przez π-system zbiorów postaci {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n})}, gdzie t t_{1} … t_{n} oraz Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E, wystarczy wykazać, że

P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|F_{s} ) = P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|X_{s}) p.n.

Stosując Lemat 8.3 dla funkcji f_{i} = 1_{Γ_{i}} , dostajemy, że dla pewnej funkcji φ, P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|F_{s} ) = φ(X_{s}) p.n., czyli

P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|X_{s}) = E(φ(X_{s})|X_{s})
= φ(X_{s}) = P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|F_{s} ).□

Dowód Lematu 8.3. Przeprowadzimy indukcję po n. Dla n = 1 musimy wykazać, że

∀_{s t_{1}} E(f_{1}(X_{t_{1}} ))|F_{s}^{X} ) = φ(X_{s}),  (2)

gdzie φ(x) = ∫_{E} f_{1}(y_{1})P_{s,t_{1}} (x, dy_{1}). Rozpatrzymy kilka przypadków:

i) Jeśli f_{1} = I_{Γ} to φ(x) = P_{s,t_{1}} (x, Γ) czyli na mocy (1) mamy p.n.

φ(X_{s}) = P_{s,t_{1}} (X_{s}, Γ) = P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}|F_{s} ) = E(f_{1}(X_{t_{1}} |F_{s} ).

ii) Jeśli f_{1} jest funkcją prostą to (2) wynika z liniowości obu stron i punktu i). iii) Jeśli f_{1} jest dowolną ograniczoną funkcją mierzalną to istnieje ciąg funkcji prostych g_{n} taki, że ∥f_{1} − g_{n}∥_{∞} 1/n, z punktu ii) wiemy, że (2) zachodzi dla funkcji g_{n} w miejsce f_{1} i proste przejście graniczne wykazuje, że (2) jest spełnione dla f_{1}.

Przejdźmy teraz do dowodu kroku indukcyjnego - załóżmy, że teza lematu jest spełniona dla n funkcji, wykażemy ją dla n + 1 funkcji. Mamy

E(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n+1} (X_{t_{n+1}} )|F_{s} ) = E(E(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n+1} (X_{t_{n+1}} )|F_{t_{n}} )|F_{s} )

= E(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n}} )E(f_{n+1} (X_{t_{n+1}} )|F_{t_{n}} )|F_{s} ).

Na mocy udowodnionego już przypadku n = 1 mamy E(f_{n+1} (X_{t_{n+1}} )|F_{t_{n}} ) = g_{n}(X_{t_{n}} ) p.n., gdzie g_{n}(x) = ∫_{E} f_{n+1} (y)P_{t_{n} ,t_{n+1}} (x, dy) jest funkcją mierzalną. Stąd teza dla n+1 funkcji łatwo wynika z założenia indukcyjnego zastosowanego do funkcji f_{1}, …, f_{n−1} , f_{n}g_{n}. □

Uwaga 8.5 Czasem stosuje się ogólniejszą definicję procesu Markowa. Załóżmy, że P_{s,t} jest funkcją przejścia a (F_{t})_{t∈T} filtracją. Mówimy, że (X_{t}, F_{t}) jest procesem Markowa (albo, że X_{t} jest procesem Markowa względem filtracji (F_{t})) z funkcją przejścia P_{s,t}, jeśli zachodzą następujące dwa warunki

a) Proces (X_{t}) jest (F_{t})-adaptowalny;

b) ∀_{Γ∈E} ∀_{s t} P(X_{t} ∈ Γ|F_{s}) = P_{s,t} (X_{s}, Γ) p.n..

9 Rodziny Markowa

W rozdziale tym zakładamy, że (E, E) jest przestrzenią mierzalną, a (P_{s,t}) pewną funkcją przejścia.

W wielu zastosowaniach będziemy zajmować się nie jednym ustalonym procesem Markowa, lecz całą rodziną procesów posiadająca wspólną funkcję przejścia, ale różne rozkłady początkowe. Wygodniej jest jednak nie zmieniać samego procesu, a jedynie modyfikować przestrzeń probabilistyczną - motywuje to następującą, nieco techniczną definicję.

Definicja 9.1 Załóżmy, że dla każdego t ∈ T jest określona funkcja X_{t}: Ω → ℝ oraz dla każdego s ∈ T i x ∈ E, P_{s,x} jest miarą probabilistyczną na (Ω, F_{s}^{X} ). Jeśli spełnione są warunki:

a) dla wszystkich s ∈ T, x ∈ E proces stochastyczny (X_{t})_{t s,t∈T} określony na (Ω, F_{s}^{X} , P_{s,x} ) jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t};

b) ∀_{s∈T} ∀_{x∈E} P_{s,x} (X_{s} = x) = 1, to parę (X_{t})_{t∈T} , (P_{s,x} )_{s∈T,x∈E} nazywamy rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t}.

Uwaga 9.1 Alternatywnie zamiast definiować wspólną rodzinę zmiennych X_{t} i różne miary probabilistyczne P_{s,x} można definiować wspólną miarę probabilistyczną P i rodzinę procesów Markowa (X_{t}^{s,x} )_{t s,x∈E} taką, że P(X_{s}^{s,x} = x) = 1.

Uwaga 9.2 Z udowodnionych poprzednio faktów warunek Markowa a) z Definicji 9.1 można wyrazić na kilka równoważnych sposobów np. i)∀_{t s} ∀_{x∈E} ∀_{A∈F_{t}^{X} ,B∈F_{[s,t]}^{X}} P_{s,x} (A ∩ B|X_{t}) = P_{s,x} (A|X_{t})P_{s,x} (B|X_{t}) P_{s,x} -p.n. oraz ∀_{s t u} ∀_{x∈E} ∀_{Γ∈E} P_{s,x} (X_{u} ∈ Γ|X_{t}) = P_{t,u} (X_{t}, Γ) P_{s,x} -p.n.. ii)∀_{s t u} ∀_{x∈E} ∀_{Γ∈E} P_{s,x} (X_{u} ∈ Γ|F_{[s,t]}^{X}) = P_{t,u} (X_{t}, Γ) P_{s,x} -p.n..

Lemat 9.1 Załóżmy, że (X_{t})_{t∈T} , (P_{s,x} )_{s∈T,x∈E} jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} wówczas

a) ∀_{x∈E} ∀_{s t t_{1} ... t_{n}} ∀_{Γ_{1} ,...,Γ_{n} ∈E}

P_{s,x} (X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}|F_{[s,t]}) = φ(X_{t}) P_{s,x} p.n.,

gdzie

φ(y) = ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} P_{t,t_{1}} (y, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}).

W szczególności biorąc s = t dostajemy

P_{s,x} (X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n})
= ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} P_{t,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}).

b)∀_{s∈T} ∀_{A∈F_{s}^{X}} x → P_{s,x} (A) jest funkcją mierzalną z (E, E) w (ℝ, B(ℝ)).

Dowód. a) Pierwszy wzór wynika z Lematu 8.3 zastosowanego do procesu Markowa (X_{t})_{t s} na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F_{s} , P_{s,x} ) i funkcji f_{i} = I_{Γ_{i}} , i = 1, …, n. Drugi wzór z a) wynika z pierwszego, wystarczy tylko zauważyć, że P_{s,x} (X_{s} = x) = 1.

b) Zbiory postaci {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, s t_{1} … t_{n}, Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E tworzą π-system generujący F_{s}^{X} . Ponadto dla A = {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}} funkcja x → P_{s,x} (A) jest mierzalna na mocy punktu a) oraz rodzina takich zbiorów A dla których funkcja x → P_{s,x} (A) jest mierzalna jest λ-systemem. Teza wynika więc natychmiast z twierdzenia o π − λ systemach. □

Lemat 9.2 Załóżmy, że (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t}, wówczas

∀_{s t} ∀_{x∈E} ∀_{A∈F_{t}^{X}} P_{s,x} (A|F_{[s,t]}) = P_{t,X_{t}(ω)} (A) P_{s,x} − p.n..

Dowód. Ustalmy A ∈ F_{t}^{X} , na mocy Lematu 9.1 funkcja x → P_{t,x} (A) jest mierzalna, stąd wynika mierzalność funkcji ω → P_{t,X_{t}(ω)} (A) względem σ(X_{t}) ⊂ F_{[s,t]}. Wystarczy więc udowodnić

∀_{B∈F_{[s,t]}} P_{s,x} (A ∩ B) = ∫_{B} P_{t,X_{t}} (A)dP_{s,x} .  (3)

Rodzina {A ∈ F_{t} spełniających (3)} jest λ-systemem. Z części a) Lematu 9.1 wynika, że zawiera ona π-system {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, s t_{1} … t_{n}, Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E, a zatem zawiera i σ-ciało generowane przez ten system czyli F_{t}^{X} . □

Fakt 9.3 Para (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} wtedy i tylko wtedy gdy P_{s,x} (X_{s} = x) = 1 oraz dla wszystkich s t i A ∈ F_{t}^{X}

P_{s,x} (A|F_{[s,t]}) = P_{t,X_{t}(ω)} (A) P_{s,x} − p.n. i P_{s,x} (X_{t} ∈ Γ) = P_{s,t} (x, Γ).

Dowód. ⇒: wynika z Lematu 9.2.

⇐: Przyjmując A := {X_{u} ∈ Γ} oraz s t u dostajemy

P_{s,x} (A|F_{[s,t]}) = P_{t,X_{t}} (X_{u} ∈ Γ) = P_{t,u} (X_{t}, Γ) P_{s,x} − p.n.

i teza wynika z części ii) Uwagi 9. □

9.1 Skończenie wymiarowe rozkłady procesów Markowa

W tej części odpowiemy na następujące dwa pytania: Czy można za pomocą skończenie wymiarowych rozkładów rozpoznać procesy Markowa? Jakie warunki musi spełniać funkcja przejścia by istniała rodzina Markowa z taką funkcją?

Fakt 9.4 Załóżmy, że P_{s,t} jest ustaloną funkcją przejścia, X_{t}: Ω → ℝ dla t ∈ T oraz dla s ∈ T, x ∈ E dane są rozkłady probabilistyczne P_{s,x} na (Ω, F_{s}^{X} ). Wówczas (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} wtedy i tylko wtedy gdy skończenie wymiarowe rozkłady (X_{t}) przy P_{s,x} dane są wzorem

∀_{s t_{1} ... t_{n}} ∀_{x∈E} ∀_{Γ_{1} ,...,Γ_{n} ∈E} P_{s,x} (X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n})
= ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}).

Dowód. Implikacja ”⇒” była udowodniona wcześniej (Lemat 9.1), wystarczy więc udowodnić ”⇐”. Najpierw wykażemy, że dla dowolnej funkcji f : E^{n} → ℝ mierzalnej i ograniczonej mamy

∀_{s t_{1} ... t_{n}} E_{s,x} f(X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} ) =
∫_{E} …∫_{E} f(y_{1}, …, y_{n})P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}). (4)

(E_{s,x} oznacza wartość oczekiwaną względem P_{s,x} .) Udowodnimy 4 w kilku krokach:

i) f = I_{Γ} - rodzina A := {Γ ∈ E^{n} : f = I_{Γ} spełnia (4)} jest λ-systemem zawierającym π-system {Γ_{1} × … × Γ_{n} : Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E}, generującym E^{n}, a zatem z lematu o π − λ układach A = E^{n}. ii) Z liniowości (4) zachodzi dla dowolnych funkcji prostych. iii) Dowolną funkcję f mierzalną możemy jednostajnie aproksymować funkcjami prostymi i nietrudno zauważyć, że obie strony (4) dobrze się zachowują przy przejściu granicznym.

By zakończyć dowód faktu wystarczy wykazać, że zachodzi własność Markowa tzn. że dla wszystkich x, Γ i s t u zachodzi P_{s,x} -p.n. P_{s,x} (X_{u} ∈ Γ|F_{[s,t]}) = P_{t,u} (X_{t}, Γ). Ponieważ zmienna P_{t,u} (X_{t}, Γ) jest σ(X_{t}) ⊂ F_{[s,t]} mierzalna, to wystarczy pokazać, że

∀_{A∈F_{[s,t]}} P_{s,x} (A ∩ {X_{u} ∈ Γ}) = ∫_{A} P_{t,u} (X_{t}, Γ)dP_{s,x} .  (5)

Rodzina {A ∈ F_{[s,t]} : A spełnia (5)} jest λ-systemem, wystarczy więc pokazać, że (5) zachodzi dla pewnego π-systemu generującego F_{[s,t]}. Wykażemy zatem

(5) dla A = {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, s t_{1} … t_{n} = t. Zauważmy, że na mocy (4) zastosowanego do f(x_{1}, …, x_{n}) = I_{Γ_{1}} (x_{1}) ⋯ I_{Γ_{1}} (x_{n})P_{t,u} (x, Γ)

∫_{A} P_{t,u} (X_{t}, Γ)dP_{s,x} = E_{s,x} f(X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} )

= ∫_{E} …∫_{E} I_{Γ_{1}} (y_{1}) ⋯ I_{Γ_{n}} (y_{n})P_{t_{n} ,u} (y_{n}, Γ)P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n})

= ∫_{Γ} ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n})P_{t_{n} ,u} (y_{n}, dz)

= P_{s,x} (X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}, X_{u} ∈ Γ) = P_{s,x} (A ∩ {X_{u} ∈ Γ}).□

Uwaga 9.3 W przypadku procesów Markowa można w taki sam sposób udowodnić, że (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{s t_{1} ... t_{n}} ∀_{x∈E} ∀_{Γ_{1} ,...,Γ_{n} ∈E} P(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n})

= ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} ∫_{E} dμ_{X_{s}} (x)P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}).

9.2 Równanie Chapmana-Kołmogorowa

Załóżmy, że (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t}. Wówczas dla dowolnych s t u dostajemy na mocy Faktu 9.4

P_{s,u} (x, Γ) = P_{s,x} (X_{u} ∈ Γ) = P_{s,x} (X_{t} ∈ E, X_{u} ∈ Γ)
= ∫_{Γ} ∫_{E} P_{s,t} (x, dy)P_{t,u} (y, dz) = ∫_{E} P_{t,u} (y, Γ)P_{s,t} (x, dy).

Motywuje to następującą definicję

Definicja 9.2 (Równanie Chapmana-Kołmogorowa) Mówimy, że funkcja przejścia P_{s,t} spełnia równanie Chapmana-Kołmogorowa, jeśli

∀_{s t u} ∀_{x∈E} ∀_{Γ∈E} P_{s,u} (x, Γ) = ∫_{E} P_{t,u} (y, Γ)P_{s,t} (x, dy).

Uwaga 9.4 a) W przypadku przeliczalnej przestrzeni fazowej E i macierzy przejścia P^{s,t} = (p_{s,t} (x, y))_{x,y∈E} równanie Chapmana Kołmogorowa przyjmuje postać

∀_{s t u} ∀_{x,z∈E} p_{s,u} (x, z) = ∑_{y∈E} p_{s,t} (x, y)p_{t,u} (y, z)

czyli P^{s,u} = P^{s,t} P^{t,u}.

b) W przypadku E = ℝ^{n} i gęstości przejścia p_{s,t} równanie Chapmana Kołmogorowa ma postać

∀_{s<t<u} ∀_{x,z∈E} p_{s,u} (x, z) = ∫_{E} p_{s,t} (x, y)p_{t,u} (y, z)dy dla p.w. z ∈ ℝ^{n}.

Twierdzenie 9.5 Załóżmy, że funkcja przejścia (P_{s,t}) spełnia równanie Chapmana-Kołmogorowa. Dla s ∈ T i x ∈ E określmy rodzinę miar probabilistycznych (μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} )_{s t_{1} ... t_{n}} wzorem

∀_{Γ∈E^{n}} μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ) := ∫_{E} …∫_{E} I_{Γ}(y_{1}, …, y_{n})P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n}).

Wówczas dla wszystkich s ∈ T i x ∈ E miary (μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} )_{s t_{1} ... t_{n}} tworzą zgodną rodzinę miar probabilistycznych.

Dowód. Trzeba wykazać, że dla wszystkich s t_{1} … t_{n} oraz zbiorów Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E i)μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} (E × Γ_{2} × … × Γ_{n}) = μ_{t_{2} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{2} × … × Γ_{n}) ii)μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{i−1} × E × Γ_{i+1} × … × Γ_{n}) = μ_{t_{1} ,...t_{i−1} ,t_{i} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{i−1} × Γ_{i+1} × … × Γ_{n}) oraz iii)μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{n−1} × E) = μ_{t_{1} ,...,t_{n−1}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{n−1} ). Warunek iii) jest oczywisty (odcałkowywujemy względem dy_{n}), sprawdzimy ii)

(i) się dowodzi analogicznie). Zauważmy wpierw, że dla dowolnej funkcji f: E → ℝ mierzalnej i ograniczonej zachodzi

∀_{s t u} ∫_{E} ∫_{E} f(z)P_{s,t} (x, dy)P_{t,u} (y, dz) = ∫_{E} f(z)P_{s,u} (x, dz).  (6)

Istotnie dla f = I_{Γ}, (6) to równanie Chapmana-Kołmogorowa, z liniowości obu stron otrzymujemy, że (6) zachodzi dla funkcji prostych, a stąd przez jednostajną aproksymację dla dowolnych funkcji mierzalnych ograniczonych.

Pokażmy więc ii). Stosując (6) dla

f(z) := I_{Γ_{i+1}} (z) ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{i+2}} P_{t_{i+1} ,t_{i+2}} (y_{i+1} , dy_{i+2} ) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n})

dostajemy

μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{i−1} × E × Γ_{i+1} × … × Γ_{n})

= ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{i+1}} ∫_{E} ∫_{Γ_{i−1}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , dy_{n})

= ∫_{E} ∫_{E} ∫_{Γ_{i−1}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1}) …P_{t_{i−1} ,t_{i}} (y_{i−1} , dy_{i})f(y_{i+1} )P_{t_{i} ,t_{i+1}} (y_{i}, dy_{i+1} )

= ∫_{E} ∫_{Γ_{i−1}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{1} ,t_{2}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{i−1} ,t_{i+1}} (y_{i−1} , dy_{i+1} )f(y_{i+1} )

= ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{i+1}} ∫_{Γ_{i−1}} …∫_{Γ_{1}} P_{s,t_{1}} (x, dy_{1}) …P_{t_{i−1} ,t_{i+1}} (y_{i−1} , dy_{i+1} ) …P_{t_{n−1} ,t_{n}} (y_{n−1} , y_{n})

= μ_{t_{1} ,...t_{i−1} ,t_{i} ,...,t_{n}}^{s,x} (Γ_{1} × … × Γ_{i−1} × Γ_{i+1} × … × Γ_{n}).□

Twierdzenie 9.6 Niech (E, E) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n})), a P_{s,t} będzie funkcją przejścia spełniającą równanie Chapmana-Kołmogorowa. Wówczas istnieje rodzina Markowa (X_{t}, P_{s,x} ) z funkcją przejścia P_{s,t}.

Dowód. Dla ustalonych s ∈ T, x ∈ E rodzina miar (μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} )_{s t_{1} ... t_{n}} spełnia warunki zgodności, więc na mocy Twierdzenia 2.2 istnieje proces o skończenie wymiarowych rozkładach zadanych przez tę rodzinę. Co więcej z dowodu Twierdzenia 2.2 proces ten można skonstruować na przestrzeni (Ω_{s}, F_{s}, P̃_{s,x} ) takiej, że Ω_{s} = E^{T ∩[s,∞)} , F_{s}B(E^{T ∩[s,∞)} ) – sigma ciało zbiorów cylindrycznych, a X_{t}(x_{·}) = x_{t} dla x: T ∩ [s, ∞) → E. Określmy Ω := E^{T}, X_{t}(x_{·}) = x_{t} dla x ∈ E^{T}. Wówczas nietrudno zauważyć, że F_{s}^{X} = E^{T ∩(−∞,s)} × B(E^{T ∩[s,∞)} ) tzn. jest to rodzina zbiorów

{{x: T → E, x|_{T ∩[s,∞)} ∈ A}, A ∈ B(E^{T ∩[s,∞)} )}.

Określmy

P_{s,x} (E^{T ∩(−∞,s)} × A) := P̃_{s,x} (A) dla A ∈ B(E^{T ∩[s,∞)} ).

Wówczas P_{s,x} jest miarą probabilistyczną na (Ω, F_{s}^{X} ) i co więcej rozkłady skończenie wymiarowe X_{t} przy P_{s,x} są zadane przez (μ_{t_{1} ,...,t_{n}}^{s,x} ). Zatem na podstawie Faktu 9.4 (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{s,t}. □

10 Jednorodne Rodziny Markowa

W tej części będziemy zakładać, że T jest jednym ze zbiorów ℝ_{+} , ℝ, ℤ_{+} lub ℤ.

Definicja 10.1 Funkcję przejścia P_{s,t} nazywamy jednorodną (w czasie), jeśli dla wszystkich s, t, h ∈ T, s t zachodzi P_{s+h,t+h} = P_{s,t} czyli P_{s,t} zależy tylko od t − s.

Uwaga 10.5 Dla jednorodnych funkcji przejścia P_{s,t} można wprowadzić funkcję przejścia P_{t}(x, Γ) zależną tylko od trzech parametrów taką, że P_{s,t} (x, Γ) = P_{t−s} (x, Γ).

Jednorodna funkcja przejścia (P_{t})_{t∈T,t 0} musi spełniać następujące warunki:

i) ∀_{x∈E} ∀_{t} P_{t}(x, ·) jest miarą probabilistyczną na (E, E); ii) ∀_{t}∀_{Γ∈E} x → P_{t}(x, Γ) jest funkcją mierzalną z (E, E) w (ℝ, B(ℝ)); iii) ∀_{x∈E,Γ∈E} P_{0}(x, Γ) = δ_{x}(Γ).

Uwaga 10.6 Równanie Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych funkcji przejścia ma postać

∀_{s,t} ∀_{x∈E} ∀_{Γ∈E} P_{s+t} (x, Γ) = ∫_{E} P_{s}(y, Γ)P_{t}(x, dy).

10.1 Operatory translacji

Definicja 10.2 Załóżmy, że (X_{t})_{t∈T} jest procesem stochastycznym, h ∈ T oraz dla każdego ω ∈ Ω istnieje θ_{h}ω ∈ Ω taka, że

∀_{t∈T} X_{t}(θ_{h}ω) = X_{t+h} (ω).  (7)

Wówczas θ_{h} nazywamy operatorem translacji. Dla A ⊂ Ω określamy θ_{h}^{−1} A := {ω: θ_{h}ω ∈ A}.

Uwaga 10.7 W definicji nie zakładamy żadnej mierzalności ani jednoznaczności operatora θ_{h}.

Uwaga 10.8 W wielu przypadkach naturalnym wyborem Ω jest E^{T}, proces X jest zaś określony jako X_{t}(ω_{·}) = ω_{t} dla ω ∈ Ω czyli ω: T → ℝ. Wówczas θ_{h} można określić wzorem θ_{h}ω(t) = ω(t + h).

Przykłady

• Jeśli A = {X_{t} ∈ Γ}, to θ_{h}^{−1} (A) = {ω: X_{t}(θ_{h}ω) ∈ Γ} = {ω: X_{t+h} (ω) ∈ Γ}

• Jeśli B = {X_{t} 0 dla t t_{0}}, to θ_{h}^{−1} (B) = {X_{t} 0 dla t t_{0} + h}.

• Jeśli C = {lim_{t→∞} X_{t} = 0},to θ_{h}^{−1} (C) = {lim_{t→∞} X_{t+h} = 0} = {lim_{t→∞} X_{t} = 0}.

Fakt 10.1 a) Jeśli A ∈ F_{s}^{X} , to θ_{h}^{−1} A ∈ F_{s+h}^{X} , co więcej θ_{h}^{−1} A nie zależy od wyboru funkcji spełniającej (7) oraz każdy zbiór B ∈ F_{s+h}^{X} jest postaci θ_{h}^{−1} A dla pewnego A ∈ F_{s}^{X} .

b) Załóżmy, że Y jest zmienną losową F_{s}^{X} -mierzalną. Wówczas zmienna losowa θ_{h}Y określona wzorem θ_{h}Y (ω) := Y (θ_{h}ω) jest F_{s+h}^{X} -mierzalna. Co więcej θ_{h}Y jest określona jednoznacznie, niezależnie od wyboru funkcji θ_{h} spełniającej (7).

Dowód. a) Rodzina A := {A ∈ F_{s}^{X} : θ_{h}^{−1} A ∈ F_{s+h}^{X} } jest λ-systemem zawierającym π- system zbiorów postaci {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, s t_{1} … t_{n}, Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E, gdyż θ_{h}^{−1} {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}} = {X_{t_{1} +h} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n} +h} ∈ Γ_{n}} ∈ F_{s+h}^{X} . Stąd z lematu o π − λ systemach A = F_{s}^{X} . Podobnie pokazujemy, że jeśli θ̃_{h} inna funkcja spełniająca (7) to {A ∈ F_{s}^{X} : θ_{h}^{−1} A = θ̃_{h}^{−1} A} = F_{s}^{X} .

Rodzina {B ∈ F_{s+h}^{X} : B = θ_{h}^{−1} A, A ∈ F_{s}^{X} } jest λ-systemem zawierającym π-system zbiorów postaci {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, s + h t_{1} … t_{n}, Γ_{1}, …, Γ_{n} ∈ E, który generuje σ-ciało F_{s+h}^{X} .

b) Z mierzalności Y wynika, że {Y ∈ A} ∈ F_{s}^{X} , stąd na mocy a)

(θ_{h}Y)^{−1} (A) = {ω: Y (θ_{h}ω) ∈ A} = θ_{h}^{−1} {Y ∈ A} ∈ F_{s+h}^{X}

czyli zmienna θ_{h}Y jest F_{s+h}^{X} -mierzalna. Jeśli θ̃_{h} jest innym operatorem spełniającym (7), to znów na mocy punktu a)

Y (θ_{h}ω) = y ⇒ ω ∈ θ_{h}^{−1} {Y = y} = θ̃_{h}^{−1} {Y = y} ⇒ Y (θ̃_{h}ω) = y

czyli θ_{h}Y = θ̃_{h}Y. □

Fakt 10.2 Załóżmy, że (X_{t}, P_{s,x} ) jest rodziną Markowa z jednorodną funkcją przejścia, a θ_{s} jest operatorem translacji dla X. Wówczas dla P_{s,x} (θ_{s}^{−1} B) = P_{0,x} dla wszystkich B ∈ F_{0}^{X} .

Dowód. Jeśli B = {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}} to ze wzoru na skończenie wymiarowe rozkłady rodzin Markowa (Fakt 9.4) oraz z jednorodności funkcji przejścia dostajemy

P_{s,x} (θ_{s}^{−1} B) = P_{s,x} (X_{t_{1} +s} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n} +s} ∈ Γ_{n}) = P_{0,x} (X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}).

Ponadto rodzina {B ∈ F_{0}^{X} : P_{s,x} (θ_{s}^{−1} B) = P_{0,x} (B)} tworzy λ-system i fakt wynika z lematu o π − λ systemach. □

Ponieważ każdy zbiór A ∈ F_{s}^{X} można przedstawić w postaci θ_{s}^{−1} B, B ∈ F_{0}^{X} , więc rozkłady P_{s,x} są wyznaczone przez P_{0,x} i operator translacji. Motywuje to następującą definicję.

Definicja 10.3 Mówimy, że (X_{t}, P_{x}) jest jednorodną rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{t} i operatorem translacji θ_{s}, jeśli

a) P_{x} jest miarą probabilistyczną na F_{0}^{X} taką, że

∀_{t,h∈T,t,h 0} P_{x}(X_{t+h} ∈ Γ|F_{t}^{X} ) = P_{h}(X_{t}, Γ);

b) P_{x}(X_{0} = x) = 1 dla wszystkich x ∈ E;

c) X_{t}(θ_{s}ω) = X_{t+s} (ω) dla wszystkich t, s i ω ∈ Ω.

Uwaga 10.9 Warunek a) Definicji 10.3 oznacza, że dla x ∈ E, proces X_{t} jest procesem Markowa na (Ω, P_{x}) z funkcją przejścia P_{t}. Jak wiemy warunek ten ma wiele równoważnych postaci. W szczególności oznacza on, że skończenie wymiarowe rozkłady (X_{t}) są dane wzorem dla 0 t_{1} … t_{n}

P_{x}(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}) = ∫_{Γ_{n}} …∫_{Γ_{1}} P_{t_{1}} (x, dy_{1})P_{t_{2} −t_{1}} (y_{1}, dy_{2}) …P_{t_{n} −t_{n−1}} (y_{n−1} , dy_{n}).

Twierdzenie 10.3 Załóżmy, że (E, E) = (ℝ^{d}, B(ℝ^{d})) (lub E jest porządną przestrzenią) oraz P_{t} jest jednorodną funkcją przejścia spełniającą równanie Chapmana-Kołmogorowa. Wówczas istnieje jednorodna rodzina Markowa (X_{t}, P_{x}) z funkcją przejścia P_{t}.

Dowód. Jest to wniosek z ogólniejszego Twierdzenia 9.6 dla przypadku niejednorodnego, wystarczy jedynie udowodnić istnienie operatora translacji. Ale z konstrukcji przeprowadzonej w dowodzie Twierdzenia 9.6 wynika, że możemy przyjąć Ω = E^{T} oraz X_{t}(ω_{·}) = ω_{t} i wtedy operator translacji jest zadany wzorem θ_{s}ω_{·}:= ω_{·+h} . □

Uwaga 10.10 Własność Markowa można wyrazić w jeszcze jeden sposón za pomocą operatora translacji. Jeśli (X_{t}, P_{x}) jest jednorodną rodziną Markowa z operatorem translacji θ_{s}, to

∀_{t∈T,x∈E} ∀_{B∈F_{0}} P_{x}(θ_{t}^{−1} B|F_{t} ) = P_{X_{t}} (B).

Możemy to interpretować w ten sposób, że jeśli znamy zachowanie procesu X do chwili t, to dalej przebiega on tak jakby w chwili t startował (z losowego!) punktu X_{t}(ω).

11 Półgrupy operatorów związane z jednorodnymi procesami Markowa

Z każdym jednorodnym łańcuchem Markowa możemy związać pewną rodzinę przekształceń o ciekawych i ważnych własnościach - tzw. półgrupę operatorów. Zacznijmy jednak od definicji dwu przestrzeni Banacha.

Definicja 11.1 Załóżmy, że (E, E) jest przestrzenią mierzalną. Przez B(E) będziemy oznaczać przestrzeń wszystkich funkcji mierzalnych ograniczonych z E w ℝ, a przez M(E) przestrzeń wszystkich miar (ze znakiem) na (E, E), czyli addytywnych funkcji z E w ℝ. Kładziemy

∥f∥ := sup_{x∈E} |f(x)|, f ∈ B(E)

oraz

μ := sup{∑_{i=1}^{∞} |μ(A_{i})|: A_{i} ∈ E, A_{i} ∩ A_{j} = ∅, i ≠ j}, μ ∈ M(E).

Definicja 11.2 Załóżmy, że (X_{t}, P_{x}) jest jednorodnym procesem Markowa z funkcją przejścia P_{t}. Definiujemy operatory P^{t}: B(E) → B(E) wzorem

P^{t}f(x) = E_{x}f(X_{t}) = ∫_{E} f(y)P_{t}(x, dy), t 0.

Uwaga 11.1 Zauważmy, że operatory P^{t} wyznaczają funkcję przejścia, bo

P_{t}(x, Γ) = P_{x}(X_{t} ∈ Γ) = E_{x}I_{Γ}(X_{t}) = P^{t}I_{Γ}(x).

Fakt 11.1 Operatory (P_{t})_{t 0} zdefiniowane powyżej spełniają następujące własności

i) P^{t} są operatorami liniowymi; ii) P^{t} są kontrakcjami tzn. ∥P^{t}f∥ ∥f∥ dla f ∈ B(E); iii) P^{t} są operatorami nieujemnymi tzn. P^{t}f 0 dla f 0; iv) P^{t}1 = 1, gdzie 1 oznacza funkcję stałą równą 1;

v) P^{0} = Id; vi) P^{s+t} = P^{s}P^{t} dla s, t 0.

Dowód. Punkty i), iii)-v) są oczywiste. Własność ii) wynika stąd, że

|P^{t}f(x)| = |E_{x}f(X_{t})| E_{x}|f(X_{t})| E∥f∥ = ∥f∥.

Wreszcie by udowodnić vi) wykorzystamy udowodnione poprzednio konsekwencje równań Chapmana-Kołmogorowa

P^{s+t} f(x) = ∫_{E} P_{s+t} (x, dz)f(x) = ∫_{E} ∫_{E} P_{s}(x, dy)P_{t}(y, dz)f(z)

= ∫_{E} P_{s}(x, dy) ∫_{E} P_{t}(y, dz)f(z) = ∫_{E} P_{s}(x, dy)P^{t}f(y) = P^{s}P^{t}f(x).□

Uwaga 11.2 Rodzinę operatorów liniowych (P^{t})_{t 0} określonych na przestrzeni Banacha (X, ∥ · ∥) taką, że P^{0} = Id oraz P^{s+t} = P^{s}P^{t} nazywamy półgrupą operatorów.

Przykłady a) Jeśli (W_{t}, P_{x}) jest procesem Wienera, to

P^{t}f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πt}} ∫_{−∞}^{∞} f(y)e^{−y^{2} /2} dy = Ef(x + \sqrt{t}W_{1}).

b) W przypadku gdy E jest przeliczalna i P^{t} = (p_{t}(x, y)) jest macierzą przejścia, to każdą funkcję f: E → ℝ można utożsamić z wektorem [f(x_{1}), f(x_{2}), …]^{T} i wówczas P^{t}f(x) = ∑ _{y∈E} p_{t}(x, y)f(y) – mnożenie przez macierz P^{t}.

Uwaga 11.3 Można też określić P^{t} jako operatory na M(E) wzorem

νP^{t}(Γ) := ∫_{E} ν(dx)P_{t}(x, Γ).

Wówczas

i) P^{t} są operatorami liniowymi; ii) P^{t} są kontrakcjami tzn. ∥νP^{t}∥ ∥ν∥ dla ν ∈ M(E); iii) P^{t} są operatorami nieujemnymi tzn. jeśli ν jest miarą nieujemną to νP^{t} też jest miarą nieujemną; iv) νP^{t}(E) = ν(E), w szczególności P^{t} przeprowadza miary probabilistyczne na miary probabilistyczne;

v) P^{0} = Id; vi) P^{s+t} = P^{s}P^{t} dla s, t 0. Załóżmy, że ν jest miarą probablistyczną, wówczas możemy określić P_{ν}(A) = ∫_{E} P_{x}(A)dν(x). Wtedy P_{ν}(X_{0} ∈ Γ) = ν(Γ) oraz νP^{t}(Γ) = P_{ν}(X_{t} ∈ Γ) czyli νP^{t} to rozkład X_{t}, jeśli X_{0} ma rozkład ν.

Uwaga 11.4 Każda miara ν ∈ M(E) wyznacza funkcjonał na B(E) wzorem ⟨ν, f⟩ := ∫_{E} f(x)ν(dx). Przy tym oznaczeniu zachodzi

⟨ν, P^{t}f⟩ = ⟨νP^{t}, f⟩.

11.1 Fellerowskie rodziny Markowa

Przestrzeń B(E) jest bardzo duża i niewygodna do zastosowań praktycznych. W szczególności na B(E) jest bardzo dużo ciągłych funkcjonałów liniowych - dużo więcej niż miar na E (poza przypadkiem gdy E jest skończony). Dlatego o wiele wygodniej jest pracować z przestrzenią C(E) - funkcji ciągłych na E. Z powodów technicznych zdecydujemy się na przestrzeń C_{0}(E) - funkcji ciągłych znikających w nieskończoności.

Definicja 11.3 Załóżmy, że E jest przestrzenią metryczną (lub ogólniej topologiczną). Definiujemy

C_{0}(E) := {f: E → ℝ ciągłe takie, że∀_{ε>0} ∃_{Kzwarty} ∀_{x∉K} |f(x)| < ε}.

Uwaga 11.5 Przestrzeń C_{0}(E) jest przestrzenią Banacha z normą ∥f∥ = sup_{x∈E} |f(x)|. W szczególności mamy

C_{0}(ℝ^{n}) = {f: ℝ^{n} → ℝ: lim_{|x|→∞} f(x) = 0}.

Ogólnie f ∈ C_{0}(E) nie implikuje, że P^{t}f ∈ C_{0}(E). Motywuje to następującą definicję.

Definicja 11.4 Załóżmy, że E jest lokalnie zwartą przestrzenią metryczną, a E = B(E) - σ-ciało borelowskich podzbiorów E. Jednorodną rodzinę Markowa (X_{t}, P_{x}) o wartościach w (E, E) nazywamy rodziną fellerowską, jeśli P^{t}f ∈ C_{0}(E) dla wszystkich t oraz f ∈ C_{0}(E).

Uwaga 11.6 Warunek fellerowskości oznacza przede wszystkim, że dla f ∈ C_{0}(E) funkcja P^{t}f jest ciągła. Czyli P^{t}f(x) → P^{t}f(x_{0}) gdy x → x_{0} tzn.

∀_{f∈C_{0} (E)} ∀_{x→x_{0}} ∫_{E} P_{t}(x, dy)f(y) → ∫_{E} P_{t}(x_{0}, dy)f(y),

czyli miary P_{t}(x, dy) słabo zbiegają do P_{t}(x_{0}, dy) przy x → x_{0}.

Uwaga 11.7 W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko przypadek metryczny, najważniejsze przykłady to E = ℝ^{n} lub E- przeliczalne (wtedy wszystkie funkcje na E są ciągłe, a f ∈ C_{0}(E) oznacza, że |f(x)| ε jedynie dla skończenie wielu x). Jednak definicje i rezultaty, które będziemy formułować przenoszą się na przypadek dowolnych przestrzeni topologicznych lokalnie zwartych spełniających warunek Haussdorfa (tzn. takich, że każde dwa punktu są oddzielone zbiorami otwartymi).

Przykłady

a) Niech E = ℝ, X_{t} = X_{0} + t (deterministyczny ruch w prawo). X_{t} jest wówczas rodziną Markowa z funkcją przejścia P_{t}(x, Γ) = δ_{x+t} (Γ), a P^{t}f(x) = f(x+t) i oczywiście P^{t}: C_{0}(ℝ) → C_{0}(ℝ) i spełniony jest warunek fellerowskości.

b) Niech E = ℝ, a funkcja przejścia jest zadana wzorem

P_{t}(x, Γ) = \{ \begin{matrix}δ_{x+t} (Γ) & x > 0 \\ δ_{x−t} (Γ) & x < 0 \\ \frac{1}{2}δ_{t}(Γ) + \frac{1}{2}δ_{−t} (Γ) & x = 0 \end{matrix} .

Łatwo sprawdzić, że P_{t} spełnia równanie Chapmana-Kołmogorowa, więc istnieje rodzina Markowa (X_{t}, P_{x}) z funkcją przejścia P_{t}. Ponadto P_{x}(∀_{t 0} X_{t} = x+t) = 1 dla x > 0, P_{x}(∀_{t 0} X_{t} = x − t) = 1 dla x < 0 oraz P_{0}(X_{t} = t) = P_{0}(X_{t} = −t) = 1/2. Zatem

P^{t}f(x) = E_{x}f(X_{t}) = \{ \begin{matrix}f(x + t) & x > 0 \\ f(x − t) & x < 0 \\ \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{2}f(−t) & x = 0 \end{matrix} ,

czyli istnieje f ∈ C_{0}(ℝ) takie, że P^{t}f ∉ C_{0}(ℝ), więc X_{t} nie jest rodziną fellerowską.

Naszym kolejnym celem jest podanie charakteryzacji tych nieujemnych półgrup operatorów kontrakcji na C_{0}(ℝ), które pochodzą od rodzin Markowa. Przypomnijmy, że P^{t}1 = 1, ale, o ile E nie jest zwarta, to 1 nie należy do C_{0}(E). Musimy więc zdefiniować odpowiedni warunek dla przestrzeni niezwartych.

Definicja 11.5 Załóżmy, że E jest σ-zwartą, lokalnie zwartą przestrzenią metryczną, a T: C_{0}(E) → C_{0}(E) jest nieujemnym operatorem liniowym kontrakcji. Powiemy, że T zachowuje jedynkę, jeśli dla dowolnego ciągu funkcji 0 f_{1} f_{2} …, f_{i} ∈ C_{0}(E) takich, że lim_{n→∞} f_{n}(x) = 1 dla wszystkich x ∈ E zachodzi lim_{n→∞} T f_{n}(x) = 1 dla wszystkich x ∈ E. Powiemy, że półgrupa operatorów P^{t} na C_{0}(E) zachowuje jedynkę, jeśli każdy z operatorów P^{t} zachowuje jedynkę.

Uwaga 11.8 W przypadku gdy E jest zwarta T zachowuje jedynkę wtedy i tylko wtedy gdy T 1 = 1. W przypadku ogólnym warunek ten oznacza, że T przedłuża się do operatora ciągłego z C_{∞} (E) w C_{∞} (E) (funkcje ciągłe z E w ℝ mające granice w ∞) w taki sposób, że T 1 = 1.

Twierdzenie 11.2 Załóżmy, że E jest lokalnie zwartą, σ-zwartą przestrzenią metryczną oraz E = B(E). Niech ponadto P^{t}: C_{0}(E) → C_{0}(E), t 0 będzie nieujemną półgrupą operatorów zachowujących jedynkę. Wówczas istnieje fellerowska jednorodna rodzina Markowa (X_{t}, P_{x}) dla której P^{t} jest półgrupą operatorów.

Dowód. Ustalmy x ∈ E, t 0, wówczas przekształcenie f → P^{t}f(x) z C_{0}(E) w ℝ jest ciągłym nieujemnym funkcjonałem liniowym o normie równej 1. Stąd na podstawie twierdzenia Riesza o reprezentacji (Twierdzenie A.5) istnieje miara P_{t}(x, ·) taka, że

P^{t}f(x) = ∫_{E} f(y)P_{t}(x, dy).

Ponieważ P^{t} 0 oraz ∥P^{t}∥ = 1, więc P^{t}(x, ·) jest miarą probabilistyczną. Oczywiście P_{0}(x, Γ) = δ_{0}(Γ) (ponieważ P^{0} = Id). By sprawdzić, że P_{t} jest funkcją przejścia wystarczy jeszcze tylko sprawdzić mierzalność przekształcenia x → P_{t}(x, Γ) dla Γ ∈ E.

Załóżmy najpierw, że Γ jest zbiorem zwartym. Wtedy istnieje funkcja f: E → [0, 1] o zwartym nośniku taka, że f = 1 na zbiorze Γ i f < 1 poza zbiorem Γ (np. dla E = ℝ^{n} możemy zdefiniować f(x) := (1 − dist(x, Γ)) ∨ 0). Zauważmy, że f^{n} też ma nośnik zwarty czyli należy do C_{0}(E), 0 f^{n} 1 oraz f^{n}(x) → I_{Γ}(x) dla wszystkich x przy n → ∞. Zatem z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej otrzymujemy dla x ∈ E

lim_{n→∞} P^{t}(f^{n})(x) = lim_{n→∞} ∫_{E} f^{n}(y)P_{t}(x, dy) = ∫_{E}( lim_{n→∞} f^{n}(y))P_{t}(x, dy)

= ∫_{E} I_{Γ}(y)P_{t}(x, dy) = P_{t}(x, Γ).

Stąd x → P_{t}(x, Γ) jest granicą punktową funkcji ciągłych, a więc jest funkcją mierzalną.

Niech A := {Γ ∈ B(E): x → P_{t}(x, Γ) mierzalne}, wówczas nietrudno sprawdzić, że A jest λ-systemem. Jak już wiemy A zawiera π-system zbiorów zwartych, a więc z twierdzenia o π − λ systemach σ-ciało generowane przez zbiory zwarte czyli A = B(E). Wykazaliśmy zatem, że P_{t} jest funkcją przejścia.

Sprawdzimy teraz, że P_{t} spełnia równanie Chapmana-Kołmogorowa. Robimy to w podobny sposób co poprzednio - dla Γ zwartego i funcji ciągłej f takiej jak powyżej mamy

∫_{E} P_{s+t} (x, dz)f^{n}(z) = P^{s+t} (f^{n})(x) = P^{s}P^{t}(f^{n})(x)

= ∫_{E} P_{s}(x, dy)P^{t}(f^{n})(y) = ∫_{E} ∫_{E} P_{s}(x, dy)P_{t}(y, dz)f^{n}(z).

Biorąc granicę obu stron przy n → ∞ i korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej dostajemy

P_{s+t} (x, Γ) = ∫_{E} P_{s+t} (x, dz)I_{Γ}(z) = ∫_{E} ∫_{E} P_{s}(x, dy)P_{t}(y, dz)I_{Γ}(z)

= ∫_{E} P_{s}(x, dy)P_{t}(y, Γ).

Udowodniliśmy zatem, że λ-system

A := {Γ ∈ B(E): P_{s+t} (x, Γ) = ∫_{E} P_{s}(x, dy)P_{t}(y, Γ)}

zawiera π-system zbiorów zwartych, a więc z twierdzenia o π − λ systemach A = B(E) czyli P_{t} spełnia równanie Chapmana-Kołmogorowa.

Skoro zatem dana jest jednorodna funkcja przejścia P_{t} spełniająca równanie Chapmana-Kołmogorowa to wiemy, że istnieje jednorodny proces Markowa (X_{t}, P_{x}) mająca funkcję przejścia P_{t}, ale oznacza to, że

P^{t}f(x) = ∫_{E} f(y)P_{t}(x, dy) = Ef(X_{t}),

czyli P^{t} jest półgrupą operatorów dla X_{t}. □

11.2 Stacjonarne procesy Markowa

Definicja 11.6 Proces stochastyczny (X_{t})_{t∈T} (gdzie T = ℤ_{+} , ℝ_{+} , ℤ lub ℝ) nazywamy stacjonarnym, jeśli dla wszystkich h ∈ T proces (X_{t+h} )_{t∈T} ma ten sam rozkład co (X_{t})_{t∈T} , czyli

∀_{t_{1} ,...,t_{n} ∈T} (X_{t_{1} +h} , …, X_{t_{n} +h} ) ∼ (X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} ).

Nasuwa się naturalne pytanie - kiedy jednorodny proces Markowa jest stacjonarny?

Definicja 11.7 Niech (X_{t}, P_{x}) będzie jednorodnym procesem Markowa o wartościach w (E, E) z funkcją przejścia P_{t}. Miarę μ na (E, E) nazywamy miarą niezmienniczą odpowiadającą jednorodnej funkcji przejścia P_{t} (lub miarą niezmienniczą jednorodnej rodziny Markowa (X_{t}, P_{x})), jeśli

∀_{t}∀_{Γ∈E} μ(Γ) = ∫_{E} P_{t}(x, Γ)μ(dx).

Uwaga 11.9 W przypadku, gdy μ jest miarą skończoną powyższa definicja oznacza, że μ = μP^{t} dla wszystkich t.

Przykłady a) Na E = {0, 1} określmy macierz przejścia

P^{t} = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 + 2e^{−t} & 2 − 2e^{−t} \\ 3 − 3e^{−t} & 2 + 3e^{−t} \end{matrix} ) .

Wówczas jedyną probabilistyczną miarą niezmienniczą dla P^{t} jest miara μ taka, że μ({0}) = 3/5, μ({1}) = 2/5.

b) Dla procesu Wienera nie istnieją skończone niezerowe miary niezmiennicze. Miarą niezmienniczą jest jednak w tym przypadku miara Lebesgue’a.

Fakt 11.3 a) Jeśli (X_{t})_{t∈T} jest stacjonarnym procesem Markowa, to każdy jednowymiarowy rozkład μ_{X_{t}} tego procesu jest miarą niezmienniczą (taką samą dla wszystkich t).

b) Jeśli μ jest probabilistyczną miarą niezmienniczą dla funkcji przejścia P_{t} spełniającej równanie Chapmana-Kołmogorowa, E jest σ-zwartą przestrzenią metryczną E = B(E), to istnieje stacjonarny proces Markowa o funkcji przejścia P_{t} taki, że μ_{X_{t}} = μ dla wszystkich t.

Dowód. a) Wiemy, że μ_{X_{t}} P^{s} = μ_{X_{t+s}} = μ_{X_{t}} na mocy stacjonarności X.

b) Jeśli (X_{t}, P_{x}) jest rodziną Markowa o funkcji przejścia P_{t} to zdefiniujmy

P_{μ}(A) := ∫_{E} P_{x}(A)μ(dx), A ∈ F_{0}^{X} .

Wówczas (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa na (Ω, F_{0}^{X} , P_{μ}) o funkcji przejścia P_{t} i rozkładzie początkowym μ. Co więcej

μ_{X_{t}} (Γ) = P_{μ}(X_{t} ∈ Γ) = ∫_{E} P_{x}(X_{t} ∈ Γ)μ(dx) = ∫_{E} P_{t}(x, Γ)μ(dx) = μ(Γ) oraz

P_{μ}(X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n})
= ∫_{Γ_{n}} ⋯ ∫_{Γ_{1}} μ_{X_{t_{1}}} (dx_{1})P_{t_{2} −t_{1}} (x_{1}, dx_{2}) …P_{t_{n} −t_{n−1}} (x_{n−1} , dx_{n})

= ∫_{Γ_{n}} ⋯ ∫_{Γ_{1}} μ(dx_{1})P_{t_{2} −t_{1}} (x_{1}, dx_{2}) …P_{t_{n} −t_{n−1}} (x_{n−1} , dx_{n})
= P_{μ}(X_{t_{1} +h} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n} +h} ∈ Γ_{n}).□

12 Mocna własność Markowa

Wiemy, że jeśli znamy wartość procesu Markowa do chwili t, to dalsze zachowanie procesu odbywa się tak jakby proces startował w chwili t z losowego punktu X_{t}(ω). Często jednak znamy zachowanie się procesu do chwili losowej τ(ω) - czy wówczas analogiczna własność jest prawdziwa?

Przykład.

Niech (X_{n})_{n=0,1,...} będzie symetrycznym błądzeniem losowym po ℤ^{3}. Wiadomo, że |X_{n}| → ∞. Niech τ oznacza moment ostatniej wizyty X_{n} w punkcie 0 - wówczas τ < ∞ p.n.. Ponadto X_{τ}(ω) = 0 oraz

P(∃_{n>τ(ω)} X_{n} = 0) = 0 ≠ P_{0}(∃_{n>0} X_{n} = 0) > 0.

Powyższy przykład pokazuje, że nasze oczekiwania były zbyt optymistyczne - nawet w bardzo prostym przypadku nie możemy mieć postulowanej własności dla wszystkich τ. Jednak zwykle decydujemy o zatrzymaniu obserwacji na podstawie zachowania procesu, czyli naturalnie jest dodać założenie, że τ jest momentem zatrzymania. Przed sformułowaniem właściwej definicji sformułujemy techniczny fakt.

Fakt 12.1 Niech (X_{t}, P_{x}) będzie jednorodną rodziną Markowa z funcją przejścia (P_{t}). Załóżmy, że (F_{t})_{t∈T} jest pewną filtracją taką, że F_{t} ⊂ F_{0}^{X} oraz X_{t} jest progresywnie mierzalny względem F_{t}. Wówczas dla wszystkich Γ ∈ E funkcja (t, x) → P_{t}(x, Γ) jest mierzalna jako funkcja z (T × E, B(T) ⊗ E) w (ℝ, B(ℝ)).

Dowód. Dla T = ℤ_{+} , B(ℤ_{+} ) to wszystkie podzbiory ℤ_{+} czyli funkcja (n, x) → f_{n}(x) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n funkcja x → f_{n}(x) jest mierzalna. Zatem w tym przypadku nie mamy co dowodzić. Możemy więc przyjąć T = ℝ_{+} .

Określmy

A := {(s, ω) ∈ ℝ_{+} × Ω: X_{s}(ω) ∈ Γ}.

Wówczas na podstawie progresywnej mierzalności X dostajemy

A∩([0, u]×Ω) = {(s, ω): 0 s u, X_{s}(ω) ∈ Γ} ∈ B([0, u])⊗F_{u} ⊂ B([0, u])⊗F_{0}^{X} .

Stąd A ∈ B(ℝ_{+} ) ⊗ F_{0}^{X} . Zauważmy, że

P_{t}(x, Γ) = P_{x}(X_{t} ∈ Γ) = P_{x}(ω: (t, ω) ∈ A),

wystarczy zatem iż pokażemy, że dla wszystkich A ∈ B(ℝ_{+} ) ⊗ F_{0}^{X} funkcja (t, x) → P_{x}(ω: (t, ω) ∈ A) jest mierzalna.

Jeśli A = C × B, C ∈ B(ℝ_{+} ), B ∈ F_{0}^{X} to

P_{x}(ω: (t, ω) ∈ A) = I_{C}(t)P_{x}(B)

jest funkcją mierzalną jako iloczyn funkcji mierzalnych. Niech

A = {A ∈ B(ℝ_{+} ) ⊗ F_{0}^{X} : (t, x) → P_{x}(ω: (t, ω) ∈ A) jest mierzalna},

wówczas A jest λ systemem zawierającym π-system zbiorów postaci C × B, C ∈ B(ℝ_{+} ), B ∈ F_{0}^{X} , a zatem A zawiera σ ciało generowane przez powyższy π-system, czyli B(ℝ_{+} ) ⊗ F_{0}^{X} .□

Definicja 12.1 Niech (X_{t}, P_{x}) będzie jednorodną rodziną Markowa z funcją przejścia (P_{t}), F_{t} zaś filtracją taką, że dla wszystkich t 0, F_{t} ⊂ F_{0}^{X} . Mówimy, że rodzina (X_{t}, P_{x}) jest mocno markowska (lub ma mocną własność Markowa) względem filtracji F_{t}, jeśli zachodzą następujące warunki

a) X_{t} jest progresywnie mierzalny względem F_{t};

b) Dla każdego momentu Markowa τ i dla każdej funkcji mierzalnej η = η(ω) ze zbioru Ω_{τ} := {τ < ∞} o wartościach w T ∪ {∞}, która jest F_{τ} mierzalna zachodzi

∀_{x∈E,Γ∈E} ∀_{A⊂Ω_{τ} ∩Ω_{η} :={τ,η<∞},A∈F_{τ}}

P_{x}(A ∩ {X_{τ+η} ∈ Γ}) = ∫_{A} P_{η}(X_{τ}, Γ)P_{x}(dω) = E_{x}I_{A}P_{η}(X_{τ}, Γ).

Uwaga 12.1 Całka w częsci b) definicji jest dobrze określona, gdyż zmienne η, X_{τ} są F_{τ}- mierzalne, a funkcja (t, x) → P_{t}(x, Γ) jest, na podstawie faktu 12.1, mierzalna, czyli P_{η}(X_{τ}, Γ) jest F_{τ} mierzalna na zbiorze Ω_{τ} ∩ Ω_{η}.

Uwaga 12.2 Warunek b) często zapisuje się jako

P_{x}(X_{τ+η} ∈ Γ|F_{τ}) = P_{η}(X_{τ}, Γ) P_{x}-p.n. na zbiorze Ω_{τ} ∩ Ω_{η}.

Uwaga 12.3 Warunek b) implikuje, że dla dowolnej funkcji mierzalnej ograniczonej f zachodzi

P_{x}(f(X_{τ+η} )|F_{τ}) = P^{η}f(X_{τ}) P_{x}-p.n. na zbiorze Ω_{τ} ∩ Ω_{η}

czyli, że dla każdego A ⊂ Ω_{τ} ∩ Ω_{η}, A ∈ F_{τ}

E_{x}f(X_{τ+η} )I_{A} = E_{x}P^{η}f(X_{τ})I_{A}.

Fakt 12.2 Każdy jednorodny łańcuch Markowa (X_{n}, P_{x}) o dowolnej przestrzeni stanów (E, E) jest procesem mocnomarkowskim względem filtracji (F_{n}^{X} ).

Dowód. Warunek a) definicji jest spełniony, bo dla zbioru dyskretnego T progresywna mierzalność jest równoważna adaptowalności. Załóżmy więc, że τ, η, A są jak w części b) definicji. Mamy wówczas

P_{x}(A ∩ (X_{τ+η} ∈ Γ)) = ∑_{m,n=0}^{∞} P_{x}(A ∩ (τ = m, η = n, X_{n+m} ∈ Γ)) = I

oraz

∫_{A} P_{η}(X_{τ}, Γ)P_{x}(dω) = ∑_{m,n=0}^{∞} ∫_{A∩{τ=m,η=n}} P_{n}(X_{m}, Γ) = II.

Z F_{τ}-mierzalności A i η wynika, że A ∩ {τ = m} ∈ F_{τ} czyli B_{n,m} := A ∩ {τ = m, η = n} ∈ F_{m}^{X} . Z własności Markowa P_{x}(X_{n+m} ∈ Γ|F_{m} ) = P_{n}(X_{m}, Γ), P_{x}-p.n., więc

P_{x}(X_{n+m} ∈ Γ ∩ B_{n,m} ) = ∫_{B_{n,m}} P_{n}(X_{m}, Γ)P_{x}(dω)

czyli każdy składnik sumy I jest równy odpowiedniemu składnikowi sumy II. □

W analogiczny sposób wykazujemy

Fakt 12.3 Niech (X_{t}, P_{x}) będzie dowolną rodziną Markowa oraz F_{t} = F_{t}^{X} . Wówczas warunek b) Definicji 12.1 jest spełniony jeśli τ i η przyjmują przeliczalnie wiele wartości.

Podamy teraz prosty przykład zastosowania mocnej własności Markowa w przypadku dyskretnym

Wniosek 12.4 Niech X_{0}, X_{1}, … będzie dyskretnym łańcuchem Markowa z macierzą przejścia (p_{n}(x, y))_{x,y∈E} . Określmy

f_{n}(x, y) = P_{x}(X_{n} = y, X_{1} ≠ y, …, X_{n−1} ≠ y)

prawdopodobieństwo, że startując z x pierwsza wizyta w y nastąpi w chwili n. Wówczas

p_{n}(x, y) = f_{n}(x, y) + f_{n−1} (x, y)p_{1}(x, y) + … + f_{1}(x, y)p_{n−1} (x, y).

Dowód. Niech τ := inf{n > 0: X_{n} = y}, η := (n − τ) ∨ 0, Γ := {y} oraz A := {τ n}. Wówczas

P_{x}(A ∩ (X_{τ+η} ∈ Γ)) = P_{x}(A ∩ (X_{n} = y)) = P_{x}(X_{n} = y) = p_{n}(x, y)

oraz

∫_{A} P_{η}(X_{τ}, Γ) = ∑_{k=1}^{n} ∫_{{τ=k}} P_{n−k} (X_{k}, Γ) = ∑_{k=1}^{n} ∫_{{τ=k}} p_{n−k} (x, y)dP_{x}

= ∑_{k=1}^{n} P_{x}(τ = k)p_{n−k} (x, y) = f_{n}(x, y)+f_{n−1} (x, y)p_{1}(x, y)+…+f_{1}(x, y)p_{n−1} (x, y).

Czyli dowodzona teza natychmiast wynika z mocnej własności Markowa. □ Przykład procesu Markowa bez mocnej własności Markowa

Niech (W_{t}, P_{x}) będzie procesem Markowa, zdefiniujmy proces X wzorem

X_{t}(ω) := \{ \begin{matrix}W_{t}(ω) & jeśli W_{0}(ω) ≠ 0 \\ 0 & jeśli W_{0}(ω) = 0 \end{matrix} .

Wówczas (X_{t}, P_{x}) jest rodziną Markowa z funkcją przejścia

P_{t}(x, Γ) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2πt}} ∫_{Γ} exp(−\frac{(y−x)^{2}}{2t} )dy & jeśli x ≠ 0 \\ δ_{0}(Γ) & jeśli x = 0 \end{matrix} .

Istotnie, P_{t} jest funkcją przejścia i wystarczy udowodnić, że

∀_{t,x 0} P_{x}(X_{t+h} ∈ Γ|F_{t}^{X} ) = P_{h}(X_{t}, Γ) P_{x} p.n..  (8)

Jeśli x ≠ 0, to P_{x}(X_{t} ≡ W_{t}) = P_{x}(W_{0} ≠ 0) = 1, czyli P_{x}(X_{t+h} ∈ Γ|F_{t}^{X} ) = P_{x}(W_{t+h} ∈ Γ|F_{t}^{X} ) P_{x} p.n.. Ponadto P_{x}(X_{t} = 0) = P_{x}(W_{t} = 0) = 0, więc P_{h}(X_{t}, Γ) = P̃_{h}(W_{t}, Γ) P_{x} p.n., gdzie P̃_{t} jest funkcją przejścia dla procesu Wienera. Zatem (8) dla x ≠ 0 wynika z własności Markowa dla procesu Wienera. Dla x = 0 mamy natomiast

P_{0}(X_{t+h} ∈ Γ|F_{t}^{X} ) = δ_{0}(Γ) = P_{h}(0, Γ) = P_{h}(X_{t}, Γ) P_{0} p.n..

Pokażemy teraz, że X nie ma mocnej własności Markowa. Określmy

τ := inf{t: X_{t} ∈ Γ}, η := (1 − τ) ∨ 0, A := {τ 1}, Γ := ℝ \ {0}.

Wówczas dla x ≠ 0

P_{x}(A ∩ {X_{τ+η} ∈ Γ}) = P_{x}(τ 1, X_{1} ≠ 0) = P_{x}(τ 1) > 0

oraz

∫_{A} P_{η}(X_{τ}, Γ)dP_{x} = ∫_{τ 1} P_{η}(0, Γ)dP_{x} = 0.□

Twierdzenie 12.5 Załóżmy, że E jest lokalnie zwartą, σ-zwartą przestrzenią metryczną, a (X_{t}, P_{x})_{t 0} jest fellerowską rodziną Markowa o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas X_{t} ma mocną własność Markowa względem F_{t+}^{X} (czyli również względem F_{t}^{X} ).

Dowód. Najpierw zauważmy, iż wystarczy udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ względem F_{t+}^{X} oraz zmiennej losowej F_{τ} mierzalnej η: Ω_{τ} → ℝ_{+} zachodzi

∀_{f∈C_{0} (E)} ∀_{A⊂Ω_{τ} ∩Ω_{η} ,A∈F_{τ}} E_{x}f(X_{τ+η} )I_{A} = E_{x}P^{η}f(X_{τ})I_{A}.  (9)

Istotnie, jeśli zachodzi (9) i Γ ⊂ E jest zbiorem zwartym, to możemy znaleźć funkcję f ∈ C_{0}(E) taką, że f(x) = 1 dla x ∈ Γ oraz 0 f(x) < 1 dla x ∉ Γ. Stosujemy wówczas (9) dla f^{n} w miejsce f, przechodzimy z n do nieskończoności i dostajemy

∀_{Γ⊂Ezwarty} P_{x}(A ∩ {X_{τ+η} ∈ Γ}) = E_{x}P_{η}(X_{τ}, Γ)I_{A}.

Stąd w zwykły sposób (przy użyciu twierdzenia o π − λ układach) dowodzimy, że powyższy warunek zachodzi dla wszystkich Γ ∈ B(E) czyli X_{t} jest mocno markowski.

Tożsamość (9) udowodnimy w trzech krokach.

Krok I. Zmienne τ i η przyjmują przeliczalnie wiele wartości, τ jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{X} , a η i A są F_{τ}^{X} mierzalne. Wówczas (9) zachodzi na mocy Faktu (12.3).

Krok II. Zmienna τ jest momentem zatrzymania względem F_{t+}^{X} , a η jest F_{τ+}^{X} mierzalna, ale przyjmuje jedynie przeliczalnie wiele wartości. Określmy τ_{n} := 2^{−n} (⌊2^{n}τ⌋ + 1), wówczas τ_{n} > τ, τ_{n} przyjmuje tylko wartości 2^{−n} k, k = 1, 2, … oraz ∞. Co więcej τ_{n} jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{X} i F_{τ+}^{X} ⊂ F_{τ_{n}}^{X} . Zatem η oraz A są F_{τ}^{X} mierzalne i na mocy Kroku I,

E_{x}f(X_{τ_{n} +η} )I_{A} = E_{x}P^{η}f(X_{τ_{n}} )I_{A}.

Ponieważ τ_{n} → τ i τ_{n} > τ, więc na mocy prawostronnej ciągłości X dostajemy f(X_{τ_{n} +η} )I_{A} → f(X_{τ+η} )I_{A}). Oszacowanie |f(X_{τ_{n} +η} )I_{A}| ∥f∥ oraz twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej implikuje

E_{x}f(X_{τ_{n} +η} )I_{A} → E_{x}f(X_{τ+η} )I_{A}.

Z drugiej strony dla wszystkich ω, P^{η(ω)} f ∈ C_{0}(E) (fellerowskość), czyli na zbiorze Ω_{τ}, P^{η}f(X_{τ_{n}} ) → P^{η}f(X_{τ}). Zatem w podobny sposób co poprzednio dostajemy

E_{x}P^{η}f(X_{τ_{n}} )I_{A} → E_{x}P^{η}f(X_{τ})I_{A}.

Krok III. Zmienne τ i η spełniają tylko wymagane w definicji założenia. Określamy wówczas η_{n} := 2^{−n} (⌊2^{n}η⌋ + 1) i zauważamy, że η_{n} → η, η_{n} η, σ(η_{n}) ⊂ σ(η) ⊂ F_{τ+}^{X} . Zatem τ i η_{n} spełniają założenia Kroku II, czyli jak już wiemy

E_{x}f(X_{τ+η_{n}} )I_{A} = E_{x}P^{η_{n}} f(X_{τ})I_{A}.

Ponadto z prawostronnej ciągłości f(X_{τ+η_{n}} ) → f(X_{τ+η} ) i jak poprzednio twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej implikuje

E_{x}f(X_{τ+η_{n}} )I_{A} → E_{x}f(X_{τ+η} )I_{A}.

Zauważmy wreszcie, że dla f ∈ C_{0}(E), x ∈ E, funkcja t → P^{t}f(x) jest prawostronnie ciągła (bo P^{t}f(x) = E_{x}f(X_{t}) → E_{x}f(X_{t_{0}} ) przy t → t_{0}+), zatem P^{η_{n}} f(X_{τ})I_{A} → P^{η}f(X_{τ})I_{A} i

E_{x}P^{η_{n}} f(X_{τ})I_{A} → E_{x}P^{η}f(X_{τ})I_{A}.□

Uwaga 12.4 W dowodzie twierdzenia nie korzystaliśmy z tego, że rozważane funkcje znikają w ∞. Zamiast zatem założeń o fellerowskości X możemy zakładać, że P^{t} przeprowadza funkcje ciągłe ograniczone na ciągłe, a E jest dowolną przestrzenią metryczną.

12.1 *Mocna własność Markowa a operatory translacji*

Przypomnijmy, że operator translacji θ_{t} jest zdefiniowany wzorem

∀_{s∈T} X_{s}(θ_{t}ω) = X_{s+t} (ω).  (10)

Definicja 12.2 Jeśli (θ_{t})_{t} jest operatorem translacji, a τ zmienną losową o wartościach w T ∪ {∞}, to definiujemy operator θ_{τ} : Ω_{τ} → Ω wzorem θ_{τ}ω := θ_{τ(ω)} (ω). Dla podzbioru A ⊂ Ω i zmiennej losowe η definiujemy θ_{τ}^{−1} A := {ω ∈ Ω_{τ} : θ_{τ}ω ∈ A} oraz θ_{τ}η(ω) := η(θ_{τ}ω), ω ∈ Ω_{τ}.

Przykłady

• A = {X_{t} ∈ Γ}, θ_{τ}^{−1} (A) = {τ < ∞, X_{t+τ} ∈ Γ};

• B = {∀_{t 0} X_{t} 0}, θ_{τ}^{−1} (B) = {τ < ∞, ∀_{t 0} X_{t+τ} 0} = {τ < ∞, ∀_{t τ} X_{t} 0};

• C = {lim_{t→∞} X_{t} = 0}, θ_{τ}^{−1} (C) = {τ < ∞, lim_{t→∞} X_{t+τ} = 0} = {τ < ∞, lim_{t→∞} X_{t} = 0}.

Fakt 12.6 Załóżmy, że X_{t} jest progresywnie mierzalny względem filtracji F_{t} zawartej w F_{0}^{X} i τ jest momentem zatrzymania. Wówczas

a) Dla A ∈ F_{0}^{X} , θ_{τ}^{−1} A ∈ F_{0}^{X} oraz θ_{τ}^{−1} A nie zależy od wyboru funkcji θ_{t} spełniającej (10).

b) Dla dowolnej zmiennej η, F_{0}^{X} mierzalnej, zmienna θ_{τ}η, określona na Ω_{τ}, jest F_{0}^{X} mierzalna oraz θ_{τ}η nie zależy od wyboru funkcji θ_{t} spełniającej (10).

Dowód. Tak jak w dowodzie Faktu 10.1 wystarczy udowodnić punkt a) dla A = {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, ale wówczas θ_{τ}^{−1} A = {X_{t_{1} +τ} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n} +τ} ∈ Γ_{n}} nie zależy od wyboru θ_{t}. Progresywna mierzalność X implikuje mierzalność X_{t+τ} , stąd θ_{τ}^{−1} A ∈ F_{0}^{X} . □

Fakt 12.7 Jeśli (X_{t}, P_{x}) ma mocną własność Markowa, to

∀_{B∈F_{0}^{X}} P_{x}(θ_{τ}^{−1} B|F_{τ}) = P_{X_{τ}} (B) P_{x} p.n. na zbiorze Ω_{τ}  (11)

(tzn. P_{x}(θ_{τ}^{−1} B ∩ A) = E_{x}P_{X_{τ}} (B)I_{A} dla wszystkich A ∈ F_{τ}, A ⊂ Ω_{τ}).

Dowód. Wystarczy (stosując twierdzenie o π − λ układach) wykazać, że (11) zachodzi dla B = {X_{t_{1}} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ Γ_{n}}, t_{1} < t_{2} < … < t_{n}. Wówczas θ_{τ}^{−1} B = {τ < ∞, X_{t_{1} +τ} ∈ Γ_{1}, …, X_{t_{n} +τ} ∈ Γ_{n}} oraz

P_{x}(θ_{τ}^{−1} B|F_{τ}) = E_{x}(I_{Γ_{1}} (X_{t_{1} +τ} ) ⋯ I_{Γ_{n}} (X_{t_{n} +τ} )|F_{τ}),

P_{X_{τ}} (B) = E_{X_{τ}} (I_{Γ_{1}} (X_{t_{1} +τ} ) ⋯ I_{Γ_{n}} (X_{t_{n} +τ} )).

Wystarczy zatem, że udowodnimy ogólniejszy fakt, że dla dowolnych funkcji mierzalnych ograniczonych f_{1}, …, f_{n} : E → ℝ

E_{x}(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n} +τ} )|F_{τ}) = E_{X_{τ}} (f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n}} )) P_{x} p.n. na zbiorze Ω_{τ}.

(12)

Dla n = 1, (12) wynika z mocnej własności Markowa (dla η = t_{1}). By wykazać krok indukcyjny zauważmy, że na mocy przypadku n = 1

E_{x}(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n} +τ} )|F_{τ}) = E_{x}(E_{x}(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n} +τ} )|F_{t_{n−1} +τ} )|F_{τ})

= E(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n−1} (X_{t_{n−1} +τ} )E_{x}(f_{n}(X_{t_{n} +τ} )|F_{t_{n−1} +τ} )|F_{τ})
= E(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n−1} (X_{t_{n−1} +τ} )g(X_{t_{n−1} +τ} )|F_{τ}),

gdzie g(x) = E_{x}f_{n}(X_{t_{n} −t_{n−1}} ). Zatem na mocy założenia indukcyjnego mamy P_{x} p.n. na zbiorze Ω_{τ}

E_{x}(f_{1}(X_{t_{1} +τ} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n} +τ} )|F_{τ}) = E_{X_{τ}} (f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n−1} (X_{t_{n−1}} )g(X_{t_{n−1}} )).

Ale dla dowolnego y ∈ E

E_{y}(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n}(X_{t_{n}} )) = E_{y}(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n−1} (X_{t_{n−1}} )E_{y}(f_{n}(X_{t_{n}} )|F_{t_{n−1}} ))

= E_{y}(f_{1}(X_{t_{1}} ) ⋯ f_{n−1} (X_{t_{n−1}} )g(X_{t_{n−1}} )),

na mocy własności Markowa. □ Uwaga 12.5 Przy założeniach powyższego faktu, dla dowolnej zmiennej Y ograniczonej i F_{0}^{X} mierzalnej

E_{x}(θ_{τ}Y |F_{τ}) = E_{X_{τ}} Y P_{x} p.n. na zbiorze Ω_{τ}.  (13)

Dowód. Dla Y = I_{B}, (13) wynika z (11), stąd otrzymujemy tezę dla funkcji prostych, a przez jednostajną aproksymację dla dowolnych zmiennych mierzalnych ograniczonych. □

Wniosek 12.8 (Prawo Zero Jedynkowe Blumenthala) Jeśli (X_{t}, P_{x}) ma mocną własność Markowa względem F_{t+}^{X} , to dla dowolnego B ∈ F_{0+}^{X} i x ∈ E zachodzi P_{x}(B) ∈ {0, 1}.

Dowód. Niech τ = 0 i B ∈ F_{0+}^{X} , korzystając z mocnej własności Markowa i Faktu 12.7 dostajemy

P_{x}(B) = P_{x}(B ∩ θ_{0}^{−1} B) = E_{x}P_{X_{0}} (B)I_{B} = E_{x}P_{x}(B)I_{B} = P_{x}(B)^{2}.□

13 Operatory infinitezymalne

W części tej pokażemy, że z każdą półgrupą operatorów da się związać pewien operator zdefiniowany na liniowej (zazwyczaj niedomkniętej) podprzestrzeni. Operator taki nazywamy operatorem infinitezymalnym bądź generatorem półgrupy, gdyż na ogół jednoznacznie wyznacza on półgrupę. Zobaczymy też związki między własnościami półgrup oraz ich generatorów.

Zacznijmy od ogólnej definicji.

Definicja 13.1 Załóżmy, że (F, ∥ · ∥) jest przestrzenią Banacha, a (P^{t})_{t 0} jest półgrupą ograniczonych operatorów liniowych na F (tzn. P^{t}: F → F liniowe ograniczone, P^{t+s} = P^{t}P^{s}, P^{0} = Id). Definiujemy wówczas

D_{A} := \{f ∈ F: lim_{t→0+} \frac{P^{t}f − f}{t} istnieje w F \}

oraz

Af := lim_{t→0+} \frac{P^{t}f − f}{t} , f ∈ D_{A}.

Operator A określony na zbiorze D_{A} nazywamy operatorem infinitezymalnym (generatorem) półgrupy P^{t}, a D_{A} dziedziną generatora A.

Fakt 13.1 Zbiór D_{A} jest podprzestrzenią liniową F, a A: D_{A} → F jest liniowy.

Dowód. Jest to natychmiastowa konsekwencja liniowości granicy, □ Przykłady

1. Załóżmy, że A: F → F jest ograniczonym operatorem liniowym, a

P^{t} := e^{tA} = Id + tA + \frac{t^{2}A^{2}}{2!} + \frac{t^{3}A^{3}}{3!} + . . ..

Wtedy P^{0} = Id,

∥P^{t}∥ 1 + t∥A∥ + \frac{t^{2}∥A∥^{2}}{2!} + \frac{t^{3}∥A∥^{3}}{3!} + … = e^{t∥A∥}

i nieco żmudny, choć standardowy rachunek pokazuje, że P^{t+s} = P^{t}P^{s} czyli P^{t} jest półgrupą ograniczonych operatorów liniowych na F. Mamy

\frac{P^{t}f − f}{t} = Af + \frac{t}{2!}A^{2}f + \frac{t^{2}}{3!}A^{3}f + …,

czyli

∥\frac{P^{t}f − f}{t} − Af∥ \frac{t}{2!}∥A∥^{2}∥f∥ + \frac{t^{2}}{3!}∥A∥^{3}∥f∥ + …

t∥A∥^{2}∥f∥(1 + t∥A∥ + t^{2}∥A∥^{2} + …) = \frac{t∥A∥^{2}∥f∥}{1 − t∥A∥} → 0 przy t → 0 + .

Zatem D_{A} = F oraz generatorem e^{tA} jest A.

2. Dla jednorodnych rodzin Markowa (X_{t}, P_{x}) z przestrzenią stanów E naturalnym wyborem F jest B(E) lub C_{0}(E) dla rodzin fellerowskich. Wówczas P^{t}f(x) = E_{x}f(X_{t}) oraz

Af(x) = lim_{t→0+} \frac{E_{x}f(X_{t}) − f(x)}{t} .

2a) Niech X_{t} = X_{0} +t deterministyczny ruch w prawo. Wówczas dla f: ℝ → ℝ

Af(x) = lim_{t→0+} \frac{f(x + t) − f(x)}{t} = f+^{′} (x) (pochodna prawostronna w x)

oraz

D_{A} = \{f: ℝ → ℝ: lim_{t→0+} \frac{f(x + t) − f(x)}{t} zbiega jednostajnie do funkcji z B(E)\}.

Niech f ∈ D_{A}, wówczas dla t t_{0}, ∥t^{−1} (f(x + t) − f(x)) − Af(x)∥ 1, czyli

sup_{x∈ℝ}|f(x + t) − f(x)| t + t∥Af∥ → 0 gdy t → 0 + .

Stąd łatwo wynika, że f jest funkcją ciągłą, a zatem Af jest granicą jednostajną funkcji ciągłych, czyli też jest funkcją ciągłą. Nietrudno stąd wywnioskować, że

D_{A} = {f: ℝ → ℝ różniczkowalne, o pochodnej ciągłej i ograniczonej}

oraz Af(x) = f′(x) dla f ∈ D_{A}.

2b) Dla procesu Wienera (W_{t}, P_{x}) można udowodnić, że D_{A} zawiera C_{u}^{(2)}(ℝ)

- zbiór funkcji f: ℝ → ℝ dwukrotnie różniczkowalnych ograniczonych o pierwszych dwu pochodnych ograniczonych i jednostajnie ciągłych oraz Af = \frac{1}{2}f′′(x) dla f ∈ C_{u}^{(2)}(ℝ).

Ogólniej dla d wymiarowego procesu Wienera C_{u}^{(2)}(ℝ) ⊂ D_{A} oraz Af = \frac{1}{2}Δf dla f ∈ C_{u}^{(2)}(ℝ^{n}). Uwaga 13.6 Dokładne wyznaczenie D_{A} bywa bardzo trudnym (często beznadziejnym) zadaniem.

13.1 Podprzestrzeń F_{0}, C_{0}-półgrupy

W dalszej części będziemy rozważać jedynie półgrupy kontrakcji tzn. takie, że ∥P^{t}f∥ ∥f∥ dla wszystkich f ∈ F.

Definicja 13.2 Dla półgrupy P^{t} operatorów na przestrzeni Banacha F określmy

F_{0} := {f ∈ F: lim_{t→0+} ∥P^{t}f − f∥ = 0}.

Fakt 13.2 Załóżmy, że P^{t}: F → F jest półgrupą kontrakcji, A: D_{A} → F jest zaś jej generatorem. Wówczas

a) F_{0} jest domkniętą liniową podprzestrzenią F (czyli (F_{0}, ∥·∥) jest przestrzenią Banacha),

b) Dla f ∈ F_{0} funkcja t → P^{t}f jest ciągła na [0, ∞), w szczególności P^{t}F_{0} ⊂ F_{0},

c) D_{A} ⊂ F_{0} oraz AD_{A} ⊂ F_{0} (tzn. jeśli f ∈ D_{A}, to f, P^{t}f ∈ F_{0}.

Dowód. a) Liniowość F_{0} jest oczywista, trzeba wykazać domkniętość. Niech f_{n} ∈ F_{0} takie, że f_{n} → f ∈ F, wtedy

∥P^{t}f −f∥ ∥P^{t}f −P^{t}f_{n}∥+∥P^{t}f_{n} −f_{n}∥+∥f_{n} −f∥ ∥P^{t}f_{n} −f_{n}∥+2∥f_{n} −f∥.

Dla ε > 0 dobierzmy n takie, że ∥f_{n} − f∥ ε/3 i t_{0} takie, że ∥P^{t}f_{n} − f_{n}∥ ε/3 dla t t_{0}. Wówczas ∥P^{t}f −f∥ ε dla t t_{0}, czyli ∥P^{t}f −f∥ → 0 przy t → 0+, więc f ∈ F_{0}.

b) Mamy dla s t

∥P^{t}f − P^{s}f∥ = ∥P^{s}(P^{t−s} f − f)∥ ∥P^{t−s} f − f∥,

skąd łatwo wynika jednostajna ciągłość t → P^{t}f dla f ∈ F_{0}.

c) Niech f ∈ D_{A}, wtedy t^{−1} (P^{t}f − f) jest funkcją zbieżną przy t → 0+, a zatem ograniczoną w otoczeniu zera, czyli ∥t^{−1} (P^{t}f − f)∥ M dla t t_{0}. Stąd ∥P^{t}f − f∥ Mt → 0 przy t → 0+, więc f ∈ F_{0}. Z liniowości F_{0} i punktu b), również t^{−1} (P^{t}f − f) ∈ F_{0} dla t > 0, a zatem Af = lim_{t→0+} t^{−1} (P^{t}f − f) ∈ F_{0} z domkniętości F_{0}. □

Fakt 13.3 Niech P^{t} będzie półgrupą kontrakcji oraz f ∈ D_{A}. Wówczas P^{t}f ∈ D_{A} dla wszystkich t, funkcja t → P^{t}f jest różniczkowalna w sposób ciągły oraz

\frac{d}{dt}P^{t}f = AP^{t}f = P^{t}Af.

Co więcej

P^{t}f = f + ∫_{0}^{t} AP^{s}fds = f + ∫_{0}^{t} P^{s}Afds.

Dowód. Ustalmy f ∈ D_{A}, wtedy

\frac{P^{t+h} f − P^{t}f}{h} = \frac{P^{h}P^{t}f − P^{t}f}{h} = P^{t}(\frac{P^{h}f − f}{h} ).

Zatem z ciągłości P^{t}

lim_{h→0+} \frac{P^{t+h} f − P^{t}f}{h} = P^{t}( lim_{h→0+} \frac{P^{h}f − f}{h} ) = P^{t}Af,

czyli P^{t}f ∈ D_{A} oraz AP^{t}f = P^{t}Af, pokazaliśmy też, że lim_{h→0+} h^{−1} (P^{t+h} f − P^{t}f) = P^{t}Af. Musimy jeszcze policzyć lewostronną pochodną P^{t} czyli

lim_{h→0−} \frac{P^{t+h} f − P^{t}f}{h} = lim_{h→0+} \frac{P^{t−h} f − P^{t}f}{−h} = lim_{h→0+} \frac{P^{t}f − P^{t−h} f}{h} .

Mamy

∥\frac{P^{t}f − P^{t−h} f}{h} − P^{t}Af∥ = ∥P^{t−h} (\frac{P^{h}f − f}{h} − Af)∥ + ∥P^{t−h} (Af − P^{h}Af∥

∥\frac{P^{h}f − f}{h} − Af∥ + ∥Af − P^{h}Af∥ → 0 przy h → 0+,

bo f ∈ D_{A} oraz Af ∈ F_{0}. Zatem wykazaliśmy, że lim_{h→0−} h^{−1} (P^{t+h} f − P^{t}f) = P^{t}Af czyli rzeczywiście \frac{d}{dt}P^{t}f = P^{t}Af = AP^{t}f. Ciągłość pochodnej wynika stąd, że AD_{A} ⊂ F_{0}. Wreszcie ostatnia część faktu wynika z podstawowego twierdzenia analizy matematycznej. □ Uwaga 13.7 Jeśli F_{0} = F to półgrupę nazywamy C_{0} półgrupą. Dla C_{0} półgrup można udowodnić, że D_{A} jest gęste w F oraz, że generator jednoznacznie wyznacza półgrupę tzn. jeśli P^{t} i T^{t} dwie C_{0} półgrupy o tym samym generatorze A: D_{A} → F to P^{t} = T^{t} dla wszystkich t.

Fakt 13.4 (Zasada maksimum) Niech P^{t} będzie półgrupą generowaną przez jednorodny proces Markowa (X_{t}, P_{x}). Wówczas jeśli f ∈ B(E) ma wartość największą w punkcie x (tzn. f(y) f(x) dla wszystkich y ∈ E) oraz f ∈ D_{A} to Af(x) 0.

Dowód. Mamy P^{t}f(x) = E_{x}f(X_{t}) E_{x}f(x) = f(x) czyli

Af(x) = lim_{t→0+} \frac{1}{t}(P^{t}f(x) − f(x)) 0.□

13.2 Rezolwenta

Definicja 13.3 Rezolwentą półgrupy P^{t} naywamy rodzinę operatorów

R_{λ}f := ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t}fdt.

Uwaga 13.8 Całka na R_{λ}f jest dobrze określona i absolutnie zbieżna dla λ > 0 i f ∈ F_{0}. Istotnie, wówczas funkcja t → e^{−λt} P^{t}f jest ciągła, więc możemy ją całkować po przedziałach skończonych. Ponadto

∫_{0}^{∞} ∥e^{−λt} P^{t}f∥dt ∥f∥ ∫_{0}^{∞} e^{−λt} dt = λ^{−1} ∥f∥,

zatem całka jest zbieżna oraz ∥R_{λ}f∥ λ^{−1} ∥f∥.

Uwaga 13.9 Jeśli P^{t} jest półgrupą na B(E) wyznaczoną przez jednorodną rodzinę Markowa (X_{t}, P_{x}) oraz proces X_{t} jest progresywnie mierzalny względem F_{t}^{X} to R_{λ}f(x) jest dobrze określona dla wszystkich f ∈ B(E), x ∈ E. Istotnie jeśli P_{t} jest funkcją przejścia dla X_{t} to jak wykazaliśmy w Fakcie 12.1 funkcja (t, x) → P_{t}(x, Γ) jest mierzalna na (ℝ_{+} × E, B(ℝ_{+} ) ⊗ E). Stąd funkcja (t, x) → P_{t}f jest mierzalna dla f = I_{Γ}, czyli również dla f funcji prostych, a przez jednostajną aproksymację dla dowolnych f ∈ B(E). W szczególności funkcja t → e^{−λt} P^{t}f jest mierzalna dla f ∈ B(E), x ∈ E. Ponadto

∫_{0}^{∞} |e^{−λt} P^{t}f(x) dt ∥f∥_{∞} ∫_{0}^{∞} e^{−λt} dt = λ^{−1} ∥f∥,

czyli rzeczywiście R_{λ}f(x) jest dobrze określona oraz ∥R_{λ}f∥ λ^{−1} ∥f∥.

Przykład Dla procesu Wienera mamy

R_{λ}f(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2πt}} exp(−\frac{(y − x)^{2}}{2t} )f(y)dydt

= ∫_{0}^{∞} f(y) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2πt}} exp(−\frac{(y − x)^{2}}{2t} − λt) = ∫_{0}^{∞} f(y)\frac{1}{\sqrt{2λ}} e^{−\sqrt{2λ} |y−x|} dy,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy nietrywialną tożsamość całkową. Zatem

R_{λ}f(x) = \frac{1}{\sqrt{2λ}} ∫_{−∞}^{∞} f(y)e^{−\sqrt{2λ} |y−x|} dy.

Fakt 13.5 Zachodzi następujące równanie rezolwenty dla λ, μ > 0, λ ≠ μ

R_{μ}R_{λ} = R_{λ}R_{μ} = (μ − λ)^{−1} (R_{λ} − R_{μ}).

Dowód. Mamy

P^{h}R_{λ}f = P^{h} ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t}fdt = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t+h} fdt = e^{λh} ∫_{h}^{∞} e^{−λs} P^{s}fds

oraz

R_{λ}R_{μ}f = ∫_{0}^{∞} e^{−μt} P^{t}R_{λ}f = ∫_{0}^{∞} e^{(λ−μ)t} ∫_{t}^{∞} e^{−λs} P^{s}fdsdt

= ∫_{0}^{∞} P^{s}fe^{−λs} ∫_{0}^{s} e^{(λ−μ)t} dtds = \frac{1}{λ − μ} ∫_{0}^{∞} P^{s}fe^{−λs} (e^{(λ−μ)s} − 1)ds

= \frac{1}{λ − μ} ∫_{0}^{∞} P^{s}f(e^{−μs} − e^{−λs} )ds = \frac{1}{λ − μ} (R_{μ}f − R_{λ}f).□

Uwaga 13.10 Można udowodnić, że jeśli ∫_{0}^{∞} e^{−λt} g(t)dt = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} h(t)dt dla wszystkich λ > 0 oraz g i h są funkcjami ograniczonymi, to g(t) = h(t) dla p.w. t. W szczególności jeśli g i h są ciągłe to g ≡ h. Biorąc f ∈ F_{0} i φ ∈ F^{∗} widzimy, że φ(R_{λ}f) = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} φ(P^{t}f) oraz funkcja t → φ(P^{t}f) jest ciągła. Stąd dostajemy, że rezolwenta wyznacza półgrupę na F_{0}. W szczególności jeśli E jest lokalnie zwarta i σ-zwarta, a proces X_{t} fellerowski taki, że C_{0}(E) ⊂ F_{0}, to rezolwenta wyznacza P^{t}f dla f ∈ C_{0}(E), a zatem również funkcję przejścia dla X_{t}.

Fakt 13.6 Załóżmy, że P^{t} jest półgrupą kontrakcji na F. Wówczas

a) R_{λ} rozpatrywany jako odwzorowanie na F_{0} jest operatorem odwrotnym do λId − A określonego na D_{A}. Dokładniej

f ∈ F_{0} ⇒ R_{λ}f ∈ D_{A} i (λId − A)R_{λ}f = f

oraz

f ∈ D_{A} ⇒ λf − Af ∈ D_{A} i R_{λ}(λId − A)f = f.

b) Jeśli f ∈ F_{0}, to λR_{λ}f → f przy λ → ∞. W szczególności D_{A} jest gęste w F_{0}.

Dowód. a)Niech f ∈ F_{0}, wtedy dla h → 0+

\frac{1}{h}(P^{h}R_{λ}f − R_{λ}f) = \frac{1}{h}(e^{λh} ∫_{h}^{∞} e^{−λt} P^{t}fdt − ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t}fdt)

= \frac{e^{λh} − 1}{h} ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t}fdt − e^{λh} \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} e^{−λt} P^{t}fdt → λR_{λ}f − f,

bo P^{t}f → f przy t → 0+. Zatem jeśli f ∈ F_{0}, to R_{λ}f ∈ D_{A} oraz AR_{λ}f = λR_{λ}f − f, czyli (λId − A)R_{λ}f = f.

Weźmy teraz f ∈ D_{A}, wiemy już, że Af ∈ F_{0}, całkując przez części dostajemy

R_{λ}Af = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} P^{t}Afdt = ∫_{0}^{∞} e^{−λt} \frac{d}{dt}(P^{t}f)dt

= e^{−λt} P^{t}f|_{0}^{∞} − ∫_{0}^{∞} P^{t}f(e^{−λt} )′dt = −f + λR_{λ}f,

czyli R_{λ}(λId − A)f = f.

b) Mamy

λR_{λ}f − f = λ ∫_{0}^{ε} e^{−λt} (P^{t}f − f)dt + λ ∫_{ε}^{∞} e^{−λt} (P^{t}f − f)dt,

zatem

∥λR_{λ}f − f∥ sup_{0 t ε} ∥P^{t}f − f∥ ∫_{0}^{∞} λe^{−λt} dt + λ ∫_{ε}^{∞} e^{−λt} ∥P^{t}f − f∥dt

sup_{0 t ε} ∥P^{t}f − f∥ + 2∥f∥λ_{ε}^{∞} e^{−λt} dt = sup_{0 t ε} ∥P^{t}f − f∥ + 2∥f∥e^{−λε} .

Pierwszy składnik powyższej sumy dąży do zera przy ε → 0+, bo f ∈ F_{0}, a drugi dąży do zera dla ustalonego ε > 0 przy λ → ∞. Czyli istotnie λR_{λ}f → f przy λ → ∞, a ponieważ λR_{λ}f ∈ D_{A}, więc D_{A} jest gęste w F_{0}. □ Uwaga 13.11 Widzimy zatem, że operator A wyznacza rezolwentę na F_{0}, a zatem również i półgrupę P^{t} na F_{0}.

13.3 Twierdzenie Hille’a-Yosidy

W tej części odpowiemy na pytanie jakie warunki musi spełniać operator A, by być generatorem półgrupy kontrakcji.

Twierdzenie 13.7 (Hille,Yosida) Operator liniowy A o dziedzinie D_{A} w przestrzeni F jest generatorem C_{0} półgrupy kontrakcji P^{t} na F wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki

a) zbiór D_{A} jest gęsty w F;

b) dla wszystkich λ > 0 istnieje operator (λId − A)^{−1} określony wszędzie na F;

c) dla wszystkich λ > 0, ∥(λId − A)^{−1} ∥ λ^{−1} . W przypadku gdy F ⊂ B(E) tzn. F jest ppodprzestrzenią funkcji ograniczonych mierzalnych na F, to dodatkowo zachodzi

d) Półgrupa P^{t} jest dodatnia wtedy i tylko wtedy gdy (λId − A)^{−1} jest dodatnie dla wszystkich λ > 0.

e) Dla wszystkich t, P^{t}1 = 1 wtedy i tylko wtedy gdy 1 ∈ D_{A} oraz A1 = 0.

Dowód. Udowodnimy jedynie implikacje ” ⇒ ”, gdyż dowód przeciwnych implikacji jest nieco bardziej skomplikowany i przekracza ramy tego wykładu. Wcześniej jednak już udowodniliśmy, że dla C_{0} półgrupy kontrakcji (λId − A)^{−1} = R_{λ}, ∥R_{λ}∥ λ^{−1} oraz D_{A} jest gęsty w F. Pozostaje więc wykazać odpowiednią część warunków d) i e). Jeśli P^{t} jest dodatnia i f 0, to P^{t}f 0, zatem (λId−A)^{−1} f = R_{λ}f 0. Jeśli zaś P^{t}1 = 1 dla wszytkich t, to oczywiście A1 = 0. □ Uwaga 13.12 W przypadku gdy F = C(E) i E jest przestrzenią zwartą, to warunki b) c) Twierdzenia 13.7 można równoważnie wyrazić jako b’)∀_{λ>0} ∀_{f∈C(E)} ∃_{F ∈C(E)} λF − AF = f; c’) spełniona jest zasada maksimum.

Dowód. Wykażemy tylko, że warunki b’)i c’) implikują b) i c). Zacznijmy od wykazania, że rozwiązanie równania z b’) jest jednoznaczne - jeśli λF −AF = f = λG − AG oraz F ≠ G, to bez straty ogólności możemy założyć, że F (x) > G(x) dla pewnego x ∈ E. Na mocy zwartości E istnieje punkt x_{0} ∈ E taki, że F (x_{0}) − G(x_{0}) = max_{x∈E} (F (x) − G(x)). Z zasady maksimum wnioskujemy, że λ(F − G)(x_{0}) = A(F − G)(x_{0}) 0, co daje sprzeczność, czyli zachodzi b).

Niech f ∈ C(E) oraz F := (λId − A)^{−1} f, czyli f = (λId − A)F. Załóżmy, że ∥f∥ 1 i niech x_{0} ∈ f będzie takie, że F (x_{0}) = max_{x} F (x). Wówczas na mocy zasady maksimum AF (x_{0}) 0, ale AF (x_{0}) = λF − f λF (x_{0}) − 1, zatem F (x_{0}) λ^{−1} . Wykazaliśmy więc, że max_{x∈E} F (x) λ^{−1} . Analogicznie, rozpatrując zasadę maksimum dla −F dowodzimy, że max_{x∈E} (−F (x)) λ^{−1} , więc max_{x∈E} |F (x)| λ^{−1} , czyli ∥F ∥ λ^{−1} ∥f∥, co dowodzi punktu c). □