Procesy Stochastyczne I

Rafał Latała

4 kwietnia 2003

Wstęp

Poniższy tekst zawiera notatki do wybranych wykładów z Procesów Stochastycznych I, prowadzonych na wiosnę 2002 i 2003 roku. Zasadniczo wykład oparto o podręcznik [8], choć oczywiście dokonano znacznych skrótów, jak również uzupełnień i modyfikacji, szczególnie w pierwszych rozdziałach.

U czytelnika zakłada się znajomość podstawowych faktów z zakresu kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie potrzebne wiadomości można znaleźć w podręcznikach [2] i [4]. Pewne istotne dla zrozumienia wykładów twierdzenia, nie zawsze dowodzone podczas kursowych wykładów, zebrano w dodatkowym rozdziale A. Gwiazdkami oznaczono paragrafy dla których zabrakło czasu w trakcie wykładów i których znajomość nie będzie wymagana podczas egzaminu, choć mile widziana.

Autor z góry przeprasza za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące się pojawić w tekście i jednocześnie zwraca się z prośbą do czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o ich zakomunikowanie osobiste lub wysłanie na adres emailowy rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek (daty), której dotyczą.

1 Podstawowe Przykłady Procesów Stochastycznych

Zaczniemy od podania podstawowych definicji używanych podczas całego wykładu. Podamy też dwa podstawowe przykłady procesów stochastycznych - proces Poissona i proces Wienera.

Definicja 1.1 Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, (E, E) przestrzenią mierzalną, zaś T dowolnym zbiorem. Procesem stochastycznym o wartościach w E, określonym na zbiorze T nazywamy rodzinę zmiennych losowych X = (X_{t})_{t∈T} .

Uwaga 1.1 W zasadzie w czasie całego wykładu T będzie podzbiorem ℝ (najczęściej przedziałem ograniczonym lub nie), zaś E = ℝ lub ℝ^{d}. Parametr t można wówczas interpretować jako czas.

Definicja 1.2 Trajektorią procesu X nazywamy funkcję (losową!) t → X_{t}(ω), określoną na zbiorze T o wartościach w E.

Definicja 1.3 Powiemy, że proces X = (X_{t})_{t∈T} , T ⊂ ℝ ma przyrosty niezależne jeśli dla dowolnych indeksów t_{0} t_{1} … t_{n} ze zbioru T, zmienne losowe X_{t_{0}} , X_{t_{1}} − X_{t_{0}} , X_{t_{2}} − X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} są niezależne.

1.1 Proces Poissona

Definicja 1.4 Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N_{t})_{t 0} taki, że

N_{0} = 0;  (P0)
N ma przyrosty niezależne  (P1)
Dla 0 s t zmienna N_{t} − N_{s} ma rozkład Poiss(λ(t − s)) ;  (P2)
Trajektorie N są prawostronnie ciągłe.  (P3)

Uwaga 1.2 Warunek (P3) oznacza, że dla wszystkich ω ∈ Ω, t → N_{t}(ω) jest funkcją prawostronnie ciągłą na [0, ∞). Czasami w definicji procesu Poissona zakłada się, że prawie wszystkie trajektorie są prawostronnie ciągłe.

Uwaga 1.3 Proces Poissona (jak i zdefiniowany dalej proces Wienera) stanowią dwa podstawowe przykłady tak zwanych procesów Levy’ego. Procesy te mają przyrosty niezależne i stacjonarne oraz prawostronnie ciągłe trajektorie z lewostronnymi granicami.

Definicja 1.5 Mówimy, że proces stochastyczny (X_{t})_{t 0} ma przyrosty stacjonarne jeśli rozkład X_{t} − X_{s} zależy tylko od t − s czyli

∀_{t>s 0} X_{t} − X_{s} ∼ X_{t−s} − X_{0}.

Uwaga 1.4 Warunki (P0)-(P3) implikują, że prawie wszystkie trajektorie N są niemalejącymi prawostronnie ciągłymi funkcjami o wartościach w ℤ_{+} ze skokami o wartości 1.

1.1.1 Konstrukcja procesu Poissona

Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ (czyli mają gęstość λe^{−λt} I_{t 0} ) określamy

N_{t} = sup{n : S_{n} t}, gdzie  (1)

S_{0} = 0, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} X_{k}, n = 1, 2, . . ..

Twierdzenie 1.1 Proces stochastyczny (N_{t})_{t 0} zdefiniowany wzorem (1) jest procesem Poissona z intensywnością λ.

Warunki (P0) i (P3) są spełnione w oczywisty sposób, wystarczy więc sprawdzić (P1) i (P2). Najpierw udowodnimy pewien techniczny lemat.

Lemat 1.2 Załóżmy, że h: ℝ_{+} → ℂ jest funkcją taką, że |h| 1 oraz h(u) = 1 dla u u_{0}. Wówczas zmienna losowa Y = ∏ _{k=1}^{∞} h(S_{k}) jest dobrze określona, całkowalna oraz

EY = exp(λ ∫_{0}^{∞} (h(u) − 1)du).

Dowód. Ponieważ prawie na pewno S_{k} → ∞, więc h(S_{k}) = 1 dla dużych k, czyli zmienna Y jest dobrze określona, a ponieważ |Y | 1 więc jest również całkowalna. Stosując twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej dostajemy

EY = lim_{n→∞} E ∏_{k=1}^{n} h(S_{k}).

Liczymy stosując zamianę zmiennych

E ∏_{k=1}^{n} h(S_{k}) = ∫_{0}^{∞} …∫_{0}^{∞} h(x_{1}) ⋯ h(x_{1} + … + x_{n})λ^{n}e^{−λ(x_{1} +...+x_{n} )} dx_{1} …dx_{n}

= λ^{n} ∫_{0}^{∞} h(u_{n})e^{−λu_{n}} (  ∫ …∫_{0 u_{1} u_{2} ... u_{n−1} u_{n}}  h(u_{1}) ⋯ h(u_{n−1} )du_{1} …du_{n−1} )du_{n}

= \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{∞} h(u_{n})e^{−λu_{n}} (∫_{0}^{u_{n}} …∫_{0}^{u_{n}} h(u_{1}) ⋯ h(u_{n−1} )du_{1} …du_{n−1} )du_{n}

= \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{∞} h(u)e^{−λu} (∫_{0}^{u} h(s)ds)^{n−1} du,

gdzie w przedostatniej linijce skorzystaliśmy z tego, że funkcja h(u_{1}) ⋯ h(u_{n−1} ) jest symetryczna względem permutacji zmiennych u_{1}, …, u_{n−1} . Połóżmy A := ∫_{0}^{∞} (h(u) − 1)du, wtedy wobec założenia iż h(u) = 1 dla u u_{0} dostajemy

∫_{0}^{u} h(s)ds = u + ∫_{0}^{u}(h(s) − 1)ds = u + A dla u u_{0}.

Stąd

E ∏_{k=1}^{n} h(S_{k}) = \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{u_{0}} h(u)e^{−λu} (∫_{0}^{u} h(s)ds)^{n−1} du

+\frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{u_{0}}^{∞} e^{−λu} (u + A)^{n−1} du = I_{n} + II_{n}.

Zauważmy, że |h(u)| 1 czyli | ∫_{0}^{u} h(s)ds| u, a zatem

|I_{n}| \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{u_{0}} u^{n−1} e^{−λu} \frac{λ^{n}u_{0}^{n−1}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{∞} e^{−λu} = \frac{(λu_{0})^{n−1}}{(n − 1)!} → 0.

By policzyć lim_{n→∞} II_{n} zauważmy, że

\frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{∞} (u + A)^{n−1} e^{−λu} du = \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − 1}{k} A^{k} ∫_{0}^{∞} u^{n−1−k} e^{−λu} du

= ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − 1}{k} \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} A^{k}λ^{−n+k} (n − k − 1)! = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{λ^{k}A^{k}}{k!} → e^{λA}

oraz

|\frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{u_{0}} (u + A)^{n−1} e^{−λu} du| \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} (u_{0} + |A|)^{n−1} ∫_{0}^{∞} e^{−λu} du

= \frac{λ^{n−1} (u_{0} + |A|)^{n−1}}{(n − 1)!} → 0.

Czyli

EY = lim_{n→∞} \frac{λ^{n}}{(n − 1)!} ∫_{0}^{∞} (u + A)^{n−1} e^{−λu} du = e^{λA} .□

Wniosek 1.3 Załóżmy, że B_{1}, B_{2}, …, B_{n} są rozłącznymi, ograniczonymi podzbiorami ℝ_{+} oraz określmy

N(B_{i}) = #{k : S_{k} ∈ B_{i}} = ∑_{k=1}^{∞} I_{B_{i}} (S_{k}).

Wówczas N(B_{1}), …, N(B_{n}) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poiss(λm(B_{k})), gdzie m oznacza miarę Lebesgue’a.

Dowód. Policzymy wielowymiarową funkcję charakterystyczną

E exp(i ∑_{k=1}^{n} t_{k}N(B_{k})) = E ∏_{k=1}^{∞} h(S_{k}), gdzie

h(x) = \{ \begin{matrix}e^{it_{k}} & x ∈ B_{k} \\ 1 & x ∉ B_{1} ∪ … ∪ B_{n} \end{matrix} .

Mamy

∫_{0}^{∞} (h(u) − 1)du = ∑_{k=1}^{n} ∫_{B_{k}} (e^{it_{k}} − 1)du = ∑_{k=1}^{n} m(B_{k})(e^{it_{k}} − 1),

czyli na mocy Lematu 1.2

E exp(i ∑_{k=1}^{n} t_{k}N(B_{k})) = exp(λ ∑_{k=1}^{n} m(B_{k})(e^{it_{k}} − 1)).

W szczególności

E exp(itN(B_{k})) = exp(λm(B_{k})(e^{it} − 1)) = E exp(itPoiss(λm(B_{k}))),

czyli N(B_{k}) ma rozkład Poiss(λm(B_{k})), ponadto

E exp(i ∑_{k=1}^{n} t_{k}N(B_{k})) = ∏_{k=1}^{n} exp(it_{k}N(B_{k})),

a zatem N(B_{1}), …, N(B_{n}) są niezależnymi zmiennymi losowymi. □

Dowód Twierdzenia 1.1. Zauważmy, że przy oznaczeniach z Wniosku mamy N_{t} = N([0, t]) oraz N_{t} − N_{s} = N((s, t]) dla s < t. Stąd warunki (P1) i (P2) w oczywisty sposób wynikają z Wniosku.□

1.1.2 *Złożony Proces Poissona*

Trajektorie procesu Poissona są prawostronnie ciągłe, kawałkami stałe, odległości między skokami są zmiennymi niezależnymi o rozkładzie wykładniczym oraz wszystkie skoki są równe 1. Jeśli odrzucimy ten ostatni warunek, a założymy, iż kolejne skoki są zmiennymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie to otrzymamy tzw. złożony proces Poissona.

Definicja 1.6 Załóżmy, że Δ_{1}, Δ_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a (N_{t})_{t 0} procesem Poissona z intensywnością λ niezależnym od zmiennych Δ_{i}. Wówczas proces N^{Δ} = (N_{t}^{Δ} )_{t 0} dany wzorem

N_{t}^{Δ} = \{ \begin{matrix}0 & N_{t} = 0 \\ ∑ _{n=1}^{N_{t}} Δ_{n} & N_{t} > 0 \end{matrix}

nazywamy złożonym procesem Poissona.

Zauważmy, że rozkład złożonego procesu Poissona jest wyznaczony przez dwa parametry - intensywność skoków λ i rozkład pojedynczego skoku Δ_{1}. Wygodnie jest zakładać, że P(Δ_{1} = 0) = 0, by uniknąć sytuacji ”pozornego skoku”. Zwykły proces Poissona odpowiada sytuacji, gdy P(Δ_{1} = 1) = 1.

Używająć Lematu 1.2 można bez trudu wykazać, że

Fakt 1.4 Niech N^{Δ} będzie złożonym procesem Poissona. Wówczas N_{0}^{Δ} = 0, N^{Δ} ma przyrosty niezależne i stacjonarne oraz trajektorie prawostronne ciągłe, kawałkami stałe. Odległości między poszczególnymi skokami są zmiennymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym.

1.1.3 *Charakteryzacje Procesu Poissona*

Fakt 1.5 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t 0} jest procesem stochastycznym takim, że X_{0} = 0, X ma przyrosty niezależne i stacjonarne oraz trajektorie niemalejące, prawostronnie ciągłe, o wartościach całkowitych, skokach równych 1 oraz zbiegające do ∞ w ∞. Wówczas X jest procesem Poissona.

Idea dowodu polega na tym, że X_{t} jest sumą przyrostów X_{kt/n} − X_{(k+1)t/n} . Przyrosty te mają jednakowe rozkłady, są niezależne i mają wartości całkowite nieujemne. Pokazuje się, że jak n jest duże to z prawdopodobieństwem bliskim 1 wszystkie przyrosty przyjmują tylko wartości 0 lub 1. Zatem X_{t} aproksymuje się przez rozkład Bernoulliego Bin(n, p_{n}). Pokazujemy dalej, że np_{n} jest ograniczone czyli przechodząć do podciągu n_{k}p_{n_{k}} → λ(t), a stąd X_{t} ma rozkład Poissona z parametrem λ(t). Dalej już łatwo dowodzimy, że λ(t) jest funkcją liniową, niemalejącą, czyli jest postaci λt.

Prawdziwe jest znacznie ogólniejsze twierdzenie charakteryzujące złożone procesy Poissona.

Twierdzenie 1.6 Załóżmy, że dany jest proces stochastyczny X = (X_{t})_{t 0} taki, że X_{0} = 0, X ma przyrosty niezależne i stacjonarne oraz trajektorie prawostronnie ciągłe, kawałkami stałe, ze skończoną liczbą skoków w każdym przedziale skończonym. Wówczas X jest złożonym procesem Poissona.

1.2 Proces Wienera (Ruch Browna)

Definicja 1.7 Procesem Wienera (Ruchem Browna) nazywamy proces stochastyczny W = (W_{t})_{t 0} taki, że

W_{0} = 0;  (W0)
W ma przyrosty niezależne;  (W1)
Dla 0 s t zmienna W_{t} − W_{s} ma rozkład normalny N (0, t − s) ; (W2)
Trajektorie W są ciągłe.  (W3)

Uwaga 1.5 Warunek (W3) oznacza, że dla wszystkich ω ∈ Ω, t → W_{t}(ω) jest funkcją ciągłą na [0, ∞). Czasami w definicji procesu Wienera zakłada się, że prawie wszystkie trajektorie są prawostronnie ciągłe.

1.2.1 *Konstrukcja Procesu Wienera*

W dalszej części wykładu podamy dość długą konstrukcję procesu Wienera opartą o ogólniejsze twierdzenia dotyczące istnienia i ciągłości trajektorii procesów stochastycznych. W tym paragrafie jedynie naszkicujemy alternatywną konstrukcję.

Najpierw zdefiniujemy pewne dwa ważne układy funkcji.

Definicja 1.8 Niech I(0) = {1}, I(n) = {1, …, 2^{n−1} }, n = 1, 2, . . .. Układem Haara nazywamy rodzinę funkcji (h_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} określonych na [0, 1] wzorami h_{0,1}(t) ≡ 1 oraz

h_{n,k} (t) = \{ \begin{matrix}2^{\frac{n−1}{2}} & (2k − 2)2^{−n} t < (2k − 1)2^{−n} \\ −2^{\frac{n−1}{2}} & (2k − 1)2^{−n} t < 2k2^{−n} \\ 0 & w pozostałych przypadkach \end{matrix} , n = 1, 2, …, k ∈ I(n).

Definicja 1.9 Przy oznaczeniach poprzedniej definicji układem Schaudera nazywamy rodzinę funkcji (S_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} określonych na [0, 1] wzorem S_{n,k} (t) = ∫_{0}^{t} h_{n,k} (s)ds.

Fakt 1.7 a) Układ Haara jest bazą ortonormalną przestrzeni L^{2}[0, 1].

b) Dla ustalonego n 1, funkcje (S_{n,k} )_{k∈I(n)} mają rozłączne nośniki oraz ∥S_{n,k} ∥_{∞} = 2^{−(n+1)/2} .

Uwaga 1.6 Układ Haara jest bazą Schaudera w przestrzeniach L^{p}[0, 1], 1 p < ∞. Po dodaniu funkcji stale równej 1, układ Schaudera staje się bazą Schaudera przestrzeni C[0, 1].

Fakt 1.8 Dla dowolnych t, s ∈ [0, 1] mamy

∑_{n=0}^{∞} ∑_{k∈I(n)} S_{n,k} (t)S_{n,k} (s) = min(t, s).

Niech (g_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} będzie rodziną niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N (0, 1), połóżmy

W_{t}^{(n)} (ω) = ∑_{m=0}^{n} ∑_{k∈I(m)} g_{m,k} (ω)S_{m,k} (t).

Twierdzenie 1.9 Dla prawie wszystkich ω ∈ Ω ciąg funkcji (W_{t}^{(n)} (ω)) zbiega jednostajnie na [0, 1] do pewnej funkcji ciągłej W_{t}(ω). Jeśli określimy np. W_{t}(ω) = 0 dla pozostałych ω to tak zdefiniowany proces stochastyczny jest procesem Wienera na [0,1].

Uwaga 1.7 Mając dany proces Wienera (W_{t})_{t∈[0,1]} nietrudno skonstruować proces Wienera na całej prostej. Można np. sprawdzić, że ((1+t)W_{\frac{1}{1+t}} −W_{1})_{t 0} jest takim procesem.

1.2.2 *Charakteryzacje procesu Wienera*

Zaczniemy od następującego dość łatwego twierdzenia:

Twierdzenie 1.10 Załóżmy, że proces stochastyczny (X_{t})_{t 0} spełnia warunki (W0), (W1), (W3) (z X w miejsce W) oraz

X ma przyrosty stacjonarne;  (W2a)
EX_{1} = 0, Var(X_{1}) = 1  (W2b)

i

∀_{t 0} EX_{t}^{4} < ∞.  (W2c)

Wówczas W_{t} jest procesem Wienera.

Idea dowodu polega na użyciu Centralnego Twierdzenia Granicznego w wersji Lindeberga-Levy’ego. Najpierw dowodzimy, że funkcje a(t) = EX_{t} i b(t) = Var(X_{t}) są liniowe, z warunku (W2c) pokazujemy, że są ciągłe, a stąd wobec normalizacji (W2b) mamy a(t) = 0, b(t) = t. Następnie przedstawiamy

X_{t} = ∑_{k=1}^{n} (X_{kt/n} − X_{(k−1)t/n} )

i pokazujemy, że układ trójkątny (X_{kt/n} − X_{(k−1)/n} )_{1 k n, n=1,2,...} spełnia warunek Lindeberga (znowu używając warunku (W2c)).

Uwaga 1.8 Warunek (W2c) nie jest konieczny - zob. Twierdzenie 5 z paragrafu 13.1 ksiązki [4].

Okazuje się, że również nie trzeba zakładać skończoności wariancji ani nawet istnienia wartości średniej W_{1} - warunek (W2b) ma charakter czysto normalizacyjny. Dokładniej zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.11 Załóżmy, że proces stochastyczny X = (X_{t})_{t 0} spełnia warunki (W0),(W1),(W2a) i (W3). Wówczas istnieją stałe a, b ∈ ℝ i proces Wienera W takie, że X_{t} = aW_{t} + bt dla wszystkich t 0.

1.2.3 Nieróżniczkowalność trajektorii

Trajektorie procesu Wienera mają wiele ciekawych własności, część z nich poznamy później. Obecnie pokażemy, że mimo iż są ciągłe to z prawdopodobieństwem 1 nie są różniczkowalne w żadnym punkcie.

Twierdzenie 1.12 Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera (W_{t})_{t 0} są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie tzn.

P(∃_{t_{0} 0} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne wt_{0}) = 0.

Dowód. Najpierw pokażemy nieróżniczkowalność trajektorii na [0, 1) tzn.

P(∃_{t_{0} ∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Zauważmy, że jeśli funkcja f: [0, 1] → ℝ jest różniczkowalna w t_{0} ∈ [0, 1) oraz |f′(t_{0})| < M to |f(t) − f(t_{0})| M|t − t_{0}| dla |t − t_{0}| ε. Zatem jeśli j/n t_{0} < (j + 1)/n to dla dostatecznie dużych n

|f(\frac{j + 1}{n} ) − f(\frac{j}{n})| |f(\frac{j + 1}{n} ) − f(t_{0})| + |f(t_{0}) − f(\frac{j}{n})| M(\frac{1}{n} + \frac{1}{n}) = \frac{2M}{n} ,

|f(\frac{j + 2}{n} )−f(\frac{j + 1}{n} )| |f(\frac{j + 2}{n} )−f(t_{0})|+|f(t_{0})−f(\frac{j + 1}{n} )| M(\frac{2}{n}+\frac{1}{n}) = \frac{3M}{n}

oraz

|f(\frac{j + 3}{n} )−f(\frac{j + 2}{n} )| |f(\frac{j + 3}{n} )−f(t_{0})|+|f(t_{0})−f(\frac{j + 2}{n} )| M(\frac{3}{n}+\frac{2}{n}) = \frac{5M}{n} .

Stąd jeśli funkcja f jest różniczkowalna w jakimś punkcie przedziału [0, 1) to

∃_{M<∞} ∃_{m<∞} ∀_{n m} ∃_{0 j n−3} ∀_{k=0,1,2} |f(\frac{j + k + 1}{n} ) − f(\frac{j + k}{n} )| \frac{5M}{n} .

Czyli P(∃_{t_{0} ∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0})

P( ⋃_{M=1}^{∞} ⋃_{m=1}^{∞} ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} )

∑_{M=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} P( ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} ).

Z niezależności przyrostów dostajemy

P(⋂_{k=0}^{2} |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} ) = ∏_{k=0}^{2} P(|W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} )

= (P(|W_{\frac{1}{n}} | \frac{5M}{n} ))^{3} = (P(\frac{1}{\sqrt{n}}|W_{1}| \frac{5M}{n} ))^{3}

= (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−5M/\sqrt{n}}^{5M/\sqrt{n}} e^{−x^{2} /2} dx)^{3} (\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{10M}{\sqrt{n}} )^{3} \frac{1000M^{3}}{n^{3/2}} .

Zatem

P( ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} ) ∑_{j=0}^{n−3} \frac{1000M^{3}}{n^{3/2}} \frac{1000M^{3}}{\sqrt{n}} ,

czyli

P( ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} ) = 0

i

P(∃_{t_{0} ∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Nieznacznie modyfikując poprzedni dowód albo używając faktu, że W̃_{t} = T^{−1/2} W_{tT} też jest procesem Wienera oraz w oczywisty sposób nieróżniczkowalność W na [0, 1) jest równoważna nieróżniczkowalności W̃ na [0, T) dostajemy, że

P(∃_{t_{0} ∈[0,T)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Wreszcie

P(∃_{t_{0} >0} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0})
= lim_{N→∞} P(∃_{t_{0} ∈[0,N)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.□

Uwaga 1.9 Dokładna analiza przedstawionego dowodu pokazuje, że nie wykazaliśmy mierzalności zdarzenia {∃_{t_{0} 0} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}}, a jedynie to, że jest ono podzbiorem pewnego zdarzenia miary zero. By uniknąć kłopotów technicznych podobnego rodzaju wygodnie jest przyjąć, że przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P) jest zupełna tzn. dowolny podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny (każdą przestrzeń probabilistyczną można rozszerzyć do przestrzeni zupełnej).

2 Rozkłady Procesów Stochastycznych

W tej części zdefiniujemy rozkład procesu stochastycznego, w szczególności powiemy jakie zdarzenia określone przez proces są mierzalne. Udowodnimy również, że rozkład procesu jest wyznaczony przez rozkłady skończenie wymiarowe oraz sformułujemy warunki jakie muszą spełniać rozkłady skończenie wymiarowe, by istniał proces o zadanych rozkładach.

Przypomnijmy najpierw, że jeśli X jest zmienną losową o wartościach w przestrzeni (E, E) to rozkład X jest to miara probabilistyczna na (E, E) zadana wzorem

μ_{X} (A) := P(X ∈ A), A ∈ E.

Dowody twierdzeń z tej części mają dość techniczny charakter. By uniknąć dodatkowych komplikacji mogących niepotrzebnie zaciemnić obraz sytuacji będziemy zakładać, że proces przyjmuje wartości w przestrzeni E = ℝ, czytelnik natychmiast powinien zauważyć, że równie dobrze można było przyjąć E = ℝ^{d}, pod koniec zaś napiszemy jakie naprawdę własności E wykorzystywaliśmy w dowodach.

Definicja 2.1 Dla procesu (X_{t})_{t∈T} o wartościach w ℝ i {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T określamy miarę μ_{t_{1} ,...,t_{n}} na ℝ^{n} wzorem

μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A) := P((X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} ) ∈ A), A ∈ B(ℝ^{n}).

Rodzinę miar (μ_{t_{1} ,...,t_{n}} )_{n=1,2,...,{t_{1} ,...,t_{n} }⊂T} nazywamy rodziną skończenie wymiarowych rozkładów procesu X.

2.1 σ-algebra zbiorów cylindrycznych

Proces X = (X_{t})_{t∈T} możemy traktować jako zmienną losową o wartościach w ℝ^{T}. Jakie podzbiory ℝ^{T} są wówczas na pewno mierzalne?

Definicja 2.2 Zbiory postaci

{x ∈ ℝ^{T} : (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ A)}, {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T, A ∈ B(ℝ^{n})

nazywamy zbiorami cylindrycznymi. Przez B(ℝ^{T}) będziemy oznaczać najmniejszą σ-algebrę zawierającą zbiory cylindryczne i będziemy ją nazywać σ-algebrą zbiorów cylindrycznych.

Zauważmy, że

B(ℝ^{T}) = σ({x ∈ ℝ^{T}: x_{t} ∈ A}, t ∈ T, A ∈ B(ℝ)).

Definicja 2.3 Rozkładem procesu X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy miarę probabilistyczną μ_{X} na B(ℝ^{T}) daną wzorem

μ_{X} (C) = P((X_{t})_{t∈T} ∈ C), C ∈ B(ℝ^{T}).

Przykłady

1. Zbiory {x_{t} > x_{s}}, {x_{t_{1}} > 0, x_{t_{2}} − x_{t_{1}} > 0, …, x_{t_{n}} − x_{t_{n−1}} > 0} czy {∀_{t<s,t,s∈ℚ_{+}} x_{t} > x_{s}} należą do B(ℝ^{[0,∞)} );

2. Zbiór {sup_{t∈T} |x_{t}| 1} nie należy do B(ℝ^{T}) gdy T jest nieprzeliczalny, podobnie {t → x_{t} ciągłe} nie należy do B(ℝ^{T}), gdy T jest nietrywialnym przedziałem.

Fakt 2.1 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} i Y = (Y_{t})_{t∈T} dwa procesy o tych samych skończenie wymiarowych rozkładach czyli

P((X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} ) ∈ A) = P((Y_{t_{1}} , …, Y_{t_{n}} ) ∈ A)

dla wszystkich {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T, A ∈ B(ℝ^{n}). Wówczas X i Y mają ten sam rozkład tzn.

∀_{C∈B(ℝ^{T} )} P(X ∈ C) = P(Y ∈ C).

Dowód. Rodzina zbiorów cylindrycznych A tworzy π-system, a rodzina zbiorów C takich, że P(X ∈ C) = P(Y ∈ C) jest λ-systemem zawierającym A, a więc z twierdzenia o π-λ systemach zawiera również σ algebrę generowaną przez A czyli B(ℝ^{T}).□

Uwaga 2.1 Załóżmy, że T jest przedziałem (skończonym lub nie). Na przestrzeni funkcji ciagłych C(T) rozpatrzmy topologię zbieżności niemal jednostajnej. Wówczas B(ℝ^{T}) ∩ C(T) = B(C(T)) co oznacza, że jeśli proces X = (X_{t})_{t∈T} ma ciągłe trajektorie to X wyznacza rozkład probabilistyczny na przestrzeni funkcji ciągłych (C(T), B(C(T))). W szczególności np. proces Wienera wyznacza pewien rozkład probabilistyczny na C[0, ∞).

2.2 Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu

Definicja 2.4 Powiemy, że rodzina skończenie wymiarowych rozkładów (μ_{t_{1} ,...,t_{n}} ), n = 1, 2, …, {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T spełnia warunki zgodności, jeśli

• Dla dowolnych {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} ⊂ T, dowolnej permutacji i_{1}, …, i_{n} liczb 1, …, n oraz zbiorów A_{i} ∈ B(ℝ)

μ_{t_{i_{1}} ,...,t_{in}} (A_{i_{1}} × A_{i_{2}} × … × A_{i_{n}} ) = μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n});

• Dla dowolnych {t_{1}, t_{2}, …, t_{n+1} } ⊂ T oraz A_{i} ∈ B(ℝ)

μ_{t_{1} ,...,t_{n} ,t_{n+1}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n} × ℝ) = μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n}).

Oczywiście rodzina rozkładów skończenie wymiarowych dowolnego procesu spełnia warunki zgodności. Okazuje się, że są to jedyne warunki jakie należy nałożyć na taką rodzinę.

Twierdzenie 2.2 Załóżmy, że dana jest rodzina skończenie wymiarowych rozkładów (μ_{t_{1} ,...,t_{n}} )_{n=1,2,...,{t_{1} ,...,t_{n} }⊂T} spełniająca warunki zgodności. Wówczas istnieje proces (X_{t})_{t∈T} mający skończenie wymiarowe rozkłady równe μ_{t_{1} ,...,t_{n}} .

Dowód. W dowodzie wykorzystamy twierdzenie Caratheodory’ego o przedłużaniu miary (zob. Twierdzenie A.2). Niech A oznacza algebrę zbiorów cylindrycznych. Dla C ∈ A, C = {x: (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ A)}, A ∈ B(ℝ^{n}) połóżmy μ_{0}(C) = μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A). Zauważmy, że

• z warunków zgodności wynika, że μ_{0} jest dobrze zdefiniowane tzn. μ_{0}(C) nie zależy od wyboru t_{1}, …, t_{n} i A reprezentujących C.

• μ_{0} jest skończenie addytywna. Istotnie jeśli C_{1}, …, C_{k} ∈ A to można dobrać odpowiednio duży zbiór indeksów {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T taki, że zbiory C_{1}, …, C_{k} zależą tylko od t_{1}, …, t_{n} tzn.

C_{i} = {x: (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ A_{i}}, A_{i} ∈ B(ℝ^{n}).

Jeśli zbiory C_{1}, …, C_{k} są rozłączne to oczywiście również zbiory A_{1}, …, A_{k} są rozłączne a zatem

μ_{0}(⋃_{i=0}^{k} C_{i}) = μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (⋃_{i=0}^{k} A_{i}) = ∑_{i=0}^{k} μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A_{i}) = ∑_{i=0}^{k} μ_{0}(C_{i}).

By zakończyć dowód musimy wykazać warunek (C) z twierdzenia Caratheodory’ego czyli

jeśli C_{1} ⊃ C_{2} ⊃ …, C_{n} ∈ A, μ_{0}(C_{n}) ε > 0 to ⋂_{n=1}^{∞} C_{n} ≠ ∅.

Przypomnijmy, że każda miara μ na (ℝ^{n}, B(ℝ^{n})) jest regularna (np. [6], Twierdzenie 2.18) tzn.

μ(A) = sup{μ(K) : K ⊂ A, K zwarte}, A ∈ B(ℝ^{n}).

Zbiory C_{n} są cylindryczne czyli zależą tylko od skończonego zbioru indeksów. Możemy założyć, że te zbiory indeksów rosną, co więcej ewentualnie powtarzając zbiory C_{i} lub dodając indeksy możemy zakładać, że istnieje ciąg t_{1}, t_{2}, … z T taki, że

C_{n} = {x: (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ A_{n}}, A_{n} ∈ B(ℝ^{n}).

Z regularności istnieją zbiory zwarte K_{n} ⊂ A_{n} takie, że

μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A_{n} \ K_{n}) \frac{ε}{2^{n+1}} , n = 1, 2, . . ..

Przyjmijmy D_{n} := {x : (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ K_{n}}, wtedy μ_{0}(C_{n} \ D_{n}) 2^{−n−1} ε. Niech

D̃_{n} := D_{1} ∩ … ∩ D_{n} = {x : (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ K̃_{n} }, gdzie
K̃_{n} = (K_{1} × ℝ^{n−1} ) ∩ (K_{2} × ℝ^{n−2} ) ∩ … ∩ (K_{n−1} × ℝ) ∩ K_{n}.

Ponieważ C_{n} \ D̃_{n} = ⋃ _{k=1}^{n} (C_{n} \ D_{k}) ⊂ ⋃ _{k=1}^{n} (C_{k} \ D_{k}), więc μ_{0}(C_{n} \ D̃_{n}) ∑ _{k=0}^{n} μ_{0}(C_{k} \ D_{k}) ∑ _{k=1}^{∞} 2^{−k−1} ε \frac{ε}{2}. Zatem μ_{0}(D̃_{n}) μ_{0}(C_{n}) − μ_{0}(C_{n} \ D̃_{n}) ε − \frac{ε}{2} > 0. W szczególności D̃_{n} ≠ ∅ czyli możemy znaleźć x^{(n)} ∈ D̃_{n} tzn.

(x_{t_{1}}^{(n)} , …, x_{t_{k}}^{(n)} ) ∈ K_{k}, k = 1, …, n.

Zbiory K_{k} są zwarte co implikuje że dla dowolnego k ciąg (x_{t_{k}}^{(n)} )_{n=1}^{∞} jest ograniczony. Za pomocą metody przekątniowej możemy wybrać podciąg n_{i} taki, że lim_{n_{i} →∞} x_{t_{k}}^{(n_{i} )} = x_{t_{k}}^{∞} dla k = 1, 2, . . .. Ale wówczas z domkniętości K_{n} (x_{t_{1}}^{∞} , …, x_{t_{k}}^{∞} ) = lim_{n_{i} →∞} (x_{t_{1}}^{(n_{i} )} , …, x_{t_{k}}^{(n_{i} )} ) ∈ K_{n}. Określmy y ∈ ℝ^{T} wzorem

y_{t} = \{ \begin{matrix}x_{t}^{∞} & t ∈ \{t_{1}, t_{2}, …\} \\ 0 & t ∉ \{t_{1}, t_{2}, …\} \end{matrix}

wówczas y ∈ ⋂ _{n=1}^{∞} C_{n} czyli ⋂ _{n=1}^{∞} C_{n} ≠ ∅ co chcieliśmy dowieść.

Wiemy zatem, że na Ω = ℝ^{T} istnieje miara probabilistyczna μ rozszerzająca μ_{0} czyli

μ({x: (x_{t_{1}} , …, x_{t_{n}} ) ∈ A)}) = μ_{t_{1} ,...,t_{n}} (A), A ∈ B(ℝ^{n}).

Zatem na przestrzeni probabilistycznej (ℝ^{T}, B(ℝ^{T}), μ) wystarczy zdefiniować proces X wzorem X_{t}(x) = x_{t}.□

Przykłady

1. Jeśli (μ_{t})_{t∈T} dowolna rodzina rozkładów na ℝ to istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych (X_{t})_{t∈T} taka, że μ_{X_{t}} = μ_{t}. Używamy tu twierdzenia o istnieniu dla μ_{t_{1} ,...,t_{n}} = μ_{t_{1}} ⊗ … ⊗ μ_{t_{n}} .

2. Istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera. Istotnie dla 0 = t_{0} t_{1} < t_{2} < … < t_{n} kładziemy

μ_{t_{1} ,...,t_{n}} ∼ (X_{1}, X_{1} + X_{2}, …, ∑_{k=1}^{n} X_{k}),

gdzie X_{1}, …, X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi X_{k} ∼ N (0, t_{k} − t_{k−1} ). Warunki zgodności wynikają wówczas stąd iż jeśli Y_{1}, Y_{2} niezależne zmienne Y_{i} ∼ N (0, σ_{i}^{2}) to Y_{1} + Y_{2} ∼ N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}).

Uwaga 2.2 Wyniki z tej części można uogólnić na przypadek, gdy X_{t} ma wartości w znacznie ogólniejszej klasie przestrzeni E niż ℝ bądź ℝ^{d}.

• W Fakcie 2.1 nie wykorzystywaliśmy żadnych własności przestrzeni E

• W dowodzie Twierdzenia 2.2 wykorzystywaliśmy regularność miar na E^{n} - tu wystarczy założyć, że E jest σ-zwartą przestrzenią metryczną tzn. E = ⋃ _{n=1}^{∞} E_{n}, E_{n} zwarte.

3 Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

W poprzedniej części pokazaliśmy jakie warunki należy nałożyć na skończenie wymiarowe rozkłady procesu. Jednak udowodnione tam twierdzenie nic nie mówi o własnościach trajektorii. Kiedy możemy oczekiwać np. ich ciągłości? Wcześniej jednak zdefiniujemy co to znaczy modyfikacja procesu.

Definicja 3.1 Niech X = (X_{t})_{t∈T} oraz Y = (Y_{t})_{t∈T} będą dwoma procesami stochastycznymi określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że

a) X jest modyfikacją Y (lub X jest stochastycznie równoważny Y) jeśli

∀_{t∈T} P(X_{t} = Y_{t}) = 1.

b) X i Y są nierozróżnialne, jeśli

P(∀_{t∈T} X_{t} = Y_{t}) = 1.

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład

Niech Z 0 będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. P(Z = z) = 0 dla wszystkich z ∈ ℝ. Zdefiniujmy dwa procesy na T = [0, ∞)

X_{t} ≡ 0 oraz Y_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}0 & t ≠ Z(ω) \\ 1 & t = Z(ω) \end{matrix} .

Wówczas Y jest modyfikacją X bo P(X_{t} ≠ Y_{t}) = P(Z = t) = 0. Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie Y są nieciągłe czyli w szczególności P(∀_{t≠0} X_{t} = Y_{t}) = 0, a zatem X i Y nie są nierozróżnialne.

Fakt 3.1 Załóżmy, że T -przedział, X = (X_{t})_{t∈T} jest modyfikacją Y = (Y_{t})_{t∈T} . Wówczas jeśli X, Y mają prawostronnie ciągłe trajektorie to są nierozróżnialne.

Dowód. Wybierzmy T_{0} ⊂ T przeliczalny gęsty w T zawierający dodatkowo prawy koniec T, jeśli T jest przedziałem domkniętym. Niech

A := {∀_{t∈T_{0}} X_{t} = Y_{t}},

wówczas P(A) = 1 jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto jeśli ω ∈ A to dla dowolnego t ∈ T

X_{t}(ω) = lim_{s→t+,s∈T_{0}} X_{s}(ω) = lim_{s→t+,s∈T_{0}} Y_{s}(ω) = Y_{t}(ω)

czyli

P(∀_{t∈T} X_{t} = Y_{t}) P(A) = 1.□

Twierdzenie 3.2 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈[a,b]} jest procesem stochastycznym takim, że

∀_{t,s∈[a,b]} E|X_{t} − X_{s}|^{α} C|t − s|^{1+β}  (2)

dla pewnych stałych dodatnich α, β, C. Wówczas istnieje modyfikacja X̃ = (X̃_{t})_{t∈[a,b]} , której wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej prawie wszystkie trajektorie każdej modyfikacji X o ciągłych trajektoriach są hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem γ < \frac{β}{α} .

Przed przystąpieniem do dowodu warto przypomnieć definicję hölderowskości.

Definicja 3.2 Funkcja f: [a, b] → ℝ jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem γ jeśli dla pewnej stałej C < ∞

|f(s) − f(t)| C|t − s|^{γ} dla wszystkichs, t ∈ [a, b].

Dowód. Niech D = {t ∈ [a, b]: t = 2^{−n} k, n = 1, 2, …, k ∈ ℤ} oznacza zbiór liczb dwójkowo wymiernycg z [a, b]. Wówczas D = ⋃ _{n=0}^{∞} D_{n}, gdzie D_{n} = {t ∈ [a, b]: t = 2^{−n} k, k ∈ ℤ}. Na mocy nierówności Czebyszewa

P(|X_{t} − X_{s}| ε) ε^{−α} E|X_{t} − X_{s}|^{α} Cε^{−α} |t − s|^{1+β} ,

w szczególności

P(|X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} ) C2^{αγn} |\frac{k + 1}{2^{n}} − \frac{k}{2^{n}} |^{1+β} = C2^{−n(1+β−αγ)} .

Zatem dla ustalonego n

P( max_{a \frac{k}{2^{n}} < \frac{k+1}{2^{n}} b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} ) ∑_{a \frac{k}{2^{n}} < \frac{k+1}{2^{n}} b} P(|X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} )

2^{n}(b − a)C2^{−n(1+β−αγ)} = C(b − a)2^{−n(β−αγ)} .

Zdefiniujmy A := lim supA_{n}, gdzie

A_{n}; = \{ max_{a 2^{−n} k<2^{−n} (k+1) b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} \}.

Ponieważ γα < β, więc

∑_{n=1}^{∞} P(A_{n}) ∑_{n=1}^{∞} C(b − a)2^{−n(β−αγ)} < ∞,

zatem na mocy Lemat Borela-Cantelli P(A) = 0 czyli P(B) = 1, gdzie

B := Ω \ A = \{ω: ∃_{n_{0} (ω)} ∀_{n n_{0} (ω)} ∀_{a 2^{−n} k<2^{−n} (k+1) b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | < 2^{−γn} )\}.

Załóżmy, że ω ∈ B, pokażemy wpierw indukcyjnie po m, że

∀_{n n_{0} (ω)} ∀_{m n} ∀_{s,t∈D_{m}} |s − t| 2^{−n} ⇒ |X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| 2 ∑_{j=n}^{m} 2^{−γj}  (3)

Dla m = n, jeśli |s − t| 2^{−n} to możemy przyjąć, że s = \frac{k}{2^{m}} , t = \frac{k+1}{2^{m}} i |X_{s} − X_{t}| = |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | < 2^{−γn} na mocy definicji B.

Załóżmy zatem, że (3) jest udowodnione dla m = n, n + 1, …, M − 1, pokażemy, że zachodzi również dla m = M. Niech s, t ∈ D_{M} , s < t, możemy założyć, że |s − t| > 2^{−M} , bo inaczej działa argument jak w pierwszym kroku indukcji. Połóżmy

s̃ = min{u ∈ D_{M−1} , u > s}, t̃= max{u ∈ D_{M−1} , u < t},

wówczas s s̃ t̃ t czyli |s̃ − t̃| |s − t| 2^{−n} , stąd wobiec założenia indukcyjnego |Xs̃(ω) − Xt̃(ω)| 2 ∑ _{j=n}^{M−1} 2^{−γj} . Ponadto |s − s̃| 2^{−M} , |t − t̃| 2^{−M} czyli

|X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| |Xs̃(ω) − Xt̃(ω)| + |Xs̃(ω) − X_{s}(ω)| + |X_{t}(ω) − Xt̃(ω)|

2 ∑_{j=n}^{M−1} 2^{−γj} + 2^{−γM} + 2^{−γM} = 2 ∑_{j=n}^{M} 2^{−γj} ,

co kończy dowód (3).

Wiemy zatem, że dla ω ∈ B

s, t ∈ D, |s − t| 2^{−n} , n n_{0}(ω) ⇒ |X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| 2 ∑_{j=n}^{∞} 2^{−γj} = C_{γ}2^{−γn} ,

gdzie C_{γ} jest stałą zależną tylko od γ. Weźmy teraz dowolne s, t ∈ D takie, że |s − t| 2^{−n_{0} (ω)} , wówczas istnieje n n_{0}(ω) spełniające 2^{−n−1} < |s − t| 2^{−n} i

|X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| C_{γ}2^{−γn} C̃_{γ}|s − t|^{γ}.

W końcu jeśli s, t ∈ D dowolne to możemy dobrać ciąg s = s_{0} < s_{1} < … < s_{k} = t k 2^{n_{0} (ω)} (b − a) takie, że s_{i} ∈ D, |s_{i+1} − s_{i}| 2^{−n_{0} (ω)} i otrzymamy

|X_{s}(ω)−X_{t}(ω)| ∑_{i=1}^{k} |X_{s_{i}} (ω)−X_{s_{i+1}} (ω)| ∑_{i=1}^{k} C̃_{γ}|s_{i}−s_{i−1} |^{γ} (b−a)2^{n_{0} (ω)} C̃_{γ}|t−s|^{γ}.

Udowodniliśmy zatem, że dla ω ∈ B funkcja t → X_{t}(ω) jest hölderowsko ciągła na D, w szczególności jest jednostajnie ciągła i w każdym punkcie z [a, b] ma granicę. Połóżmy

X̃_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}lim_{s→t,s∈D} X_{s}(ω)\} & w ∈ B \\ 0 & w ∉ B \end{matrix} .

Wówczas wszystkie trajektorie X̃ są ciągłe (a nawet hölderowsko ciągłe z wykładnikiem γ). Z nierówności Czebyszewa łatwo wynika, że jeśli t ∈ [a, b], t_{n} ∈ D, t_{n} → t to X_{t_{n}} → X_{t} według prawdopodobieństwa. Z drugiej strony X_{t_{n}} → X̃_{t} p.n., a więc również i według prawdopodobieństwa. Z jednoznaczności granicy wynika, że X̃_{t} = X_{t} p.n. czyli proces X̃ jest modyfikacją X.

Na koniec zauważmy, że trajektorie X̃ są hölderowsko ciągłe z parametrem γ a skoro wiemy, ze wszystkie ciągłe modfikacje X są nierozróżnialne to wszystkie ciągłe modyfikacje X są hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem γ < \frac{α}{β} . □ Uwaga 3.1 Twierdzenie jest prawdziwe gdy przedział [a, b] zastąpimy nieskończonym przedziałem np [0, ∞) lub (−∞, ∞), o ile Hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną Hölderowskością (tzn. Hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej wystarczy, by warunek (2) zachodził dla |s − t| < δ gdzie δ > 0 jest ustaloną liczbą.

Dowód. Przedział nieskończony T można zapisać jako przeiczalną sumę ⋃ _{n}[a_{n}, a_{n+1} ] gdzie [a_{n}, a_{n+1} ] są przedziałami długości nie większej od δ. Z twierdzenia (3.2) wynika istnienie modyfikacji X̃_{t}^{(n)} procesu X na [a_{n}, a_{n+1} ] o ciągłych trajektoriach. Niech A_{n} = {X_{a_{n}}^{(n)} ≠ X_{a_{n}} }, wówczas A = ⋃ A_{n} ma miarę zero. Możemy więc położyć

X̃_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}X̃_{t}^{(n)} (ω) & t ∈ [a_{n}, a_{n+1} ], ω ∈ A \\ 0 & ω ∉ A \end{matrix} .□

Wniosek 3.3 Istnieje proces Wienera tzn. proces spełniający warunki (W0)- (W3).

Dowód. Mamy E|W_{s} − W_{t}|^{4} = E|\sqrt{t − s} W_{1}|^{4} = (s − t)^{2}EW_{1}^{4} = 3(s − t)^{2} i możemy użyć twierdzenia z β = 4, α = 1 i C = 3. □

Wniosek 3.4 Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie Hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem γ < 1/2.

Dowód. Mamy E|W_{s} − W_{t}|^{p} = (s − t)^{p/2}EW_{1}^{p} = C_{p}(s − t)^{p/2} dla dowolnego p < ∞. Stosując twierdzenie 3.2 z β = p, α = p − 1 dostajemy Hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym γ < \frac{1}{2} − \frac{1}{p}. Biorąc p → ∞ dostajemy tezę. □ Uwaga 3.2 Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na [0, ∞), nie mogą więc być globalnie Hölderowskie z żadnym wykładnikiem.

Uwaga 3.3 Założenia β > 0 nie można opuścić - wystarczy rozważyć proces Poissona dla którego E|N_{t} − N_{s}| = λ|t − s|, a oczywiście proces Poissona nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.1 Inne rodzaje ciągłości procesów

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 3.3 Niech X = (X_{t})_{t∈T} będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że

a) proces X jest stochastycznie ciągły, jeśli

t_{n} → t ⇒ X_{t_{n}} →^{P} X_{t}.

b) proces X jest ciągły wg p-tego momentu (ciągły w L^{p}), jeśli

t_{n} → t ⇒ E|X_{t_{n}} − X_{t}|^{p} → 0.

Uwaga 3.4 Nietrudno wykazać, że zarówno ciągłość trajektorii jaki i ciągłość wg p-tego momentu imlikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

4 Procesy gaussowskie

4.1 Rozkłady gaussowskie w ℝ^{d}

Zaczniemy od przypomnienia definicji jednowymiarowej.

Definicja 4.1 Rzeczywista zmienna losowa X ma rozkład gaussowski (normalny) z parametrami a i σ (ozn. X ∼ N (a, σ^{2})) dla a ∈ ℝ, σ 0, jeśli

• X ma gęstość \frac{1}{\sqrt{2π} σ} exp(−\frac{(x−a)^{2}}{2σ^{2}} ) jeśli σ > 0;

• X ma rozkład δ_{a} czyli P(X = a) = 1 jeśli σ = 0.

Rozkład N (0, 1) nazywamy standardowym rozkładem normalnym.

Jak dobrze wiemy jeśli X ∼ N (a, σ^{2}) to EX = a, Var(X) = σ^{2} oraz X ∼ a + σg, gdzie g ∼ N (0, 1). Ponadto X ma funkcję charakterystyczną φ_{X} (t) = exp(ita − σ^{2}t^{2}/2).

Definiowanie gaussowskich rozkładów w ℝ^{d} rozpoczniemy od rozkładu kanonicznego.

Definicja 4.2 Kanonicznym rozkładem gaussowskim w ℝ^{d}, γ_{d} nazywamy rozkład zmiennej X = (X_{1}, …, X_{d}), gdzie X_{1}, …, X_{d} są niezależnymi standardowymi zmiennymi gaussowskimi N (0, 1). Stosujemy też oznaczenie X ∼ N (0, Id_{d}).

Łatwo sprawdzić, że rozkład γ_{d} ma gęstość

γ_{d}(dx) = (2π)^{− \frac{d}{2}} e^{− \frac{|x|^{2}}{2}} dx, |x|^{2} = x_{1}^{2} + … + x_{d}^{2},
EX = 0, Cov(X) = Id oraz φ_{X} (t) = e^{− \frac{|t|^{2}}{2}} = e^{− \frac{⟨t,t⟩}{2}} , t ∈ ℝ^{d}.

Definicja 4.3 Miarę μ na ℝ^{d} nazywamy gaussowską, jeśli μ = U(γ_{m}) dla pewnego przekształcenia afinicznego U: ℝ^{m} → ℝ^{d} (tzn. Ux = Ax + a, a ∈ ℝ^{d}, A: ℝ^{m} → ℝ^{d} liniowe). Wektor losowy X w ℝ^{d} nazywamy gaussowskim, jeśli rozkład X jest gaussowski czyli

X ∼ UY = AY + a, Y = (Y_{1}, …, Y_{m}) ∼ N (0, Id_{m}).  (4)

Nietrudno policzyć, że dla X postaci (4) mamy EX = AEY + a = a, Cov(X) = AA^{T} oraz

φ_{X} (t) = Ee^{i⟨t,AY +a⟩} = e^{i⟨t,a⟩} Ee^{i⟨A^{T} t,Y ⟩} = e^{i⟨t,a⟩− \frac{⟨A^{T} t,A^{T} t⟩}{2}} = e^{i⟨t,a⟩− \frac{⟨Bt,t⟩}{2}} ,

gdzie B = AA^{T} = Cov(X).

Motywuje to następującą definicję Definicja 4.4 Wektor losowy X w ℝ^{d} nazywamy gaussowskim, jeśli ma funkcję charakterystyczną postaci

φ_{X} (t) = e^{i⟨t,a⟩− \frac{⟨Bt,t⟩}{2}}

dla pewnego a ∈ ℝ^{d} i macierzy symetrycznej n × n, nieujemnie określonej B. Używamy oznaczenia X ∼ N (a, B).

Fakt 4.1 Definicje 4.3 i 4.4 są równoważne.

Dowód. Wykazaliśmy już, że Definicja 4.3 impikuje definicję 4.4 z B = AA^{T}. Wystarczy więc udowodnić przeciwną implikację. Każdą symetryczną macierz można zdiagonalizować w bazie ortogonalnej, zatem macierz B ma postać B = UDU^{−1} , gdzie U jest unitarna, a D diagonalna. Z nieujemnej określoności B wynika nieujemność współczynników D. Jeśli położymy A := U\sqrt{D}U^{−1} to AA^{T} = U\sqrt{D}U^{−1} (U\sqrt{D}U^{−1} )^{T} = U\sqrt{D}U^{−1} (U^{−1} )^{T} \sqrt{D}U^{T} = UDU^{−1} = B. Stąd z rachunku poprzedzającego Definicję 4.4 i jednoznaczności funkcji charakterystycznej wynika, że X ∼ AY + a dla Y ∼ N (0, Id_{d}). □ Uwaga 4.1 Definicja 4.4 w szczególności pokazuje, że dla d = 1 otrzymujemy zwykłe rozkłady N (a, σ^{2}).

Podamy jeszcze jedną definicję gaussowskości, która jest często najwygodniejsza do weryfikowania gaussowskości.

Definicja 4.5 Wektor losowy X w ℝ^{d} nazywamy gaussowskim, jeśli dla dowolnego funkcjonału liniowego f: ℝ^{d} → ℝ, rzeczywista zmienna losowa f(X) jest gaussowska.

Fakt 4.2 Definicja 4.5 jest równoważna z poprzednimi.

Dowód. By wykazać, że Definicja 4.3 implikuje Definicję 4.5 wystarczy zauważyć, że f(AY + a) = f(AY) + f(a) jest afinicznym obrazem Y czyli ma rozkład gaussowski. Przystąpmy do dowodu implikacji w drugą stronę. Załóżmy, że zmienna X spełnia założenia Definicji 4.5, wykażemy, że ma funkcję charakterystyczną zgodną z Definicją 4.4. Niech t ∈ ℝ^{d}, wówczas ⟨t, X⟩ ∼ N (a_{t}, σ_{t}^{2}) czyli

φ_{⟨t,X⟩} (s) = Ee^{is⟨t,X⟩} = e^{isa_{t}− \frac{σ^{2}_{t} s^{2}}{2}} .

Ponadto a_{t} = E⟨t, X⟩ = ⟨t, EX⟩ oraz

σ_{t}^{2} = Var(⟨t, X⟩) = E(⟨t, X⟩ − E(⟨t, X⟩))^{2} = E(⟨t, X − EX⟩)^{2}

= E(∑_{i=1}^{d} t_{i}(X_{i} − a_{i}))^{2} = ∑_{i,j=1}^{d} t_{i}t_{j} E(X_{i} − a_{i})(X_{j} − a_{j}) = ⟨Bt, t⟩,

gdzie B = (E(X_{i} − a_{i})(X_{j} − a_{j}))_{i,j} = Cov(X). Stąd

φ_{X} (t) = φ_{⟨t,X⟩} (1) = e^{i⟨t,a⟩− \frac{⟨Bt,t⟩}{2}} .□

Uwaga 4.2 Można wykazać, że X ∼ N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy macierz kowariancji B jest odwracalna i wówczas ta gęstość wynosi

g_{X} (x) = (2π)^{− \frac{d}{2}} |detC|^{\frac{1}{2}} exp(\frac{⟨C(x − a), x − a⟩}{2} ), gdzie C := B^{−1}

Twierdzenie 4.3 Jeśli wektor losowy X = (X_{1}, X_{2}, …, X_{d}) ma rozkład gaussowski to zmienne X_{1}, …, X_{d} są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy są nieskorelowane tzn Cov(X_{i}, X_{j}) = 0.

Dowód. ⇒: Dowolne zmienne niezależne są nieskorelowane

⇐: Obliczymy funkcję charakterystyczną zauważająć, że B = Cov(X) jest macierzą diagonalną

φ_{(X_{1} ,...,X_{d})} (t) = e^{i⟨t,a⟩− \frac{⟨Bt,t⟩}{2}} = ∏_{j=1}^{d} e^{it_{j} a_{j} −^{\frac{b_{j,j} t^{2}_{j}}{2}}} = ∏_{j=1}^{d} φ_{X_{j}} (t_{j}),

co dowodzi niezależności X_{j}. □ Uwaga 4.3 Kluczowym założeniem w Twierdzeniu 4.3 jest gaussowskość wektora X, a nie tylko jego współrzędnych. Łatwo skonstruować dwie zależne zmienne X_{1}, X_{2} takie, że X_{i} ∼ N (0, 1) oraz Cov(X_{1}, X_{2}) = 0.

Na koniec tego paragrafu sformułujemy centralne twierdzenie graniczne dla wektorów losowych w przypadku jednakowych rozkładów.

Twierdzenie 4.4 Jeśli X, X_{1}, X_{2}, … jest ciągiem niezależnych wektorów losowych w ℝ^{d} o jednakowym rozkładzie takim, że E|X|^{2} < ∞ to

\frac{X_{1} + … + X_{n} − nEX}{\sqrt{n}} → N (0, B) według rozkładu gdyn → ∞, gdzie B := Cov(X).

Dowód tego twierdzenia zasadniczo nie różni się od przypadku jednowymiarowego.

4.2 Procesy gaussowskie

Definicja 4.6 Proces X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy gaussowskim, jeśli wszystkie skończenie wymiarowe rozkłady X są gaussowskie czyli wektor (X_{t_{1}} , …, X_{t_{n}} ) ma rozkład gaussowski dla dowolnych t_{1}, …, t_{n} ∈ T.

Przykłady

1. X_{t} = f(t)g, gdzie f: T → ℝ dowolne, a g ∼ N (0, 1).

2. Proces Wieniera (W_{t})_{t 0} .

3. Most Browna X_{t} = W_{t} − tW_{1}, 0 t 1.

Wiemy, że wielowymiarowe rozkłady gaussowskie są wyznaczone przez dwa parametry - wektor wartości średniej i macierz kowariancji. Podobnie jest w przypadku procesów, ale najpierw musimy wprowadzić odpowiednie definicje.

Definicja 4.7 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem stochastycznym całkowalnym z kwadratem tzn. EX_{t}^{2} < ∞ dla wszystkich t ∈ T. Funkcję wartości średniej (wartość średnią procesu) X definiujemy wówczas wzorem m(t) := EX_{t}, t ∈ T, a funkcję kowariancji X wzorem K(t, s) := Cov(X_{t}, X_{s}), t, s ∈ T. Proces X nazywamy scentrowanym, jeśli m ≡ 0.

Fakt 4.5 Funkcja kowariancji procesu stochastycznego jest nieujemnie określona tzn.

∀_{t_{1} ,...,t_{n} ∈T} ∀_{x_{1} ,...,x_{n} ∈ℝ} ∑_{i,j=1}^{n} K(t_{i}, t_{j})x_{i}x_{j} 0.

Dowód. Liczymy

∑_{i,j=1}^{n} K(t_{i}, t_{j})x_{i}x_{j} = ∑_{i,j=1}^{n} Cov(X_{t_{i}} , X_{t_{j}} )x_{i}x_{j} = Cov(∑_{i=1}^{n} X_{t_{i}} x_{i}, ∑_{j=1}^{n} X_{t_{i}} x_{i})

= Var(∑_{i=1}^{n} X_{t_{i}} x_{i}) 0.□

Możemy teraz sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dla procesów gaussowskich.

Twierdzenie 4.6 a) Niech m: T → ℝ będzie dowolną funkcją, a K: T ×T → ℝ symetryczną funkcją nieujemnie określoną. Wówczas istnieje proces gaussowski o wartości średniej m i funkcji kowariancji K.

b) Jeśli dwa procesy gaussowskie mają takie same funkcje kowariancji i wartości średniej to mają ten sam rozkład.

Dowód. a) Dla {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T określamy μ_{t_{1} ,...,t_{n}} jako rozkład wektora gaussowskiego (X_{1}, …, X_{n}) takiego, że EX_{i} = m(t_{i}) oraz Cov(X_{i}, X_{j}) = K(t_{i}, t_{j}) (wektor taki istnieje bo macierz (K(t_{i}, t_{j})_{i,j n} jest symetryczna nieujemnie określona. Łatwo sprawdzić (wykorzystując to, że n-wymiarowy rozkład gaussowski jest zadany przez dwa parametry), że rodzina miar (μ_{t_{1} ,...,t_{n}} ) spełnia warunki zgodności, zatem z Twierdzenia 2.2 wynika istnienie szukanego procesu.

b) Ponieważ n-wymiarowe rozkłady gaussowskie są wyznaczone przez wektor średniej i macierz kowariancji, więc dane dwa procesy mają te same rozkłady skończenie wymiarowe, czyli na mocy Faktu 2.1 mają te same rozkłady. □

Wniosek 4.7 Proces (W_{t})_{t 0} jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy jest scentrowanym procesem gaussowskim o ciągłych trajektoriach i funkcji kowariancji K(t, s) = min(t, s).

Dowód. ⇒: Dla 0 t s mamy Cov(W_{t}, W_{s}) = Cov(W_{t}, W_{t})+Cov(W_{t}, W_{s}− W_{t}) = t + 0 = min(t, s).

⇐: Jeśli X_{t} jest scentrowanym procesem gaussowskim o funkcji kowariancji min(t, s) to na mocy Twierdzenia 4.6 X ma ten sam rozkład co proces Wienera czyli spełnia warunki (W0)-(W2), a ponieważ ma ciągłe trajektorie to jest procesem Wienera. □

Uwaga 4.4 Załóżmy, że X jest ośrodkową przestrzenią Banacha. Powiemy, że zmienna losowa o wartościach w X ma rozkład gaussowski, jeśli dla dowolnego funkcjonału ciągłego x^{∗} ∈ X^{∗} zmienna rzeczywista x^{∗}(X) ma rozkład gaussowski. Proces Wienera na [0, 1] można traktować jako gaussowską zmienną losową o wartościach w C[0, 1].

5 Filtracje, Momenty Zatrzymania

W tej części będziemy zakładać, że T ⊂ ℝ (najczęściej rozważane w praktyce przypadki to T będące przedziałem lub podzbiorem liczb całkowitych).

Definicja 5.1 Filtracją (F_{t})_{t∈T} przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy rosnący rodzinę σ-ciał zawartych w F tzn. F_{t} ⊂ F_{s} dla t s, t, s ∈ T.

Przykład (filtracja generowana przez proces stochastyczny)

Niech X = (X_{t})_{t∈T} będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez X nazywamy rodzinę (F_{t}^{X})_{t∈T} daną wzorem F_{t}^{X} = σ(X_{s} : s t).

Definicja 5.2 Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji (F_{t})_{t∈T} nazywamy zmienną losową o wartościach w T ∪ {∞} taką, że {τ t} ∈ F_{t} dla wszystkich t ∈ T.

Zdarzenia z sigma ciała F_{t} możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili t. Wówczas moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np. zakończenia udziału w pewnej grze) taka, że decyzję o przerwaniu w chwili t podejmujemy tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie.

Definicja 5.3 Proces X = (X_{t}) nazywamy zgodnym z filtracją (F_{t})_{t∈T} bądź F_{t}-adaptowalnym, jeśli dla wszystkich t ∈ T, X_{t} jest F_{t} mierzalne.

Przykład. Dla zbioru A ⊂ ℝ i procesu stochastycznego (X_{t})_{t∈T} określmy

τ_{A} = inf{t ∈ T: X_{t} ∈ A}.

Jeśli T jest lewostronnie domkniętym przedziałem, A-zbiorem domkniętym, a (X_{t})_{t∈T} F_{t}-adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach to τ_{A} jest momentem zatrzymania względem filtracji F_{t}

Dowód. Niech T_{0} ⊂ T będzie gęstym podzbiorem T zawierającym lewy koniec. Z domkniętości zbioru A i ciągłości X dostajemy dla t ∈ T

{τ_{A} t} = {∃_{s t} X_{s} ∈ A} = ⋂_{n=1}^{∞} ⋃_{s t,s∈T_{0}} {X_{s} ∈ A_{1/n} } ∈ F_{t},

gdzie

A_{ε} := {x ∈ ℝ^{n} : d(x, A) < ε} (ε-otoczka zbioru A).□

Uwaga 5.1 Jeśli w powyższym przykładzie A będzie zbiorem otwartym to τ_{A} nie musi być momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t∈T} , ale musi być momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t+} )_{t∈T} , gdzie

F_{t+} := ⋂_{s>t} F_{s}.

Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.

Definicja 5.4 Przyjmijmy, że T = [a, ∞). Filtrację (F_{t})_{t∈T} nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli F_{t+} = F_{t} dla wszystkich t ∈ T. Mówimy, że filtracja (F_{t})_{t∈T} spełnia zwykłe warunki, jeśli

a) jest prawostronnie ciągła,

b) dla wszystkich t, F_{t} zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn. jeśli A ∈ F, P(A) = 0 to A ∈ F_{t}.

Uwaga 5.2 Zachodzi następujące bardzo mocne twierdzenie Dellacherie: Załóżmy, że T = [a, ∞), proces X jest progresywnie mierzalny, a (F_{t})_{t∈T} jest prawostronnie ciągłą filtracją oraz wszystkie F_{t} są zupełne (tzn. B ⊂ A ∈ F_{t}, P(A) = 0 ⇒ B ∈ F_{t}). Wówczas τ_{A} jest momentem zatrzymania dla dowolnego A ∈ B(ℝ).

Definicja 5.5 Niech τ będzie momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t∈T} . Definiujemy σ-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili τ wzorem

F_{τ} := {A ∈ F_{∞} := σ( ⋃_{t∈T} F_{t}): ∀_{t∈T} A ∩ {τ t} ∈ F_{t}}.

Fakt 5.1 a) Zbiór F_{τ} jest σ-ciałem.

b) Jeśli τ σ to F_{τ} ⊂ F_{σ}.

c) Zmienna losowa τ jest F_{τ} mierzalna.

Dowód. a) Zbiór Ω ∈ F_{τ}, bo Ω ∩ {τ t} = {τ t} ∈ F_{t}. Jeśli A ∈ F_{τ} to A′∩ {τ t} = {τ t} \ A ∩ {τ t} ∈ F_{t} czyli A′ ∈ F_{τ}. Jeśli A_{n} ∈ F_{τ} to (⋃ _{n} A_{n}) ∩ {τ t} = ⋃ _{n}(A_{n} ∩ {τ t}) ∈ F_{t} czyli ⋃ _{n} A_{n} ∈ F_{τ}.

b) Weźmy A ∈ F_{τ}, wówczas dla t ∈ T, A ∩ {σ t} = A ∩ {τ t} ∩ {σ t} ∈ F_{t} czyli A ∈ F_{σ}.

c) Wystarczy pokazać, że {τ s} ∈ F_{τ}, ale {τ s} ∩ {τ t} = {τ s ∧ t} = F_{s∧t} ⊂ F_{t}. □

Fakt 5.2 Załóżmy, że τ i σ są momentami zatrzymania. Wówczas F_{τ∧σ} = F_{τ} ∩ F_{σ} oraz zdarzenia {τ < σ}, {σ < τ}, {τ σ}, {σ < τ}, {τ = σ} należą do F_{τ∧σ} .

Dowód. Zauważmy, że τ ∧ σ jest momentem zatrzymania oraz τ ∧ σ τ i τ ∧ σ σ, zatem na mocy Faktu 5.1 dostajemy F_{τ∧σ} ⊂ F_{τ} ∩ F_{σ}. Na odwrót jeśli A ∈ F_{τ} ∩ F_{σ} to A ∩ {τ ∧ σ t} = A ∩ ({τ t} ∪ {σ t}) = (A ∩ {τ t}) ∪ (A ∩ {σ t}) ∈ F_{t}, czyli A ∈ F_{τ∧σ} . Dalszą część faktu pozostawiamy do udowodnienia na ćwiczeniach. □

Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych X_{τ} dla wszystkich momentów zatrzymania τ. Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną definicję.

Definicja 5.6 Proces X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji (F_{t})_{t∈T} , jeśli dla każdego t ∈ T, funkcja (s, ω) → X_{s}(ω) traktowana jako funkcja ze zbioru T ∩ (−∞, t] × Ω w ℝ jest mierzalna względem σ-algebry B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}. Inaczej

∀_{t∈T} ∀_{A∈B(ℝ)} {(s, ω) ∈ T × Ω: s t, X_{s}(ω) ∈ A} ∈ B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}.

Fakt 5.3 Załóżmy, że T jest przedziałem oraz dany jest proces X = (X_{t})_{t∈T} oraz filtracja (F_{t})_{t∈T} .

a) Jeśli proces X jest progresywnie mierzalny względem (F_{t}) to jest F_{t}-adaptowalny.

b) Jeśli proces X jest F_{t}-adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie to jest progresywnie mierzalny względem (F_{t}).

Dowód. a) Zbiór {ω: X_{t}(ω) ∈ A} jest przekrojem zbioru {(s, ω) ∈ T × Ω: s t, X_{s}(ω) ∈ A}, a zatem należy do F_{t}.

b) Ustalmy t ∈ T i połóżmy dla s ∈ T, s t, X_{s}^{(n)} := X_{t−2^{−n} k} , gdzie k jest liczbą całkowitą taką, że t − 2^{−n} (k + 1) < s t − 2^{−n} k. Wówczas

\{(s, ω) ∈ T ×Ω: s t, X_{s}^{(n)} (ω) ∈ A\} = ⋃_{k=0}^{∞} (T ∩(t−\frac{k + 1}{2^{n}} , t−\frac{k}{2^{n}} ])×\{ω: X_{t− \frac{k}{2^{n}}} ∈ A\}

∈ B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}.

Zatem funkcja X_{s}^{(n)} (ω), s ∈ T ∩ (−∞, t], ω ∈ Ω jest B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t} mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości X mamy X_{s}(ω) = lim_{n→∞} X_{s}^{(n)} (ω), zatem funkcja X_{s}(ω), s ∈ T ∩ (−∞, t], ω ∈ Ω jest B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t} mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.□

Fakt 5.4 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji (F_{t})_{t∈T} , a τ jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa X_{τ} określona na zbiorze {τ < ∞} ∈ F_{τ} jest F_{τ} mierzalna. Ponadto proces zatrzymany w chwili τ, X^{τ} := (X_{t∧τ} )_{t∈T} jest progresywnie mierzalny.

Dowód. Odwzorowanie

(s, ω) → (τ(ω) ∧ s, ω): T ∩ (−∞, t] → T ∩ (−∞, t]

jest mierzalne względem σ-algebry B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}) Jeśli złożymy je z odwzorowaniem

(s, ω) → X_{s}(ω) mierzalnym z (T ∩ (−∞, t] × Ω, B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}) w ℝ

to otrzymamy odwzorowanie

(s, ω) → X_{τ(ω)∧s} (ω) mierzalne z (T ∩ (−∞, t] × Ω, B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}) w ℝ.

Stąd wynika progresywna mierzalność procesu X^{τ}. By zakończyć dowód zauważmy, że

{X_{τ} ∈ A} ∩ {τ t} = {X_{τ∧t} ∈ A} ∩ {τ t} ∈ F_{t}

na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) X^{τ}. □

6 Martyngały z czasem ciągłym

6.1 Definicje i przykłady

Definicja 6.1 Niech T ⊂ ℝ, a (F_{t})_{t∈T} będzie filtracją. Mówimy, że (X_{t}, F_{t})_{t∈T} jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) lub, że (X_{t})_{t∈T} jest martyngałem (pod-, nad-) względem filtracji (F_{t}), jeśli

a) dla wszystkich t ∈ T, X_{t} jest F_{t} adaptowalny i E|X_{t}| < ∞;

b) dla dowolnych s, t ∈ T, s < t, E(X_{t}|F_{s}) = X_{s} p.n. (odp. dla podmartyngału i dla nadmartyngału).

Przykłady

1. (W_{t})_{t 0} jest martyngałem względem naturalnej filtracji F_{t}^{W} = σ(W_{s} : s t). Istotnie dla t > s mamy z niezależności

E(W_{t}|F_{s}) = E(W_{s}|F_{s})E(W_{t} − W_{s}|F_{s}) = W_{s} + E(W_{t} − W_{s}) = W_{s} p.n..

2. Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, a F_{t} dowolną filtracją to X_{t} := E(X|F_{t}) jest martyngałem. Sprawdzamy dla t > s

E(X_{t}|F_{s}) = E(E(X|F_{t})|F_{s}) = E(X|F_{s}) = X p.n..

3. (W_{t}^{2})_{t 0} jest podmartyngałem, a (W_{t}^{2} − t)_{t 0} martyngałem względem naturalnej filtracji F_{t}^{W} = σ(W_{s} : s t). Liczymy dla t > s

E(W_{t}^{2}|F_{s}) = E(W_{s}^{2}|F_{s}) + E(2W_{s}(W_{t} − W_{s})|F_{s}) + E((W_{t} − W_{s})^{2}|F_{s})

= W_{s}^{2} + 2W_{s}E(W_{t} − W_{s}) + E(W_{t} − W_{s})^{2} = W_{s}^{2} + t − s p.n..

Fakt 6.1 Załóżmy, że (X_{t}, F_{t}) jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś f: ℝ → ℝ funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że E|f(X_{t})| < ∞ dla wszystkich t. Wówczas (f(X_{t}), F_{t}) jest podmartyngałem.

Dowód. Z nierówności Jensena (Lemat A.3) mamy E(f(X_{t}|F_{s}) f(E(X_{t}|F_{s}), a ostatnia zmienna jest równa f(X_{s}) w przypadku martyngału i nie mniejsza niż f(X_{s}) dla podmartyngału.□

Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.

Definicja 6.2 Funkcję f: ℝ^{n} → ℝ nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną, nadharmoniczną) jeśli

∀_{x∈ℝ^{n}} ∀_{r 0} f(x) \frac{1}{|S^{n−1} |} ∫_{S^{n−1}} f(x + ry)dσ(y)(odp. =, ),

gdzie σ(y) jest miarą powierzchniową na sferze, a |S_{n−1} | = ∫_{S^{n−1}} dσ(y) = 2π^{n/2} (Γ(n/2))^{−1} .

Uwaga 6.1 Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy gdy Δf = 0 (odp. , ). Dla n = 1 warunek podharmoniczności jest równoważny wypukłości. Funkcja f(x) = − ln∥x − x_{0}∥ jest nadharmoniczna na ℝ^{2}, a funkcja f(x) = ∥x − x_{0}∥^{2−d} nadharmoniczna na ℝ^{d} dla d > 2.

Fakt 6.2 Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, …, W_{t}^{(d)}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera, F_{t}^{W} = σ(W_{s} : s t), zaś f: ℝ^{d} → ℝ funkcją harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że E|f(W_{t})| < ∞ dla t 0. Wówczas (f(W_{t}), F_{t}^{W}) jest martyngałem (odp. nad-, pod-).

Dowód. Liczymy dla t > s

E(f(W_{t})|F_{s}) = E(f(W_{s} + (W_{t} − W_{s}))|F_{s})
= (2π(t − s))^{−d/2} ∫_{ℝ^{d}} f(W_{s} + x)e^{− \frac{|x|^{2}}{2(t−s)}} dx

= (2π(t − s))^{−d/2} ∫_{0}^{∞} r^{d−1} e^{− \frac{r^{2}}{2(t−s)}} )(∫_{S^{d−1}} f(W_{s} + y)dσ(y))dr

= (2π(t − s))^{−d/2} |S^{d−1} |f(W_{s}) ∫_{0}^{∞} r^{d−1} e^{− \frac{r^{2}}{2(t−s)}} )dr = c_{d}f(W_{s}) p.n..

By zauważyć, że c_{d} = 1 przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy powyżej f ≡ 1. □

6.2 Nierówności maksymalne

Zacznijmy od podstawowego lematu pochodzącego od Dooba.

Lemat 6.3 Załóżmy, że (X_{n}, F_{n})_{0 1 N} jest martyngałem (odp. nad-, pod-), zaś 0 τ σ N dwoma momentami zatrzymania. Wówczas

E(X_{σ}|F_{τ}) = X_{τ} p.n. (odp. , ).

Dowód. Musimy pokazać, że dla A ∈ F_{τ}, EX_{τ}I_{A} = EX_{σ}I_{A}. Połóżmy A_{k} := A ∩ {τ = k} dla k = 0, 1, …, N. Mamy

(X_{σ} −X_{τ})I_{A_{k}} = (X_{σ} −X_{k})I_{A_{k}} = ∑_{i=k}^{σ−1} (X_{i+1} −X_{i})I_{A_{k}} = ∑_{i=k}^{N} (X_{i+1} −X_{i})I_{A_{k} ∩{σ>i}} ,

zatem

E(X_{σ} − X_{τ})I_{A_{k}} = ∑_{i=k}^{N} E(X_{i+1} − X_{i})I_{A_{k} ∩{σ>i}} = 0,

gdyż A_{k} ∩ {σ > i} ∈ F_{i}. Stąd

E(X_{σ} − X_{τ})I_{A} = ∑_{k=0}^{N} E(X_{σ} − X_{τ})I_{A_{k}} = 0.□

Uwaga 6.2 Lemat 6.3 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów zatrzymania, np. biorąc X_{n} = ∑ _{k=1}^{n} ε_{n}, gdzie ε_{n} niezależne zmienne losowe takie, że P(ε_{n} = ±1) = 1/2, F_{n} = σ(ε_{1}, …, ε_{n}), τ = 0, σ = inf{n: X_{n} = 1} widzimy, że EX_{τ} = 0 ≠ 1 = EX_{σ}.

Lemat 6.4 Niech (X_{n}, F_{n})_{0 n N} będzie podmartyngałem, wówczas dla wszystkich λ 0 mamy

a) λP(max_{0 n N} X_{n} λ) EX_{N} I_{{max_{0 n N} X_{n} λ}} EX_{N}^{+} ,

b) λP(min_{0 n N} X_{n} −λ) EX_{N} I_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}} − EX_{0} EX_{N}^{+} − EX_{0}.

Dowód. a) Niech τ := inf{n: X_{n} λ} ∧ N, z lematu 6.3 dostajemy (wobec τ N)

EX_{N} EX_{τ} = EX_{τ}I_{{max_{0 n N} X_{n} λ}} + EX_{τ}I_{{max_{0 n N} X_{n} <λ}}

λP( max_{0 n N} X_{n} λ) + EX_{N} I_{{max_{0 n N} X_{n} <λ}}

i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.

b) Definiujemy τ := inf{n: X_{n} −λ} ∧ N, z lematu 6.3 dostajemy (wobec τ 0)

EX_{0} EX_{τ} = EX_{τ}I_{{min_{0 n N} X_{n} −λ}} + EX_{τ}I_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}}

−λP( min_{0 n N} X_{n} −λ) + EX_{N} I_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}}

i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane. □

Wniosek 6.5 Jeśli (X_{n}, F_{n})_{0 n N} jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem, to

a) ∀_{p 1} ∀_{λ 0} λ^{p}P(max_{0 n N} |X_{n}| λ) E|X_{N} |^{p},

b) ∀_{p>1} E|X_{N} |^{p} E max_{0 n N} |X_{n}|^{p} (\frac{p}{p−1} )^{p}E|X_{N} |^{p}.

Dowód. a) Funkcja f(t) = |t|^{p} jest wypukła, niemalejąca na ℝ_{+} , stąd na mocy Faktu 6.1 |X_{n}|^{p} jest nieujemnym podmartyngałem zatem z Lematu 6.4 mamy

λ^{p}P( max_{0 n N} |X_{n}| λ) E|X_{N} |^{p}I_{{max_{0 n N} |X_{n} |^{p} λ^{p} }} E|X_{N} |^{p}.

b) Niech X^{∗} := max_{0 n N} |X_{n}|, z rachunku przeprowadzonego powyżej

λP(X^{∗} λ) E|X_{N} |I_{{X^{∗} λ}} .

Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy

E max_{0 n N} |X_{n}|^{p} = p ∫_{0}^{∞} λ^{p−1} P(X^{∗} λ)dλ p ∫_{0}^{∞} λ^{p−2} E|X_{N} |I_{{X^{∗} λ}} dλ

= pE|X_{N} | ∫_{0}^{X^{∗}} λ^{p−2} dλ

\frac{p}{p − 1} E|X_{N} |(X^{∗})^{p−1} \frac{p}{p − 1} (E|X_{N} |^{p})^{1/p}(E(X^{∗})^{p})^{(p−1)/p} .

Jeśli E|X_{N} |^{p} < ∞ to E|X_{n}|^{p} E|X_{N} |^{p} < ∞ dla 0 n N oraz E(X^{∗})^{p} E ∑ _{n=0}^{N} |X_{n}|^{p} < ∞. Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez (E(X^{∗})^{p})^{(p−1)/p} dostajemy

(E(X^{∗})^{p})^{1/p} \frac{p}{p − 1} (E|X_{N} |^{p})^{1/p}.□

Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.

Twierdzenie 6.6 Załóżmy, że T jest przedziałem, z (X_{t}, F_{t})_{t∈T} martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłym trajektoriach. Wówczas

a) ∀_{p 1} ∀_{λ 0} λ^{p}P(sup_{t∈T} |X_{t}| λ) sup_{t∈T} E|X_{t}|^{p},

b) ∀_{p>1} sup_{t∈T} E|X_{t}|^{p} E sup_{t∈T} |X_{t}|^{p} (\frac{p}{p−1} )^{p} sup_{t∈T} E|X_{t}|^{p}.

Uwaga 6.3 Oczywiście jeśli T zawiera element maksymalny t_{max} to przy założeniach twierdzenia sup_{t∈T} E|X_{t}|^{p} = E|X_{t_{max}} |^{p}.

Dowód. Jeśli D jest skończonym podzbiorem T to na podstawie Wniosku 6.5 dostajemy

λ^{p}P(sup_{t∈D}|X_{t}| λ) sup_{t∈D}E|X_{t}|^{p} sup_{t∈T}E|X_{t}|^{p}.

Niech T_{0} będzie gęstym podzbiorem T zawierającym prawy koniec T (o ile taki istnieje), zaś D_{n} wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów T_{0} takim, że ⋃ _{n} D_{n} = T_{0}. Wówczas dla dowolnego λ̃ > 0 dostajemy na mocy prawostronnej ciągłości

λ̃^{p}P(sup_{t∈T}|X_{t}| > λ̃) = λ̃^{p}P(sup_{t∈T_{0}} |X_{t}| > λ̃)

= lim_{n→∞} λ̃^{p}P( sup_{t∈D_{n}} |X_{t}| > λ̃) sup_{t∈T}E|X_{t}|^{p}.

Biorąc ciąg λ̃_{n} ↗ λ postulowaną w a) nierówność. Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 6.5 w podobny sposób. □

Uwaga 6.4 Punkt b) Twerdzenia 6.6 nie zachodzi dla p = 1 - można skonstruować martyngał dla którego sup_{t} E|X_{t}| < ∞, ale E sup_{t} |X_{t}| = ∞. Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 6.6) nierówność

E sup_{t∈T}|X_{t}| \frac{e}{e − 1} (1 + sup_{t∈T}E|X_{t}| ln^{+} |X_{t}|.

Wniosek 6.7 Dla dowolnego u, s > 0 zachodzi

P( sup_{0 t s} W_{t} u) e^{− \frac{u^{2}}{2s}} .

Dowód. Ustalmy λ > 0, wówczas M_{t} := exp(λW_{t} − \frac{λ^{2} t}{2} ) jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{W} generowanej przez proces Wienera. Stąd na mocy Twierdzenia 6.6 a) i nieujemności M_{t} dostajemy

P( sup_{0 t s} W_{t} u) P( sup_{0 t s} M_{t} e^{λu− \frac{λ^{2} s}{2}} )

e^{−λu+ \frac{λ^{2} s}{2}} sup_{0 t s} E|M_{s}| = e^{−λu+ \frac{λ^{2} s}{2}} )EM_{0} = e^{−λu+ \frac{λ^{2} s}{2}} ).

Zatem

P( sup_{0 t s} W_{t} u) inf_{λ>0} e^{−λu+ \frac{λ^{2} s}{2}} = e^{− \frac{u^{2}}{2s}} .□

7 Twierdzenia o zbieżności i regularności

W tej części udowodnimy twierdzenia dotyczące zbieżności martyngałów z czasem ciągłym oraz pokażemy, że podmartyngały mają regularną modyfikację.

7.1 Przejścia w dół przez przedział

Definicja 7.1 Niech T ⊂ ℝ i f: T → ℝ oraz α < β. Dla skończonego podzbioru F ⊂ T definiujemy

τ_{1} := inf{t ∈ F: f(t) β} oraz σ_{1} := inf{t ∈ F: t > τ_{1}, f(t) α}

i dalej indukcyjnie dla i = 1, 2, …

τ_{i+1} := inf{t ∈ F: t > σ_{i}, f(t) β} oraz σ_{i+1} := inf{t ∈ F: t > τ_{i}, f(t) α}.

Kładziemy

D_{F} (f, [α, β]) := sup{j: σ_{j} < ∞} ∧ 0

i definiujemy liczbę przejść w dół funkcji f przez przedział [α, β]

D_{T}(f, [α, β]) := sup{D_{F} (f, [α, β]): F ⊂ T skończone}.

Lemat 7.1 Ciąg liczbowy x_{n} jest zbieżny do pewnej granicy skończonej lub nie wtedy i tylko wtedy gdy D_{ℕ}((x_{n}), [α, β]) < ∞ dla dowolnych liczb wymiernych α < β.

Dowód. ⇒: Jeśli lim_{n→∞} x_{n} = g to albo g > α i x_{n} > α dla dużych n, albo g < β i wtedy x_{n} < β dla dużych n.

⇐: Jeśli ciąg x_{n} nie ma granicy to lim inf_{n→} x_{n} < lim sup_{n→} x_{n}. Możemy wtedy znaleźć liczby wymierne α, β takie, że lim inf_{n→} x_{n} < α < β < lim sup_{n→} x_{n} i nietrudno zauważyć, że wtedy D_{ℕ}((x_{n}), [α, β]) = ∞. □

Następny lemat jest prostą modyfikacją Lematu 7.1, więc przytoczymy go bez dowodu.

Lemat 7.2 Jeśli f: [a, b]∩ℚ → ℝ jest funkcją ograniczoną taką, że D_{[a,b]∩ℚ} (f, [α, β]) < ∞ dla dowolnych liczb wymiernych α < β to granice

∀_{t∈[a,b)} f(t+) := lim_{s→t+,s∈ℚ} f(s) i ∀_{t∈(a,b]} f(t−) := lim_{s→t−,s∈ℚ} f(s)

istnieją i są skończone.

Lemat 7.3 Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest podmartyngałem względem pewnej filtracji, a F jest przeliczalnym podzbiorem T, wówczas

ED_{F} (X, [α, β]) sup_{t∈F} \frac{E(X_{t} − β)^{+}}{β − α} .

Dowód. Stosując twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej widzimy, że wystarczy udowodnić lemat dla skończonych zbiorów F, dla uproszczenia notacji możemy oczywiście przyjąć, że F = {1, 2, …, N}. Zauważmy, że (przy oznaczeniach jak w Definicji 7.1)

X_{τ_{i} ∧N} −X_{σ_{i} ∧N} = \{ \begin{matrix}X_{τ_{i}} − X_{σ_{i}} β − α & gdy σ_{i} < ∞ \\ X_{τ_{i}} − X_{N} β − X_{N} −(X_{N} − β)^{+} & gdy τ_{i} < ∞ = σ_{i} \\ X_{N} − X_{N} = 0 & gdy τ_{i} = ∞ \end{matrix} .

Zatem

∑_{i=1}^{N} (X_{τ_{i} ∧N} − X_{σ_{i} ∧N} ) (β − α)D_{F} (X, [α, β]) − (X_{N} − β)^{+} .

Ponieważ na mocy Lematu 6.3 EX_{τ_{i∧N}} EX_{σ_{i∧N}} , więc

0 E ∑_{i=1}^{N} (X_{τ_{i} ∧N} − X_{σ_{i} ∧N} ) E(β − α)D_{F} (X, [α, β]) − E(X_{N} − β)^{+} .□

7.2 Zbieżność prawie na pewno

Twierdzenie 7.4 Załóżmy, że (X_{n})_{n∈ℕ} jest podmartyngałem takim, że sup_{n∈ℕ} EX_{n}^{+} < ∞ (lub nadmartyngałem takim, że sup_{n∈ℕ} EX_{n}^{−} < ∞), wówczas X = lim_{n→∞} X_{n} istnieje i jest skończona p.n. oraz E|X| < ∞.

Dowód. Oczywiście wystarczy udowodnić przypadek podmartyngału. Dla ustalonego α < β na podstawie Lematu 7.3 mamy

ED_{ℕ}(X_{n}, [α, β]) \frac{1}{β − α} sup_{n}E(X_{n} − β)^{+} < ∞

zatem P(D_{ℕ}(X_{n}, [α, β]) = ∞) = 0. Niech

A := ⋂_{α,beta∈ℚ,α<β} {D_{ℕ}(X_{n}, [α, β]) < ∞},

wówczas P(A) = 1, bo A jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary. Jeśli ω ∈ A to dla dowolnych liczb wymiernych α < β, D_{ℕ}(X_{n}(ω), [α, β]) < ∞ czyli na podstawie Lematu 7.1 granica X(ω) := lim_{n→∞} X_{n}(ω) istnieje (choć apriori może być nieskończona). Zauważmy, że E|X_{n}| = 2EX_{n}^{+} − EX_{n} 2EX_{n}^{+} − EX_{0}, zatem sup_{n} E|X_{n}| < ∞. Z Lematu Fatou

E|X| = E lim inf_{n→∞} |X_{n}| lim inf_{n→∞} E|X_{n}| sup_{n}E|X_{n}| < ∞

czyli zmienna X jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n. . □

Twierdzenie 7.5 Załóżmy, że T jest przedziałem, a (X_{t})_{t∈T} podmartyngałem (lub nadmartyngałem). Wówczas istnieje zbiór A taki, że P(A) = 1 oraz dla wszystkich ω ∈ A i t ∈ T poza odpowiednio lewym i prawym końcami T granice

X_{t+} (ω) = lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}(ω) oraz X_{t−} (ω) = lim_{s→t−,s∈ℚ} X_{s}(ω)

istnieją i są skończone.

Dowód. Bez straty ogólności możemy zakładać, że X_{t} jest podmartyngałem. Ponieważ możemy znaleźć niemalejący ciąg przedziałów [a_{n}, b_{n}] taki, że T = ⋃ _{n}[a_{n}, b_{n}], więc dowód wystarczy przeprowadzić w przypadku T = [a, b]. Zauważmy, że

sup_{t∈[a,b]} ]Ex(X_{t} − β)^{+} = E(X_{b} − β)^{+} < ∞

zatem na z Lematu 7.3 dostajemy

∀_{α<β} P(D_{[a,b]∩ℚ} (X_{t}, [α, β]) = ∞) = 0.

Ponadto na mocy Lematu 6.4 dla dowolnego λ > 0

λP( sup_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} λ) sup_{t∈[a,b]∩ℚ} EX_{t}^{+} = EX_{b}^{+} < ∞

oraz

λP( inf_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} −λ) sup_{t∈[a,b]∩ℚ} EX_{t}^{+} − EX_{a} = EX_{b}^{+} − EX_{a} < ∞.

Stąd

P(−∞ < inf_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} sup_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} < ∞) = 1.

Niech

A := ⋂_{α,beta∈ℚ,α<β} {D_{[a,b]∩ℚ} (X_{n}, [α, β]) < ∞} ∩ { sup_{t∈[a,b]∩ℚ} |X_{t}| < ∞},

wtedy P(A) = 1. By wykazać, że zbiór A ma postulowane własności wystarczy skorzystać z Lematu 7.2. □

Twierdzenie 7.6 Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest podmartyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że sup_{t 0} EX_{t}^{−} < ∞. Wówczas X = lim_{t→∞} X_{t} istnieje i jest skończony p.n. oraz E|X| < ∞.

Dowód. Wystarczy dowieść, że istnieje lim_{t→∞,t∈ℚ} X_{t}, a to dowodzimy w sposób analogiczny jak w poprzednich dwu twierdzeniach. □

Wniosek 7.7 Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas X = lim_{t→∞} X_{t} istnieje i jest skończony p.n. oraz E|X| < ∞.

7.3 Jednostajna całkowalność i zbieżność w L^{p}

Definicja 7.2 Rodzinę zmiennych losowych (X_{i})_{i∈I} nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli

lim_{C→∞} sup_{i∈I}E|X_{i}|I_{{|X_{i} |>C}} = 0.

Fakt 7.8 Rodzina zmiennych losowych (X_{i})_{i∈I} jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są następujące dwa warunki

a) sup_{i∈I} E|X_{i}| < ∞,

b) ∀_{ε>0} ∃_{δ>0} P(A) δ ⇒ sup_{i∈I} E|X_{i}|I_{A} ε.

Dowód. ⇒: Ustalmy ε > 0 i dobierzmy C takie, że sup_{i∈I} E|X_{i}|I_{{|X_{i} |>C}} ε/2. Wówczas

∀_{i∈I} E|X_{i}| C + E|X_{i}|I_{{|X_{i} |>C}} C + ε/2 < ∞

oraz jeśli P(A) < δ := \frac{ε}{2C} to

E|X_{i}|I_{A} CP(A) + E|X_{i}|I_{\{|X_{i} |>C\}} Cδ + \frac{ε}{2} = ε.

⇐: Niech a := sup_{i∈I} E|X_{i}| oraz δ > 0 będzie takie, że sup_{i∈I} E|X_{i}|I_{A} ε dla P(A) δ. Wówczas jeśli C = a/δ to P(|X_{i}| > C) < a/C = δ dla dowolnego i ∈ I czyli E|X_{i}|I_{{|X_{i} |>C}} ε. □

Przykłady rodzin jednostajnie całkowalnych

1. Rodzina jednoelementowa {Y } taka, że E|Y | < ∞.

Dowód. Oczywiście lim_{C→∞} E|Y |I_{{|Y |>C}} = 0. □

2. Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina (X_{i})_{i∈I} taka, że ∀_{i∈I} |X_{i}| Y oraz EY < ∞.

Dowód. Wykorzystujemy Fakt 7.8, poprzedni przykład i oczywistą obserwację E|X_{i}|I_{A} E|Y |I_{A}. □

3. Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej tzn. rodzina postaci (E(X|F_{i}))_{i∈I} , gdzie E|X| < ∞, zaś (F_{i})_{i∈I} dowolna rodzina σpodciał F.

Dowód. Mamy na podstawie nierówności Jensena E|X_{i}| = E|E(X|F_{i})| E|X|, a zatem

P(|X_{i}| C) \frac{E|X_{i}|}{C} \frac{E|X|}{C} δ dla C \frac{δ}{E|X|} .

Ponieważ {|X_{i}| C} ∈ F_{i}, więc z nierówności Jensena

E|X_{i}|I_{{|X_{i} |>C}} = E|E(XI_{{|X_{i} |>C}} |F_{i})| EE(|X|I_{{|X_{i} |>C}} |F_{i})
E(|X|I_{{|X_{i} |>C}} ) ε,

jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe δ korzystając z jednostajnej całkowalności {|X|}. □

4. Podmartyngał z czasem odwróconym o wartościach średnich ograniczonych z dołu tzn. podmartyngał (X_{n})_{n 0} taki, że a := lim_{n→∞} EX_{n} > −∞.

Dowód. Ustalmy ε > 0 i dobierzmy k takie, że EX_{k} a + ε/2, wówczas EX_{k} − ε/2 EX_{n} EX_{k} dla n k. Zatem dla takich n, z własności podmartyngału

E|X_{n}|I_{{|X_{n} |>C}} = EX_{n}I_{{X_{n} >C}} − EX_{n}I_{{X_{n} <−C}}

= EX_{n}I_{{X_{n} >C}} + EX_{n}I_{{X_{n} −C}} − EX_{n}

EX_{k}I_{\{X_{n} >C\}} + EX_{k}I_{\{X_{n} −C\}} − EX_{k} + \frac{ε}{2}

= EX_{k}I_{\{X_{n} >C\}} − EX_{k}I_{\{X_{n} <−C\}} + \frac{ε}{2} E|X_{k}|I_{\{|X_{n} |>C\}} + \frac{ε}{2}.

Ponieważ E|X_{n}| = 2EX_{n}^{+} −EX_{n} 2EX_{0}^{+} −a, więc b := sup_{n} E|X_{n}| < ∞.

Zatem

P(|X_{n}| > C) \frac{E|X_{n}|}{C} \frac{b}{C} dla C := \frac{b}{δ}

czyli wobec jednostajnej całkowalności rodziny jednoelementowej, dla odpowiednio małego δ > 0, E|X_{k}|I_{{|X_{n} |>C}} ε/2, a więc E|X_{n}|I_{{|X_{n} |>C}} ε dla n k i odpowiednio dużego C. Ponieważ rodzina {X_{k+1} , X_{k+2} , …, X_{0}} jest skończona, a zatem i jednostajnie całkowalna, więc dla dużych C i wszystkich n 0, E|X_{n}|I_{{|X_{n} |>C}} ε. □

Fakt 7.9 Załóżmy, że 1 p < ∞, a X_{n} są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina (|X_{n}|^{p})_{n=1}^{∞} jest jednostajnie całkowalna. Wówczas X_{n} zbiega do zmiennej X w L^{p} wtedy i tylko wtedy gdy X_{n} zbiega do X według prawdopodobieństwa.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że zbieżność X_{n} według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w L^{p}, bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa. Załóżmy więc, że X_{n} →^{P} X, wówczas dla pewnego podciągu n_{k}, X_{n_{k}} zbiega do X p.n., stąd na mocy Lematu Fatou

E|X|^{p} = E lim inf |X_{n_{k}} |^{p} lim inf E|X_{n_{k}} |^{p} sup_{n}E|X_{n}|^{p} < ∞.

Zatem rodzina {|X_{n}|^{p}: n = 1, 2, …} ∪ {|X|^{p}} jest jednostajnie całkowalna. Ustalmy ε > 0 i dobierzmy δ > 0 tak by dla P(A) < δ zachodziło E|X_{n}|^{p}I_{A} ε oraz E|X|^{p}I_{A} ε. Mamy

E|X_{n} − X|^{p} ε^{p} + E|X_{n} − X|^{p}I_{{|X_{n} −X|>ε}}
ε^{p} + 2^{p}E|X_{n}|^{p}I_{{|X_{n} −X|>ε}} + 2^{p}E|X|^{p}I_{{|X_{n} −X|>ε}} ,

a ponieważ X_{n} →^{P} X, więc P(|X_{n} − X| > ε) < δ dla dużych n czyli

E|X_{n} − X|^{p} ε^{p} + 2^{p+1} ε dla dostatecznie dużych n.□

Wniosek 7.10 Jeśli rodzina (X_{n})_{n=1}^{∞} jest jednostajnie całkowalna oraz X_{n} zbiega prawie na pewno do zmiennej X to lim_{n→∞} EX_{n}I_{A} = EXI_{A} dla wszystkich zdarzeń A.

Dowód. Stosujemy Fakt 7.9 i oczywiste szacowanie |EX_{n}I_{A} − EXI_{A}| E|X_{n} − X|. □

Twierdzenie 7.11 a) Załóżmy, że T jest przedziałem, a (X_{t})_{t∈T} martyngałem prawostronnie ciągłym, zaś σ i tau czasami zatrzymania takimi, że σ τ t_{max} oraz t_{max} ∈ T. Wówczas E(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n.

b) Jeśli (X_{t})_{0 t ∞} jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim elementem X_{∞} to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania σ τ, E(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n.

Dowód. Udowodnimy część a) (część b) dowodzi się w taki sam sposób). Zdefiniujmy

τ_{n}(ω) := \{ \begin{matrix}t_{max} − \frac{k}{n} & dla τ(ω) ∈ (t_{max} − \frac{k+1}{n} , t_{max} − \frac{k}{n}], k = 0, 1, …, n^{2} \\ t_{max} − n & dla τ(ω) t_{max} − n \end{matrix}

oraz

σ_{n}(ω) := \{ \begin{matrix}t_{max} − \frac{k}{n} & dla σ(ω) ∈ (t_{max} − \frac{k+1}{n} , t_{max} − \frac{k}{n}], k = 0, 1, …, n^{2} \\ t_{max} − n & dla σ(ω) t_{max} − n \end{matrix} .

Wówczas σ_{n} τ_{n} t_{max} są ograniczonymi czasami zatrzymania przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 6.3 mamy E(X_{τ_{n}} |F_{σ_{n}} ) = X_{σ_{n}} p.n., E(X_{t_{max}} |F_{σ_{n}} ) = X_{σ_{n}} p.n. oraz E(X_{t_{max}} |F_{τ_{n}} ) = X_{τ_{n}} p.n., w szczególności więc rodziny (X_{τ_{n}} )_{n=1}^{∞} oraz (X_{σ_{n}} )_{n=1}^{∞} są jednostajnie całkowalne. Ponieważ τ_{n} → τ+ oraz σ_{n} → σ+, więc z prawostronnej ciągłości X oraz Faktu 7.9 X_{τ_{n}} → X_{τ}, X_{σ_{n}} → X_{σ} p.n. i w L^{1}. Weźmy A ∈ F_{σ} ⊂ F_{σ_{n}} , wówczas

EX_{τ}I_{A} = lim_{n→∞} EX_{τ_{n}} I_{A} = lim_{n→∞} EX_{σ_{n}} I_{A} = EX_{σ}I_{A},

co oznacza, że E(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n. □

Definicja 7.3 Funkcję f: T → ℝ określoną na przedziale T nazywamy PCLG (często również używa się pochodzącej z francuskiego nazwy cadlag) jeśli jest prawostronnie ciągła i w każdym punkcie T (poza ewentualnie lewym końcem) ma skończone lewostronne granice.

Twierdzenie 7.12 Załóżmy, że T jest przedziałem, a X = (X_{t})_{t∈T} jest podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem filtracji (F_{t})_{t∈T} spełniającej zwykłe warunki. Wówczas X ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy i tylko wtedy gdy funkcja t → EX_{t} jest prawostronnie ciągła. Co więcej, jeśli taka modyfikacja istnieje to istnieje również modyfikacja PCLG i F_{t}-adaptowalna będąca podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem (F_{t})_{t∈T} .

Dowód. ⇐ Wystarczy rozpatrzeć przypadek podmartyngału oraz T = [a, b]. Na mocy Twierdzenia 7.5 istnieje A takie, że P(A) = 1 oraz dla wszystkich ω ∈ A granice lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}, t ∈ [a, b) oraz lim_{s→t−,s∈ℚ} X_{s}, t ∈ (a, b] istnieją i są skończone. Połóżmy

X_{t+} (ω) := \{ \begin{matrix}lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}(ω) & ω ∈ A \\ 0 & ω ∉ A \end{matrix}

Niech t_{n} ↘ t+, ponieważ EX_{t_{n}} EX_{a}, więc (X_{t_{n}} )_{n} jest jednostajnie całkowalny jako podmartyngał z czasem odwróconym (zob. Przykład 4). Weźmy A ∈ F_{t}, wówczas

EX_{t}I_{A} EX_{t_{n}} I_{A} → EX_{t+} I_{A} przy n → ∞,

stąd X_{t+} = E(X_{t+} |F_{t}) X_{t}p.n.. Co więcej

E(X_{t+} − X_{t}) = lim_{n→∞} EX_{t_{n}} − EX_{t} = 0

na mocy prawostronnej ciągłości t → EX_{t} czyli X_{t+} = X_{t} p.n., a zatem X_{t+} jest szukaną modyfikacją X.

⇒: Zauważmy, że jeśli X_{t} prawostronnie ciągły to X_{t+} = X_{t}, biorąc t_{n} ↘ t+ i wykorzystując jednostajną całkowalność (X_{t_{n}} )_{n} (zob. Przykład 4) dostajemy EX_{t} = EX_{t+} = lim_{n→∞} EX_{t_{n}} . □

Twierdzenie 7.13 Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

a) Rodzina (X_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalna.

b) Istnieje całkowalna zmienna losowa X_{∞} taka, że X_{t} zbiega do X_{∞} w L^{1} tzn. lim_{t→∞} E|X_{t} − X_{∞} | = 0.

c) Istnieje całkowalna zmienna losowa X_{∞} mierzalna względem F_{∞} := σ(⋃ _{t 0} F_{t}) taka, że X_{t} = E(X_{∞} |F_{t}) dla t 0. W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c) to X_{∞} = lim_{t→∞} X_{t} p.n.

Dowód. a)⇒b): Jeśli X_{t} jest jednostajnie całkowalny to sup_{t} EX_{t}^{−} sup_{t} E|X_{t}| < ∞, czyli wobec Twierdzenia 7.6 istnieje zmienna całkowalna X_{∞} taka, że X_{t} → X_{∞} p.n.. Z jednostajnej całkowalności i Lematu 7.9 wynika zbieżność w L^{1}.

b)⇒c): Dla pewnego podciągu t_{k} → ∞, X_{t_{k}} → X_{∞} p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna X_{∞} jest F_{∞} mierzalna. Ustalmy t i A ∈ F_{t}, wówczas dla s t

EX_{t}I_{A} = EX_{s}I_{A} → EX_{∞} I_{A}, s → ∞.

Zatem X_{t} = E(X_{∞} |F_{t}) p.n..

c)⇒a) wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie całkowalna.

Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)⇒b). □

Twierdzenie 7.14 Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

a) sup_{t 0} E|X_{t}|^{p} < ∞

b) Rodzina (|X_{t}|^{p})_{t 0} jest jednostajnie całkowalna.

c) Istnieje zmienna losowa X_{∞} ∈ L^{p} taka, że X_{t} zbiega do X_{∞} w L^{p} tzn. lim_{t→∞} E|X_{t} − X_{∞} |^{p} = 0.

d) Istnieje losowa X_{∞} ∈ L^{p} mierzalna względem F_{∞} := σ(⋃ _{t 0} F_{t}) taka, że X_{t} = E(X_{∞} |F_{t}) dla t 0. W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d) to X_{∞} = lim_{t→∞} X_{t} p.n.

Dowód. a)⇒b): Na podstawie Twierdzenia 6.6 wiemy, że E sup_{t 0} |X_{t}|^{p} (\frac{p}{p−1} )^{p} sup_{t 0} E|X_{t}|^{p} < ∞. Pozostałe implikacje dowodzimy jak w dowodzie Twierdzenia 7.13.□

Uwaga: Ciąg dalszy notatek w plikach wykps2.*

A Kilka faktów z Rachunku Prawdopodobieństwa i Analizy Matematycznej

W części tej zebrano (na ogół bez dowodów) kilka twierdzeń wykorzystywanych podczas wykładów. Twierdzenia te są zwykle dowodzone w czasie kursowych wykładów z analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja A.1 Rodzina S podzbiorów zbioru X jest π−układem jeśli dla dowolnych A, B ∈ S zbiór A ∩ B ∈ S.

Definicja A.2 Rodzina A podzbiorów zbioru X jest λ−układem jeśli spełnione są następujące waruki

i) X ∈ A, ii) Jeśli A, B ∈ A i A ⊂ B, to B \ A ∈ A, iii) Jeśli A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ … oraz A_{i} ∈ A dla i = 1, 2, … to ⋃ _{i=1}^{∞} A_{i} ∈ A.

Twierdzenie A.1 (O π− i λ− układach) Jeśli A jest λ−układem zawierającym π−układ S to A zawiera również σ-ciało σ(S) generowane przez S.

Twierdzenie A.2 (Caratheodory’ego o przedłużaniu miary) Załóżmy, że A jest algebrą podzbiorów X, a μ_{0} skończenie addytywną funkcją z A w ℝ_{+} . Wówczas μ_{0} przedłuża się do miary μ na σ-algebrze σ(A) wtedy i tylko wtedy gdy μ_{0} jest ciągła w ∅ tzn

jeśli A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ …, A_{n} ∈ A, ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = ∅ to lim_{n→∞} μ_{0}(A_{n}) = 0.  (C)

Lemat A.3 (Nierówność Jensena) Niech f: ℝ → ℝ będzie funkcją wypukłą, a X całkowalną zmienną losową taką, że E|f(X)| < ∞. Wówczas dla dowolnego sigma ciała G, E(f(X)|G) f(E(X|G)) p.n..

Dowód. Możemy znaleźć ciągi a_{n} i b_{n} takie, że f(x) = sup_{n}(a_{n} + b_{n}x) dla wszystkich x ∈ ℝ. Z liniowości wartości oczekiwanej

f(E(X|G)) = sup_{n}(a_{n} + b_{n}E(X|G)) = sup_{n}E(a_{n} + b_{n}X|G) E(f(X)|G).□

Lemat A.4 (Całkowanie przez części) Załóżmy, że Z jest nieujemną zmienną losową, a φ: ℝ_{+} → ℝ niemalejącą funkcją różniczkowalną taką, że φ(0) = 0. Wówczas

Eφ(Z) = ∫_{0}^{∞} φ′(t)P(Z t)dt.

Dowód. Mamy stosując twierdzenie Fubiniego

Eφ(Z) = E(φ(Z) − φ(0)) = E ∫_{0}^{Z} φ′(t)dt

= ∫_{0}^{∞} φ′(t)(EI_{Z t} )dt = ∫_{0}^{∞} φ′(t)P(Z t)dt.□

Twierdzenie A.5 (Riesza o reprezentacji) Załóżmy, że E jest lokalnie zwartą przestrzenią metryczną (lub ogólniej lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorfa), wówczas dla każdego ograniczonego funkcjonału liniowego Φ na przestrzeni C_{0}(E) istnieje dokładnie jedna miara borelowska μ ∈ M(E) taka, że

∀_{f∈C_{0} (E)} Φ(f) = ∫_{E} f(x)dμ(x).

Co więcej

∥Φ∥ := sup{|Φ(f)|: f ∈ C_{0}(E), ∥f∥ 1} = ∥μ∥_{M(E)}

oraz miara μ jest nieujemna wtedy i tylko wtedy gdy funkcjonał Φ jest nieujemny.

Dowód można znaleźć np. w [6], twierdzenie 6.19.

Bibliografia

[1] T. Bojdecki, Martyngały z czasem dyskretnym, zarys teorii i przykłady zastosowań, Wyd. UW, Warszawa 1977

[2] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987

[3] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I-II, PWN, Warszawa 1966

[4] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd II, Script, Warszawa 2001

[5] I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd edition, Springer-Verlag, New York 1997

[6] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1998

[7] D. Revuz, M. Yor, Continous martingales and Brownian Motion, 3rd edition, Springer-Verlag, Berlin 1999

[8] A. D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1980