Wstęp do Analizy Stochastycznej

Rafał Latała

6 września 2010

Poniższy tekst zawiera notatki do wykładów ze Wstępu do Analizy Stochastycznej, prowadzonego w semestrze wiosennym 2010 roku. Gwiazdkami oznaczono paragrafy dla których zabrakło czasu w trakcie wykładów (być może niektóre z nich były omówione podczas ćwiczeń) i których znajomość nie będzie wymagana podczas egzaminu, choć mile widziana.

U Czytelnika zakłada się znajomość podstawowych faktów z zakresu kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie potrzebne wiadomości można znaleźć w podręcznikach [1] i [3].

Autor przeprasza za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące się pojawić w tekście i jednocześnie zwraca się z prośbą do Czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o ich zakomunikowanie osobiste lub wysłanie na adres emailowy rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek (daty), której dotyczą.

Dziękuje panom Krzesimirowi Arodziowi, Tomaszowi Badowskiemu, Marianowi Kędzierskiemu i Radomirowi Mastelorzowi za zauważenie literówek w notatkach.

1 Podstawowe Definicje. Proces Wienera.

Zaczniemy od podania ważnych definicji używanych podczas całego wykładu.

Definicja 1. Niech (Ω, F, ℙ) będzie przestrzenią probabilistyczną, (E, E) przestrzenią mierzalną, zaś T dowolnym zbiorem. Procesem stochastycznym o wartościach w E, określonym na zbiorze T, nazywamy rodzinę zmiennych losowych X = (X_{t})_{t∈T}, przyjmujących wartości w zbiorze E.

Uwaga 2. W zasadzie w czasie całego wykładu T będzie podzbiorem ℝ (najczęściej przedziałem, niekoniecznie ograniczonym), zaś E = ℝ lub ℝ^{d}. Parametr t można wówczas interpretować jako czas.

Definicja 3. Trajektorią procesu X nazywamy funkcję (losową!) t → X_{t}(ω), określoną na zbiorze T o wartościach w E.

Definicja 4. Powiemy, że proces X = (X_{t})_{t∈T}, T ⊂ ℝ ma przyrosty niezależne jeśli dla dowolnych indeksów t_{0} t_{1} … t_{n} ze zbioru T, zmienne losowe X_{t_{0}}, X_{t_{1}} − X_{t_{0}}, X_{t_{2}} − X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} są niezależne.

Definicja 5. Mówimy, że proces stochastyczny (X_{t})_{t 0} ma przyrosty stacjonarne, jeśli rozkład X_{t} − X_{s} zależy tylko od t − s, czyli

∀_{t>s 0} X_{t} − X_{s} ∼ X_{t−s} − X_{0}.

1.1 Proces Wienera (Ruch Browna)

Definicja 6. Procesem Wienera (Ruchem Browna) nazywamy proces stochastyczny W = (W_{t})_{t 0} taki, że

W_{0} = 0 p.n.;  (W0)
W ma przyrosty niezależne;  (W1)
Dla 0 s < t zmienna W_{t} − W_{s} ma rozkład normalny N (0, t − s) ; (W2)
Trajektorie W są ciągłe z prawdopodobieństwem 1.  (W3)

Uwaga 7. Warunek (W3) oznacza, że istnieje zbiór A taki, że ℙ(A) = 1 oraz dla wszystkich ω ∈ A, t → W_{t}(ω) jest funkcją ciągłą na [0, ∞). Czasami w definicji procesu Wienera zakłada się, że wszystkie trajektorie są ciągłe oraz W_{0} ≡ 0.

1.2 *Konstrukcja Procesu Wienera*

Podczas następnych wykładów podamy dość abstrakcyjną konstrukcję procesu Wienera opartą o ogólniejsze twierdzenia dotyczące istnienia i ciągłości trajektorii procesów stochastycznych. W tym paragrafie jedynie naszkicujemy alternatywną, bardziej bezpośrednią konstrukcję.

Najpierw zdefiniujemy pewne dwa ważne układy funkcji.

Definicja 8. Niech I(0) = {1}, I(n) = {1, …, 2^{n−1} }, n = 1, 2, . . .. Układem Haara nazywamy rodzinę funkcji (h_{n,k})_{k∈I(n),n=0,1,...} określonych na [0, 1] wzorami h_{0,1}(t) ≡ 1 oraz dla k ∈ I(n), n 1,

h_{n,k}(t) = \{ \begin{matrix}2^{\frac{n−1}{2}} & dla (2k − 2)2^{−n} t < (2k − 1)2^{−n} \\ −2^{\frac{n−1}{2}} & dla (2k − 1)2^{−n} t < 2k · 2^{−n} \\ 0 & w pozostałych przypadkach. \end{matrix}

Definicja 9. Przy oznaczeniach poprzedniej definicji układem Schaudera nazywamy rodzinę funkcji (S_{n,k})_{n=0,1,...,k∈I(n)} określonych na [0, 1] wzorem S_{n,k}(t) = ∫_{0}^{t} h_{n,k}(s)ds.

Fakt 10. a) Układ Haara jest bazą ortonormalną przestrzeni L_{2}[0, 1].

b) Dla ustalonego n 1, funkcje (S_{n,k})_{k∈I(n)} mają nośniki o rozłącznych wnętrzach oraz ∥S_{n,k}∥_{∞} = 2^{−(n+1)/2} .

Uwaga 11. Układ Haara jest bazą Schaudera w przestrzeniach L_{p}[0, 1], 1 p < ∞. Po dodaniu funkcji stale równej 1, układ Schaudera staje się bazą Schaudera przestrzeni C[0, 1].

Fakt 12. Dla dowolnych t, s ∈ [0, 1] mamy

∑_{n=0}^{∞} ∑_{k∈I(n)} S_{n,k}(t)S_{n,k}(s) = min{t, s}.

Niech (g_{n,k})_{k∈I(n),n=0,1,...} będzie rodziną niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N (0, 1) i

W_{t}^{(n)}(ω) = ∑_{m=0}^{n} ∑_{k∈I(m)} g_{m,k}(ω)S_{m,k}(t).

Twierdzenie 13. Dla prawie wszystkich ω ∈ Ω ciąg funkcji (W_{t}^{(n)}(ω)) zbiega jednostajnie na [0, 1] do pewnej funkcji ciągłej W_{t}(ω). Jeśli określimy np. W_{t}(ω) = 0 dla pozostałych ω, to tak zdefiniowany proces stochastyczny jest procesem Wienera na [0, 1].

Uwaga 14. Mając dany proces Wienera (W_{t})_{t∈[0,1]} nietrudno skonstruować proces Wienera na całej prostej. Można np. sprawdzić, że ((1 + t)W_{\frac{1}{1+t}} − W_{1})_{t 0} jest takim procesem.

1.3 Charakteryzacje procesu Wienera

Najpierw podamy twierdzenie, które znacznie ułatwia sprawdzanie, że dany proces jest procesem Wienera. Musimy wpierw podać ważną definicję.

Definicja 15. Proces X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy gaussowskim, jeśli wszystkie skończenie wymiarowe rozkłady X są gaussowskie, tzn. wektor (X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}}) ma rozkład gaussowski dla dowolnych t_{1}, …, t_{n} ∈ T.

Przykłady

1. X_{t} = f(t)g, gdzie f: T → ℝ dowolne oraz g ∼ N (0, 1).

2. Proces Wienera (W_{t})_{t 0} .

3. Most Browna X_{t} = W_{t} − tW_{1}, 0 t 1.

Twierdzenie 16. Proces (X_{t})_{t 0} jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy jest procesem gaussowskim, o ciągłych trajektoriach p.n. takim, że 𝔼X_{t} = 0 oraz Cov(X_{t}, X_{s}) = min{t, s}.

Dowód. ⇒: Mamy 𝔼X_{t} = 𝔼(X_{t} − X_{0}) = 0 oraz Var(X_{t}) = Var(X_{t} − X_{0}) = t na mocy (W0) i (W2). Ponadto z niezależności przyrostów, dla t > s, Cov(X_{t}, X_{s}) = Cov(X_{t} − X_{s}, X_{s}) + Var(X_{s}) = 0 + s = min{t, s}.

⇐: Zauważmy, że Var(X_{0}) = 0 = 𝔼X_{0}, więc spełniony jest warunek (W0). Dla t > s, zmienna W_{t} − W_{s} ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją Var(X_{t} − X_{s}) = Var(X_{t}) + Var(X_{s}) − 2Cov(X_{t}, X_{s}) = t − s, więc zachodzi (W2). By sprawdzić niezależność przyrostów ustalmy 0 t_{0} t_{1} … t_{n}. Zauważmy, że wektor (X_{t_{0}}, X_{t_{1}} − X_{t_{0}}, X_{t_{2}} − X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} ) ma rozkład gaussowski, więc jego współrzędne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Mamy jednak dla s_{1} s_{2} s_{3} s_{4},

Cov(X_{s_{1}} , X_{s_{3}} − X_{s_{2}} ) = Cov(X_{s_{1}} , X_{s_{3}} ) − Cov(X_{s_{1}} , X_{s_{2}} ) = s_{1} − s_{1} = 0

oraz

Cov(X_{s_{2}} −X_{s_{1}} , X_{s_{4}} −X_{s_{3}} ) = Cov(X_{s_{2}} , X_{s_{4}} −X_{s_{3}} )−Cov(X_{s_{1}} , X_{s_{4}} −X_{s_{3}} ) = 0.

Kolejne twierdzenie pokazuje, że (z dokładnością do drobnych technicznych założeń oraz normalizacji) proces Wienera jest jedynym procesem o ciągłych trajektoriach oraz niezależnych i stacjonarnych przyrostach.

Twierdzenie 17. Załóżmy, że proces (X_{t})_{t 0} spełnia warunki (W0), (W1), (W3) (z W zastąpionym przez X) oraz

X ma przyrosty stacjonarne;  (W2a)
𝔼X_{1} = 0, Var(X_{1}) = 1;  (W2b)
𝔼X_{t}^{4} < ∞ dla wszystkicht > 0.  (W2c)

Wówczas X_{t} jest procesem Wienera.

Dowód. Określmy dla t 0, a(t) = 𝔼X_{t} oraz b(t) = Var(X_{t}). Zauważmy, że na mocy niezależności i stacjonarności przyrostów,

b(t + s) = Var(X_{t+s} − X_{t} + X_{t}) = Var(X_{t+s} − X_{t}) + Var(X_{t})
= Var(X_{s}) + Var(X_{t}) = b(t) + b(s).

Ponadto oczywiście b(t) 0, zatem funkcja b(t) jest addytywna i niemalejąca na [0, ∞), więc b(t) = ct dla pewnego c 0, co wobec (W2b) daje Var(X_{t}) = b(t) = t. Analogicznie sprawdzamy, że a(t + s) = a(t) + a(s), wiemy też, że a(0) = 0, stąd dowodzimy, że 𝔼X_{t} = a(t) = 0 dla t wymiernych. Weźmy t > 0 i wybierzmy dążący do t ciąg liczb wymiernych (t_{n}). Na mocy (W2c), 𝔼X_{t}^{2} < ∞, wiemy też, że 𝔼X_{t_{n}}^{2} = Var(X_{t_{n}}) = t_{n}, zatem (𝔼|X_{t_{n}} − X_{t}|^{2})^{1/2} M dla pewnej stałej M. Z ciągłości trajektorii X_{t_{n}} → X_{t} prawie na pewno, czyli również według prawdopodobieństwa. Zatem dla ε > 0,

|𝔼X_{t}| = |𝔼X_{t} − 𝔼X_{t_{n}} | 𝔼|X_{t} − X_{t_{n}} | ε + 𝔼|X_{t} − X_{t_{n}} |𝟙_{{|X_{t}−X_{tn} | ε}}
ε + (𝔼|X_{t} − X_{t_{n}} |^{2})^{1/2}ℙ(|X_{t} − X_{t_{n}} | ε)^{1/2}
ε + Mℙ(|X_{t} − X_{t_{n}} | ε)^{1/2} 2ε

dla dostatecznie dużych n. Stąd 𝔼X_{t} = 0. Wykazaliśmy zatem, że X_{t} ma średnią zero i wariancję t.

Ustalmy t > s 0, chcemy pokazać, że X_{t} − X_{s} ma rozkład normalny N (0, t − s). Zauważmy, że

X_{t} − X_{s} = ∑_{k=1}^{n} Y_{n,k}, gdzie Y_{n,k} = X_{s+k(t−s)/n} − X_{s+(k−1)(t−s)/n} .

Zmienne (Y_{n,k})_{1 k n} tworzą układ trójkątny, możemy więc skorzystać z Centralnego Twierdzenia Granicznego i wykazać, że ∑ _{k=1}^{n} Y_{n,k} zbiega do N (0, t − s) według rozkładu. Mamy

∑_{k=1}^{n} 𝔼Y_{n,k} = 0, ∑_{k=1}^{n} Var(Y_{n,k}) = t − s,

wystarczy więc sprawdzić warunek Lindeberga. Dla ε > 0,

L_{n}(ε) = ∑_{k=1}^{n} 𝔼|Y_{n,k}|^{2}𝟙_{{|Y_{n,k} | ε}} 𝔼[( ∑_{k=1}^{n} |Y_{n,k}|^{2})𝟙_{{max_{k n} |Y_{n,k} | ε}} ]

(𝔼( ∑_{k=1}^{n} |Y_{n,k}|^{2})^{2})^{1/2}ℙ( max_{k n}|Y_{n,k}| ε)^{1/2}.

Zauważmy, że zmienne (Y_{n,k}) dla ustalonego n są niezależne i mają średnią zero, zatem

𝔼(X_{t} − X_{s})^{4} = 𝔼( ∑_{k=1}^{n} Y_{n,k})^{4} = ∑_{1 k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} n} 𝔼Y_{n,k_{1}} Y_{n,k_{2}} Y_{n,k_{3}} Y_{n,k_{4}}

= ∑_{k=1}^{n} 𝔼Y_{n,k}^{4} + 6 ∑_{1 k<l n} 𝔼Y_{n,k}^{2}𝔼Y_{n,l}^{2}

∑_{k=1}^{n} 𝔼Y_{n,k}^{4} + 2 ∑_{1 k<l n} 𝔼Y_{n,k}^{2}𝔼Y_{n,l}^{2} = 𝔼( ∑_{k=1}^{n} |Y_{n,k}|^{2})^{2}.

Z ciągłości trajektorii X wynika, że ℙ(max_{k n} |Y_{n,k}| ε) → 0 przy n → ∞, zatem lim_{n→∞} L_{n}(ε) = 0.

Uwaga 18. Warunek (W2c) nie jest konieczny - zob. Twierdzenie 5 z paragrafu 13.1 książki [3].

Okazuje się, że również nie trzeba zakładać skończoności wariancji ani nawet istnienia wartości średniej W_{1} - warunek (W2b) ma charakter czysto normalizacyjny. Dokładniej zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 19. Załóżmy, że proces stochastyczny X = (X_{t})_{t 0} spełnia warunki (W0),(W1),(W2a) i (W3). Wówczas istnieją stałe a, b ∈ ℝ i proces Wienera W takie, że X_{t} = aW_{t} + bt dla wszystkich t 0.

1.4 Nieróżniczkowalność trajektorii

Trajektorie procesu Wienera mają wiele ciekawych własności, część z nich poznamy później. W tym paragrafie pokażemy, że mimo iż są ciągłe, to z prawdopodobieństwem 1 nie są różniczkowalne w żadnym punkcie.

Twierdzenie 20. Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera (W_{t})_{t 0} są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie, tzn.

ℙ(∃_{t_{0} 0} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne wt_{0}) = 0.

Dowód. Najpierw pokażemy nieróżniczkowalność trajektorii na [0, 1), tzn.

ℙ(∃_{t_{0}∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Zauważmy, że jeśli funkcja f: [0, 1] → ℝ jest różniczkowalna w t_{0} ∈ [0, 1) oraz |f′(t_{0})| < M, to |f(t) − f(t_{0})| M|t − t_{0}| dla t dostatecznie bliskich t_{0}. Zatem, jeśli j/n t_{0} < (j + 1)/n, to dla dostatecznie dużych n,

|f( \frac{j + 1}{n} ) − f( \frac{j}{n}) | |f( \frac{j + 1}{n} ) − f(t_{0})| + |f(t_{0}) − f( \frac{j}{n}) | M( \frac{1}{n} + \frac{1}{n}),

|f( \frac{j + 2}{n} )−f( \frac{j + 1}{n} ) | |f( \frac{j + 2}{n} )−f(t_{0})|+|f(t_{0})−f( \frac{j + 1}{n} ) | M( \frac{2}{n}+\frac{1}{n})

oraz

|f( \frac{j + 3}{n} )−f( \frac{j + 2}{n} ) | |f( \frac{j + 3}{n} )−f(t_{0})|+|f(t_{0})−f( \frac{j + 2}{n} ) | M( \frac{3}{n}+\frac{2}{n}).

Stąd, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w jakimś punkcie przedziału [0, 1), to

∃_{M<∞} ∃_{m<∞} ∀_{n m} ∃_{0 j n−3} ∀_{k=0,1,2} |f( \frac{j + k + 1}{n} ) − f( \frac{j + k}{n} ) | \frac{5M}{n} .

Czyli

ℙ(∃_{t_{0}∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0})

ℙ( ⋃_{M=1}^{∞} ⋃_{m=1}^{∞} ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} \{ |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} \})

∑_{M=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} ℙ( ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} \{ |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} \}) .

Z niezależności przyrostów dostajemy

ℙ( ⋂_{k=0}^{2} \{ |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} \}) = ∏_{k=0}^{2} ℙ( |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} )

= (ℙ( |W_{\frac{1}{n}} | \frac{5M}{n} ) )^{3} = (ℙ( \frac{1}{\sqrt{n}}|W_{1}| \frac{5M}{n} ) )^{3}

= ( \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−5M/\sqrt{n}}^{5M/\sqrt{n}} e^{−x^{2}/2} dx)^{3} ( \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{10M}{\sqrt{n}} )^{3}.

Zatem

ℙ( ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} \{ |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} \}) ∑_{j=0}^{n−3} \frac{1000M^{3}}{n^{3/2}} \frac{1000M^{3}}{\sqrt{n}} ,

czyli

ℙ( ⋂_{n=m}^{∞} ⋃_{j=0}^{n−3} ⋂_{k=0}^{2} \{ |W_{\frac{j+k+1}{n}} − W_{\frac{j+k}{n}} | \frac{5M}{n} \}) = 0

i

ℙ(∃_{t_{0}∈[0,1)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Nieznacznie modyfikując poprzedni dowód (albo używając faktu, że W̃_{t} = T^{−1/2} W_{tT} też jest procesem Wienera oraz w oczywisty sposób nieróżniczkowalność W na [0, 1) jest równoważna nieróżniczkowalności W̃ na [0, T)) dostajemy, że dla T < ∞,

ℙ(∃_{t_{0}∈[0,T)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

By zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że

ℙ(∃_{t_{0}>0} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0})
= lim_{N→∞} ℙ(∃_{t_{0}∈[0,N)} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}) = 0.

Uwaga 21. Dokładna analiza przedstawionego dowodu pokazuje, że nie wykazaliśmy mierzalności zdarzenia {∃_{t_{0}} t → W_{t}(ω) jest różniczkowalne w t_{0}}, a jedynie to, że jest ono podzbiorem pewnego zdarzenia miary zero. By uniknąć kłopotów technicznych podobnego rodzaju, wygodnie jest przyjąć, że przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ℙ) jest zupełna, tzn. dowolny podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny (każdą przestrzeń probabilistyczną można rozszerzyć do przestrzeni zupełnej).

2 Rozkłady Procesów Stochastycznych

Podczas tego wykładu zdefiniujemy rozkład procesu stochastycznego, w szczególności powiemy jakie zdarzenia określone przez proces są mierzalne. Udowodnimy, że rozkład procesu jest wyznaczony przez rozkłady skończenie wymiarowe. Sformułujemy też warunki, które muszą być spełnione, by istniał proces stochastyczny o zadanych rozkładach skończenie wymiarowych.

Przypomnijmy, że jeśli X jest zmienną losową o wartościach w przestrzeni (E, E), to rozkładem X jest miara probabilistyczna na (E, E) zadana wzorem

μ_{X}(A) = ℙ(X ∈ A), A ∈ E.

2.1 σ-ciało zbiorów cylindrycznych

Proces X = (X_{t})_{t∈T} możemy traktować jako zmienną losową o wartościach w ℝ^{T}. Jakie podzbiory ℝ^{T} są wówczas na pewno mierzalne?

Definicja 1. Zbiory postaci

{x ∈ ℝ^{T}: (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ A}, t_{1}, …, t_{n} ∈ T, A ∈ B(ℝ^{n})

nazywamy zbiorami cylindrycznymi. Przez B(ℝ^{T}) będziemy oznaczać najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory cylindryczne i będziemy je nazywać σciałem zbiorów cylindrycznych.

Uwaga 2. Zauważmy, że

B(ℝ^{T}) = σ({x ∈ ℝ^{T}: x_{t} ∈ A}, t ∈ T, A ∈ B(ℝ)).

Przykłady

1. Zbiory {x: x_{t} > x_{s}}, {x: x_{t_{1}} > 0, x_{t_{2}} − x_{t_{1}} > 0, …, x_{t_{n}} − x_{t_{n−1}} > 0} oraz {x: ∀_{t<s,t,s∈ℚ_{+}} x_{t} > x_{s}} należą do B(ℝ^{[0,∞)} ).

2. Zbiór {x: sup_{t∈T} |x_{t}| 1} nie należy do B(ℝ^{T}), gdy T jest nieprzeliczalny, podobnie {x: t → x_{t} ciągłe} nie należy do B(ℝ^{T}), gdy T jest niezdegenerowanym przedziałem.

Definicja 3. Rozkładem procesu X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy miarę probabilistyczną μ_{X} na B(ℝ^{T}) daną wzorem

μ_{X}(C) = ℙ((X_{t})_{t∈T} ∈ C), C ∈ B(ℝ^{T}).

Uwaga 4. Załóżmy, że T jest przedziałem (skończonym lub nie). Na przestrzeni funkcji ciagłych C(T) rozważmy topologię zbieżności niemal jednostajnej. Wówczas B(ℝ^{T}) ∩ C(T) = B(C(T)), co oznacza, że jeśli proces X = (X_{t})_{t∈T} ma ciągłe trajektorie, to X wyznacza rozkład probabilistyczny na przestrzeni funkcji ciągłych (C(T), B(C(T))). W szczególności proces Wienera wyznacza pewien rozkład probabilistyczny na C[0, ∞).

2.2 Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu

Najprostsze zbiory z B(ℝ^{T}), to zbiory cylindryczne. Miary takich zbiorów to rozkłady skończenie wymiarowe procesu.

Definicja 5. Dla procesu (X_{t})_{t∈T} o wartościach w ℝ i t_{1}, …, t_{n} ∈ T określamy miarę μ_{t_{1},...,t_{n}} na ℝ^{n} wzorem

μ_{t_{1},...,t_{n}} (A) = ℙ((X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}}) ∈ A), A ∈ B(ℝ^{n}).

Rodzinę miar {μ_{t_{1},...,t_{n}} : t_{1}, …, t_{n} ∈ T parami różne} nazywamy rodziną skończenie wymiarowych rozkładów procesu X.

Fakt 6. Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} i Y = (Y_{t})_{t∈T} są procesami o tych samych skończenie wymiarowych rozkładach, czyli

ℙ((X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}}) ∈ A) = ℙ((Y_{t_{1}}, …, Y_{t_{n}}) ∈ A)

dla wszystkich t_{1}, …, t_{n} ∈ T, A ∈ B(ℝ^{n}). Wówczas X i Y mają ten sam rozkład, tzn.

ℙ(X ∈ C) = ℙ(Y ∈ C) dla wszystkichC ∈ B(ℝ^{T}).

Dowód. Rodzina zbiorów cylindrycznych A tworzy π-układ, a rodzina C zbiorów C takich, że ℙ(X ∈ C) = ℙ(Y ∈ C), jest λ-układem zawierającym A. Zatem z twierdzenia o π- i λ- układach, C zawiera również σ-ciało generowane przez A, czyli B(ℝ^{T}).

Definicja 7. Powiemy, że rodzina skończenie wymiarowych rozkładów

{μ_{t_{1},...,t_{n}} : t_{1}, …, t_{n} ∈ T parami różne}

spełnia warunki zgodności, jeśli zachodzą następujące warunki: i) Dla dowolnych t_{1}, t_{2}, …, t_{n} ∈ T, dowolnej permutacji (i_{1}, …, i_{n}) liczb

(1, …, n) oraz zbiorów A_{1}, A_{2}, …, A_{n} ∈ B(ℝ),

μ_{t_{i_{1}} ,...,t_{in}} (A_{i_{1}} × A_{i_{2}} × … × A_{i_{n}} ) = μ_{t_{1},...,t_{n}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n}).

ii) Dla dowolnych t_{1}, t_{2}, …, t_{n+1} ∈ T oraz A_{1}, A_{2}, …, A_{n} ∈ B(ℝ),

μ_{t_{1},...,t_{n} ,t_{n+1}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n} × ℝ) = μ_{t_{1},...,t_{n}} (A_{1} × A_{2} × … × A_{n}).

Oczywiście rodzina rozkładów skończenie wymiarowych dowolnego procesu stochastycznego spełnia warunki zgodności. Okazuje się, że są to jedyne warunki jakie należy nałożyć na taką rodzinę.

Twierdzenie 8. Załóżmy, że dana jest rodzina skończenie wymiarowych rozkładów (μ_{t_{1},...,t_{n}}) spełniająca warunki zgodności. Wówczas istnieje proces (X_{t})_{t∈T} mający skończenie wymiarowe rozkłady równe (μ_{t_{1},...,t_{n}}).

Nie będziemy przedstawiać technicznego dowodu powyższego twierdzenia - wszystkich zainteresowanych odsyłamy do Dodatku B. W zamian sformułujemy użyteczny wniosek.

Wniosek 9. Załóżmy, że T ⊂ ℝ oraz dana jest rodzina rozkładów skończenie wymiarowych {μ_{t_{1},...,t_{n}} : t_{1} < t_{2} < … < t_{n}, t_{1}, …, t_{n} ∈ T } spełniająca warunek

μ_{t_{1},...,t_{n}} (A_{1} × … × A_{k−1} × ℝ × A_{k+1} … × A_{n})
= μ_{t_{1},...t_{k−1} ,t_{k+1} ,...,t_{n}} (A_{1} × … × A_{k−1} × A_{k+1} × … × A_{n}).

dla wszystkich t_{1} < t_{2} < … < t_{n}, n 2, 1 k n oraz zbiorów borelowskich A_{1}, …, A_{n}. Wówczas istnieje proces (X_{t})_{t∈T} taki, że (X_{t_{1}}, …, X_{t_{n}}) ma rozkład μ_{t_{1},...,t_{n}} dla t_{1} < t_{2} < … < t_{n}.

Dowód. Dla t_{1}, …, t_{n} ∈ T parami różnych istnieje permutacja (i_{1}, …, i_{n}) liczb (1, …, n) taka, że t_{i_{1}} < t_{i_{2}} < … < t_{i_{n}} . Możemy więc określić μ_{t_{1},...,t_{n}} jako rozkład wektora (Y_{1}, …, Y_{n}) takiego, że (Y_{i_{1}} , …, Y_{i_{n}} ) ma rozkład μ_{t_{i_{1}} ,...,t_{in}} . Można sprawdzić, że tak określona rodzina miar (μ_{t_{1},...,t_{n}}) spełnia warunki zgodności.

Przykłady

1. Jeśli (μ_{t})_{t∈T} jest dowolną rodziną rozkładów na ℝ, to istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych (X_{t})_{t∈T} taka, że X_{t} ma rozkład μ_{t}. Używamy tu twierdzenia o istnieniu dla μ_{t_{1},...,t_{n}} = μ_{t_{1}} ⊗ … ⊗ μ_{t_{n}}.

2. Istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera. Istotnie dla 0 = t_{0} t_{1} < t_{2} < … < t_{n} kładziemy

μ_{t_{1},...,t_{n}} ∼ (X_{1}, X_{1} + X_{2}, …, ∑_{k=1}^{n} X_{k}),

gdzie X_{1}, …, X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi X_{k} ∼ N (0, t_{k}− t_{k−1} ). Warunki zgodności wynikają wówczas stąd, iż jeśli Y_{1}, Y_{2} są niezależne i Y_{i} ∼ N (0, σ_{i}^{2}) dla i = 1, 2, to Y_{1} + Y_{2} ∼ N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}).

Uwaga 10. Dla uproszczenia zakładaliśmy podczas tego wykładu, że proces X_{t} ma wartości rzeczywiste. Nic się zmieni (poza oczywistymi drobnymi zmianami definicji) dla procesów o wartościach w ℝ^{d}. Czasem jednak zachodzi potrzeba rozpatrywania procesów o wartościach w ogólniejszej przestrzeni E. warto więc zauważyć, że

• w Fakcie 6 nie wykorzystywaliśmy żadnych własności przestrzeni E,

• w dowodzie Twierdzenia 8 wykorzystuje się regularność miar na E^{n} -tu wystarczy założyć, że E jest σ-zwartą przestrzenią metryczną, tzn. E jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych lub dodać warunek regularności rozpatrywanych miar.

3 Ciągłość trajektorii

Wiemy już kiedy istnieje proces o zadanych skończenie wymiarowych rozkładach. Nasuwa się pytanie – kiedy taki proces ma ciągłe trajektorie? Zanim jednak zastanowimy się nad odpowiedzią wprowadzimy dwa ważne sposoby porównywania procesów.

3.1 Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne

Definicja 11. Niech X = (X_{t})_{t∈T} oraz Y = (Y_{t})_{t∈T} będą dwoma procesami stochastycznymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że:

a) X jest modyfikacją Y (lub X jest stochastycznie równoważny Y), jeśli

∀_{t∈T} ℙ(X_{t} = Y_{t}) = 1.

b) X i Y są nierozróżnialne, jeśli

ℙ(∀_{t∈T} X_{t} = Y_{t}) = 1.

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład

Niech Z 0 będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. ℙ(Z = z) = 0 dla wszystkich z ∈ ℝ. Zdefiniujmy dwa procesy na T = [0, ∞):

X_{t} ≡ 0 oraz Y_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}0 & dla t ≠ Z(ω) \\ 1 & dla t = Z(ω). \end{matrix}

Wówczas Y jest modyfikacją X, bo ℙ(X_{t} ≠ Y_{t}) = ℙ(Z = t) = 0. Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie Y są nieciągłe, czyli w szczególności ℙ(∀_{t≠0} X_{t} = Y_{t}) = 0, a zatem procesy X i Y nie są nierozróżnialne.

Fakt 12. Załóżmy, że T jest przedziałem oraz procesy X = (X_{t})_{t∈T} i Y = (Y_{t})_{t∈T} mają prawostronnie ciągłe trajektorie. Wówczas, jeśli X jest modyfikacją Y, to Xi Y są nierozróżnialne.

Dowód. Wybierzmy przeliczalny podzbiór T_{0} ⊂ T, gęsty w T, zawierający dodatkowo supT, jeśli T jest przedziałem prawostronnie domkniętym. Niech

A = {∀_{t∈T_{0}} X_{t} = Y_{t}},

wówczas ℙ(A) = 1, jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto, jeśli ω ∈ A, to dla dowolnego t ∈ T,

X_{t}(ω) = lim_{s→t+,s∈T_{0}} X_{s}(ω) = lim_{s→t+,s∈T_{0}} Y_{s}(ω) = Y_{t}(ω),

czyli

ℙ(∀_{t∈T} X_{t} = Y_{t}) ℙ(A) = 1.

3.2 Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Najważniejsze twierdzenie tego wykładu podaje kryterium istnienia modyfikacji procesu, która ma ciągłe trajektorie. Zanim sformułujemy dokładny wynik przypomnijmy definicję hölderowskości.

Definicja 13. Funkcja f: [a, b] → ℝ jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem γ, jeśli dla pewnej stałej C < ∞,

|f(s) − f(t)| C|t − s|^{γ} dla wszystkichs, t ∈ [a, b].

Twierdzenie 14. Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈[a,b]} jest procesem takim, że

∀_{t,s∈[a,b]} 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{α} C|t − s|^{1+β}  (1)

dla pewnych stałych dodatnich α, β, C. Wówczas istnieje proces X̃ = (X̃_{t})_{t∈[a,b]}, będący modyfikacją procesu X, którego wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej trajektorie każdej modyfikacji X o ciągłych trajektoriach są, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem γ < \frac{β}{α}.

Zainteresownych dowodem odsyłamy do Dodatku B.

Wniosek 15. Twierdzenie 14 jest prawdziwe, gdy przedział [a, b] zastąpimy nieskończonym przedziałem, o ile hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną hölderowskością (tzn. hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej, wystarczy, by warunek (1) zachodził dla |s − t| δ, gdzie δ jest ustaloną liczbą dodatnią.

Dowód. Przedział nieskończony T można zapisać jako przeliczalną sumę przedziałów [a_{n}, a_{n+1} ], długości nie większej od δ. Z Twierdzenia 14 wynika istnienie modyfikacji X̃_{t}^{(n)} procesu X na przedziale [a_{n}, a_{n+1} ], o ciągłych trajektoriach. Niech A_{n} = {X̃_{a_{n+1}}^{(n)} ≠ X̃_{a_{n+1}}^{(n+1)} }, wówczas A = ⋃ _{n} A_{n} ma miarę zero. Możemy więc położyć:

X̃_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}X̃_{t}^{(n)} (ω) & dla t ∈ [a_{n}, a_{n+1} ], ω ∉ A \\ 0 & dla ω ∈ A. \end{matrix}

Wniosek 16. Istnieje proces Wienera, tzn. proces spełniający warunki (W0)- (W3).

Dowód. Mamy 𝔼|W_{s} − W_{t}|^{4} = 𝔼|\sqrt{t − s} W_{1}|^{4} = (s − t)^{2}𝔼W_{1}^{4} = 3(s − t)^{2} i możemy zastosować Wniosek 15 z β = 1, α = 4 i C = 3.

Wniosek 17. Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie Hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem γ < 1/2.

Dowód. Mamy 𝔼|W_{s} − W_{t}|^{p} = (s − t)^{p/2}𝔼W_{1}^{p} = C_{p}(s − t)^{p/2} dla dowolnego p < ∞. Stosując twierdzenie 14 z β = p/2−1, α = p dostajemy Hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym γ < \frac{1}{2}−\frac{1}{p}. Biorąc p → ∞ dostajemy tezę.

Uwaga 18. Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na [0, ∞), nie mogą więc być globalnie Hölderowskie z żadnym wykładnikiem. Uwaga 19. Założenia β > 0 nie można opuścić – wystarczy rozważyć proces Poissona (tzn. proces (N_{t})_{t 0} o prawostronnie ciaglych trajektoriach, startujący z zera, o przyrostach niezależnych taki, że N_{t} − N_{s} ma rozkład Poissona z parametrem λ(t − s) – zob. np. Rozdział 23 w [1]) dla którego 𝔼|N_{t} − N_{s}| = λ|t − s|, a oczywiście proces Poissona przyjmuje wartości całkowite, więc nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.3 Inne rodzaje ciągłości procesów

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 20. Niech X = (X_{t})_{t∈T} będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że

a) proces X jest stochastycznie ciągły, jeśli

t_{n} → t ⇒ X_{t_{n}} →^{ℙ} X_{t}.

b) proces X jest ciągły wg p-tego momentu (ciągły w L_{p}), jeśli

t_{n} → t ⇒ 𝔼|X_{t_{n}} − X_{t}|^{p} → 0.

Uwaga 21. Nietrudno wykazać, że zarówno ciągłość trajektorii jaki i ciągłość wg p-tego momentu implikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

4 Filtracje, Momenty Zatrzymania

Celem tego wykładu jest pokazanie jak zmodyfikować definicje omawiane podczas kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa z przypadku czasu dyskretnego na czas ciągły.

Będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem (typowo T = [0, ∞)), choć większość definicji i wyników można uogólnić na szerszą klasę zbiorów.

4.1 Filtracje

Definicja 1. Filtracją (F_{t})_{t∈T} przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, ℙ) nazywamy rosnący rodzinę σ-ciał zawartych w F, tzn. F_{t} ⊂ F_{s} dla t s, t, s ∈ T.

Zdarzenia z σ-ciała F_{t} możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili t.

Definicja 2. Niech X = (X_{t})_{t∈T} będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez X nazywamy rodzinę (F_{t}^{X})_{t∈T} daną wzorem F_{t}^{X} = σ(X_{s}: s t).

Fakt 3. Proces X_{t} ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych t < s, t, s ∈ T przyrost X_{s} − X_{t} jest niezależny od σ-ciała F_{t}^{X}.

Dowód. ⇒: Rodzina zdarzeń A niezależnych od X_{s} − X_{t} tworzy λ-układ, ponadto, z niezależności przyrostów X, zawiera π-układ zdarzeń postaci {X_{t_{1}} ∈ A_{1}, …, X_{t_{n}} ∈ A_{n}} dla t_{1} < … < t_{n} t.

⇐: Ustalmy t_{1} < … < t_{n} oraz zbiory borelowskie A_{1}, …, A_{n}. Zdarzenie {X_{t_{1}} ∈ A_{1}, X_{t_{2}} − X_{t_{1}} ∈ A_{2}, …, X_{t_{n−1}} − X_{t_{n−2}} ∈ A_{n−1} } należy do σ-ciała F_{t_{n−1}}^{X} , więc jest niezależne od zmiennej X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} . Stąd

ℙ(X_{t_{1}} ∈ A_{1}, X_{t_{2}} − X_{t_{1}} ∈ A_{2}, …, X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} ∈ A_{n})
= ℙ(X_{t_{1}} ∈ A_{1}, …, X_{t_{n−1}} − X_{t_{n−2}} ∈ A_{n−1} )ℙ(X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} ∈ A_{n}).

Iterując to rozumowanie pokazujemy, że

ℙ(X_{t_{1}} ∈ A_{1}, X_{t_{2}} − X_{t_{1}} ∈ A_{2}, …, X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} ∈ A_{n})
= ℙ(X_{t_{1}} ∈ A_{1})ℙ(X_{t_{2}} − X_{t_{1}} ∈ A_{2},) ⋯ℙ(X_{t_{n}} − X_{t_{n−1}} ∈ A_{n}).

Definicja 4. Proces X = (X_{t}) nazywamy zgodnym z filtracją (F_{t})_{t∈T} lub F_{t}-adaptowalnym, jeśli dla wszystkich t ∈ T, X_{t} jest F_{t} mierzalne.

Uwaga 5. Oczywiście proces X jest zgodny z filtracją (F_{t})_{t∈T} wtedy i tylko wtedy, gdy F_{t}^{X} ⊂ F_{t} dla t ∈ T. W szczególności każdy proces X jest zgodny z filtracją przez siebie generowaną.

4.2 Momenty Zatrzymania

Definicja 6. Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji (F_{t})_{t∈T} nazywamy zmienną losową o wartościach w T ∪ {∞} taką, że {τ t} ∈ F_{t} dla wszystkich t ∈ T.

Moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np. zakończenia udziału w pewnej grze losowej) taka, że decyzję o przerwaniu do chwili t podejmujemy tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie. Przykład. Dla zbioru A ⊂ ℝ i procesu stochastycznego (X_{t})_{t∈T} określmy

τ_{A} = inf{t ∈ T: X_{t} ∈ A}.

Jeśli (X_{t})_{t∈T} jest F_{t}-adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach, zaś A zbiorem domkniętym, to τ_{A} jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t}).

Dowód. Niech T_{0} ⊂ T będzie gęstym podzbiorem T zawierającym lewy koniec. Z domkniętości zbioru A i ciągłości X dostajemy dla t ∈ T

{τ_{A} t} = {∃_{s t} X_{s} ∈ A} = ⋂_{n=1}^{∞} ⋃_{s t,s∈T_{0}} {X_{s} ∈ A_{1/n}} ∈ F_{t},

gdzie

A_{ε} := {x ∈ ℝ^{n}: d(x, A) < ε} (ε-otoczka zbioru A).

Uwaga 7. Jeśli w powyższym przykładzie A będzie zbiorem otwartym, to τ_{A} nie musi być momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t∈T}, ale musi być momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t+} )_{t∈T}, gdzie dla t < supT

F_{t+} := ⋂_{s>t} F_{s},

a jeśli t jest największym elementem T, to kładziemy F_{t+} = F_{t}.

Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.

Definicja 8. Filtrację (F_{t})_{t∈T} nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli F_{t+} = F_{t} dla wszystkich t ∈ T. Mówimy, że filtracja (F_{t})_{t∈T} spełnia zwykłe warunki, jeśli

a) jest prawostronnie ciągła,

b) dla wszystkich t, F_{t} zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn. jeśli A ∈ F, ℙ(A) = 0, to A ∈ F_{t}.

Definicja 9. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t∈T}. Definiujemy σ-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili τ wzorem

F_{τ} := {A ∈ F_{∞} := σ( ⋃_{t∈T} F_{t}) : ∀_{t∈T} A ∩ {τ t} ∈ F_{t}}.

Fakt 10. a) Zbiór F_{τ} jest σ-ciałem.

b) Jeśli τ σ, to F_{τ} ⊂ F_{σ}.

c) Zmienna losowa τ jest F_{τ} mierzalna.

Dowód. a) Zbiór Ω ∈ F_{τ}, bo Ω ∩ {τ t} = {τ t} ∈ F_{t}. Jeśli A ∈ F_{τ}, to A′∩ {τ t} = {τ t} \ (A ∩ {τ t}) ∈ F_{t}, czyli A′ ∈ F_{τ}. Jeśli A_{n} ∈ F_{τ}, to (⋃ _{n} A_{n}) ∩ {τ t} = ⋃ _{n}(A_{n} ∩ {τ t}) ∈ F_{t}, czyli ⋃ _{n} A_{n} ∈ F_{τ}.

b) Weźmy A ∈ F_{τ}, wówczas dla t ∈ T, A ∩ {σ t} = A ∩ {τ t} ∩ {σ t} ∈ F_{t}, czyli A ∈ F_{σ}.

c) Wystarczy pokazać, że {τ s} ∈ F_{τ}, ale {τ s} ∩ {τ t} = {τ s ∧ t} ∈ F_{s∧t} ⊂ F_{t}.

Fakt 11. Załóżmy, że τ i σ są momentami zatrzymania. Wówczas F_{τ∧σ} = F_{τ} ∩ F_{σ} oraz zdarzenia {τ < σ}, {σ < τ}, {τ σ}, {σ τ}, {τ = σ} należą do F_{τ∧σ} .

Dowód. Zauważmy, że τ ∧ σ jest momentem zatrzymania oraz τ ∧ σ τ i τ ∧ σ σ, zatem na mocy Faktu 10 dostajemy F_{τ∧σ} ⊂ F_{τ} ∩ F_{σ}. Na odwrót, jeśli A ∈ F_{τ} ∩ F_{σ}, to A ∩ {τ ∧ σ t} = A ∩ ({τ t} ∪ {σ t}) = (A ∩ {τ t}) ∪ (A ∩ {σ t}) ∈ F_{t}, czyli A ∈ F_{τ∧σ} . Dalszą część faktu pozostawiamy do udowodnienia na ćwiczeniach.

Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych X_{τ} dla wszystkich momentów zatrzymania τ. Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną definicję.

Definicja 12. Proces X = (X_{t})_{t∈T} nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji (F_{t})_{t∈T}, jeśli dla każdego t ∈ T, funkcja (s, ω) → X_{s}(ω) traktowana jako funkcja ze zbioru T ∩ (−∞, t] × Ω w ℝ jest mierzalna względem σ-algebry B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}. Równoważnie

∀_{t∈T} ∀_{A∈B(ℝ)} {(s, ω) ∈ T × Ω: s t, X_{s}(ω) ∈ A} ∈ B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}.

Fakt 13. Załóżmy, że T jest przedziałem oraz dany jest proces X = (X_{t})_{t∈T} oraz filtracja (F_{t})_{t∈T}.

a) Jeśli proces X jest progresywnie mierzalny względem (F_{t}), to jest F_{t}- adaptowalny.

b) Jeśli proces X jest F_{t}-adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to jest progresywnie mierzalny względem (F_{t}).

Dowód. a) Zbiór {ω: X_{t}(ω) ∈ A} jest przekrojem zbioru {(s, ω) ∈ T × Ω: s t, X_{s}(ω) ∈ A}, a zatem należy do F_{t}.

b) Ustalmy t ∈ T i połóżmy dla s ∈ T, s t, X_{s}^{(n)} := X_{t−2^{−n} k} , gdzie k jest liczbą całkowitą taką, że t − 2^{−n} (k + 1) < s t − 2^{−n} k. Wówczas

{(s, ω) ∈ T × Ω: s t, X_{s}^{(n)}(ω) ∈ A}

= ⋃_{k=0}^{∞} (T ∩ (t − \frac{k + 1}{2^{n}} , t − \frac{k}{2^{n}} ]) × \{ω: X_{t− \frac{k}{2^{n}}} (ω) ∈ A\}

∈ B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}.

Zatem funkcja X_{s}^{(n)}(ω), s ∈ T ∩ (−∞, t], ω ∈ Ω jest B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t} mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości X mamy X_{s}(ω) = lim_{n→∞} X_{s}^{(n)}(ω), zatem funkcja X_{s}(ω), s ∈ T ∩ (−∞, t], ω ∈ Ω jest B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t} mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.

Jeśli τ jest momentem zatrzymania, a X = (X_{t})_{t∈T} procesem, to zmienna X_{τ} jest dobrze zdefiniowana tylko na zbiorze {τ < ∞}. Musimy zatem określić co mamy na myśli mówiąc, że zmienna X_{τ} jest mierzalna.

Definicja 14. Mówimy, że zmienna losowa X określona na zbiorze A jest mierzalna względem σ-ciała G zawierającego A, jeśli {ω ∈ A: X(w) ∈ B} ∈ G dla dowolnego zbioru borelowskiego B.

Fakt 15. Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji (F_{t})_{t∈T}, a τ jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa X_{τ} określona na zbiorze {τ < ∞} ∈ F_{τ} jest F_{τ} mierzalna. Ponadto proces zatrzymany w chwili τ, X^{τ} := (X_{t∧τ} )_{t∈T} jest progresywnie mierzalny.

Dowód. Odwzorowanie

(s, ω) → (τ(ω) ∧ s, ω): T ∩ (−∞, t] × Ω → T ∩ (−∞, t] × Ω

jest mierzalne względem σ-ciała B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}). Jeśli złożymy je z odwzorowaniem

(s, ω) → X_{s}(ω) mierzalnym z (T ∩ (−∞, t] × Ω, B(T ∩ (−∞, t]) ⊗ F_{t}) w ℝ,

to otrzymamy odwzorowanie

(s, ω) → X_{τ(ω)∧s} (ω) mierzalne z (T ∩(−∞, t]×Ω, B(T ∩(−∞, t])⊗F_{t}) w ℝ.

Stąd wynika progresywna mierzalność procesu X^{τ}. By zakończyć dowód zauważmy, że

{X_{τ} ∈ A} ∩ {τ t} = {X_{τ∧t} ∈ A} ∩ {τ t} ∈ F_{t}

na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) X^{τ}.

5 Martyngały z czasem ciągłym

Jak podczas poprzedniego wykładu, jeśli nie powiemy inaczej, zakładamy, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem.

5.1 Definicje i przykłady

Definicja 1. Mówimy, że (X_{t})_{t∈T} jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji (F_{t})_{t∈T} lub, że (X_{t}, F_{t})_{t∈T} jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem), jeśli

a) dla wszystkich t ∈ T, X_{t} jest F_{t} adaptowalny i 𝔼|X_{t}| < ∞,

b) dla dowolnych s, t ∈ T, s < t, 𝔼(X_{t}|F_{s}) = X_{s} p.n. (odp. dla podmartyngału i dla nadmartyngału).

Przykład 1. Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, a F_{t} dowolną filtracją to X_{t} := 𝔼(X|F_{t}) jest martyngałem. Sprawdzamy dla t > s

𝔼(X_{t}|F_{s}) = 𝔼(𝔼(X|F_{t})|F_{s}) = 𝔼(X|F_{s}) = X p.n..

Przykład 2. (W_{t})_{t 0} jest martyngałem względem naturalnej filtracji F_{t}^{W} = σ(W_{s}: s t). Istotnie dla t > s mamy z niezależności przyrostów

𝔼(W_{t}|F_{s}) = 𝔼(W_{s}|F_{s}) + 𝔼(W_{t} − W_{s}|F_{s}) = W_{s} + 𝔼(W_{t} − W_{s}) = W_{s} p.n..

Przykład 3. (W_{t}^{2})_{t 0} jest podmartyngałem, a (W_{t}^{2} − t)_{t 0} martyngałem względem naturalnej filtracji F_{t}^{W} = σ(W_{s}: s t). Liczymy dla t > s

𝔼(W_{t}^{2}|F_{s}) = 𝔼(W_{s}^{2}|F_{s}) + 𝔼(2W_{s}(W_{t} − W_{s})|F_{s}) + 𝔼((W_{t} − W_{s})^{2}|F_{s})
= W_{s}^{2} + 2W_{s}𝔼(W_{t} − W_{s}) + 𝔼(W_{t} − W_{s})^{2} = W_{s}^{2} + t − s p.n..

Uwaga 2. W ostatnich dwu przykładach filtrację (F_{t}^{W}) można zastąpić filtracją (F_{t+}^{W}).

Fakt 3. Załóżmy, że (X_{t}, F_{t}) jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś f: ℝ → ℝ funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że 𝔼|f(X_{t})| < ∞ dla wszystkich t. Wówczas (f(X_{t}), F_{t}) jest podmartyngałem.

Dowód. Z nierówności Jensena mamy 𝔼(f(X_{t})|F_{s}) f(𝔼(X_{t}|F_{s})) p.n., a ostatnia zmienna jest równa f(X_{s}) w przypadku martyngału i nie mniejsza niż f(X_{s}) dla podmartyngału.

Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.

Definicja 4. Funkcję f: ℝ^{n} → ℝ nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną, nadharmoniczną) jeśli

∀_{x∈ℝ^{n}} ∀_{r 0} f(x) \frac{1}{|S^{n−1} |} ∫_{S^{n−1}} f(x + ry)dσ(y) (odp. =, ) ,

gdzie σ(y) jest miarą powierzchniową na sferze, a |S_{n−1} | = ∫_{S^{n−1}} dσ(y) = 2π^{n/2}(Γ(n/2))^{−1} .

Uwaga 5. Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy, gdy Δf = 0 (odp. , ). Dla n = 1 warunek podharmoniczności jest równoważny wypukłości. Funkcja f(x) = − ln|x − x_{0}| jest nadharmoniczna na ℝ^{2}, a funkcja f(x) = |x − x_{0}|^{2−d} nadharmoniczna na ℝ^{d} dla d > 2.

Fakt 6. Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, …, W_{t}^{(d)}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera, F_{t}^{W} = σ(W_{s}: s t), zaś f: ℝ^{d} → ℝ funkcją harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że 𝔼|f(W_{t})| < ∞ dla t 0. Wówczas (f(W_{t}), F_{t}^{W}) jest martyngałem (odp. nad-, pod-).

Dowód. Liczymy dla t > s,

𝔼(f(W_{t})|F_{s}) = 𝔼(f(W_{s} + (W_{t} − W_{s}))|F_{s})
= (2π(t − s))^{−d/2} ∫_{ℝ^{d}} f(W_{s} + x)e^{− \frac{|x|^{2}}{2(t−s)}} dx

= (2π(t − s))^{−d/2} ∫_{0}^{∞} r^{d−1} e^{− \frac{r^{2}}{2(t−s)}} ( ∫_{S^{d−1}} f(W_{s} + y)dσ(y))dr

= (2π(t − s))^{−d/2} |S^{d−1} |f(W_{s}) ∫_{0}^{∞} r^{d−1} e^{− \frac{r^{2}}{2(t−s)}} dr
= (2π)^{−d/2} |S^{d−1} | ∫_{0}^{∞} r^{d−1} e^{− \frac{r^{2}}{2}} drf(W_{s}) = c_{d}f(W_{s}) p.n..

By zauważyć, że c_{d} = 1 przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy powyżej f ≡ 1.

5.2 Nierówności maksymalne

Zacznijmy od przypomnienia podstawowego lematu dla martyngałów z czasem dyskretnym, pochodzącego od Dooba.

Lemat 7. Załóżmy, że (X_{n}, F_{n})_{0 1 N} jest martyngałem (odp. nad-, pod-), zaś 0 τ σ N dwoma momentami zatrzymania. Wówczas

𝔼(X_{σ}|F_{τ}) = X_{τ} p.n. (odp. , ).

Dowód. Musimy pokazać, że dla A ∈ F_{τ}, 𝔼X_{τ}𝟙_{A} = 𝔼X_{σ}𝟙_{A}. Połóżmy A_{k} := A ∩ {τ = k} dla k = 0, 1, …, N. Mamy

(X_{σ}−X_{τ})𝟙_{A_{k}} = (X_{σ}−X_{k})𝟙_{A_{k}} = ∑_{i=k}^{σ−1} (X_{i+1} −X_{i})𝟙_{A_{k}} = ∑_{i=k}^{N} (X_{i+1} −X_{i})𝟙_{A_{k}∩{σ>i}} ,

zatem

𝔼[(X_{σ} − X_{τ})𝟙_{A_{k}}] = ∑_{i=k}^{N} 𝔼[(X_{i+1} − X_{i})𝟙_{A_{k}∩{σ>i}} ] = 0,

gdyż A_{k} ∩ {σ > i} ∈ F_{i}. Stąd

𝔼[(X_{σ} − X_{τ})𝟙_{A}] = ∑_{k=0}^{N} 𝔼[(X_{σ} − X_{τ})𝟙_{A_{k}}] = 0.

Uwaga 8. Lemat 7 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów zatrzymania, np. biorąc X_{n} = ∑ _{k=1}^{n} ε_{n}, gdzie ε_{n} niezależne zmienne losowe takie, że ℙ(ε_{n} = ±1) = 1/2, F_{n} = σ(ε_{1}, …, ε_{n}), τ = 0, σ = inf{n: X_{n} = 1} widzimy, że 𝔼X_{τ} = 0 ≠ 1 = 𝔼X_{σ}.

Lemat 9. Niech (X_{n}, F_{n})_{0 n N} będzie podmartyngałem, wówczas dla wszystkich λ 0 mamy

a) λℙ( max_{0 n N} X_{n} λ) 𝔼X_{N}𝟙_{{max_{0 n N} X_{n} λ}} 𝔼X_{N}^{+},

b) λℙ( min_{0 n N} X_{n} −λ) 𝔼X_{N}𝟙_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}} − 𝔼X_{0} 𝔼X_{N}^{+} − 𝔼X_{0}.

Dowód. a) Niech τ := inf{n: X_{n} λ}, z lematu 7 dostajemy (wobec τ ∧N N)

𝔼X_{N} 𝔼X_{τ∧N} = 𝔼X_{τ}𝟙_{{max_{0 n N} X_{n} λ}} + 𝔼X_{N}𝟙_{{max_{0 n N} X_{n} <λ}}

λℙ( max_{0 n N} X_{n} λ) + 𝔼X_{N}𝟙_{{max_{0 n N} X_{n} <λ}}

i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.

b) Definiujemy τ := inf{n: X_{n} −λ}, z lematu 7 dostajemy (wobec τ ∧ N 0)

𝔼X_{0} 𝔼X_{τ∧N} = 𝔼X_{τ}𝟙_{{min_{0 n N} X_{n} −λ}} + 𝔼X_{N}𝟙_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}}

−λℙ( min_{0 n N} X_{n} −λ) + 𝔼X_{N}𝟙_{{min_{0 n N} X_{n} >−λ}}

i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane.

Wniosek 10. Jeśli (X_{n}, F_{n})_{0 n N} jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem, to

a) ∀_{p 1} ∀_{λ 0} λ^{p}ℙ( max_{0 n N} |X_{n}| λ) 𝔼|X_{N}|^{p},

b) ∀_{p>1} 𝔼|X_{N}|^{p} 𝔼 max_{0 n N} |X_{n}|^{p} ( \frac{p}{p − 1} )^{p}𝔼|X_{N}|^{p}.

Dowód. a) Funkcja f(t) = |t|^{p} jest wypukła, niemalejąca na ℝ_{+} , stąd na mocy Faktu 3 |X_{n}|^{p} jest nieujemnym podmartyngałem, zatem z Lematu 9 mamy

λ^{p}ℙ( max_{0 n N} |X_{n}| λ) 𝔼|X_{N}|^{p}𝟙_{{max_{0 n N} |X_{n} |^{p} λ^{p}}} 𝔼|X_{N}|^{p}.

b) Niech X^{∗} := max_{0 n N} |X_{n}|, z rachunku przeprowadzonego powyżej

λℙ(X^{∗} λ) 𝔼|X_{N}|𝟙_{{X^{∗} λ}} .

Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy

𝔼 max_{0 n N} |X_{n}|^{p} = p ∫_{0}^{∞} λ^{p−1} ℙ(X^{∗} λ)dλ p ∫_{0}^{∞} λ^{p−2} 𝔼|X_{N}|𝟙_{{X^{∗} λ}} dλ

= p𝔼|X_{N}| ∫_{0}^{X^{∗}} λ^{p−2} dλ \frac{p}{p − 1} 𝔼|X_{N}|(X^{∗})^{p−1}

\frac{p}{p − 1} (𝔼|X_{N}|^{p})^{1/p}(𝔼(X^{∗})^{p})^{(p−1)/p} .

Jeśli 𝔼|X_{N}|^{p} < ∞, to 𝔼|X_{n}|^{p} 𝔼|X_{N}|^{p} < ∞ dla 0 n N oraz 𝔼(X^{∗})^{p} 𝔼 ∑ _{n=0}^{N} |X_{n}|^{p} < ∞. Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez (𝔼(X^{∗})^{p})^{(p−1)/p} dostajemy

(𝔼(X^{∗})^{p})^{1/p} \frac{p}{p − 1} (𝔼|X_{N}|^{p})^{1/p}.

Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.

Twierdzenie 11. Załóżmy, że (X_{t}, F_{t})_{t∈T} martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas

a) ∀_{p 1} ∀_{λ 0} λ^{p}ℙ( sup_{t∈T}|X_{t}| λ) sup_{t∈T}𝔼|X_{t}|^{p},

b) ∀_{p>1} sup_{t∈T}𝔼|X_{t}|^{p} 𝔼 sup_{t∈T}|X_{t}|^{p} ( \frac{p}{p − 1} )^{p} sup_{t∈T}𝔼|X_{t}|^{p}.

Uwaga 12. Oczywiście jeśli T zawiera element maksymalny t_{max}, to przy założeniach twierdzenia sup_{t∈T} 𝔼|X_{t}|^{p} = 𝔼|X_{t_{max}} |^{p}.

Dowód. Jeśli D jest skończonym podzbiorem T, to na podstawie Wniosku 10 dostajemy

λ^{p}ℙ( sup_{t∈D}|X_{t}| λ) sup_{t∈D}𝔼|X_{t}|^{p} sup_{t∈T}𝔼|X_{t}|^{p}.

Niech T_{0} będzie gęstym podzbiorem T zawierającym prawy koniec T (o ile taki istnieje), zaś D_{n} wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów T_{0} takim, że ⋃ _{n} D_{n} = T_{0}. Wówczas dla dowolnego λ̃ > 0 dostajemy na mocy prawostronnej ciągłości

λ̃^{p}ℙ( sup_{t∈T}|X_{t}| > λ̃) = λ̃^{p}ℙ( sup_{t∈T_{0}} |X_{t}| > λ̃)

= lim_{n→∞} λ̃^{p}ℙ( sup_{t∈D_{n}} |X_{t}| > λ̃) sup_{t∈T}𝔼|X_{t}|^{p}.

Biorąc ciąg λ̃_{n} ↗ λ dostajemy postulowaną w a) nierówność. Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 10 w podobny sposób.

Uwaga 13. Punkt b) twierdzenia 11 nie zachodzi dla p = 1 – można skonstruować martyngał dla którego sup_{t} 𝔼|X_{t}| < ∞, ale 𝔼 sup_{t} |X_{t}| = ∞. Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 11) nierówność

𝔼 sup_{t∈T}|X_{t}| \frac{e}{e − 1} (1 + sup_{t∈T}𝔼|X_{t}| ln^{+} |X_{t}|).

Wniosek 14. Dla dowolnych u, s > 0 zachodzi

ℙ( sup_{0 t s} W_{t} u) e^{− \frac{u^{2}}{2s}} .

Dowód. Ustalmy λ > 0, wówczas M_{t} := exp(λW_{t} − \frac{λ^{2}t}{2}) jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{W} generowanej przez proces Wienera. Stąd na mocy Twierdzenia 11 a) i nieujemności M_{t} dostajemy

ℙ( sup_{0 t s} W_{t} u) ℙ( sup_{0 t s} M_{t} e^{λu− \frac{λ^{2}s}{2}} )

e^{−λu+ \frac{λ^{2}s}{2}} sup_{0 t s} 𝔼|M_{t}| = e^{−λu+ \frac{λ^{2}s}{2}} 𝔼M_{0} = e^{−λu+ \frac{λ^{2}s}{2}} .

Zatem

ℙ( sup_{0 t s} W_{t} u) inf_{λ>0} e^{−λu+ \frac{λ^{2}s}{2}} = e^{− \frac{u^{2}}{2s}} .

6 Twierdzenia o zbieżności martyngałów

6.1 Przejścia w dół przez przedział

Definicja 1. Załóżmy, że I ⊂ ℝ, f: I → ℝ oraz α < β. Jeśli I jest skończone, to określamy

τ_{1} := inf{t ∈ I: f(t) β} oraz σ_{1} := inf{t ∈ I: t > τ_{1}, f(t) α}

i dalej indukcyjnie dla i = 1, 2, …

τ_{i+1} := inf{t ∈ I: t > σ_{i}, f(t) β} oraz σ_{i+1} := inf{t ∈ I: t > τ_{i+1} , f(t) α}.

oraz definiujemy

D_{I}(f, [α, β]) := sup{j: σ_{j} < ∞} ∨ 0

W przypadku, gdy I jest nieskończone kładziemy

D_{I}(f, [α, β]) := sup{D_{F}(f, [α, β]): F ⊂ T skończone}.

Wielkość D_{I}(f, [α, β]) nazywamy liczbą przejść w dół funkcji f przez przedział [α, β].

Przypomnijmy fakt z rachunku prawdopodobieństwa wiążący skończoność liczby przejść ciągu przez przedział z istnieniem granicy

Lemat 2. Ciąg liczbowy x_{n} jest zbieżny do pewnej, niekoniecznie skończonej granicy wtedy i tylko wtedy, gdy D_{ℕ}((x_{n}), [α, β]) < ∞ dla dowolnych liczb wymiernych α < β.

Następny lemat jest niewielką modyfikacją poprzedniego.

Lemat 3. Jeśli f: [a, b) → ℝ, b ∞ jest prawostronnie ciągłą funkcją taką, że D_{[a,b)∩ℚ}(f, [α, β]) < ∞ dla dowolnych liczb wymiernych α < β, to istnieje (niekoniecznie skończona) granica lim_{t→b} f(t).

Dowód. Załóżmy, że postulowana granica nie istnieje, wtedy można znaleźć liczby wymierne α, β takie, że

lim inf_{t→b} f(t) < α < β < lim inf_{t→b} f(t).

Stąd wynika, że istnieje rosnący ciąg liczb wymiernych t_{n} z przedziału [a, b) taki, że f(t_{2k−1} ) β oraz f(t_{2k}) α. Przyjmując I = {t_{1}, t_{2}, …} widzimy, że D_{[a,b)∩ℚ}(f, [α, β]) D_{I}(f, [α, β]) = ∞.

Lemat 4. Załóżmy, że X = (X_{t})_{t∈T} jest podmartyngałem względem pewnej filtracji, a F jest przeliczalnym podzbiorem T, wówczas

𝔼D_{F}(X, [α, β]) sup_{t∈F} \frac{𝔼(X_{t} − β)^{+}}{β − α} .

Dowód. Stosując twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej widzimy, że wystarczy udowodnić lemat dla skończonych zbiorów F, dla uproszczenia notacji możemy oczywiście przyjąć, że F = {1, 2, …, N}. Zauważmy, że (przy oznaczeniach jak w Definicji 1)

X_{τ_{i}∧N} −X_{σ_{i}∧N} = \{ \begin{matrix}X_{τ_{i}} − X_{σ_{i}} β − α & gdy σ_{i} < ∞, \\ X_{τ_{i}} − X_{N} β − X_{N} −(X_{N} − β)^{+} & gdy τ_{i} < σ_{i} = ∞, \\ X_{N} − X_{N} = 0 & gdy τ_{i} = ∞. \end{matrix}

Zatem

∑_{i=1}^{N} (X_{τ_{i}∧N} − X_{σ_{i}∧N} ) (β − α)D_{F}(X, [α, β]) − (X_{N} − β)^{+} .

Na mocy Lematu 7, 𝔼X_{τ_{i∧N}} 𝔼X_{σ_{i∧N}} , więc

0 𝔼 ∑_{i=1}^{N} (X_{τ_{i}∧N} − X_{σ_{i}∧N} ) 𝔼(β − α)D_{F}(X, [α, β]) − 𝔼(X_{N} − β)^{+} .

6.2 Zbieżność prawie na pewno

Przypomnijmy twierdzenie dotyczące zbieżności podmartyngałów z czasem dyskretnym:

Twierdzenie 5. Załóżmy, że (X_{n})_{n∈ℕ} jest podmartyngałem względem pewnej filtracji takim, że sup_{n∈ℕ} 𝔼X_{n}^{+} < ∞ (lub nadmartyngałem takim, że sup_{n∈ℕ} 𝔼X_{n}^{−} < ∞), wówczas X = lim_{n→∞} X_{n} istnieje i jest skończona p.n., ponadto 𝔼|X| < ∞.

Sformułujemy teraz odpowiednik powyższego twierdzenia dla czasu ciągłego.

Twierdzenie 6. Załóżmy, że (X_{t})_{t∈[a,b)}, b ∞ jest podmartyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że sup_{t∈[a,b)} 𝔼X_{t}^{+} < ∞. Wówczas X = lim_{t→b} X_{t} istnieje i jest skończony p.n., ponadto 𝔼|X| < ∞.

Dowód. Dla ustalonego α < β na podstawie Lematu 4 mamy

𝔼D_{[a,b)∩ℚ}(X_{t}, [α, β]) \frac{1}{β − α} sup_{t∈[a,b)} 𝔼(X_{t} − β)^{+} < ∞,

zatem ℙ(D_{[a,b)∩ℚ}(X_{t}, [α, β]) = ∞) = 0. Niech

A := ⋂_{α,β∈ℚ,α<β} {D_{[a,b)∩ℚ}(X_{t}, [α, β]) < ∞},

wówczas ℙ(A) = 1, bo A jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary. Jeśli ω ∈ A, to D_{[a,b)∩ℚ}(X_{t}(ω), [α, β]) < ∞ dla dowolnych liczb wymiernych α < β, czyli na podstawie Lematu 3 granica X(ω) := lim_{t→b} X_{t}(ω) istnieje (choć apriori może być nieskończona). Zauważmy, że 𝔼|X_{t}| = 2𝔼X_{t}^{+} − 𝔼X_{t} 2𝔼X_{t}^{+} − 𝔼X_{0}, zatem sup_{t∈[a,b)} 𝔼|X_{t}| < ∞. Z Lematu Fatou

𝔼|X| = 𝔼 lim_{t→b}|X_{t}| lim inf_{t→∞} 𝔼|X_{t}| sup_{t}𝔼|X_{t}| < ∞,

czyli zmienna X jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n..

Wniosek 7. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas X = lim_{t→∞} X_{t} istnieje i jest skończony p.n., ponadto 𝔼|X| < ∞.

6.3 Jednostajna całkowalność

Definicja 8. Rodzinę zmiennych losowych (X_{i})_{i∈I} nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli

lim_{C→∞} sup_{i∈I}𝔼|X_{i}|𝟙_{{|X_{i}|>C}} = 0.

Fakt 9. Rodzina zmiennych losowych (X_{i})_{i∈I} jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki

a) sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}| < ∞,

b) ∀_{ε>0} ∃_{δ>0} ℙ(A) δ ⇒ sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}|𝟙_{A} ε.

Dowód. ⇒: Ustalmy ε > 0 i dobierzmy C takie, że sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}|𝟙_{{|X_{i}|>C}} ε/2. Wówczas

∀_{i∈I} 𝔼|X_{i}| C + 𝔼|X_{i}|𝟙_{{|X_{i}|>C}} C + ε/2 < ∞

oraz, jeśli ℙ(A) < δ := \frac{ε}{2C}, to

𝔼|X_{i}|𝟙_{A} Cℙ(A) + 𝔼|X_{i}|𝟙_{\{|X_{i}|>C\}} Cδ + \frac{ε}{2} = ε.

⇐: Niech α := sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}| oraz δ > 0 będzie takie, że sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}|𝟙_{A} ε dla ℙ(A) δ. Wówczas, jeśli C = α/δ, to ℙ(|X_{i}| > C) < α/C = δ dla dowolnego i ∈ I, czyli sup_{i∈I} 𝔼|X_{i}|𝟙_{{|X_{i}|>C}} ε.

Przykłady rodzin jednostajnie całkowalnych

1. Rodzina jednoelementowa {Y } taka, że 𝔼|Y | < ∞.

Istotnie lim_{C→∞} 𝔼|Y |𝟙_{{|Y |>C}} = 0.

2. Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina (X_{i})_{i∈I} taka, że ∀_{i∈I} |X_{i}| Y oraz 𝔼Y < ∞.

Wynika to z Faktu 9, poprzedniego przykładu i oczywistej obserwację 𝔼|X_{i}|𝟙_{A} 𝔼|Y |𝟙_{A}.

3. Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej, tzn. rodzina postaci (𝔼(X|F_{i}))_{i∈I} , gdzie 𝔼|X| < ∞, zaś (F_{i})_{i∈I} dowolna rodzina σpodciał F.

Na podstawie nierówności Jensena 𝔼|X_{i}| = 𝔼|𝔼(X|F_{i})| 𝔼|X|, a zatem

ℙ(|X_{i}| C) \frac{𝔼|X_{i}|}{C} \frac{𝔼|X|}{C} δ dla C \frac{𝔼|X|}{δ}.

Zbiór {|X_{i}| > C} ∈ F_{i}, więc z nierówności Jensena

𝔼|X_{i}|𝟙_{{|X_{i}|>C}} = 𝔼|𝔼(X𝟙_{{|X_{i}|>C}} |F_{i})| 𝔼𝔼(|X|𝟙_{{|X_{i}|>C}} |F_{i})
𝔼(|X|𝟙_{{|X_{i}|>C}} ) ε,

jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe δ korzystając z jednostajnej całkowalności {|X|}.

Fakt 10. Załóżmy, że 1 p < ∞, a X_{n} są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina (|X_{n}|^{p})_{n=1}^{∞} jest jednostajnie całkowalna. Wówczas X_{n} zbiega do zmiennej X w L_{p} wtedy i tylko wtedy, gdy X_{n} zbiega do X według prawdopodobieństwa.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że zbieżność X_{n} według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w L_{p}, bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa. Załóżmy więc, że X_{n} →^{ℙ} X, wówczas dla pewnego podciągu n_{k}, X_{n_{k}} zbiega do X p.n., stąd na mocy Lematu Fatou

𝔼|X|^{p} = 𝔼 lim|X_{n_{k}} |^{p} lim inf 𝔼|X_{n_{k}} |^{p} sup_{n}𝔼|X_{n}|^{p} < ∞.

Zatem rodzina {|X_{n}|^{p}: n = 1, 2, …} ∪ {|X|^{p}} jest jednostajnie całkowalna. Ustalmy ε > 0 i dobierzmy δ > 0 tak by dla ℙ(A) < δ zachodziło 𝔼|X_{n}|^{p}𝟙_{A} ε oraz 𝔼|X|^{p}𝟙_{A} ε. Mamy

𝔼|X_{n} − X|^{p} ε^{p} + 𝔼|X_{n} − X|^{p}𝟙_{{|X_{n} −X|>ε}}
ε^{p} + 2^{p}𝔼|X_{n}|^{p}𝟙_{{|X_{n} −X|>ε}} + 2^{p}𝔼|X|^{p}𝟙_{{|X_{n} −X|>ε}} ,

a ponieważ X_{n} →^{ℙ} X, więc ℙ(|X_{n} − X| > ε) < δ dla dużych n, czyli

𝔼|X_{n} − X|^{p} ε^{p} + 2^{p+1} ε dla dostatecznie dużych n.

Wniosek 11. Jeśli rodzina (X_{n})_{n=1}^{∞} jest jednostajnie całkowalna oraz X_{n} zbiega prawie na pewno do zmiennej X, to lim_{n→∞} 𝔼X_{n}𝟙_{A} = 𝔼X𝟙_{A} dla wszystkich zdarzeń A.

Dowód. Stosujemy Fakt 10 i oczywiste szacowanie |𝔼X_{n}𝟙_{A} − 𝔼X𝟙_{A}| 𝔼|X_{n} − X|.

Jesteśmy teraz gotowi do dowodu ciągłej wersji Lematu 7.

Twierdzenie 12. a) Załóżmy, że T jest przedziałem, a (X_{t})_{t∈T} martyngałem prawostronnie ciągłym, zaś σ i τ czasami zatrzymania takimi, że σ τ t_{max} oraz t_{max} ∈ T. Wówczas 𝔼(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n..

b) Jeśli (X_{t})_{0 t ∞} jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim elementem X_{∞} to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania σ τ, 𝔼(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n.

Dowód. Udowodnimy część a) (część b) można za pomocą zmiany czasu sprowadzić do a)). Zdefiniujmy

τ_{n}(ω) := \{ \begin{matrix}t_{max} − \frac{k}{n} & dla τ(ω) ∈ (t_{max} − \frac{k+1}{n} , t_{max} − \frac{k}{n}], k = 0, 1, …, n^{2} \\ t_{max} − n & dla τ(ω) t_{max} − n \end{matrix}

oraz

σ_{n}(ω) := \{ \begin{matrix}t_{max} − \frac{k}{n} & dla σ(ω) ∈ (t_{max} − \frac{k+1}{n} , t_{max} − \frac{k}{n}], k = 0, 1, …, n^{2} \\ t_{max} − n & dla σ(ω) t_{max} − n \end{matrix} .

Wówczas σ_{n} τ_{n} t_{max} są ograniczonymi czasami zatrzymania przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 7 mamy 𝔼(X_{τ_{n}}|F_{σ_{n}} ) = X_{σ_{n}} p.n., 𝔼(X_{t_{max}} |F_{σ_{n}} ) = X_{σ_{n}} p.n. oraz 𝔼(X_{t_{max}} |F_{τ_{n}}) = X_{τ_{n}} p.n., w szczególności więc rodziny (X_{τ_{n}})_{n=1}^{∞} oraz (X_{σ_{n}} )_{n=1}^{∞} są jednostajnie całkowalne. Ponieważ τ_{n} → τ+ oraz σ_{n} → σ+, więc z prawostronnej ciągłości X oraz Faktu 10 X_{τ_{n}} → X_{τ}, X_{σ_{n}} → X_{σ} p.n. i w L_{1}. Weźmy A ∈ F_{σ} ⊂ F_{σ_{n}} , wówczas

𝔼X_{τ}𝟙_{A} = lim_{n→∞} 𝔼X_{τ_{n}}𝟙_{A} = lim_{n→∞} 𝔼X_{σ_{n}} 𝟙_{A} = 𝔼X_{σ}𝟙_{A},

co oznacza, że 𝔼(X_{τ}|F_{σ}) = X_{σ} p.n..

Wniosek 13. Załóżmy, że T jest przedziałem, a (M_{t})_{t∈T} jest prawostronnie ciągłym martyngałem względem (F_{t})_{t∈T}. Wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ proces M^{τ} = (M_{τ∧t})_{t∈T} jest martyngałem zarówno względem (F_{τ∧t})_{t∈T}, jak i (F_{t})_{t∈T}.

Dowód. Niech s < t oraz s, t ∈ T, wówczas τ ∧ s τ ∧ t t, więc z Twierdzenia 12 mamy 𝔼(M_{τ∧t}|F_{τ∧s}) = M_{τ∧s} p.n., czyli (M_{τ∧t}, F_{τ∧t})_{t∈T} jest martyngałem.

By udowodnić drugą część ustalmy s < t oraz A ∈ F_{s}. Nietrudno sprawdzić, że A∩{τ > s} ∈ F_{τ∧s}, zatem z poprzednio udowodnionej części wniosku mamy

𝔼M_{τ∧t}𝟙_{A∩{τ>s}} = 𝔼M_{τ∧s} 𝟙_{A∩{τ>s}} .

Ponadto

𝔼M_{τ∧t}𝟙_{A∩{τ s}} = 𝔼M_{τ}𝟙_{A∩{τ s}} = 𝔼M_{τ∧s} 𝟙_{A∩{τ s}} .

Dodając powyższe tożsamości stronami otrzymujemy 𝔼M_{τ∧t}𝟙_{A} = 𝔼M_{τ∧s} 𝟙_{A} dla A ∈ F_{s}, zatem (M_{τ∧t}, F_{t})_{t∈T} jest martyngałem.

6.4 Zbieżność martyngałów w L_{p}

Zacznijmy od warunków zbieżności martyngałów z czasem ciągłym w L_{1}.

Twierdzenie 14. Załóżmy, że (X_{t})_{t∈[a,b)}, b ∞ jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

a) Rodzina (X_{t})_{t∈[a,b)} jest jednostajnie całkowalna.

b) Istnieje całkowalna zmienna losowa X_{b} taka, że X_{t} zbiega do X_{b} w L_{1} tzn. lim_{t→b} 𝔼|X_{t} − X_{b}| = 0.

c) Istnieje całkowalna zmienna losowa X_{b} mierzalna względem σ-ciała F_{b}:= σ(⋃ _{t∈[a,b)} F_{t}) taka, że X_{t} = 𝔼(X_{b}|F_{t}) dla t ∈ [a, b). W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c), to X_{b} = lim_{t→b} X_{t} p.n..

Dowód. a)⇒b): X_{t} jest jednostajnie całkowalny, więc sup_{t} 𝔼|X_{t}| < ∞, czyli wobec Twierdzenia 6 istnieje zmienna całkowalna X_{b} taka, że X_{t} → X_{b} p.n. przy t → b. Z jednostajnej całkowalności i Lematu 10 wynika zbieżność w L_{1}.

b)⇒c): Dla pewnego podciągu t_{k} → b, X_{t_{k}} → X_{b} p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna X_{b} jest F_{b} mierzalna. Ustalmy t i A ∈ F_{t}, wówczas dla s t

𝔼X_{t}𝟙_{A} = 𝔼X_{s}𝟙_{A} → 𝔼X_{b}𝟙_{A}, s → ∞.

Zatem X_{t} = 𝔼(X_{b}|F_{t}) p.n..

c)⇒a) wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie całkowalna.

Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)⇒b).

Twierdzenie 15. Załóżmy, że (X_{t})_{t∈[a,b)} jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

a) sup_{t∈[a,b)} 𝔼|X_{t}|^{p} < ∞.

b) Rodzina (|X_{t}|^{p})_{t∈[a,b)} jest jednostajnie całkowalna.

c) Istnieje zmienna losowa X_{b} ∈ L_{p} taka, że X_{t} zbiega do X_{b} w L_{p} tzn. lim_{t→b} 𝔼|X_{t} − X_{b}|^{p} = 0.

d) Istnieje losowa X_{b} ∈ L_{p} mierzalna względem F_{b}:= σ(⋃ _{t∈[a,b)} F_{t}) taka, że X_{t} = 𝔼(X_{b}|F_{t}) dla t ∈ [a, b). W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d), to X_{b} = lim_{t→b} X_{t} p.n..

Dowód. a)⇒b): Na podstawie Twierdzenia 11 wiemy, że 𝔼 sup_{t∈[a,b)} |X_{t}|^{p} (\frac{p}{p−1} )^{p}sup_{t∈[a,b)} 𝔼|X_{t}|^{p} < ∞. Pozostałe implikacje dowodzimy jak w dowodzie Twierdzenia 14.

6.5 *Regularność trajektorii

W wielu twierdzeniach zakłada się, iż (X_{t}) jest prawostronnie ciągłym podmartyngałem. Oczywiście modyfikacja podmartyngału jest podmartyngałem – problem jest tylko z mierzalnością, ale znika on, gdy filtracja spełnia zwykłe warunki. Naturalnie jest więc zapytać kiedy dany podmartyngał możemy zmodyfikować tak, by stał się prawostronnie ciągły.

Następny lemat jest prostą modyfikacją Lematu 2, więc przytoczymy go bez dowodu.

Lemat 16. Jeśli f: [a, b] ∩ ℚ → ℝ jest funkcją ograniczoną taką, że dla dowolnych liczb wymiernych α < β , D_{[a,b]∩ℚ}(f, [α, β]) < ∞, to granice

∀_{t∈[a,b)} f(t+) := lim_{s→t+,s∈ℚ} f(s) i ∀_{t∈(a,b]} f(t−) := lim_{s→t−,s∈ℚ} f(s)

istnieją i są skończone.

Będziemy też wykorzystywać prosty fakt.

Fakt 17. Załóżmy, że (X_{n})_{n 0} jest podmartyngałem z czasem odwróconym o wartościach średnich ograniczonych z dołu, tzn. a := lim_{n→−∞} 𝔼X_{n} > −∞. Wówczas rodzina (X_{n})_{n 0} jest jednostajnie całkowalna.

Dowód. Ustalmy ε > 0 i dobierzmy k takie, że 𝔼X_{k} a + ε/2, wówczas 𝔼X_{k} − ε/2 𝔼X_{n} 𝔼X_{k} dla n k. Zatem dla takich n, z własności podmartyngału

𝔼|X_{n}|𝟙_{{|X_{n} |>C}} = 𝔼X_{n}𝟙_{{X_{n} >C}} − 𝔼X_{n}𝟙_{{X_{n} <−C}}

= 𝔼X_{n}𝟙_{{X_{n} >C}} + 𝔼X_{n}𝟙_{{X_{n} −C}} − 𝔼X_{n}

𝔼X_{k}𝟙_{\{X_{n} >C\}} + 𝔼X_{k}𝟙_{\{X_{n} −C\}} − 𝔼X_{k} + \frac{ε}{2}

= 𝔼X_{k}𝟙_{\{X_{n} >C\}} − 𝔼X_{k}𝟙_{\{X_{n} <−C\}} + \frac{ε}{2} 𝔼|X_{k}|𝟙_{\{|X_{n} |>C\}} + \frac{ε}{2}.

Mamy 𝔼|X_{n}| = 2𝔼X_{n}^{+} − 𝔼X_{n} 2𝔼X_{0}^{+} − a, więc α := sup_{n} 𝔼|X_{n}| < ∞. Zatem

ℙ(|X_{n}| > C) \frac{𝔼|X_{n}|}{C} \frac{α}{C} dla C := \frac{α}{δ},

czyli, wobec jednostajnej całkowalności rodziny jednoelementowej, dla odpowiednio małego δ > 0, 𝔼|X_{k}|𝟙_{{|X_{n} |>C}} ε/2, a więc 𝔼|X_{n}|𝟙_{{|X_{n} |>C}} ε dla n k i odpowiednio dużego C. Ponieważ rodzina {X_{k+1} , X_{k+2} , …, X_{0}} jest skończona, a zatem i jednostajnie całkowalna, więc dla dużych C i wszystkich n 0, 𝔼|X_{n}|𝟙_{{|X_{n} |>C}} ε.

Twierdzenie 18. Załóżmy, że T jest przedziałem, a (X_{t})_{t∈T} podmartyngałem (lub nadmartyngałem). Wówczas istnieje zbiór A taki, że ℙ(A) = 1 oraz dla wszystkich ω ∈ A i t ∈ T poza odpowiednio lewym i prawym końcami T granice

X_{t+} (ω) = lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}(ω) oraz X_{t−} (ω) = lim_{s→t−,s∈ℚ} X_{s}(ω)

istnieją i są skończone.

Dowód. Bez straty ogólności możemy zakładać, że X_{t} jest podmartyngałem. Ponieważ możemy znaleźć niemalejący ciąg przedziałów [a_{n}, b_{n}] taki, że T = ⋃ _{n}[a_{n}, b_{n}], więc dowód wystarczy przeprowadzić w przypadku T = [a, b]. Zauważmy, że

sup_{t∈[a,b]}]Ex(X_{t} − β)^{+} = 𝔼(X_{b}− β)^{+} < ∞,

zatem z Lematu 4 dostajemy

∀_{α<β} ℙ(D_{[a,b]∩ℚ}(X_{t}, [α, β]) = ∞) = 0.

Ponadto, na mocy Lematu 9, dla dowolnego λ > 0

λℙ( sup_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} λ) sup_{t∈[a,b]∩ℚ} 𝔼X_{t}^{+} = 𝔼X_{b}^{+} < ∞

oraz

λℙ( inf_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} −λ) sup_{t∈[a,b]∩ℚ} 𝔼X_{t}^{+} − 𝔼X_{a} = 𝔼X_{b}^{+} − 𝔼X_{a} < ∞.

Stąd

ℙ(−∞ < inf_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} sup_{t∈[a,b]∩ℚ} X_{t} < ∞) = 1.

Niech

A := ⋂_{α,beta∈ℚ,α<β} {D_{[a,b]∩ℚ}(X_{n}, [α, β]) < ∞} ∩ { sup_{t∈[a,b]∩ℚ} |X_{t}| < ∞},

wtedy ℙ(A) = 1. By wykazać, że zbiór A ma postulowane własności wystarczy skorzystać z Lematu 16.

Definicja 19. Funkcję f: T → ℝ określoną na przedziale T nazywamy PCLG (często również używa się pochodzącej z francuskiego nazwy cadlag) jeśli jest prawostronnie ciągła i w każdym punkcie T (poza ewentualnie lewym końcem) ma skończone lewostronne granice.

Twierdzenie 20. Załóżmy, że T jest przedziałem, a X = (X_{t})_{t∈T} jest podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem filtracji (F_{t})_{t∈T} spełniającej zwykłe warunki. Wówczas X ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy i tylko wtedy gdy funkcja t → 𝔼X_{t} jest prawostronnie ciągła. Co więcej, jeśli taka modyfikacja istnieje, to istnieje również modyfikacja PCLG i F_{t}-adaptowalna będąca podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem (F_{t})_{t∈T}.

Dowód. ⇐ Wystarczy rozpatrzeć przypadek podmartyngału oraz T = [a, b]. Na mocy Twierdzenia 18 istnieje A takie, że ℙ(A) = 1 oraz dla wszystkich ω ∈ A granice lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}, t ∈ [a, b) oraz lim_{s→t−,s∈ℚ} X_{s}, t ∈ (a, b] istnieją i są skończone. Połóżmy

X_{t+} (ω) := \{ \begin{matrix}lim_{s→t+,s∈ℚ} X_{s}(ω) & ω ∈ A \\ 0 & ω ∉ A \end{matrix}

Niech t_{n} ↘ t+, ponieważ 𝔼X_{t_{n}} 𝔼X_{a}, więc (X_{t_{n}})_{n} jest jednostajnie całkowalny jako podmartyngał z czasem odwróconym (Fakt 17). Weźmy A ∈ F_{t}, wówczas

𝔼X_{t}𝟙_{A} 𝔼X_{t_{n}} 𝟙_{A} → 𝔼X_{t+} 𝟙_{A} przy n → ∞,

stąd X_{t+} = 𝔼(X_{t+} |F_{t}) X_{t} p.n.. Co więcej

𝔼(X_{t+} − X_{t}) = lim_{n→∞} 𝔼X_{t_{n}} − 𝔼X_{t} = 0

na mocy prawostronnej ciągłości t → 𝔼X_{t}, czyli X_{t+} = X_{t} p.n., a zatem X_{t+} jest szukaną modyfikacją X.

⇒: Zauważmy, że jeśli X_{t} prawostronnie ciągły, to X_{t+} = X_{t}, biorąc t_{n} ↘ t+ i wykorzystując jednostajną całkowalność (X_{t_{n}})_{n} (Fakt 17) dostajemy 𝔼X_{t} = 𝔼X_{t+} = lim_{n→∞} 𝔼X_{t_{n}}.

7 Całka Stieltjesa

Podstawowy problem jakim się zajmiemy podczas najbliższych wykładów polega na ścisłym zdefiniowaniu całek ∫_{0}^{t} f(s)dW_{s}, ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} lub ogólniej ∫_{0}^{t} X_{s}dY_{s}, gdzie f(s) jest �porządną” funkcją, a X_{s}, Y_{s} są �porządnymi” procesami stochastycznymi.

Najprostsze podejście polega na zdefiniowaniu osobno całki dla każdej trajektorii, tzn. określeniu dla ustalonego ω ∈ Ω, ∫_{0}^{s} Y_{s}(ω)dX_{s}(ω). Sposób takiej konstrukcji daje całka Stieltjesa, uogólniająca całkę Riemanna.

7.1 Całka Riemanna-Stieltjesa

W tej części podamy tylko podstawowe fakty i definicje, bez dowodów. Więcej informacji oraz kompletne dowody można znaleźć w [4, 5] i [2].

Definicja 1. Podziałem przedziału [a, b] nazywamy niemalejący ciąg liczb Π = (t_{0}, t_{1}, …, t_{k}) taki, że a = t_{0} t_{1} … t_{k} = b. Średnicę podziału Π definiujemy wzorem diam(Π): = max_{i} |t_{i+1} − t_{i}|. Mówimy, że podział Π′ jest podpodziałem Π (ozn. Π′≺ Π) jeśli wszystkie punkty Π są punktami Π′. Ciąg Π^{n} = (t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}) nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeśli diam(Π^{n}) −→^{n→∞} 0 oraz Π^{n+1} ≺ Π^{n}.

Definicja 2. Niech f, g: [a, b] → ℝ. Powiemy że ∫_{a}^{b}g df istnieje oraz, że g jest całkowalna względem f, jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów Π^{n} = (t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}) oraz punktów s_{0}^{n}, …, s_{k_{n} −1}^{n} takich, że t_{j}^{k} s_{j}^{k} t_{j+1}^{k} istnieje skończona granica

lim_{n→∞} ∑_{j=1}^{k_{n}} g(s_{j−1}^{k} )[f(t_{j}^{k}) − f(t_{j−1}^{k} )],

która nie zależy od wybranego ciągu punktów i podziałów. Granicę tą oznaczamy ∫_{a}^{b}g(t) df(t) i nazywamy całką Riemanna-Stjeltjesa.

Uwaga 3. Można udowodnić, że całka ∫_{a}^{b}g df istnieje oraz jest równa S, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego podziału Π^{n} = (t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}) o średnicy nie większej niż δ oraz punktów s_{0}^{n}, …, s_{k_{n} −1}^{n} takich, że t_{j}^{k} s_{j}^{k} t_{j+1}^{k} ,

|S − ∑_{j=1}^{k_{n}} g(s_{j−1}^{k} )[f(t_{j}^{k}) − f(t_{j−1}^{k} )]| ε.

Uwaga 4. i) W przypadku f(t) = t całka Riemanna-Stieltjesa jest całką Riemanna. ii) Jeśli f ∈ C^{1}[a, b], to f(t_{j+1}^{n} ) − f(t_{j}^{n}) = f′(Θ_{j}^{n}) dla pewnego t_{j}^{n+1} Θ_{j}^{n} t_{j}^{n}, stąd można prosto udowodnić, że w tym przypadku ∫_{a}^{b}g(t) df(t) = ∫_{a}^{b}g(t)f′(t) dt.

Wprost z definicji natychmiast wynika.

Fakt 5. i) Jeśli g_{1} i g_{2} są całkowalne względem f, to dla dowolnych liczb c_{1} i c_{2} funkcja c_{1}g_{1} + c_{2}g_{2} jest całkowalna względem f oraz

∫_{a}^{b}(c_{1}g_{1} + c_{2}g_{2})df = c_{1} ∫_{a}^{b}g_{1}df + c_{2} ∫_{a}^{b}g_{2}df.

ii) Jeśli g jest całkowalna względem f_{1} i f_{2}, to dla dowolnych liczb c_{1} i c_{2}, g jest całkowalna względem c_{1}f_{1} + c_{2}f_{2} oraz

∫_{a}^{b}gd(c_{1}f_{1} + c_{2}f_{2}) = c_{1} ∫_{a}^{b}gdf_{1} + c_{2} ∫_{a}^{b}gdf_{2}.

Uwaga 6. Może się zdarzyć, że dla a < b < c całki ∫_{a}^{b}gdf i ∫_{b}^{c} gdf istnieją, a całka ∫_{a}^{c} gdf nie istnieje. Jeśli jednak wszystkie trzy całki istnieją, to ∫_{a}^{c} gdf = ∫_{a}^{b}gdf + ∫_{b}^{c} gdf.

Oczywiście naturalnie jest zapytać dla jakich funkcji f i g istnieje całka ∫ gdf. By odpowiedzieć na to pytanie musimy zdefiniować funkcje o wahaniu skończonym.

Definicja 7. Jeśli f: [a, b] → ℝ, to liczbę

Wah_{[a,b]}(f): = sup_{n∈ℕ} sup_{a=t_{0}<...<t_{n} =b} ∑_{i=1}^{n} |f(t_{i}) − f(t_{i−1} )|

nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale [a, b]. Mówimy, że f ma wahanie skończone na [a, b], jeśli Wah_{[a,b]}(f) < ∞.

Oczywiście 0 Wah_{[a,b]}(f) ∞ Wahanie jest addytywną funkcją przedziału, tzn. Wah_{[a,c]}(f) = Wah_{[a,b]}(f) + Wah_{[b,c]}(f) dla a < b < c.

Przykłady. Funkcje lipschitzowskie, funkcje monotoniczne mają wahanie skończone na ograniczonych przedziałach. Kombinacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym ma wahanie skończone. Funkcja f(x) = x sin(\frac{1}{x}) oraz f(0) = 0 jest ciągła, ale nie ma wahania skończonego na [0, 1].

Twierdzenie 8. Jeżeli f, g: [a, b] → ℝ, przy czym g jest ciągła, a f ma wahanie skończone, to ∫_{a}^{b}g df istnieje.

Twierdzenie to można odwrócić.

Twierdzenie 9. Jeśli całka Riemanna-Stieltjesa ∫_{a}^{b}gdf istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej g, to funkcja f ma wahanie skończone na [a, b].

7.2 Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Fakt 10. Jeśli f ma wahanie skończone na [a, b], to istnieją funkcje niemalejące f_{1}, f_{2} takie, że f_{1}(a) = f_{2}(a) = 0 oraz f(t) = f(a) + f_{1}(t) − f_{2}(t). Co więcej f ma w każdym punkcie granice jednostrone. Ponadto jeśli f jest ciągła (odp. prawostronnie ciągła), to f_{1} i f_{2} można wybrać ciągłe (odp. prawostronnie ciągłe).

Szkic dowodu. Określamy f_{1}(t) = \frac{1}{2}(Wah_{[a,t]}(f) + f(t) − f(a)) oraz f_{2}(t) = \frac{1}{2}(Wah_{[a,t]}(f) − f(t) + f(a)).

Definicja 11. Załóżmy, że f jest prawostronnie ciągłą funkcją na [a, b] o wahaniu skończonym. Niech f_{1} i f_{2} będą prawostronnie ciągłymi funkcjami niemalejącymi takimi, że f_{1}(a) = f_{2}(a) = 0 oraz f(t) = f(a) + f_{1}(t) − f_{2}(t). Istnieją wtedy skończone miary borelowskie μ_{1} i μ_{2} na [a, b] takie, że μ_{i}[a, t] = f_{i}(t) dla i = 1, 2. Dla ograniczonych funkcji mierzalnych g na [a, b] określamy całkę Lebesgue’a-Stieltjesa g względem f wzorem

∫_{[a,b]}gdf = ∫ gdμ_{1} − ∫ gdμ_{2}.

Uwaga 12. Można wykazać, że dla funkcji ciągłych g całki Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue’a-Stieltjesa g względem f są sobie równe.

7.3 Nieskończone wahanie ciągłych martyngałów

Niestety proces Wienera ma z prawdopodobieństwem jeden nieskończone wahanie na każdym przedziale. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy fakt.

Twierdzenie 13. Załóżmy, że (M_{t})_{t∈[a,b]} jest ciągłym martyngałem oraz A = {ω: M_{t}(ω) ma wahanie skończone na [a,b]}. Wówczas M_{t} ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A, tzn.

ℙ(∀_{t∈[a,b]} M_{t}𝟙_{A} = M_{a}𝟙_{A}) = 1.

Dowód. Załóżmy najpierw, że istnieje stała C < ∞ taka, że Wah_{[a,b]}(M_{t}) C oraz sup_{t∈[a,b]} |M_{t}| C. Ustalmy 0 u b − a i rozpatrzmy zmienne losowe

X_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} (M_{a+(k+1)u/n} − M_{a+ku/n} )^{2}.

Zauważmy, że dla s < t,

𝔼M_{s}M_{t} = 𝔼𝔼(M_{s}M_{t}|F_{s}) = 𝔼(M_{s}𝔼(M_{t}|F_{s})) = 𝔼M_{s}^{2},

stąd

𝔼X_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} 𝔼(M_{a+(k+1)u/n}^{2} − M_{a+ku/n}^{2} ) = 𝔼M_{a+u}^{2} − 𝔼M_{a}^{2}.

Zauważmy, że

|X_{n}| sup_{0 k n−1} |M_{a+(k+1)u/n} − M_{a+ku/n} | ∑_{k=0}^{n−1} |M_{a+(k+1)u/n} − M_{a+ku/n} |

sup_{|s−t| u/n} |M_{t} − M_{s}|Wah_{[a,b]}(M_{t}),

stąd |X_{n}| 2C^{2} oraz, z ciągłości M, lim_{n→∞} X_{n} = 0. Zatem z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej lim_{n→∞} 𝔼X_{n} = 0, czyli 𝔼M_{a+u}^{2} = 𝔼M_{a}^{2}. Zauważmy jednak, że

𝔼M_{a+u}^{2} = 𝔼𝔼((M_{a} + (M_{a+u} − M_{a}))^{2}|F_{a})
= 𝔼M_{a}^{2} + 𝔼(M_{a+u} − M_{a})^{2} + 2𝔼[M_{a}𝔼((M_{a+u} − M_{a})F_{a})
= 𝔼M_{a}^{2} + 𝔼(M_{a+u} − M_{a})^{2}.

Stąd M_{a+u} = M_{a} p.n., czyli M_{t} = M_{a} p.n dla dowolnego t ∈ [a, b]. Z ciągłości M wynika, że ℙ(∀_{t} M_{t} = M_{a}) = 1.

W przypadku ogólnym zdefiniujmy ciąg czasów zatrzymania

τ_{n} = inf{t a: sup_{a s t} |M_{s}| n} ∧ inf{t a: Wah_{[0,t]} n},

wówczas martyngał M^{τ_{n}} spełnia założenia pierwszej części dowodu (z C = n), więc M^{τ_{n}} ma stałe trajektorie p.n.. Wystarczy zauważyć, że dla ω ∈ A, τ_{n}(ω) = ∞ dla dostatecznie dużych n.

8 Całka izometryczna względem procesu Wienera

Podczas kolejnych wykładów zdefiniujemy całkę względem procesu Wienera - zaczniemy od całkowania funkcji deterministycznych, by później przejść do konstrukcji izometrycznej całki stochastycznej Ito.

Konstrukcja całki stochastycznej ma pewne podobieństwa do konstrukcji całki Lebesgue’a. Najpierw określa się, w naturalny sposób, całki najprostszych funkcji/procesów (funkcje schodkowe, procesy elementarne), później pokazuje się własności tak określonej całki (oparte na liczeniu drugich momentów), które pozwalają uogólnić definicję na bardziej złożone funkcje/procesy.

Należy zwrócić uwagę, że całkę stochastyczną definiujemy globalnie na całej przestrzeni probabilistycznej, a nie dla każdej trajektorii z osobna.

Dla uproszczenia notacji będziemy definiowali całki ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s}. Całkę ∫_{u}^{t} X_{s}dW_{s} dla 0 < u < t można wówczas określić na kilka sposobów - albo w naturalny sposób uogólniając odpowiednie definicje albo np. jako całkę ∫_{0}^{t} X_{s}𝟙_{[u,∞)} (s)dW_{s}.

Będziemy zakładać, że 0 < T ∞ oraz F_{t} jest filtracją spełniającą zwykłe warunki taką, że W_{t} jest F_{t} mierzalne oraz W_{s} − W_{t} jest niezależne od F_{t} dla s t (za F_{t} można przyjąć uzupełnienie F_{t+}^{W}).

8.1 Całka Paleya-Wienera

Definiowanie całki stochastycznej względem procesu Wienera zaczniemy od najprostszego przypadku funkcji deterministycznych.

Dla funkcji schodkowej postaci

h = ∑_{i=1}^{k} α_{i}𝟙_{(t_{i−1} ,t_{i}]}, 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = t, α_{i} ∈ ℝ,

określamy

I(h) = ∫_{0}^{t} h(s) dW_{s} := ∑_{i=1}^{k} α_{i}(W (t_{i}) − W (t_{i−1} )).

Z podstawowych własności procesu Wienera natychmiast otrzymujemy następujące własności przekształcenia I:

Fakt 1. Przy powyżej wprowadzonych oznaczeniach mamy

i) 𝔼I(h) = 0, ii) 𝔼I(h)^{2} = ∫_{0}^{t} h^{2}(s) ds, iii) I(h) ma rozkład normalny N (0, ∫_{0}^{t} h^{2}(s) ds), iii) I(c_{1}h_{1} + c_{2}h_{2}) = c_{1}I(h_{1}) + c_{2}I(h_{2}) dla c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.

Oznaczając przez E_{1} zbiór funkcji schodkowych na [a, b] widzimy, że przekształcenie I definiuje liniową izometrię L_{2}([0, t]) ⊃ E_{1} → L_{2}(Ω). Ponieważ funkcje schodkowe są gęste w L_{2} izometrię w jednoznaczny sposób możemy rozszerzyć na całe L_{2}([0, t]).

Definicja 2. Rozszerzenie powyższej izometrii do izometrii na L_{2}([0, t]) nazywamy całką Paleya-Wienera z funkcji h i oznaczamy ∫_{0}^{t} h(s) dW_{s}.

Fakt 3. Dla dowolnej funkcji h ∈ L_{2}([0, t]),

i) 𝔼(∫_{0}^{t} h(s) dW_{s}) = 0, ii) Var(∫_{0}^{t} h(s) dW_{s}) = 𝔼(∫_{0}^{t} h(s) dW_{s})^{2} = ∫_{0}^{t} h^{2}(s) ds, iii) ∫_{0}^{t} h(s) dW_{s} ma rozkład normalny N (0, ∫_{0}^{t} h^{2}(s) ds).

Można też udowodnić następujące proste własności całki Paleya-Wienera

Fakt 4. i) Jeżeli h ∈ C^{1}([0, t]), to

∫_{0}^{t} h(s) dW_{s} = h(t)W_{t} − ∫_{0}^{t} h′(s)W_{s} ds.

Ponadto dla dowolnego h ∈ L_{2}[0, t] ii) 𝔼| ∫_{0}^{t} h(s) dW_{s}|^{p} = 𝔼|W_{1}|^{p}(∫_{0}^{t} h^{2}(s) ds)^{p/2} oraz iii) ∫_{0}^{u} h(s)dW_{s} = ∫_{0}^{t} h(s)𝟙_{[0,u]}(s)ds p.n. dla dowolnych 0 < u < t.

8.2 Procesy elementarne

Starając się przenieść konstrukcję Paleya-Wienera na przypadek całki z procesów, musimy określić stochastyczny odpowiednik funkcji schodkowych - są to tak zwane procesy elementarne.

Definicja 5. Powiemy, że proces X = (X_{t})_{t∈[0,T)} należy do E - rodziny procesów elementarnych ( elementarnych procesów prognozowalnych), jeśli X jest postaci

X_{t} = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑_{k=1}^{n} ξ_{k−1} 𝟙_{(t_{k−1} ,t_{k}]}(t),  (2)

gdzie 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{m} < T, zaś ξ_{k} są ograniczonymi zmiennymi losowymi, F_{t_{k}}-mierzalnymi.

Oczywiście E jest przestrzenią liniową.

Definicja 6. Dla X ∈ E definiujemy proces

I(X) = (I(X)_{t})_{t T} = ( ∫_{0}^{t} X_{s} dW_{s})_{t T}

wzorem

I(X)_{t} := ∑_{k=1}^{m} ξ_{k−1} (W_{t_{k}∧t} − W_{t_{k−1} ∧t}).

Uwaga 7. Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od reprezentacji X ∈ E.

Fakt 8. Jeśli X jest procesem elementarnym, to I(X) = (∫_{0}^{t} X_{s} dW_{s})_{t T} jest martyngałem względem (F_{t})_{0 t T} , o ciągłych trajektoriach takim, że I(X)_{0} = 0 oraz

𝔼| ∫_{0}^{T} X_{s} dW_{s} |^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds.

Dowód. Przyjmijmy, że X_{t} jest postaci (2). Ciągłość trajektorii i I(X)_{0} = 0 wynika natychmiast z określenia I(X). Jeżeli t_{j} t t_{j+1} , to zmienna

I(X)_{t} = ξ_{0}(W_{t_{1}} − W_{t_{0}}) + ξ_{1}(W_{t_{2}} − W_{t_{1}}) + … + ξ_{j}(W_{t} − W_{t_{j}})

jest F_{t} mierzalna. Ponadto I(X)_{t} = I(X)_{t_{m}} dla t_{m} t T.

Sprawdzimy teraz, że I(X) jest martyngałem, czyli dla s < t T mamy 𝔼(I(X)_{t}|F_{s}) = I(X)_{s}. Wystarczy pokazać to dla t_{j} s < t t_{j+1} , ale wtedy

𝔼(I(X)_{t} − I(X)_{s}|F_{s}) = 𝔼(ξ_{j}(W_{t} − W_{s})|F_{s}) = ξ_{j}𝔼(W_{t} − W_{s}|F_{s}) = 0,

wykorzystujemy tu założenie, że ξ_{j} jest F_{t_{j}} ⊂ F_{s} mierzalne. By zakończyć dowód liczymy

𝔼I(X)_{T}^{2}

= ∑_{k=1}^{m} 𝔼[ξ_{k−1}^{2} (W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}} )^{2}] + 2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1} ξ_{j−1} (W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}} )(W_{t_{j}} − W_{t_{j−1}} )]

= I_{1} + I_{2}.

Wykorzystując mierzalność ξ_{j} oraz niezależność przyrostów procesu Wienera mamy

I_{1} = ∑_{k} 𝔼[ξ_{k−1}^{2} 𝔼((W_{t_{k}}−W_{t_{k−1}} )^{2}|F_{t_{k−1}} )] = ∑_{k} 𝔼ξ_{k−1}^{2} (t_{k}−t_{k−1} ) = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds

oraz

I_{2} = 2 ∑_{j<k} 𝔼[(ξ_{k−1} ξ_{j−1} 𝔼((W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}} )(W_{t_{j}} − W_{t_{j−1}} )|F_{t_{k−1}} )]

= 2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1} ξ_{j−1} (W_{t_{j}} − W_{t_{j−1}} )𝔼(W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}} |F_{t_{k−1}} )] = 0,

bo 𝔼(W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}} ) = 0.

Uwaga 9. Jedyne własności procesu Wienera jakie wykorzystywaliśmy w dowodzie, to 𝔼(W_{t} − W_{s}|F_{s}) = 0 oraz 𝔼((W_{t} − W_{s})^{2}|F_{s}) = t − s dla 0 s < t. Własności te można formalnie wyprowadzić z faktu, że procesy (W_{t}) i (W_{t}^{2} − t) są martyngałami względem (F_{t}).

8.3 Martyngały ciągłe, całkowalne z kwadratem

Definicja 10. Przez M_{T}^{2,c} oznaczamy przestrzeń martyngałów M = (M_{t})_{0 t T} względem filtracji (F_{t})_{t∈[0,T]} o trajektoriach ciągłych takich, że 𝔼M_{T}^{2} < ∞.

Uwaga 11. i) Jeśli M ∈ M_{T}^{2,c}, to z nierówności Jensena wynika, że 𝔼M_{t}^{2} 𝔼M_{T}^{2} < ∞, więc (M_{t}^{2})_{0 t T} jest podmartyngałem. ii) Przestrzeń M_{T}^{2,c} można utożsamić z przestrzenią martyngałów ciągłych (M_{t})_{0 t<T} takich, że sup_{t<T} 𝔼M_{t}^{2} < ∞. Możemy bowiem określić M_{T} jako granicę p.n. M_{t} przy t → T (zob. Twierdzenie 6.15 dla p = 2). iii) Z nierówności Dooba wynika, że dla M = (M_{t}) ∈ M_{T}^{2,c},

𝔼 sup_{t T}M_{t}^{2} 4𝔼M_{T}^{2}.

Fakt 12. Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest przestrzenią Hilberta (tzn. zupełną przestrzenią euklidesową) z iloczynem skalarnym

(M, N) = (M, N)_{T} = 𝔼M_{T}N_{T}, M, N ∈ M_{T}^{2,c}

oraz normą

∥M∥_{T} = \sqrt{(M, M)_{T}} = \sqrt{𝔼M_{T}^{2}} = ∥M_{T}∥_{L_{2}(Ω)} .

Uwaga 13. i) Przy rozważaniach dotyczących całki stochastycznej utożsamiamy procesy nieodróżnialne. Formalnie rzecz biorąc elementy M_{T}^{2,c} to klasy abstrakcji martyngałów ciągłych względem relacji nieodróżnialności. ii) Przekształcenie M → M_{T} jest izometrycznym włożeniem przestrzeni M_{T}^{2,c} w L_{2}(Ω, F, ℙ).

Dowód Faktu. Oczywiście M_{T}^{2,c} jest przestrzenią liniową, zaś (M, N) jest iloczynem skalarnym, bo jeśli (M, M) = 0, to 𝔼M_{T}^{2} = 0, czyli M_{T} = 0 p.n., co z własności martygału implikuje, że M_{t} = 0 p.n., więc z ciągłości M, ℙ(∀_{t T} M_{t} = 0) = 1.

Musimy jeszcze udowodnić zupełność. Niech M^{(n)} = (M_{t}^{(n)}) ∈ M_{T}^{2,c} będzie ciągiem Cauchy’ego, czyli

∥M^{(n)} − M^{(m)}∥_{T}^{2} = 𝔼(M_{T}^{(n)} − M_{T}^{(m)})^{2} → 0 dla m, n → ∞.

Wówczas M_{T}^{(n)} jest ciągiem Cauchy’ego w L_{2}(Ω, F_{T}, ℙ), zatem z zupełności L_{2} istnieje całkowalna z kwadratem zmienna M_{T} taka, że 𝔼|M_{T}^{(n)}−M_{T}|^{2} → 0 przy n → ∞.

Możemy położyć M̃_{t} := 𝔼(M_{T}|F_{t}), ale taka definicja nie gwarantuje ciągłości M̃. Udowodnimy, że można znaleźć martyngał M, który jest ciągłą modyfikację M̃.

Zauważmy, że na mocy nierówności Dooba,

𝔼 sup_{t T}(M_{t}^{(n)} − M_{t}^{(m)})^{2} 4𝔼|M_{T}^{(n)} − M_{T}^{(m)}|^{2},

więc możemy wybrać podciąg n_{k} taki, że

∀_{l>k} 𝔼 sup_{t T}(M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{l})})^{2} 8^{−k} .

Wówczas

ℙ( sup_{t T}|M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1} )}| 2^{−k} ) 2^{−k} .

Zatem, jeśli określimy

A_{k} := {sup_{t T}|M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1} )}| 2^{−k} },

to ∑ _{k} ℙ(A_{k}) < ∞, czyli na mocy lematu Borela-Cantelli, ℙ(lim supA_{k}) = 0.

Jeśli ω ∉ lim supA_{k}, to ω ∉ A_{k} dla k k_{0} = k_{0}(ω), czyli sup_{t T} |M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1} )}| 2^{−k} dla k k_{0}. Ciąg (M_{t}^{n_{k}} (ω))_{0 t T} jest zatem zbieżny jednostajnie na [0, T] do pewnej funkcji M_{t}(ω). Kładziemy dodatkowo M(ω) = 0 dla ω ∈ lim supA_{k}.

Z ciągłości M^{(n_{k})} wynika ciągłość M. Ponieważ M_{T}^{(n_{k})} → M_{T} w L^{2} więc również w L^{1}, czyli M_{t}^{(n_{k})} = 𝔼(M_{T}^{(n_{k})}|F_{t}) → 𝔼(M_{T}|F_{t}) w L^{1}, a że M_{t}^{(n_{k})} → M_{t} p.n., więc M_{t} = 𝔼(M_{T}|F_{t}) = M̃_{t} p.n., czyli (M_{t})_{0 t T} jest martyngałem ciągłym.

8.4 Całka izometryczna Ito. Procesy prognozowalne

Każdemu procesowi elementarnemu X przyporządkowaliśmy martyngał ciągły I(X), co więcej przekształcenie I

L_{2}([0, T] × Ω, B([0, T]) ⊗ F, λ ⊗ ℙ) ↩ E −→^{I} M_{T}^{2,c}

jest liniową izometrią. Przekształcenie I możemy więc rozszerzyć do liniowej izometrii (którą też będziemy oznaczać literą I) z \overline{E} w M_{T}^{2,c}, gdzie \overline{E} oznacza domknięcie przestrzeni procesów elementarnych w L_{2}([0, T] × Ω, B([0, T]) ⊗ F, λ ⊗ ℙ).

Definicja 14. Tak zdefiniowane przekształcenie I przyporządkowujące każdemu procesowi X = (X_{t})_{0 t T} z przestrzeni \overline{E} ciągły, całkowalny z kwadratem martyngał I(X) nazywamy izometryczną całką stochastyczną Ito z procesu X i oznaczamy

I(X)_{t} =: ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s}, 0 t T.

Oczywiście natychmiast powstaje pytanie jak wygląda przestrzeń \overline{E}, czyli jakie procesy stochastyczne umiemy całkować.

Definicja 15. σ-ciało zbiorów prognozowalnych P, to σ-ciało podzbiorów [0, T) × Ω generowane przez zbiory postaci {0} × A, (s, t] × A, s < t < T, A ∈ F_{s}.

Proces X = (X_{t})_{0 t<T} jest prognozowalny, jeśli traktowany jako funkcja X : [0, T) × Ω → ℝ jest mierzalny względem P.

Z definicji natychmiast wynika, że X_{t}(ω) = 𝟙_{A}(ω)𝟙_{(u,v]}(t) jest prognozowalny, jeśli A ∈ F_{u} oraz u v < T

Ponieważ każdą ograniczoną zmienną ξ, F_{u}–mierzalną można aproksymować jednostajnie przez zmienne postaci ∑ a_{i}𝟙_{A_{i}}, A_{i} ∈ F_{u}, więc proces ξ(ω)𝟙_{(u,v]}(t) jest prognozowalny dla dowolnej ograniczonej zmiennej ξ, F_{u}– mierzalnej. Stąd jest on także prognozowalny dla dowolnej zmiennej ξ nieujemnej F_{u}– mierzalnej, a zatem dla dowolnej F_{u}–mierzalnej zmiennej ξ.

Zatem dowolny proces Y ∈ E jest prognozowalny, czyli E ⊂ L_{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ), stąd

\overline{E} ⊂ L_{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ).

W szczególności każdy proces z \overline{E} jest nieodróznialny od procesu prognozowalnego. Okazuje się, że zachodzi również odwrotne zawieranie.

Fakt 16. Mamy \overline{E} = L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ).

Dowód. Wobec poprzednich rozważań musimy tylko pokazać, że \overline{E} ⊃ L_{2}([0, T)× Ω, P, λ ⊗ ℙ). Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I: T < ∞.

Najpierw pokażemy, że jeśli Γ ∈ P, to 𝟙_{Γ} ∈ \overline{E}. W tym celu określmy A := \{Γ ∈ P: 𝟙_{Γ} ∈ \overline{E}\} oraz

B := {{0} × A: A ∈ F_{0}} ∪ {(u, v] × A: 0 u < v < T, A ∈ F_{u}}.

Łatwo sprawdzić, że B jest π-układem, ponadto jeśli Γ ∈ B, to 𝟙_{Γ} ∈ E ⊂ \overline{E}, a zatem B ⊂ A. Co więcej A jest λ-układem dla T < ∞, bo

i) Γ = [0, T) × Ω ∈ A, czyli 𝟙_{Γ} = 1 ∈ \overline{E}, gdyż biorąc ciąg T_{n} ↗ T,

otrzymujemy E ∋ 𝟙_{\{0\}×Ω} + 𝟙_{(0,T_{n}]×Ω} = 𝟙_{[0,T_{n}]×Ω} −→^{L_{2}} 𝟙_{[0,T)×Ω} ∈ \overline{E}.

ii) Γ_{1}, Γ_{2} ∈ A, Γ_{1} ⊂ Γ_{2}, 𝟙_{Γ_{2}\Γ_{1}} = 𝟙_{Γ_{2}} − 𝟙_{Γ_{1}} ∈ \overline{E} z liniowości \overline{E}, czyli Γ_{2} \ Γ_{1} ∈ A. iii) Γ_{n} ∈ A wstępujący, wówczas 𝟙_{Γ_{n}} −→^{L_{2}} 𝟙_{⋃ Γ_{n}} ∈ \overline{E}, czyli ⋃ Γ_{n} ∈ A.

Zatem dla T < ∞, z twierdzenia o π, λ− ukladach A ⊃ σ(B) = P.

Dalej, jeśli Γ_{i} ∈ P, a_{i} ∈ ℝ, to ∑ _{i=1}^{n} a_{i}𝟙_{Γ_{i}} ∈ \overline{E} (z liniowości). Ponadto funkcje proste ∑ _{i n} a_{i}𝟙_{Γ_{i}} są gęste w L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ), czyli \overline{E} = L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ).

Przypadek II: T = ∞.

Niech X ∈ L_{2}([0, ∞) × Ω, P, λ ⊗ ℙ) oraz X_{t}^{(n)}(ω) := X_{t}(ω)𝟙_{[0,n)×Ω} (t, ω). Wówczas X^{(n)} prognozowalne, należace do L_{2}([0, n) × Ω, P, λ ⊗ ℙ), zatem X^{(n)} ∈ \overline{E} na mocy przypadku I.

Ponadto X^{(n)} → X w L_{2}([0, ∞) × Ω, λ ⊗ ℙ) (tw. Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli X ∈ \overline{E}.

Określiliśmy zatem ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} dla procesów prognozowalnych całkowalnych z kwadratem względem miary λ ⊗ ℙ na [0, T) × Ω. Od tej pory przyjmujemy następujące oznaczenie

L_{2}^{T} = L_{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ)
= {X = (X_{t})_{0 t<T} prognozowalny : 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}ds < ∞}.

Dobrze by było jeszcze wiedzieć, że klasa procesów prognozowalnych jest dostatecznie duża, wynika to z następującego faktu:

Fakt 17. Jeśli X = (X_{t})_{t∈[0,T)} jest procesem adaptowalnym i lewostronnie ciągłym, to X jest prognozowalny.

Dowód. Dla T < ∞ określmy

X_{t}^{(n)} := X_{0}𝟙_{\{0\}} + ∑_{k=1}^{2^{n} −1} X_{\frac{k−1}{2^{n}} T}𝟙_{( \frac{k−1}{2^{n}} T, \frac{k}{2^{n}} T]},

zaś w przypadku T = ∞ niech

X_{t}^{(n)} := X_{0}𝟙_{\{0\}} + ∑_{k=1}^{n2^{n}} X_{\frac{k−1}{2^{n}}} 𝟙_{( \frac{k−1}{2^{n}} , \frac{k}{2^{n}} ]}.

Łatwo zauważyć, że procesy X^{(n)} są prognozowalne oraz z lewostronnej ciągłości X wynika, że X_{t}^{(n)} → X_{t} punktowo. Prognozowalność X wynika z faktu, że granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

Uwaga 18. Można udowodnić, że dla (F_{t})-adaptowalnego procesu X = (X_{t})_{t∈[0,T)} takiego, że 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}ds < ∞ istnieje proces prognozowalny Y taki, że X_{t}(ω) = Y_{t}(ω) dla λ ⊗ ℙ prawie wszystkich (t, ω) ∈ [0, T) × Ω. Pozwala to określić ∫ XdW dla procesów adaptowalnych z L_{2}([0, T) × Ω).

9 Własności całki izometrycznej. Uogólnienie definicji całki stochastycznej

9.1 Twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej

Zacznijmy od prostej obserwacji.

Fakt 1. Jeśli X ∈ L_{T}^{2}, to dla dowolnego u < T, 𝟙_{[0,u]}X ∈ L_{T}^{2} i

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,u]}(s)X_{s} dW_{s} = ∫_{0}^{t∧u} X_{s} dW_{s} dla 0 t T.

Dowód. Funkcja (t, ω) → 𝟙_{[0,u]}(t) jest deterministyczna, więc prognozowalna, zatem proces 𝟙_{[0,u]}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, więc 𝟙_{[0,u]}X ∈ L_{T}^{2}.

Jeśli X jest procesem elementarnym postaci X = ξ_{0}𝟙_{{0}}+∑ _{k} ξ_{k}𝟙_{(t_{k−1} ,t_{k}]}, to X𝟙_{[0,u]} = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑ _{k} ξ_{k}𝟙_{(t_{k−1} ∧u,t_{k}∧u]} ∈ E oraz

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,u]}(s)X_{s} dW_{s} = ∑ ξ_{k}(W_{t_{k}∧u∧t} − W_{t_{k−1} ∧u∧t} ) = ∫_{0}^{t∧u} X_{s} dW_{s}.

Dla X ∈ L_{T}^{2} weźmy X^{(n)} ∈ E takie, że X^{(n)} → X w L_{T}^{2}. Wówczas oczywiście również X^{(n)}𝟙_{[0,u]} → X𝟙_{[0,u]} w L_{T}^{2}. Stąd

∫_{0}^{t} X_{s}𝟙_{[0,u]}(s)dW_{s} ← ∫_{0}^{t} X_{s}^{(n)}𝟙_{[0,u]}(s)dW_{s} = ∫_{0}^{t∧u} X_{s}^{(n)}dW_{s} → ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s}.

Uogólnieniem faktu jest ważne twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej.

Twierdzenie 2. Niech X ∈ L_{T}^{2} oraz τ będzie momentem zatrzymania. Wówczas 𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} oraz

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} dW_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dW_{s} dla 0 t T.  (3)

Dowód. Biorąc τ ∧ T zamiast T możemy zakładać, że τ T p.n..

Proces 𝟙_{[0,τ]}(t) jest lewostronnie ciągły i adaptowalny, a zatem jest prognozowalny, czyli 𝟙_{[0,τ]}X jest prognozowalny (iloczyn funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną). Stąd 𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2}.

Wzór (3) udowodnimy w trzech krokach.

Krok 1. X ∈ E, τ przyjmuje skończenie wiele wartości.

Ewentualnie powiększając ciąg t_{i} możemy zakładać, że τ przyjmuje wartości 0 = t_{0} t_{1} … t_{m} T oraz X = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑ _{k=0}^{m−1} ξ_{k}𝟙_{(t_{k},t_{k+1} ]}. Mamy

𝟙_{[0,τ]}(t) = ∑_{k=0}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}} 𝟙_{[0,t_{k}]}(t) = ∑_{k=0}^{m} ( ( ∑_{j=0}^{k−1} 𝟙_{{τ=t_{k}}} 𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}(t)) + 𝟙_{{τ=t_{k}}} 𝟙_{{0}})

= 𝟙_{Ω} 𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}} 𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}(t)

= 𝟙_{Ω} 𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 𝟙_{{τ>t_{j} }} 𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}(t),

zatem

𝟙_{[0,τ]}(t)X = ξ_{0}𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} ξ_{j}𝟙_{{τ>t_{j} }} 𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}(t),

czyli 𝟙_{[0,τ]}(t)X ∈ E. Liczymy

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} dW_{s} = ∑_{j=0}^{m−1} ξ_{j}𝟙_{{τ>t_{j} }} (W_{t_{j+1} ∧t} − W_{t_{j} ∧t})

= ∑_{j=0}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{k−1} ξ_{j}𝟙_{{τ=t_{k}}} (W_{t_{j+1} ∧t} − W_{t_{j} ∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=0}^{k−1} ξ_{j}(W_{t_{j+1} ∧t} − W_{t_{j} ∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}} ∫_{0}^{t∧t_{k}} X_{s} dW_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dW_{s}.

Krok 2. τ dowolne oraz X ∈ E.

Weźmy ciąg momentów zatrzymania τ_{n} przyjmujących skończenie wiele wartości taki, że τ_{n} ↘ τ. Na mocy kroku 1, para (τ_{n}, X) spełnia (3). Z ciągłości trajektorii całki stochastycznej, ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X_{s} dW_{s} → ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dW_{s} p.n.. Mamy

𝔼( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s} dW_{s} − ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} dW_{s})^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{t} 𝟙_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s} dW_{s})^{2}
= 𝔼 ∫_{0}^{t} 𝟙_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s}^{2} ds → 0.

Zbieżność wynika z twierdzenia Lebesgue’a, gdyż proces 𝟙_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s}^{2} dąży punktowo do zera i jest majoryzowany przez X_{s}^{2}. Stąd

∫_{0}^{t∧τ} X dW ⟵^{p.n.} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X dW = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW −→^{L_{2}(Ω)} ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X dW,

czyli spełnione jest (3).

Krok 3. τ oraz X ∈ L_{T}^{2} dowolne.

Weźmy X^{(n)} ∈ E takie, że X^{(n)} → X w L_{T}^{2}. Z kroku 2, para (τ, X^{(n)}) spełnia (3). Mamy

𝔼( ∫_{0}^{t∧τ} (X_{s} − X_{s}^{(n)}) dW_{s})^{2} 𝔼( ∫_{0}^{T}(X − X^{(n)}) dW )^{2}

= 𝔼 ∫_{0}^{T}(X − X_{s}^{(n)})^{2} ds → 0, gdzie pierwsza nierówność wynika z nierówności Jensena oraz Twierdzenia Dooba 6.12 dla martyngału (∫(X − X^{(n)}) dW). Ponadto

𝔼( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)(X_{s} − X_{s}^{(n)}) dW_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)(X_{s} − X_{s}^{(n)})^{2} ds
𝔼 ∫_{0}^{T}(X_{s} − X_{s}^{(n)})^{2} ds → 0.

Stąd

∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dW_{s} ⟵^{L_{2}(Ω)} ∫_{0}^{t∧τ} X_{s}^{(n)} dW_{s} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X_{s}^{(n)} dW_{s} −→^{L_{2}(Ω)} ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X_{s} dW_{s},

czyli (3) spełnione jest i w tym przypadku.

Wniosek 3. Dla X ∈ L_{T}^{2}, proces M := ((∫_{0}^{t} X dW)^{2} − ∫_{0}^{t} X^{2} ds)_{t T} jest martyngałem.

Dla X ≡ 1 otrzymujemy znany fakt, że W_{t}^{2} − t jest martyngałem.

Dowód wniosku oparty jest na następującej prostej obserwacji.

Fakt 4. Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M_{0} = 0 i dla wszystkich t, 𝔼|M_{t}| < ∞. Wówczas M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼M_{τ} = 0 dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania τ.

Dowód. ⇒: Z Twierdzenia Dooba 6.12, 𝔼M_{τ} = 𝔼M_{0} = 0.

⇐: Musimy pokazać, że dla s < t, 𝔼(M_{t}|F_{s}) = M_{s} p.n., czyli 𝔼M_{t}𝟙_{A} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} dla wszystkich A ∈ F_{s}. Określmy

τ := \{ \begin{matrix}s dla ω ∈ A \\ t dla ω ∉ A. \end{matrix}

Jak łatwo sprawdzić τ jest momentem zatrzymania, stąd

0 = 𝔼M_{τ} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} + 𝔼M_{t}𝟙_{A^{c}} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} − 𝔼M_{t}𝟙_{A},

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że

𝔼M_{t}𝟙_{A^{c}} = 𝔼M_{t} − 𝔼M_{t}𝟙_{A} = 0 − 𝔼M_{t}𝟙_{A}.

Dowód Wniosku. Jak wiemy ∫ X dW ∈ M_{T}^{2,c}, czyli M jest ciągły, adaptowalny i całkowalny oraz M_{0} = 0. Dla ograniczonego momentu zatrzymania τ T otrzymujemy na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej

𝔼( ∫_{0}^{τ} X dW )^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}X dW )^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s}^{2} ds = 𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds.

Zatem

𝔼M_{τ} = 𝔼[( ∫_{0}^{τ} X dW )^{2} − ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds] = 0.

9.2 Uogólnienie definicji całki stochastycznej

Definicja 5. Dla T ∞ określamy przestrzeń procesów prognozowalnych, lokalnie całkowalnych z kwadratem

Λ_{T}^{2} = {(X_{t})_{t<T} − prognozowalny: ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds < ∞ p.n. dla 0 < t < T }.

Zatem proces prognozowalny X należy do przestrzeni Λ_{T}^{2} wtedy i tylko wtedy, gdy

ℙ(∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds < ∞) = 1.

Przestrzeń Λ_{T}^{2} jest liniowa, ale nie jest przestrzenią Hilberta. Na Λ_{T}^{2} można wprowadzić metrykę przestrzeni Frecheta generowaną przez ciąg metryk euklidesowych.

Definicja 6. Jeśli X = (X_{t})_{t∈I} jest procesem stochastycznym, a τ momentem zatrzymania, to X^{τ} = (X_{t}^{τ})_{t∈I} - proces X zatrzymany w chwili τ definiujemy wzorem

X_{t}^{τ} := X_{t∧τ} .

Lemat 7. Dla X ∈ Λ_{T}^{2} określmy

τ_{n} := inf {t 0 : ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds n} ∧ T ∧ n, n = 1, 2, . . ..

Wówczas (τ_{n}) jest rosnącym ciagiem momentów zatrzymania, τ_{n} ↗ T p.n. Ponadto dla wszystkich n, 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2}.

Dowód. τ_{n} jest momentem zatrzymania jako moment dojścia przez adaptowalny proces ciągły ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds do zbioru domkniętego [n, ∞). Z założenia o skończoności ∫ X_{s}^{2} ds wynika, że τ_{n} ↗ T p.n..

Proces 𝟙_{[0,τ_{n}]}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, ponadto na mocy nierówności Schwarza i definicji τ_{n},

𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s} ds)^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{τ_{n}} X_{s} ds)^{2} 𝔼[τ_{n} ∫_{0}^{τ_{n}} X_{s}^{2} ds] n^{2} < ∞.

Załóżmy, że mamy dany rosnący ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ T p.n. taki, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} dla wszystkich n. Niech M_{n}(t) := ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW.

Lemat 8. Dla m n, procesy M_{m}^{τ_{n}} i M_{n} są nierozróżnialne, czyli

ℙ(∀_{t T} , M_{m}(t ∧ τ_{n}) = M_{n}(t)) = 1.

Dowód. Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej dla ustalonego t T,

M_{m}(τ_{n} ∧ t) = ∫_{0}^{τ_{n} ∧t} 𝟙_{[0,τ_{m} ]}X dW = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ_{m} ]}X dW
= ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW = M_{n}(t).

Zatem M_{m}^{τ} jest modyfikacją M_{n}. Teza lematu wynika z ciągłości obu procesów.

Definicja 9. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} oraz τ_{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takich, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} dla wszystkich n. Całką stochastyczną ∫ X dW dla X ∈ Λ_{T}^{2} oznaczamy taki proces (M_{t})_{t<T} = (∫_{0}^{t} X dW)_{t<T} , że M_{t}^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X dW = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW dla n = 1, 2, . . ..

Fakt 10. Proces M zdefiniowany powyżej jest jest ciągły i jednoznacznie określony w klasie procesów nieodróżnialnych.

Dowód. Na mocy Lematu 8 dla każdego m > n istnieje zbiór N_{n,m} taki, że ℙ(N_{n,m}) = 0 oraz dla ω ∉ N_{n,m} zachodzi M_{n}(t, ω) = M_{m}(t ∧ τ_{n}(ω), ω) dla wszystkich t < T. Niech N := ⋃ _{m>n} N_{n,m}, wówczas ℙ(N) = 0 oraz dla ω ∉ N, t τ_{n}(ω) ciąg (M_{m}(t, ω))_{m n} jest stały. Zatem możemy (i musimy) położyć M(t, ω) := M_{n}(t, ω) dla t τ_{n}(ω).

Fakt 11. Definicja ∫ X dW nie zależy od wyboru ciągu τ_{n} dla X ∈ Λ_{T}^{2}. Dokładniej, jeśli τ_{n}, \overline{τ}_{n} - momenty zatrzymania, τ_{n} ↗ T, \overline{τ}_{n} ↗ T, 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} i 𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} oraz M, \overline{M} zdefiniowane za pomocą τ_{n}, \overline{τ}_{n} odpowiednio, to procesy M i \overline{M} są nierozróżnialne.

Dowód. Mamy

M_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW, \overline{M}_{t∧\overline{τ}_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,\overline{τ}]}X dW.

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej,

M_{t∧τ_{n} ∧\overline{τ}_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}X dW = \overline{M}_{t∧τ_{n} ∧\overline{τ}_{n}} .

Ponadto τ_{n} ∧ \overline{τ}_{n} ↗ T, więc t ∧ τ_{n} ∧ \overline{τ}_{n} = t dla n n(ω) i stąd M_{t} = \overline{M}_{t} p.n., a że są to procesy ciągłe, to są nierozróżnialne.

Definicja 12. Jeżeli dla procesu adaptowalnego M = (M_{t})_{t<T} , istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ T taki, że M^{τ_{n}} jest martyngałem, to M nazywamy martyngałem lokalnym. Jeśli dodatkowo M^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c}, to mówimy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym całkowalnym z kwadratem. Klasę takich procesów oznaczamy M_{T,loc}^{2,c} (M_{loc}^{2,c} jeśli wartość T jest jasna z kontekstu).

Uwaga 13. M ∈ M_{T,loc}^{c} wtedy i tylko wtedy, gdy M − M_{0} ∈ M_{T,loc}^{2,c}, gdzie M_{T,loc}^{c} oznacza rodzinę ciągłych martyngałów lokalnych.

Fakt 14. Załóżmy, że M = ∫ XdW dla X ∈ Λ_{2}^{T}. Wówczas

i) M jest procesem ciągłym, M_{0} = 0, ii) M ∈ M_{T,loc}^{2,c}, iii) Przekształcenie X → ∫ XdW jest liniowe.

Dowód. Punkty i), ii) wynikają z definicji. By udowodnić iii) weźmy X, Y ∈ Λ_{T}^{2} Istnieją wówczas momenty zatrzymania τ_{n} ↗ T i \overline{τ}_{n} ↗ T takie, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} oraz 𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}Y ∈ L_{T}^{2}. Przyjmując σ_{n} := \overline{τ}_{n} ∧ τ_{n} ↗ T otrzymujemy 𝟙_{[0,σ_{n}]}X, 𝟙_{[0,σ_{n}]}Y ∈ L_{T}^{2}, a zatem 𝟙_{[0,σ_{n}]}(aX + bY) ∈ L_{T}^{2} dla dowolnych a, b ∈ ℝ. Stąd na mocy definicji otrzymujemy, że ∫_{0}^{t∧σ_{n}} (aX + bY) dW = a ∫_{0}^{t∧σ_{n}} X dW + b ∫_{0}^{t∧σ_{n}} Y dW i biorąc granicę n → ∞, ∫(aX + bY) dW = a ∫ XdW + b ∫ Y dW.

Sformułujemy teraz uogólnienie twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej.

Fakt 15. Jeśli X ∈ Λ_{T}^{2}, to dla dowolnego momentu zatrzymania τ, 𝟙_{[0,τ]}X ∈ Λ_{T}^{2} oraz

∫_{0}^{t∧τ} X dW = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X dW.

Dowód. Proces 𝟙_{[0,τ]}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych i majoryzowany przez X, stąd 𝟙_{[0,τ]}X ∈ Λ_{T}^{2}. Proces X ∈ Λ_{T}^{2}, więc istnieje ciąg τ_{n} ↗ T taki, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2}. Wtedy też 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2}. Niech

M := ∫ X dW, N := ∫ 𝟙_{[0,τ]}X dW.

Na mocy definicji,

M_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X, dW, N_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ]}X dW.

Z udowodnionego wcześniej twierdzenia 2 o zatrzymaniu całki izometrycznej,

M_{t∧τ∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW = N_{t∧τ_{n}} .

Biorąc n → ∞ dostajemy M_{t}^{τ} = M_{t∧τ} = N_{t}, czyli M^{τ} = N.

Uwaga 16. Martyngał lokalny M = ∫ X dW dla X ∈ Λ_{T}^{2} nie musi być martyngałem, M_{t} nie musi być nawet całkowalne. Ale, jeśli 𝔼 ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds < ∞ dla wszystkich t < T, to M jest martyngałem, bo możemy przyjąć τ_{n} = t_{n}, gdzie t_{n} jest ciągiem rosnącym zbieżnym do T i wtedy M_{t∧τ_{n}} = M_{t∧t_{n}} ∈ M_{T}^{2,c}.

Mimo, że w przypadku ogólnym ∫ X dW nie musi być martyngałem, to zachodzi dla tego procesu nierówność Dooba.

Twierdzenie 17 (Nierówność Dooba). Dla dowolnego procesu X ∈ Λ_{2}^{T} oraz momentu zatrzymania τ T,

𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t} X dW )^{2} 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds.

Dowód. Weźmy τ_{n} ↗ T takie, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2}. Mamy

𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X dW )^{2} = 𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW )^{2} = 𝔼 sup_{t<T}( ∫_{0}^{t∧τ} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW )^{2}

= 𝔼 sup_{t T}( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW )^{2}

(𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ M_{T}^{2,c}, więc t < T można zamienić na t T). Na mocy nierówności Dooba dla martyngałów,

𝔼 sup_{t T}( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,T]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW )^{2} 4𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X dW )^{2}
= 4𝔼 ∫_{0}^{T}(𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X_{s})^{2} ds = 4𝔼 ∫_{0}^{τ∧τ_{n}} X_{s}^{2} ds 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds.

Wykazaliśmy zatem, że

𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X dW )^{2} 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds.

Ponieważ

sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X dW )^{2} = sup_{t<τ∧τ_{n}} ( ∫_{0}^{t} X dW )^{2} ↗ sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t} X dW )^{2},

więc teza wynika z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.

10 Całka względem ciągłych martyngałów

Podczas wcześniejszych wykładów zdefiniowaliśmy całkę ∫ XdW. Okazuje się, że bez większych trudności definicję tę daje się uogólnić na ∫ XdM, gdzie M jest ciągłym martyngałem (a nawet ciągłym martyngałem lokalnym).

Podczas tego i kolejnych wykładów zakładamy, że T ∞ oraz (F_{t})_{t∈[0,T]} jest filtracją spełniającą zwykłe warunki.

10.1 Rozkład Dooba-Meyera

Podstawą konstrukcji całki stochastycznej względem procesu Wienera jest to, że W_{t} i W_{t}^{2}−t są martyngałami. Okazuje się, że dla dowolnego całkowalnego z kwadratem ciągłego martyngału M znajdzie się proces niemalejący X taki, że M^{2} − X jest martyngałem.

Twierdzenie 1 (rozkład Dooba-Meyera). Dla M ∈ M_{T}^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ = (⟨M⟩_{t})_{0 t T} o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że ⟨M⟩_{0} = 0 oraz (M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t})_{0 t T} jest martyngałem. Co więcej proces ⟨M⟩ jest wyznaczony jednoznacznie.

Udowodnimy jednoznaczność rozkładu, dowód istnienia znajduje się w Dodatku B.

Dowód Jednoznaczności. Załóżmy, że M_{t}^{2} − Y_{t} i M_{t}^{2} − Z_{t} dwa martyngały o ciągłych trajektoriach oraz Y_{t}, Z_{t} niemalejące, ciągłe. Trajektorie procesu Y_{t}−Z_{t} mają wahanie skończone, ponadto Y_{t}−Z_{t} = (M_{t}^{2}−Z_{t})−(M_{t}^{2}−Y_{t}) jest martyngałem ciągłym. Stąd, na podstawie twierdzenia 7.13 Y − Z ≡ 0.

Przykłady. Dla procesu Wienera ⟨W ⟩_{t} = t. Ogólniej, Wniosek 3 implikuje, że ⟨∫ X_{s} dW_{s}⟩_{t} = ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds dla X ∈ L_{T}^{2}.

10.2 Całka izometryczna

Ponieważ dla wszystkich ω, t → ⟨M⟩_{t}(ω) jest niemalejące, zatem ma wahanie skończone, czyli można określić skończoną miarę d⟨M⟩_{t}(ω) na [0, T]. Z uwagi na ciągłość ⟨M⟩ miara ta jest bezatomowa. Następna definicja jest naturalnym uogólnieniem definicji dla procesu Wienera.

Definicja 2. Dla procesu elementarnego X postaci

X = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑_{k=0}^{m−1} ξ_{k}𝟙_{(t_{k},t_{k+1} ]},

gdzie 0 = t_{0} t_{1} t_{2} … t_{m} < T, ξ_{k} ograniczone, F_{t_{k}}- mierzalne oraz M ∈ M_{T}^{2,c} określamy

∫_{0}^{t} X dM := ∑_{k=0}^{m−1} ξ_{k}(M_{t_{k+1} ∧t} − M_{t_{k}∧t}) dla 0 t T.

Definiujemy też dla M ∈ M_{T}^{2,c}

L_{T}^{2}(M) = {X = (X_{t})_{t<T} prognozowalne takie, że 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s} < ∞}.

Fakt 3. Niech M ∈ M^{2,c} oraz X ∈ E. Wówczas I(X) := ∫ X dM ∈ M_{T}^{2,c}, I(X)_{0} = 0 oraz

∥I(X)∥_{T}^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{T} X_{s} dM_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s} = ∥X∥_{L_{T}^{2}(M)}^{2} .

Dowód. Ciągłość I(X), warunek I(X)_{0} = 0 oraz to, że I(X)_{t} ∈ L_{2} dla wszystkich t są oczywiste. Dla t_{j} t t_{j+1} mamy

I(X)_{t} = ξ_{0}(M_{t_{1}} − M_{t_{0}}) + ξ_{1}(M_{t_{2}} − M_{t_{1}}) + … + ξ_{j}(M_{t} − M_{t_{j}}).

Dla t_{j} t s t_{j+1} otrzymujemy zatem

𝔼(I(X)_{s}|F_{t}) − I(X)_{t} = 𝔼(ξ_{j}(M_{s} − M_{t})|F_{t}) = ξ_{j}(𝔼(M_{s}|F_{t}) − M_{t}) = 0,

czyli I(X) jest martyngałem. Ponadto

𝔼I(X)_{T}^{2} = ∑_{k=0}^{m−1} 𝔼[ξ_{k}^{2}(M_{t_{k+1}} − M_{t_{k}})^{2}]

+ 2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1} ξ_{j−1} (M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )(M_{t_{j}} − M_{t_{j−1}} )] = I + II.

Zauważmy, że dla s < t,

𝔼((M_{t} − M_{s})^{2}|F_{s}) = 𝔼(M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t}|F_{s}) + 𝔼(⟨M⟩_{t}|F_{s}) − 2M_{s}𝔼(M_{t}|F_{s}) + M_{s}^{2}
= M_{s}^{2} − ⟨M⟩_{s} + 𝔼(⟨M⟩_{t}|F_{s}) − M_{s}^{2} = 𝔼(⟨M⟩_{t} − ⟨M⟩_{s}|F_{s}).

Stąd

I = ∑_{k} 𝔼[ξ_{k}^{2}𝔼((M_{t_{k+1}} − M_{t_{k}})^{2}|F_{t_{k}})] = ∑_{k} 𝔼[ξ_{k}^{2}𝔼(⟨M⟩_{t_{k+1}} − ⟨M⟩_{t_{k}}|F_{t_{k}})]

= 𝔼 ∑_{k} ξ_{k}^{2}(⟨M⟩_{t_{k+1}} − ⟨M⟩_{t_{k}}) = 𝔼 ∑_{k} ∫_{t_{k}}^{t_{k+1}} ξ_{k}^{2} d⟨M⟩_{s} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s}.

Ponadto

II = 2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1} ξ_{j−1} (M_{t_{j}} − M_{t_{j−1}} )𝔼(M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} |F_{t_{k−1}} )] = 0.

Tak jak dla procesu Wienera dowodzimy, że domknięcie E w przestrzeni L_{2}([0, T) × Ω, d⟨M⟩ ⊗ ℙ) jest równe \overline{E} = L_{T}^{2}(M). Izometrię I(X) możemy przedłużyć do \overline{E}, w ten sposób otrzymujemy izometryczną definicję całki I(X) = ∫ X dM dla X ∈ L_{T}^{2}(M). Mamy zatem następujący fakt.

Fakt 4. Niech M ∈ M_{T}^{2,c}. Wówczas

a) Dla X ∈ L_{T}^{2}(M) proces ∫ XdM ∈ M_{T}^{2,c} oraz

∥ ∫ XdM∥_{M_{T}^{2,c}}^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{T} X_{s}dM_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}d⟨M⟩_{s} = ∥X∥_{L_{T}^{2}(M)} .

b) Jeśli X, Y ∈ L_{T}^{2}(M), to aX + bY ∈ L_{T}^{2}(M) dla a, b ∈ ℝ oraz ∫(aX + bY)dM = a ∫ XdM + b ∫ Y dM.

10.3 Uogólnienie definicji całki

Zacznijmy od prostego faktu.

Fakt 5. Załóżmy, że M ∈ M_{T}^{2,c}, wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ, M^{τ} ∈ M_{T}^{2,c} oraz ⟨M^{τ}⟩ = ⟨M⟩^{τ}.

Dowód. Wiemy, że M^{τ} jest ciągłym martyngałem. Na mocy nierówności Jensena

𝔼|M_{T}^{τ}|^{2} = 𝔼M_{τ∧T}^{2} = 𝔼[𝔼(M_{T}|F_{τ∧T})]^{2} 𝔼M_{T}^{2},

zatem M^{τ} ∈ M_{T}^{2,c}. Proces ⟨M⟩^{τ} startuje z zera, ma trajektorie ciągłe, ponadto (M^{τ})^{2} − ⟨M⟩^{τ} = (M^{2} − ⟨M⟩)^{τ} jest martyngałem, więc ⟨M⟩^{τ} spełnia wszystkie warunki definicji ⟨M^{τ}⟩.

Możemy uogólnić rozkład Dooba-Meyera na przypadek ciągłych martyngałów lokalnych.

Wniosek 6. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, wówczas istnieje dokładnie jeden proces ⟨M⟩ = (⟨M⟩_{t})_{0 t<T} o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że ⟨M⟩_{0} = 0 oraz M^{2} − ⟨M⟩ ∈ M_{loc}^{c}.

Dowód. Istnienie. Niech τ_{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takim, że M^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c}. Określmy Y_{n} := ⟨M^{τ_{n}}⟩, wówczas dla n m

Y_{m}^{τ_{n}} = ⟨M^{τ_{m}} ⟩^{τ_{n}} = ⟨(M^{τ_{m}})^{τ_{n}}⟩ = ⟨M^{τ_{n} ∧τ_{m}} ⟩ = ⟨M^{τ_{n}}⟩ = Y_{n}.

Stąd istnieje proces ciągły Y = (Y_{t})_{0 t<T} taki, że Y^{τ_{n}} = Y_{n}, oczywiście Y_{0} = Y_{n,0} = 0, ponadto Y ma trajektorie niemalejące oraz

(M^{2} − Y)^{τ_{n}} = (M^{τ_{n}})^{2} − Y^{τ_{n}} = (M^{τ_{n}})^{2} − ⟨M^{τ_{n}}⟩ ∈ M^{c},

zatem M^{2} − Y jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, T).

Jednoznaczność. Niech Y i Ȳ procesy ciągłe o niemalejących trajektoriach takie, że Y_{0} = Ȳ_{0} = 0 oraz M^{2} − Y i M^{2} − Ȳ są martyngałami lokalnymi. Wówczas istnieją momenty zatrzymania τ_{n} ↗ T i τ̄_{n} ↗ T takie, że (M^{2} − Y)^{τ_{n}} oraz (M^{2} − Ȳ)τ̄_{n} są martyngałami. Biorąc σ_{n} = τ_{n} ∧ τ̄_{n} ↗ T dostajemy martyngały (M^{2} − Y)^{σ_{n}} = ((M^{2} − Y)^{τ_{n}})τ̄_{n} oraz (M^{2} − Ȳ)^{σ_{n}} = ((M^{2} − Ȳ)τ̄_{n})^{τ_{n}}, proces (Y − Ȳ)^{σ_{n}} jest więc martyngałem o ograniczonym wahaniu, czyli jest stały, zatem Y^{σ_{n}} = Ȳ^{σ_{n}}. Przechodząc z n → ∞ otrzymujemy Y = Ȳ.

Podbnie jak dla procesu Wienera dowodzimy twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej względem martyngałów całkowalnych z kwadratem.

Twierdzenie 7. Załóżmy, że M ∈ M_{T}^{2,c}, X ∈ L_{T}^{2}(M) oraz τ będzie momentem zatrzymania. Wówczas 𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2}(M), X ∈ L_{T}^{2}(M^{τ}) oraz

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} dM_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dM_{s} = ∫_{0}^{t} X_{s}dM_{s}^{τ} dla 0 t T.

Definicja 8. Dla T ∞, M ∈ M_{loc}^{c} określamy przestrzeń procesów prognozowalnych, lokalnie całkowalnych z kwadratem względem ⟨M⟩

Λ_{T}^{2}(M) = {(X_{t})_{t<T} − prognozowalny: ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s} < ∞ p.n. dla t < T }.

Ponieważ ∫ XdM = ∫ Xd(M − M_{0}) oraz ⟨M − M_{0}⟩ = ⟨M⟩, więc bez straty ogólności przy uogólnianiu definicji całki będziemy zakładać, że M_{0} = 0.

Definicja 9. Niech M = (M_{t})_{t<T} ∈ M_{loc}^{c}, M_{0} = 0, X = (X_{t})_{t<T} ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz τ_{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takich, że M^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c} i 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2}(M^{τ_{n}}) dla wszystkich n. Całką stochastyczną ∫ X dM nazywamy taki proces (N_{t})_{t<T} = (∫_{0}^{t} X dM)_{t<T} , że N_{t}^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X dM^{τ_{n}} dla n = 1, 2, . . ..

Nietrudno udowodnić (naśladując dowód dla całki względem procesu Wienera), że całka ∫ X dM dla M ∈ M_{loc}^{c} i X ∈ Λ_{T}^{2}(M) jest zdefiniowana poprawnie i jednoznacznie (z dokładnością do nieodróżnialności procesów) oraz nie zależy od wyboru ciągu momentów zatrzymania τ_{n}.

Następujący fakt przedstawia podstawowe własności ∫ XdM.

Fakt 10. Niech M, N ∈ M_{loc}^{c}. Wówczas

a) Dla X ∈ Λ_{T}^{2}(M) proces ∫ XdM ∈ M_{loc}^{c}.

b) Jeśli X, Y ∈ Λ_{T}^{2}(M), to aX + bY ∈ Λ_{T}^{2}(M) dla a, b ∈ ℝ oraz ∫(aX + bY)dM = a ∫ XdM + b ∫ Y dM.

c) Jeśli X ∈ Λ_{T}^{2}(M) ∩ Λ_{T}^{2}(N) oraz a, b ∈ ℝ, to X ∈ Λ_{T}^{2}(aM + bN) oraz ∫ Xd(aM + bN) = a ∫ XdM + b ∫ XdN.

Można również sformułować twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej w ogólnym przypadku.

Twierdzenie 11. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, X ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz τ będzie momentem zatrzymania. Wówczas 𝟙_{[0,τ]}X ∈ Λ_{T}^{2}(M), X ∈ Λ_{T}^{2}(M^{τ}) oraz

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s) dM_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} dM_{s} = ∫_{0}^{t} X_{s}dM_{s}^{τ} dla 0 t < T.

11 Własności nawiasu skośnego

Podczas tego wykładu zajmiemy się interpretacją procesu ⟨M⟩.

Niech Π = (t_{0}, t_{1}, …, t_{k}) będzie podziałem [0, t] takim, że 0 = t_{0} t_{1} … t_{k} = t. Definiujemy wówczas

V_{Π,t}^{M} := ∑_{i=1}^{k} (M_{t_{i}} − M_{t_{i−1}} )^{2}.

Będziemy też czasem pisać V_{Π,t} (M) zamiast V_{Π,t}^{M}. Pokażemy, że ⟨M⟩_{t} jest granicą V_{Π,t}^{M} przy diam(Π) → 0, dlatego też ⟨M⟩ nazywa się często wariacją kwadratową M.

Zacznijmy od najprostszej sytuacji martyngałów ograniczonych, tzn. takich, że sup_{t} ∥M_{t}∥_{∞} < ∞.

Twierdzenie 1. Załóżmy, że M jest ograniczonym martyngałem ciągłym Wówczas V_{Π,t}^{M} → ⟨M⟩_{t} w L_{2}(Ω) dla t T, gdy diam(Π) → 0.

Dowód. Możemy założyć, rozpatrując zamiast M proces M −M_{0}, że M_{0} = 0, bo V_{Π,t} (M − M_{0}) = V_{Π,t} (M) oraz ⟨M − M_{0}⟩ = ⟨M⟩ ((M − M_{0})^{2} − ⟨M⟩ = (M^{2} − ⟨M⟩) − 2MM_{0} + M_{0}^{2} jest martyngałem, czyli, z jednoznaczności ⟨·⟩, mamy ⟨M − M_{0}⟩ = ⟨M⟩).

Niech Π_{n} = (0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = t) będzie ciągiem podziałów [0, t] takim, że diam(Π_{n}) → 0.

Połóżmy C = sup_{s T} ∥M_{s}∥_{∞} . Liczymy

M_{t}^{2} = ( ∑_{k=1}^{k_{n}} (M_{t_{k}^{(n)}} − M_{t_{k−1}^{(n)}} ))^{2}

= ∑_{k} (M_{t_{k}^{(n)}} − M_{t_{k−1}^{(n)}} )^{2} + 2 ∑_{k<j} (M_{t_{k}^{(n)}} − M_{t_{k−1}^{(n)}} )(M_{t_{j}^{(n)}} − M_{t_{j−1}^{(n)}} )

= V_{Π_{n} ,t}^{M} + 2 ∑_{j} (M_{t_{j}^{(n)}} − M_{t_{j−1}^{(n)}} )M_{t_{j−1}^{(n)}} = V_{Π_{n} ,t}^{M} + 2N_{n}(t).

Niech

X_{n}(s) := ∑_{j=1}^{k_{n}} M_{t_{j−1}^{(n)}} 𝟙_{(t_{j−1}^{(n)} ,t_{j}^{(n)} ]} ∈ E,

wówczas N_{n}(t) = ∫_{0}^{t} X_{n}(s) dM_{s}. Z ciągłości M dostajemy X_{n}(s) → M_{s} dla wszystkich s t. Ponadto |X_{n}| C, stąd |X_{n} − M|^{2} 4C^{2} i na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej,

𝔼 ∫_{0}^{t} |X_{n} − M|^{2} d⟨M⟩_{s} → 0.

Zatem X_{n} → M w L_{t}^{2}(M), czyli N_{n} → ∫ M dM w M_{t}^{2,c}, to znaczy N_{n}(t) → ∫_{0}^{t} M_{s} dM_{s} w L_{2}(Ω). Wykazaliśmy zatem, iż

V_{Π_{n} ,t}^{M} = M_{t}^{2} − 2N_{n}(t) → M_{t}^{2} − 2 ∫ M dM w L_{2}(Ω).

Proces Y := M^{2}−2 ∫ M dM jest ciągły, Y_{0} = 0 oraz M^{2}−Y = 2 ∫ M dM jest martyngałem. By zakończyć dowód, że Y = ⟨M⟩ musimy wykazać monotoniczność trajektorii Y. Wybierzmy s < t i rozpatrzmy taki ciąg podziałów Π_{n} odcinka [0, t], że s jest jednym z punktów każdego z podziałów. Wówczas Π_{n} można też traktować jako ciąg podziałów [0, s] i określić V_{Π_{n} ,s}^{M} . Mamy

Y_{s} ⟵^{L_{2}} V_{Π_{n} ,s}^{M} V_{Π_{n} ,t}^{M} −→^{L_{2}} Y_{t},

czyli proces Y ma trajektorie monotoniczne.

Uwaga 2. W szczególności przedstawiony dowód pokazuje, że dla martyngału jednostajnie ograniczonego M, takiego, że M_{0} = 0, zachodzi M^{2} = 2 ∫ M dM + ⟨M⟩.

By uogólnić Twierdzenie 1 na przypadek martyngałów całkowalnych z kwadratem będziemy potrzebowali dwóch faktów.

Lemat 3. Niech (ξ_{n}) będzie ciągiem zmiennych losowych, a (A_{k}) wstępującym ciągiem zdarzeń takim, że ℙ(⋃ A_{k}) = 1. Załóżmy, że dla wszystkich k, zmienne ξ_{n}𝟙_{A_{k}} zbiegają według prawdopodobieństwa (przy n → ∞) do zmiennej η_{k}. Wówczas ξ_{n} zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej η takiej, że η𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n. dla k = 1, 2, . . ..

Dowód. Dla k l mamy η_{l}𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n., gdyż pewien podciąg ξ_{n_{s}} 𝟙_{A_{l}} → η_{l} p.n., a zatem ξ_{n_{s}} 𝟙_{A_{l}} = ξ_{n_{s}} 𝟙_{A_{l}}𝟙_{A_{k}} → η_{l}𝟙_{A_{k}} p.n. (czyli również wg ℙ). Stąd istnieje zmienna losowa η taka, że η𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n..

Zauważmy, że ℙ(A_{k}^{c}) ε/2 dla dużego k oraz przy ustalonym k, ℙ(|ξ_{n}𝟙_{A_{k}} − η_{k}| ε) ε/2 dla dużych n, stąd

ℙ(|ξ_{n} − η| ε) ℙ(A_{k}^{c}) + ℙ(|ξ_{n}𝟙_{A_{k}} − η𝟙_{A_{k}} | ε) ε

dla dostatecznie dużych n.

Kolejny lemat pokazuje, że przy pewnych prostych założeniach można ze zbieżności według prawdopodobieństwa wyprowadzić zbieżność w L_{1}.

Lemat 4. Załóżmy, że ξ_{n} 0, ξ_{n} → ξ według ℙ oraz dla wszystkich n, 𝔼ξ_{n} = 𝔼ξ < ∞. Wówczas ξ_{n} → ξ w L_{1}.

Dowód. Mamy

𝔼|ξ − ξ_{n}| = 𝔼(|ξ − ξ_{n}| − (ξ − ξ_{n})) = 2𝔼(ξ − ξ_{n})𝟙_{{ξ ξ_{n} }}

\frac{ε}{2} + 2𝔼(ξ − ξ_{n})𝟙_{\{ξ ξ_{n} + \frac{ε}{4} \}} \frac{ε}{2} + 2𝔼ξ𝟙_{\{ξ ξ_{n} + \frac{ε}{4} \}} .

Na mocy zbieżności według prawdopodobieństwa, lim_{n→∞} ℙ(ξ ξ_{n}+ε/4) = 0. Ponadto 𝔼|ξ| = 𝔼ξ < ∞, zatem {ξ} jest jednostajnie całkowalna , czyli |𝔼ξ𝟙_{A}| ε/2 dla odpowiednio małego ℙ(A). Stąd 𝔼ξ𝟙_{{ξ ξ_{n} +ε/4}} ε/2 dla dużych n, a więc 𝔼|ξ − ξ_{n}| ε.

Twierdzenie 5. Załóżmy, że M ∈ M_{T}^{2,c}, wówczas dla t < T, V_{Π,t}^{M} → ⟨M⟩_{t} w L_{1}(Ω), gdy diam(Π) → 0.

Dowód. Jak poprzednio możemy zakładać, że M_{0} = 0. Ustalmy ciąg podziałów Π_{n} taki, że diam(Π_{n}) → 0.

Istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{k} ↗ T taki, że M^{τ_{k}} jest jednostajnie ograniczony (np. τ_{k} = inf{t: |M_{t}| k}). Na mocy Twierdzenia 1, dla ustalonego k, mamy przy n → ∞

V_{Π_{n} ,t} (M^{τ_{k}}) −→^{L_{2}} ⟨M^{τ_{k}}⟩_{t} = ⟨M⟩_{t}^{τ_{k}}.

Stąd

𝟙_{{t τ_{k}}} V_{Π_{n} ,t} (M) = 𝟙_{{t τ_{k}}} V_{Π_{n} ,t} (M^{τ_{k}}) −→^{L_{2}} 𝟙_{{t τ_{k}}} ⟨M⟩_{t}^{τ_{k}} = 𝟙_{{t τ_{k}}} ⟨M⟩_{t}.

Zbieżność w L_{2} implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, zatem możemy stosować Lemat 3 do ξ_{n} = V_{Π_{n} ,t} (M) i A_{k} = {t τ_{k}}, by otrzymać V_{Π_{n} ,t} (M) → ⟨M⟩_{t} według ℙ. Mamy jednak

𝔼⟨M⟩_{t} = 𝔼M_{t}^{2} = 𝔼[V_{Π_{n} ,t} (M) + 2 ∑_{j} M_{t_{j−1}^{(n)}} (M_{t_{j}^{(n)}} − M_{t_{j−1}^{(n)}} )] = 𝔼V_{Π_{n} ,t} (M),

a zatem na mocy Lematu 4, V_{Π_{n} ,t} (M) → ⟨M⟩_{t} w L_{1}.

Dla martyngałów lokalnych zachodzi zbliżone twierdzenie, tylko zbieżność w L_{1} musimy zastąpić zbieżnością według prawdopodobieństwa.

Wniosek 6. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, wówczas dla t < T, V_{Π,t}^{M} → ⟨M⟩_{t} według prawdopodobieństwa, gdy diam(Π) → 0.

Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że M_{0} = 0, wówczas M ∈ M_{loc}^{2,c}. Niech Π_{n} będą podziałami [0, t] o średnicy zbieżnej do zera oraz τ_{k} ↗ T takie, że M^{τ_{k}} ∈ M^{2,c}. Na podstawie Twierdzenia 5 otrzymujemy, że dla ustalonego k,

V_{Π_{n} ,t} (M^{τ_{k}}) −→^{L_{1}} ⟨M^{τ_{k}}⟩ = ⟨M⟩^{τ_{k}}.

Stąd

V_{Π_{n} ,t} (M)𝟙_{{τ_{k} t}} = V_{Π_{n} ,t} (M^{τ_{k}})𝟙_{{τ_{k} t}} −→^{L_{1}} ⟨M⟩^{τ_{k}}𝟙_{{τ_{k} t}} = ⟨M⟩𝟙_{{τ_{k} t}} .

Teza wynika z Lematu 3.

Nawias skośny określa się nie tylko dla pojedynczego martyngału, ale też i dla pary martyngałów.

Definicja 7. Nawiasem skośnym dwóch ciągłych martyngałów lokalnych M i N nazywamy proces ⟨M, N⟩ zdefiniowany wzorem

⟨M, N⟩ = \frac{1}{4}[⟨M + N⟩ − ⟨M − N⟩].

Fakt 8. a) Załóżmy, że M, N ∈ M_{T}^{2,c}, wówczas ⟨M, N⟩ to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na [0, T] taki, że ⟨M, N⟩_{0} = 0 oraz MN − ⟨M, N⟩ jest martyngałem na [0, T].

b) Załóżmy, że M, N ∈ M_{loc}^{c}, wówczas ⟨M, N⟩ to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na [0, t] dla t < T taki, że ⟨M, N⟩_{0} = 0 oraz MN − ⟨M, N⟩ jest martyngałem lokalnym na [0, T).

Dowód. Jednoznaczność dowodzimy jak dla ⟨M⟩, zaś wymienione własności wynikają z tożsamości

MN − ⟨M, N⟩ = \frac{1}{4}[((M + N)^{2} − ⟨M + N⟩) − ((M − N)^{2} − ⟨M − N⟩) ].

Fakt 9. Niech Π_{n} = (t_{0}^{(n)}, t_{1}^{(n)}, …, t_{k_{n}}^{(n)}) będzie ciągiem podziałów [0, t] takim, że 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = t oraz diam(Π_{n}) → 0.

a) Jeśli M, N ∈ M_{T}^{2,c}, to dla t < T,

∑_{k=0}^{k_{n}} (M_{t_{k+1}^{(n)}} − M_{t_{k}^{(n)}} )(N_{t_{k+1}^{(n)}} − N_{t_{k}^{(n)}} ) −→^{L_{1}} ⟨M, N⟩_{t}.

b) Jeśli M, N ∈ M_{loc}^{2,c}, to dla t < T,

∑_{k=0}^{k_{n}} (M_{t_{k+1}^{(n)}} − M_{t_{k}^{(n)}} )(N_{t_{k+1}^{(n)}} − N_{t_{k}^{(n)}} ) −→^{ℙ} ⟨M, N⟩_{t}.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że

(M_{t}−M_{s})(N_{t}−N_{s}) = \frac{1}{4}[((M_{t}+N_{t})−(M_{s}+N_{s}))^{2}−((M_{t}−N_{t})−(M_{s}−N_{s}))^{2}]

i skorzystać z Twierdzenia 1 i Wniosku 6.

Fakt 10. a) ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩ = ⟨−M⟩,

b) ⟨M, N⟩ = ⟨N, M⟩,

c) ⟨M − M_{0}, N⟩ = ⟨M, N − N_{0}⟩ = ⟨M − M_{0}, N − N_{0}⟩ = ⟨M, N⟩,

d) (N, M) → ⟨M, N⟩ jest przekształceniem dwuliniowym,

e) ⟨M^{τ}, N^{τ}⟩ = ⟨M^{τ}, N⟩ = ⟨M, N^{τ}⟩ = ⟨M, N⟩^{τ},

f) Jeśli M ∈ M_{loc}^{2,c}, X, Y ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz N_{1} = ∫ X dM, N_{2} = ∫ Y dM, to ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ XY d⟨M⟩.

Dowód. Punkty a), b) i c) wynikają natychmiast z definicji, punkt d) z Wniosku 6. To, że ⟨M^{τ}, N^{τ}⟩ = ⟨M, N⟩^{τ} dowodzimy jak w Fakcie 5 (wykorzystując Fakt 8). Pozostałe równości w e) wynikają z Faktu 9. By wykazać f) wystarczy wykazać, że ⟨∫ XdM⟩ = ∫ X^{2}d⟨M⟩. Poprzez własność e) i lokalizacje można sprowadzić to do przypadku gdy M ∈ M_{T}^{2,c} oraz X ∈ L_{T}^{2}(M). Z twierdzenia o zatrzymaniu całki można wtedy wykazać, że ⟨∫ XdM⟩ − ∫ X^{2}d⟨M⟩ jest martyngałem (zob. dowód Wniosku 3).

12 Dalsze własności całki stochastycznej

Zacznijmy od wersji stochastycznej twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.

Twierdzenie 1. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X_{n} są procesami prognozowalnymi takimi, że lim_{n→∞} X_{n,t}(ω) = X_{t}(ω) dla wszystkich t < T, ω ∈ Ω. Jeśli dla wszystkich t < T i ω ∈ Ω, |X_{n,t}(ω)| Y_{t}(ω) dla pewnego procesu Y ∈ Λ_{T}^{2}(M), to X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz

∫_{0}^{t} X_{n}dM −→^{ℙ} ∫_{0}^{t} XdM przy n → ∞.

Dowód. Proces X jest prognozowalny jako granica procesów prognozowalnych. Ponadto dla t < T,

∫_{0}^{t} X_{s}^{2}d⟨M⟩_{s}, ∫_{0}^{t} X_{n,s}^{2}d⟨M⟩_{s} ∫_{0}^{t} Y_{s}^{2}d⟨M⟩_{s} < ∞ p.n.,

więc X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2}(M). Bez straty ogólności możemy też założyć, że M_{0} = 0.

Niech τ_{k} ↗ T takie, że M^{τ_{k}} ∈ M_{T}^{2,c} oraz 𝟙_{[0,τ_{k}]}Y ∈ L_{T}^{2}(M^{τ_{k}}). Ponieważ 𝟙_{[0,τ_{k}]}X_{n} 𝟙_{[0,τ_{k}]}Y, więc 𝟙_{[0,τ_{k}]}X_{n} ∈ L_{T}^{2}(M^{τ_{k}}). Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej łatwo wykazać, że 𝟙_{[0,τ_{k}]}X_{n} → 𝟙_{[0,τ_{k}]}X w L_{T}^{2}(M^{τ_{k}}). Stąd dla ustalonego k,

∫_{0}^{t∧τ_{k}} X_{n}dM = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{k}]}X_{n}dM^{τ_{k}} −→^{L_{2}(Ω)} ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{k}]}XdM^{τ_{k}} = ∫_{0}^{t∧τ_{k}} XdM,

czyli

𝟙_{{τ_{k} t}} ∫_{0}^{t} X_{n}dM −→^{L_{2}} 𝟙_{{τ_{k} t}} ∫_{0}^{t} XdM przy n → ∞.

Zbieżność w L_{2} implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, by zakończyć dowód wystarczy skorzystać z Lematu 11.3.

Definicja 2. Mówimy, że proces X jest lokalnie ograniczony, jeśli istnieją momenty zatrzymania τ_{n} ↗ T takie, że procesy X^{τ_{n}} − X_{0} są ograniczone.

Uwaga 3. Każdy proces ciągły, adaptowalny jest lokalnie ograniczony.

Kolejne twierdzenie podaje wzór na całkowanie przez podstawienie.

Twierdzenie 4. a) Niech N ∈ M_{T}^{2,c}, X ∈ L_{T}^{2}(N), Y - proces prognozowalny ograniczony oraz M = ∫ XdN. Wówczas Y ∈ L_{T}^{2}(M), XY ∈ L_{T}^{2}(N) oraz ∫ Y dM = ∫ XY dN.

b) Niech N ∈ M_{loc}^{c}, X ∈ Λ_{T}^{2}(N), Y - proces prognozowalny lokalnie ograniczony oraz M = ∫ XdN. Wówczas Y ∈ Λ_{T}^{2}(M), XY ∈ Λ_{T}^{2}(N) oraz ∫ Y dM = ∫ XY dN.

Dowód. a) Załóżmy wpierw, że Y jest procesem elementarnym postaci

Y = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑_{j=0}^{n−1} ξ_{j}𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]},

gdzie 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} < T, zaś ξ_{k} są ograniczonymi zmiennymi F_{t_{k}}-mierzalnymi. Wówczas

∫_{0}^{t} Y dM = ∑_{j} ξ_{j}(M_{t_{j+1} ∧t} − M_{t_{j} ∧t}) = ∑_{j} ξ_{j}(∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,t_{j+1} ]}XdN − ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,t_{j} ]}XdN)

= ∑_{j} ξ_{j} ∫_{0}^{t} 𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}XdN = ∑_{j} ∫_{0}^{t} ξ_{j}𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}XdN

= ∫_{0}^{t} ∑_{j} ξ_{j}𝟙_{(t_{j} ,t_{j+1} ]}XdN = ∫_{0}^{t} Y XdN.

Jeśli Y jest dowolnym ograniczonym procesem prognozowalnym, to

𝔼 ∫_{0}^{T} Y_{s}^{2}d⟨M⟩_{s} ∥Y ∥_{∞}^{2} 𝔼 ∫_{0}^{T} d⟨M⟩_{s} = ∥Y ∥_{∞}^{2} 𝔼⟨M⟩_{T} = ∥Y ∥_{∞}^{2} 𝔼M_{T}^{2} < ∞,

więc Y ∈ L_{T}^{2}(M). Nietrudno też sprawdzić, że XY ∈ L_{T}^{2}(N). Możemy znaleźć procesy elementarne Y_{n} zbieżne do Y w L_{T}^{2}(M), co więcej możemy założyć, że ∥Y_{n}∥_{∞} ∥Y ∥_{∞} . Zauważmy, że

∥XY − XY_{n}∥_{L_{T}^{2}(N)}^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T}(XY − XY_{n})_{s}^{2}d⟨N⟩_{s} = 𝔼 ∫_{0}^{T}(Y − Y_{n})_{s}^{2}X_{s}^{2}d⟨N⟩_{s}
= 𝔼 ∫_{0}^{T}(Y − Y_{n})_{s}^{2}d⟨M⟩_{s} → 0 = ∥Y − Y_{n}∥_{L_{T}^{2}(M)}^{2} ,

więc Y_{n}X → Y X w L_{T}^{2}(N). Stąd dla t T,

∫_{0}^{t} XY dN ⟵^{L_{2}} ∫_{0}^{t} XY_{n}dN = ∫ Y_{n}dM −→^{L_{2}} ∫_{0}^{t} Y dM.

b) Mamy ∫_{0}^{t} Y_{0}dM = Y_{0}M_{t} = Y_{0} ∫_{0}^{t} XdN = ∫_{0}^{t} Y_{0}XdN, zatem rozpatrując Y − Y_{0} zamiast Y możemy zakładać,że Y_{0} = 0. Niech τ_{n} ↗ T takie, że Y^{τ_{n}} jest ograniczone, N^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c} oraz X𝟙_{[0,τ_{n}]} ∈ L_{T}^{2}(N^{τ_{n}}). Zauważmy, że

M^{τ_{n}} = (∫ XdN)^{τ_{n}} = ∫ X𝟙_{[0,τ_{n}]}dN^{τ_{n}},

zatem na mocy części a),

(∫ Y dM)^{τ_{n}} = ∫ Y 𝟙_{[0,τ_{n}]}dM^{τ_{n}} = ∫ Y 𝟙_{[0,τ_{n}]}X𝟙_{[0,τ_{n}]}dN^{τ_{n}}
= ∫ XY 𝟙_{[0,τ_{n}]}dN^{τ_{n}} = (∫ XY dN)^{τ_{n}}.

Biorąc n → ∞ dostajemy tezę.

Sformułujemy teraz pierwsze twierdzenie o całkowaniu przez części.

Twierdzenie 5. Niech M, N ∈ M_{loc}^{c}, wówczas

M_{t}N_{t} = M_{0}N_{0} + ∫_{0}^{t} M_{s}dN_{s} + ∫_{0}^{t} N_{s}dM_{s} + ⟨M, N⟩_{t}.  (4)

Stosując twierdzenie do M = N dostajemy natychmiast.

Wniosek 6. Jeśli M ∈ M_{loc}^{c}, to

∫_{0}^{t} M_{s}dM_{s} = \frac{1}{2}(M_{t}^{2} − M_{0}^{2}) − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}.

Wniosek 7. Niech X, Y ∈ Λ_{T}^{2}, M = ∫ XdW oraz N = ∫ Y dW, wówczas

M_{t}N_{t} = ∫_{0}^{t} M_{s}dN_{s} + ∫_{0}^{t} N_{s}dM_{s} + ⟨M, N⟩_{t}
= ∫_{0}^{t} M_{s}Y_{s}dW_{s} + ∫_{0}^{t} N_{s}X_{s}dW_{s} + ∫_{0}^{t} X_{s}Y_{s}ds.

Dowód. Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 5, druga z Twierdzenia 4 oraz tego, że ⟨M, N⟩ = ∫ XY ds.

Dowód Twierdzenia 5. Całki ∫ MdN i ∫ NdM są dobrze określone, gdyż procesy M i N są ciągłe, zatem lokalnie ograniczone.

Możemy założyć, iż M_{0} = N_{0} = 0, gdyż ⟨M, N⟩ = ⟨M − N_{0}, N − N_{0}⟩,

∫ MdN = ∫ Md(N − N_{0}) = ∫ (M − M_{0})d(N − N_{0}) + ∫ M_{0}d(N − N_{0})
= ∫ (M − M_{0})d(N − N_{0}) + M_{0}(N − N_{0}),

zatem

∫_{0}^{t} MdN + ∫_{0}^{t} NdM = ∫_{0}^{t}(M − M_{0})d(N − N_{0}) + ∫_{0}^{t}(N − M_{0})d(M − M_{0})
+ M_{0}N_{t} + N_{0}M_{t} − 2N_{0}M_{0}.

Wystarczy udowodnić, że teza zachodzi dla M = N, tzn.

M_{t}^{2} = 2 ∫_{0}^{t} M_{s}dM_{s} + ⟨M⟩_{t} dla M ∈ M_{loc}^{c}, M_{0} = 0.  (5)

Jeśli bowiem zastosujemy (5) dla M + N i M − N, odejmiemy stronami i podzielimy przez 4, to dostaniemy (4).

Wiemy (zob Uwaga 11.11), że (5) zachodzi przy dodatkowym założeniu ograniczoności M. W ogólnym przypadku określamy

τ_{n} := inf{t > 0: |M_{t}| n} ∧ T,

wtedy τ_{n} ↗ T. Ponadto M^{τ_{n}} jest ograniczonym martyngałem lokalnym, zatem ograniczonym martyngałem, więc

(M^{2})^{τ_{n}} = (M^{τ_{n}})^{2} = 2 ∫ M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} + ⟨M^{τ_{n}}⟩
= 2 ∫ M^{τ_{n}}𝟙_{[0,τ_{n}]}dM + ⟨M⟩^{τ_{n}} = 2 ∫ M𝟙_{[0,τ_{n}]}dM + ⟨M⟩^{τ_{n}}
= (2 ∫ MdM + ⟨M⟩)^{τ_{n}}.

Przechodząc z n → ∞ dostajemy (5).

Definicja 8. Przez V^{c} oznaczamy procesy ciągłe, adaptowalne, których trajektorie mają wahanie skończone na każdym przedziale [0, t] dla t < T.

Udowodnimy teraz kolejne twierdzenie o całkowaniu przez części.

Fakt 9. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, A ∈ V^{c}, wówczas

M_{t}A_{t} = M_{0}A_{0} + ∫_{0}^{t} A_{s}dM_{s} + ∫_{0}^{t} M_{s}dA_{s}.

Dowód. Jak w dowodzie Twierdzenia 5 możemy założyć, że M_{0} = A_{0} = 0. Załóżmy wpierw, że M i N są ograniczone. Zauważmy, że

M_{t}A_{t} = ∑_{j=1}^{n} (M_{tj/n} − M_{t(j−1)/n} ) ∑_{k=1}^{n} (A_{tk/n} − A_{t(k−1)/n}

= ∑_{j=1}^{n} (M_{tj/n} − M_{t(j−1)/n} )(A_{tj/n} − A_{t(j−1)/n} )

+ ∑_{j=1}^{n} M_{t(j−1)/n} (A_{tj/n} − A_{t(j−1)/n} ) + ∑_{j=1}^{n} (M_{tj/n} − M_{t(j−1)/n} )A_{t(j−1)/n}

= I_{n} + II_{n} + III_{n}.

Składnik II_{n} dąży prawie na pewno do ∫_{0}^{t} MdA (definicja całki Riemanna-Stieltjesa). Nietrudno sprawdzić, że procesy elementarne

A_{n} = ∑_{j=1}^{n} A_{t(j−1)/n} 𝟙_{(t(j−1)/n,tj/n]}

zbiegają w L_{t}^{2}(M) do A, stąd III_{n} = ∫_{0}^{t} A_{n}dM zbiega w L^{2} do ∫_{0}^{t} AdM. Zauważmy też, że

|I_{n}|^{2} ∑_{j=1}^{n} (M_{tj/n} − M_{t(j−1)/n} )^{2} ∑_{j=1}^{n} (A_{tj/n} − A_{t(j−1)/n} )^{2}

pierwszy składnik powyżej dąży do ⟨M⟩_{t} w L_{2} (w szczególności jest więc ograniczony w L_{2}), drugi dąży do zera p.n. (proces A jest ciągły i ma ograniczone wahanie na [0, t]), stąd I_{n} dąży do 0 według prawdopodobieństwa. Zatem

M_{t}A_{t} = I_{n} + II_{n} + III_{n} −→^{ℙ} ∫_{0}^{t} MdA + ∫_{0}^{t} AdM.

Jeśli M i A nie są ograniczone, to określamy

τ_{n} = inf{t > 0: |M_{t}| n} ∧ inf{t > 0: |A_{t}| n} ∧ T.

Mamy |A^{τ_{n}}| n, |M^{τ_{n}}| n, więc z poprzednio rozważonego przypadku

(MA)^{τ_{n}} = ∫ A^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} + ∫ M^{τ_{n}}dA^{τ_{n}} = (∫ AdM + ∫ MdA)^{τ_{n}},

przechodząc z n → ∞ dostajemy tezę.

Ostatnie twierdzenie o całkowaniu przez części jest nietrudną konsekwencją definicji całki Riemanna-Stieltjesa.

Fakt 10. Załóżmy, że A, B ∈ V^{c}, wówczas

A_{t}B_{t} = A_{0}B_{0} + ∫_{0}^{t} A_{s}dB_{s} + ∫_{0}^{t} B_{s}dA_{s}.

Definicja 11. Proces Z = (Z_{t})_{t<T} nazywamy ciągłym semimartyngałem, jeśli da się przedstawić w postaci Z = Z_{0} + M + A, gdzie Z_{0} jest zmienną F_{0}-mierzalna, M ∈ M_{loc}^{2}, A ∈ V^{c} oraz A_{0} = M_{0} = 0.

Uwaga 12. Rozkład semimartyngału jest jednoznaczny (modulo procesy nieodróżnialne).

Dowód. Jeśli Z = Z_{0} + M + A = Z_{0} + M′+ A′, to M − M′ = A′− A jest ciągłym martyngałem lokalnym, startującym z zera o ograniczonym wahaniu na [0, t] dla t < T, zatem jest stale równy 0.

Przykłady. Proces Itô, tzn. proces postaci Z = Z_{0} + ∫ XdW + ∫ Y ds, gdzie X ∈ Λ_{T}^{2}, Y prognozowalny taki, że ∫_{0}^{t} |Y_{s}|ds < ∞ p.n. dla t < T jest semimartyngałem. Z twierdzenia Dooba-Meyera wynika, że kwadrat martyngału jest semimartyngałem.

Definicja 13. Jeśli Z = Z_{0} + M + A jest ciągłym semimartyngałem, to określamy ∫ XdZ := ∫ XdM + ∫ XdA, gdzie pierwsza całka to całka stochastyczna, a druga całka Stieltjesa.

Twierdzenie 14. Jeśli Z = Z_{0}+M +A oraz Z′= Z′_{0}+M′+A′są ciągłymi semimartyngałami, to ZZ′ też jest semimartyngałem oraz

ZZ′= Z_{0}Z′_{0} + ∫ ZdZ′+ ∫ Z′dZ + ⟨M, M′⟩.

Dowód. Mamy ZZ′= Z_{0}Z′_{0}+ MM′+ MA′+ AM′+ AA′i stosujemy twierdzenia o całkowaniu przez części (Twierdzenie 12.5, Fakty 12.9 i 12.10).

13 Wzór Itô

Podczas tego wykładu udowodnimy fundamentalne twierdzenie dla analizy stochastycznej. Pokazuje ono, że klasa semimartyngałów ciągłych jest zamknięta ze względu na funkcje gładkie oraz podaje wzór na różniczkę stochastyczną df(X).

Twierdzenie 1 (Wzór Itô). Załóżmy, że Z = Z_{0} + M + A jest ciągłym semimartyngałem, f funkcją klasy C^{2} na ℝ. Wówczas f(Z) też jest semimartyngałem oraz

f(Z_{t}) = f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s})dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}.  (6)

Dowód. Wszystkie całki w (6) są dobrze zdefiniowane, bo procesy f′(Z_{s}) i f′′(Z_{s}) są ciągłe, zatem f′(Z_{s}) ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz f′′(Z_{s}) jest całkowalne względem ⟨M⟩.

Dowód wzóru Itô będzie polegał na redukcji (6) do coraz prostszych przypadków.

i) Możemy założyć, że zmienna Z_{0} jest ograniczona.

Istotnie połóżmy Z_{0}^{(n)} := (Z_{0} ∧ n) ∨ −n oraz Z^{(n)} := Z_{0}^{(n)} + M + A. Zauważmy, że ∫ XdZ = ∫ XdZ^{(n)}, więc, jeśli wiemy, iż (6) zachodzi, gdy Z_{0} ograniczone, to

f(Z_{t}^{(n)}) = f(Z_{0}^{(n)}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s}^{(n)})dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{s}^{(n)})d⟨M⟩_{s}.  (7)

Mamy

|f′(Z_{s}^{(n)})| sup_{n}|f′(Z_{s}^{(n)})| := Y_{s},

proces Y jest prognozowalny jako supremum procesów prognozowalnych, ponadto

sup_{n} sup_{s t}|Z_{s}^{(n)}| |Z_{0}| + sup_{s t}|M_{s}| + sup_{s t}|A_{s}| < ∞ p.n..

Zatem z ciągłości f′, sup_{s t} |Y_{s}| < ∞ p.n., skąd Y ∈ Λ_{T}^{2}(M). Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej dla całek stochastycznych,

∫_{0}^{t} f′(Z_{s}^{(n)})dM_{s} −→^{ℙ} ∫_{0}^{t} f′(Z_{s})dM_{s}

ponadto z twierdzenia Lebesgue’a dla zwykłej całki,

∫_{0}^{t} f′(Z_{s}^{(n)})dA_{s} \underrightarrow{p.n.} ∫_{0}^{t} f′(Z_{s})dA_{s}.

Podobnie sup_{n} sup_{s t} |f′′(Z_{s}^{(n)})| < ∞ p.n. i ponownie stosując twierdzenie Lebesgue’a dostajemy

∫_{0}^{t} f′′(Z_{s}^{(n)})d⟨M⟩_{s} \underrightarrow{p.n.} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}.

Oczywiście f(Z_{t}^{(n)}) → f(Z_{t}) p.n., więc możemy przejść w (7) z n do ∞, by dostać (6).

ii) Możemy założyć że Z ograniczony.

Istotnie niech Z semimartyngał taki, że Z_{0} ograniczony, połóżmy

τ_{n} := inf{t > 0: |Z_{t}| n} ∧ T,

wówczas Z^{(n)} := Z_{0} + M^{τ_{n}} + A^{τ_{n}} jest ciągłym ograniczonym semimartyngałem oraz Z_{t}^{(n)} → Z_{t} p.n.. Jeśli (6) zachodzi w przypadku ograniczonym, to

f(Z_{t}^{(n)}) = f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s}^{(n)})dZ_{s}^{(n)} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{s}^{(n)})d⟨M^{τ_{n}}⟩_{s}

= f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{s}^{(n)})𝟙_{[0,τ_{n}]}dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z_{s}^{(n)})𝟙_{[0,τ_{n}]}d⟨M⟩_{s}^{τ_{n}}

= f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{s})𝟙_{[0,τ_{n}]}dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z_{s})𝟙_{[0,τ_{n}]}d⟨M⟩_{s}

= f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{s})dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}.

Biorąc n → ∞ dostajemu (6).

iii) Możemy założyć że Z ograniczony, a f jest wielomianem.

Możemy zakładać, że ∥Z∥_{∞} C < ∞. Jeśli f ∈ C^{2}, to istnieje ciąg wielomianów f_{n} taki, że

|f_{n}(x) − f(x)|, |f′_{n}(x) − f′(x)|, |f′′_{n}(x) − f′′(x)| \frac{1}{n} dla x ∈ [−C, C].

Wtedy f_{n}(Z_{s}) → f(Z_{s}), f′_{n}(Z_{s}) → f′(Z_{s}), f′′_{n}(Z_{s}) → f′′(Z_{s}) jednostajnie oraz |f′_{n}(Z_{s})| sup_{n} sup_{|x| C} |f′_{n}(x)| sup_{|x| C} |f′(x)| + 1 < ∞, więc z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej,

f(Z_{s}) ← f_{n}(Z_{s}) = f_{n}(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′_{n}(Z_{s})dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′_{n}(Z_{s})d⟨M⟩_{s}

→ f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s})dZ_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}.

iv) Z liniowości obu stron (6) wystarczy zatem rozpatrywać przypadek Z ograniczonych oraz f(x) = x^{n}. Pokażemy ten wzór przez indukcję po n.

Dla n = 0 teza jest oczywista. Załóżmy więc, że (6) zachodzi dla f(x) = x^{n} pokażemy go dla g(x) = xf(x). Zauważmy, że g′(x) = f(x) + xf′(x) oraz g′′(x) = 2f′(x) + xf′′(x). Ze wzoru na całkowanie przez części,

g(Z_{t}) = Z_{t}f(Z_{t}) = Z_{0}f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} Z_{s}df(Z)_{s} + ∫_{0}^{t} f(Z)dZ_{s}
+ ⟨ ∫ f′(Z)dM, M⟩_{t}

= g(Z_{t}) + ∫_{0}^{t}(Z_{s}f′(Z_{s})dZ_{s} + \frac{1}{2}Z_{s}f′′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}) + ∫_{0}^{t} f(Z)dZ_{s}

+ ∫_{0}^{t} f′(Z_{s})d⟨M⟩_{s}

= g(Z_{t}) + ∫_{0}^{t} g′(Z_{t})dZ_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} g′′(Z_{t})d⟨M⟩_{s}.

Wniosek 2. Dla f ∈ C^{2}(ℝ),

f(W_{t}) = f(0) + ∫_{0}^{t} f′(W_{s})dW_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(W_{s})ds.

W podobny sposób jak w przypadku jednowymiarowym możemy udowodnić wielowymiarową wersję twierdzenia Itô.

Twierdzenie 3. Załóżmy, że f: ℝ^{d} → ℝ jest funkcją klasy C^{2} oraz Z = (Z^{(1)}, …, Z^{(d)}), gdzie Z^{(i)} = Z_{0}^{(i)}+M^{(i)}+A^{(i)} są ciągłymi semimartyngałami dla i = 1, …, d. Wówczas f(Z) jest semimartyngałem oraz

f(Z_{t}) = f(Z_{0}) + ∑_{i=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x_{i}} (Z_{s})dZ_{s}^{(i)} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x_{i}∂x_{j}} (Z_{s})d⟨M^{(i)}, M^{(j)}⟩_{s}.

Twierdzenie 4. Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M_{0} = 0 oraz M_{t}^{2} − t jest martyngałem lokalnym. Wówczas M jest procesem Wienera.

Dowód. Musimy wykazać, że dla s < t, M_{t} − M_{s} jest niezależne od F_{s} oraz ma rozkład N (0, t − s). W tym celu wystarczy wykazać, że

𝔼(e^{ih(M_{t}−M_{s})} |F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h^{2}} dla t > s 0, h ∈ ℝ.  (8)

Itotnie (8) implikuje, że 𝔼e^{ih(M_{t}−M_{s})} = exp(−\frac{1}{2}(t−s)h^{2}) dla h ∈ ℝ, czyli M_{t}− M_{s} ∼ N (0, t − s). Ponadto dla dowolnej F_{s}-mierzalnej zmiennej η oraz h_{1}, h_{2} ∈ ℝ,

𝔼e^{ih_{1}(M_{t}−M_{s})+ih_{2}η} = 𝔼[e^{ih_{2}η}𝔼(e^{ih_{1}(M_{t}−M_{s})} |F_{s})]
= 𝔼[e^{ih_{2}η}e^{− \frac{1}{2} (t−s)h_{1}^{2}} ] = 𝔼e^{ih_{2}η}𝔼e^{ih_{1}(M_{t}−M_{s})} .

Zatem M_{t} − M_{s} jest niezależne od zmiennych F_{s}-mierzalnych, czyli jest niezależne od F_{s}.

Zastosujmy wzór Itô dla f(x) = e^{ihx} (wzór Itô zachodzi też dla funkcji zespolonych, wystarczy dodać odpowiednie równości dla części rzeczywistej i urojonej),

e^{ihM_{t}} = f(M_{t}) = f(M_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(M_{u})dM_{u} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(M_{u})d⟨M⟩_{u}

= 1 + ih ∫_{0}^{t} e^{ihM_{u}} dM_{u} − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{t} e^{ihM_{u}} du

= e^{ihM_{s}} + ih ∫_{s}^{t} e^{ihM_{u}} dM_{u} − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} e^{ihM_{u}} du.

Niech N := ∫_{0}^{t} e^{ihM} dM, wówczas N jest martyngałem lokalnym oraz z nierówności Dooba,

𝔼 sup_{0 s t} N_{s}^{2} 4𝔼 ∫_{0}^{t} |e^{ihM_{u}} |^{2}du = 4t,

czyli N jest na każdym przedziale skończonym majoryzowany przez zmienną całkowalną, zatem jest martyngałem. Ustalmy A ∈ F_{s}, wtedy

𝔼[e^{ihM_{t}} 𝟙_{A}]= 𝔼[e^{ihM_{s}} 𝟙_{A}] + 𝔼[(N_{t} − N_{s})𝟙_{A}] − \frac{h^{2}}{2}𝔼[∫_{s}^{t} e^{ihM_{u}} du𝟙_{A}]

= 𝔼[e^{ihM_{s}} 𝟙_{A}] − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} 𝔼[e^{ihM_{u}} 𝟙_{A}]du.

Zdefiniujmy g(u) = 𝔼[e^{ihM_{s+u}} 𝟙_{A}], wtedy

g(t − s) = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} g(u − s)du,

czyli

g(r) = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{r} g(u)du.

Funkcja g jest ciągła, a zatem z powyższego wzoru jest różniczkowalna i spełnia równanie różniczkowe

g′(r) = −\frac{h^{2}}{2}g(r)

Zatem g(r) = g(0) exp(−\frac{1}{2}h^{2}r) dla r 0, czyli

𝔼[e^{ihM_{t}} 𝟙_{A}] = 𝔼[e^{ihM_{s}} 𝟙_{A}]e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)} = 𝔼[e^{ihM_{s} − \frac{1}{2} h^{2}(t−s)} 𝟙_{A}],

stąd 𝔼(e^{ihM_{t}} |F_{s}) = exp(ihM_{s} − \frac{1}{2}h^{2}(t − s)) p.n. i

𝔼(e^{ih(M_{t}−M_{s})} |F_{s}) = e^{−ihM_{s}} 𝔼(e^{ihM_{t}} |F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)} .

Uwaga 5. Równoważnie Twierdzenie Levy’go można sformułować w następujący sposób: Jeśli M ∈ M_{loc}^{c} oraz ⟨M⟩ = t, to M − M_{0} jest procesem Wienera.

Uwaga 6. Założenie ciągłości M jest fundamentalne. Jeśli położymy M_{t} = N_{t} − t, gdzie N jest procesem Poissona z parametrem 1, to M_{t}^{2} − t jest martyngałem, a oczywiście M nie jest procesem Wienera.

Można też udowodnić wielowymiarową wersję twierdzenia Levy’ego.

Twierdzenie 7. Załóżmy, że M^{(1)}, …, M^{(d)} są ciągłymi martyngałami lokalnymi takim, że M_{0}^{(i)} = 0 oraz M_{t}^{(i)}M_{t}^{(j)} −δ_{i,j} t są martyngałami lokalnymi dla 1 i, j d. Wówczas M = (M^{(1)}, …, M^{(d)}) jest d-wymiarowym procesem Wienera.

13.1 *Charakteryzacja procesu Wienera za pomocą martyngałów wykładniczych

Twierdzenie 8. Załóżmy, że M jest ciągły, adaptowalny oraz M_{0} = 0. Wówczas M jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich λ ∈ ℝ, exp(λM_{t} − λ^{2}t/2) jest martyngałem lokalnym.

Dowód. To, że exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) jest martyngałem jest prostym i dobrze znanym faktem. Wystarczy więc udowodnić implikację ”⇐”.

Określmy τ_{n} := inf{t > 0: |M_{t}| n} ∧ n, wówczas τ_{n} ↗ ∞ oraz dla wszystkich λ proces X_{t}(λ) = exp(λM_{t∧τ_{n}} − λ^{2}t ∧ τ_{n}/2) jest ograniczonym martyngałem lokalnym (z dołu przez 0, z góry przez e^{|λ|n}), a więc martyngałem. Stąd

𝔼[X_{t}(λ)𝟙_{A}] = 𝔼[X_{s}(λ)𝟙_{A}], dla s < t, A ∈ F_{s}.

Zauważmy, że X_{t}(0) = 1 oraz

|\frac{dX_{t}(λ)}{dλ} | = |X_{t}(λ)(M_{t∧τ_{n}} − λt ∧ τ_{n})| e^{λ_{0}n}(n + λ_{0}n), dla |λ| λ_{0}.

Stąd z Twierdzenia Lebesque’a o zbieżności zmajoryzowanej dla t < s, A ∈ F_{s},

𝔼[X_{t}(λ)(M_{t∧τ_{n}} − λt ∧ τ_{n})𝟙_{A}] = lim_{h→0} 𝔼[\frac{1}{h}(X_{t}(λ + h) − X_{t}(λ))𝟙_{A}]

= lim_{h→0} 𝔼[\frac{1}{h}(X_{s}(λ + h) − X_{s}(λ))𝟙_{A}] = 𝔼[X_{s}(λ)(M_{s∧τ_{n}} − λs ∧ τ_{n})𝟙_{A}].

Biorąc λ = 0 dostajemy 𝔼[M_{t∧τ_{n}} 𝟙_{A}] = 𝔼[M_{s∧τ_{n}} 𝟙_{A}], czyli M^{τ_{n}} jest martyngałem, a więc M ∈ M_{loc}^{2,c}.

By skorzystać z twierdzenia Levy’ego i zakończyć dowód musimy jeszcze wykazać, że M_{t}^{2} − t ∈ M_{loc}^{2,c}. Szacujemy dla |λ| λ_{0},

|\frac{d^{2}X_{t}(λ)}{dλ^{2}} | = |X_{t}(λ)[(M_{t∧τ_{n}} − t ∧ τ_{n})^{2} − t ∧ τ_{n}]| e^{λ_{0}n}[(n + λ_{0}n)^{2} + n],

skąd w podobny sposób jak dla pierwszych pochodnych dowodzimy, że dla t < s, A ∈ F_{s},

𝔼[X_{t}(λ)((M_{t∧τ_{n}} −λt∧τ_{n})^{2}−t∧τ_{n})𝟙_{A}] = 𝔼[X_{s}(λ)((M_{s∧τ_{n}} −λs∧τ_{n})^{2}−s∧τ_{n})𝟙_{A}].

Podstawiając λ = 0 dostajemy

𝔼[(M_{t∧τ_{n}}^{2} − t ∧ τ_{n})𝟙_{A}] = 𝔼[(M_{s∧τ_{n}}^{2} − s ∧ τ_{n})𝟙_{A}],

czyli (M_{t}^{2} − t)^{τ_{n}} jest martyngałem, więc M_{t}^{2} − t ∈ M_{loc}^{2,c}.

14 Stochastyczne Równania Różniczkowe

14.1 Jednorodne równania stochastyczne

Definicja 1. Załóżmy, że b, σ: ℝ → ℝ są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową F_{s}-mierzalną. Mówimy, że proces X = (X_{t})_{t∈[s,T)} rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{s} = ξ,  (9)

jeśli

X_{t} = ξ + ∫_{s}^{t} b(X_{r})dr + ∫_{s}^{t} σ(X_{r})dW_{r}, t ∈ [s, T).

Uwaga 2. Przyjeliśmy, że b i σ są funkcjami ciągłymi, by uniknąć problemów związanych z mierzalnością i lokalną ograniczonością procesów b(X_{r}) i σ(X_{r}). Rozważa się jednak również stochastyczne równania różniczkowe z nieciągłymi współczynnikami.

Uwaga 3. Wprowadzając nowy proces X̃_{t} := X_{t+s} , t ∈ [0, T −s) oraz filtrację F̃_{t} := F_{t+s} zamieniamy równanie różniczkowe (9) na podobne równanie dla X̃ z warunkiem początkowym X̃_{0} = ξ.

Definicja 4. Proces X rozwiązujący równanie (9) nazywamy dyfuzją startująca z ξ. Funkcję σ nazywamy współczynnikiem dyfuzji, a funkcję b współczynnikiem dryfu.

Przypomnijmy, że funkcja f: ℝ → ℝ jest lipschitzowska ze stałą L, jeśli |f(x) − f(y)| L|x − y| dla wszystkich x, y. Lipschitzowskość implikuje też, że

|f(x)| |f(0)| + L|x| L̃\sqrt{1 + x^{2}}

gdzie można przyjąć np. L̃ = 2 max{|f(0)|, L}.

Twierdzenie 5. Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na ℝ, wówczas równanie stochastyczne (9) ma co najwyżej jedno rozwiązanie (z dokładnością do nierozróżnialności).

Dowód. Bez straty ogólności możemy zakładać, że s = 0 oraz σ, b są lipschitzowskie z tą samą stałą L.

Załóżmy, że X_{t} i Y_{t} są rozwiązaniami, wówczas

X_{t} − Y_{t} = ∫_{0}^{t}(b(X_{r}) − b(Y_{r}))dr + ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}) − σ(Y_{r}))dW_{r}.

Krok I. Załóżmy dodatkowo, że funkcja u ↦ 𝔼|X_{u}−Y_{u}|^{2} jest skończona i ograniczona na przedziałach [0, t], t < T.

Mamy

𝔼(X_{t} − Y_{t})^{2} 2𝔼( ∫_{0}^{t}(b(X_{r}) − b(Y_{r}))dr)^{2} + 2𝔼( ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}) − σ(Y_{r})dW_{r})^{2}
= I + II.

Z warunku Lipschitza i nierówności Schwarza

I 2L^{2}𝔼( ∫_{0}^{t} |X_{r} − Y_{r}|dr)^{2} 2L^{2}t ∫_{0}^{t} 𝔼(X_{r} − Y_{r})^{2}dr.

By oszacować II zauważmy, że |σ(X_{r}) − σ(Y_{r})| L|X_{r} − Y_{r}|, więc σ(X_{r}) − σ(Y_{r}) ∈ L_{t}^{2}. Stąd

II = 2𝔼 ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}) − σ(Y_{r}))^{2} 2L^{2} ∫_{0}^{t} 𝔼(X_{r} − Y_{r})^{2}dr.

Ustalmy t_{0} < T, wówczas z powyższych oszacowań wynika, że

𝔼(X_{t} − Y_{t})^{2} C ∫_{0}^{t} 𝔼(X_{r} − Y_{r})^{2}dr dla t t_{0},

gdzie C = C(t_{0}) = 2L^{2}(t_{0} + 1). Iterując powyższą nierówność dostajemy dla t t_{0},

𝔼(X_{t} − Y_{t})^{2} C ∫_{0}^{t} 𝔼(X_{r_{1}} − Y_{r_{1}} )^{2}dr_{1} C^{2} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} 𝔼(X_{r_{2}} − Y_{r_{2}} )^{2}dr_{2}

… C^{k} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} ⋯ ∫_{0}^{r_{k−1}} 𝔼(X_{r_{k}} − Y_{r_{k}})^{2}dr_{k} …dr_{1}

C^{k} sup_{r t}𝔼(X_{r} − Y_{r})^{2} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} ⋯ ∫_{0}^{r_{k−1}} dr_{k} …dr_{1}

= C^{k} sup_{r t}𝔼(X_{r} − Y_{r})^{2} \frac{t^{k}}{k!} −→^{k↦∞} 0.

Stąd dla wszystkich t < T, 𝔼(X_{t} − Y_{t})^{2} = 0, czyli X_{t} = Y_{t} p.n., a więc z ciągłości obu procesów, X i Y są nieodróżnialne.

Krok II. X i Y dowolne. Określmy

τ_{n} := inf{t s: |X_{t}| + |Y_{t}| n}

i zauważmy, że |X_{t}|𝟙_{(0,τ_{n}]}, |X′_{t}|𝟙_{(0,τ_{n}]} n. Ponieważ w zerze oba procesy się pokrywają, więc |X_{t}^{τ_{n}} − Y_{t}^{τ_{n}}| 2n, stąd |σ(X_{t}^{τ_{n}}) − σ(Y_{t}^{τ_{n}})| 2Ln i σ(X^{τ_{n}}) − σ(Y^{τ_{n}}) ∈ L_{t}^{2} dla t < T. Mamy

X_{t∧τ_{n}} − Y_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} (b(X_{r}) − b(Y_{r}))dr + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} (σ(X_{r}) − σ(Y_{r}))dW_{r}

= ∫_{0}^{t∧τ_{n}} (b(X_{r}^{τ_{n}}) − b(Y_{r}^{τ_{n}}))dr + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} (σ(X_{r}^{τ_{n}}) − σ(Y_{r}^{τ_{n}}))dW_{r}.

Naśladując rozumowanie z kroku I dostajemy X_{t∧τ_{n}} = Y_{t∧τ_{n}} p.n., przechodząc z n → ∞ mamy X_{t} = Y_{t} p.n..

Twierdzenie 6. Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na ℝ oraz 𝔼ξ^{2} < ∞, wówczas równanie stochastyczne (9) ma dokładnie jedno rozwiązanie X = (X_{t})_{t s} . Co więcej 𝔼X_{t}^{2} < ∞ oraz funkcja t → 𝔼X_{t}^{2} jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Dowód. Jak w poprzednim twierdzeniu zakładamy, że s = 0. Jednoznaczność rozwiązania już znamy. By wykazać jego istnienie posłużymy się konstrukcją z użyciem metody kolejnych przybliżeń. Określamy X_{t}^{(0)}(ω) := ξ(ω) oraz indukcyjnie

X_{t}^{(n)} := ξ + ∫_{0}^{t} b(X_{r}^{(n−1)} )dr + ∫_{0}^{t} σ(X_{r}^{(n−1)} )dW_{r}.  (10)

Definicja jest poprawna (tzn. całki są dobrze określone), gdyż X_{t}^{(n)} są procesami ciągłymi, adaptowalnymi. Ponadto indukcyjnie pokazujemy, że funkcja r → 𝔼|X_{r}^{(n)}|^{2} jest ograniczona na przedziałach skończonych:

𝔼|X_{t}^{(n)}|^{2} 3[𝔼ξ^{2} + 𝔼( ∫_{0}^{t} |b(X_{r}^{(n−1)} )|dr)^{2} + 𝔼( ∫_{0}^{t} σ(X_{r}^{(n−1)} )dW_{r})^{2}]

3[𝔼ξ^{2} + t𝔼 ∫_{0}^{t} |b(X_{r}^{(n−1)} )|^{2}dr + 𝔼 ∫_{0}^{t} |σ(X_{r}^{(n−1)} )|^{2}dr]

3[𝔼ξ^{2} + L̃^{2}(1 + t) sup_{0 r t} 𝔼|X_{r}^{(n−1)} |^{2}].

Zatem X^{(n)} ∈ L_{t}^{2}, a więc również σ(X^{(n)}) ∈ L_{t}^{2}.

Zauważmy, że wobec nierówności (a + b)^{2} 2a^{2} + 2b^{2} i niezależności ξ i W_{t}, dla t t_{0} zachodzi

𝔼|X_{t}^{(1)} − X_{t}^{(0)}|^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{t} b(ξ)dr + ∫_{0}^{t} σ(ξ)dW_{r})^{2} = 𝔼(b(ξ)t + σ(ξ)W_{t})^{2}
2t^{2}𝔼b(ξ)^{2} + 2𝔼σ(ξ)^{2}𝔼W_{t}^{2}) 2L̃^{2}(1 + 𝔼ξ^{2})(t + t^{2}) C,

gdzie C = C(t_{0}) = 2L̃^{2}(1 + 𝔼ξ^{2})(t_{0} + t_{0}^{2}). Podobnie szacujemy dla t t_{0},

𝔼|X_{t}^{(n+1)} − X_{t}^{(n)}|^{2}

= 𝔼[ ∫_{0}^{t}(b(X_{r}^{(n)}) − b(X_{r}^{(n−1)} ))dr + ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))dW_{r}]^{2}

2𝔼[ ∫_{0}^{t} |b(X_{r}^{(n)}) − b(X_{r}^{(n−1)} )|dr]^{2} + 2𝔼[ ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))dW_{r}]^{2}

2𝔼[ ∫_{0}^{t} L|X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |dr]^{2} + 2𝔼 ∫_{0}^{t} |σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} )|^{2}dr

2L^{2}(t + 1)𝔼 ∫_{0}^{t} |X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |^{2}dr C_{1} ∫_{0}^{t} 𝔼|X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |^{2}dr,

gdzie C_{1} = C_{1}(t_{0}) = 2L^{2}(t_{0} + 1). Iterując to szacowanie dostajemy

𝔼|X_{t}^{(n+1)} − X_{t}^{(n)}|^{2} C_{1}^{2} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} 𝔼|X_{r_{2}}^{(n−1)} − X_{r_{2}}^{(n−2)} |^{2}dr_{2}dr_{1}

⋯ C_{1}^{n} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} ⋯ ∫_{0}^{r_{n−1}} 𝔼|X_{r_{n}}^{(1)} − X_{r_{n}}^{(0)}|^{2}dr_{n} …dr_{1}

C_{1}^{n}C ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{r_{1}} ⋯ ∫_{0}^{r_{n−1}} dr_{n} …dr_{1} = CC_{1}^{n} \frac{t^{n}}{n!},

Pokazaliśmy zatem, że ∥X_{t}^{(n+1)} − X_{t}^{(n)}∥_{L_{2}}^{2} CC_{1}^{n} \frac{t^{n}}{n!} dla t t_{0}. Ponieważ szereg ∑ _{n}(CC_{1}^{n} \frac{t^{n}}{n!} )^{1/2} jest zbieżny, więc (X_{t}^{(n)})_{n 0} jest ciągiem Cauchy’ego w L^{2}, czyli jest zbieżny. Z uwagi na jednostajność szacowań wykazaliśmy istnienie X_{t} takiego, że

X_{t}^{(n)} → X_{t} w L^{2} jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

Stąd też wynika, że t ↦ 𝔼X_{t}^{2} jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Wykażemy teraz, że X_{t}^{(n)} z prawdopodobieństwem 1 zbiega do X_{t} niemal jednostajnie. Zauważmy, że dla t_{0} < ∞

ℙ( sup_{t t_{0}}|X_{t}^{(n+1)} − X_{t}^{(n)}| \frac{1}{2^{n}} ) ℙ( sup_{t t_{0}} ∫_{0}^{t} |b(X_{r}^{(n)}) − b(X_{r}^{(n−1)} )|dr \frac{1}{2^{n+1}} )

+ ℙ( sup_{t t_{0}}| ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))dW_{r}| \frac{1}{2^{n+1}} ) = I + II.

Mamy

I ℙ( ∫_{0}^{t_{0}} |b(X_{r}^{(n)}) − b(X_{r}^{(n−1)} )|dr \frac{1}{2^{n+1}} )

4^{n+1} 𝔼( ∫_{0}^{t_{0}} |b(X_{r}^{(n)}) − b(X_{r}^{(n−1)} )|dr)^{2}

4^{n+1} L^{2}𝔼( ∫_{0}^{t_{0}} |X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |dr)^{2} 4^{n+1} L^{2}t_{0}𝔼 ∫_{0}^{t_{0}} |X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |^{2}dr

4^{n+1} L^{2}t_{0} ∫_{0}^{t_{0}} CC_{1}^{n−1} \frac{r^{n−1}}{(n − 1)!} dr = 4^{n+1} L^{2}CC_{1}^{n−1} t_{0}^{n+1} \frac{1}{n!}.

Z nierównośći Dooba dla martyngału ∫(σ(X^{(n)})−σ(X^{(n−1)} ))dW dostajemy

II 4^{n+1} 𝔼 sup_{t t_{0}} | ∫_{0}^{t}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))dW_{r} |^{2}

4^{n+2} 𝔼| ∫_{0}^{t_{0}}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))dW_{r} |^{2}

= 4^{n+2} 𝔼 ∫_{0}^{t_{0}}(σ(X_{r}^{(n)}) − σ(X_{r}^{(n−1)} ))^{2}dr 4^{n+2} L^{2}𝔼 ∫_{0}^{t_{0}} |X_{r}^{(n)} − X_{r}^{(n−1)} |^{2}dr

4^{n+2} L^{2}CC_{1}^{n−1} t_{0}^{n} \frac{1}{n!}.

Przyjmując

A_{n} := \{ sup_{t t_{0}}|X_{t}^{(n+1)} − X_{t}^{(n)}| \frac{1}{2^{n}} \}

dostajemy

∑_{n} ℙ(A_{n}) ∑_{n} 4^{n+1} (4 + t_{0})L^{2}CC_{1}^{n−1} t_{0}^{n} \frac{1}{n!} < ∞,

więc ℙ(lim supA_{n}) = 0. Zatem dla t_{0} < ∞ X^{(n)} zbiega jednostajnie na [0, t_{0}] z prawdopodobieństwem 1, czyli z prawdopodobieństwem 1 zbiega niemal jednostajnie. Ewentualnie modyfikując X i X^{(n)} na zbiorze miary zero widzimy, że X jest granicą niemal jednostajną X^{(n)}, czyli X ma trajektorie ciągłe.

Ze zbieżności X_{r}^{(n)} do X_{r} w L^{2} jednostajnej na [0, t] oraz lipschitzowskości b i σ łatwo wynika zbieżność w L^{2}, ∫_{0}^{t} b(X_{r}^{(n)})dr i ∫_{0}^{t} σ(X_{r}^{(n)})dr do odpowiednio ∫_{0}^{t} b(X_{r})dr i ∫_{0}^{t} σ(X_{r})dW_{r}, zatem możemy przejść w (10) do granicy by otrzymać dla ustalonego t < T

X_{t} := ξ + ∫_{0}^{t} b(X_{r})dr + ∫_{0}^{t} σ(X_{r})dW_{r} p.n.

Oba procesy X i ξ + ∫ b(X)dr + ∫ σ(X)dW są ciągłe, zatem są nierozróżnialne.

Przykład 1. Stosując wzór Itô łatwo sprawdzić, że proces X_{t} = ξ exp(λW_{t}− \frac{λ^{2}}{2} t) jest rozwiązaniem równania

dX_{t} = λX_{t}dW_{t}, X_{0} = ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie tego równania, gdyż b = 0 oraz σ(x) = λx są funkcjami lipschitzowskimi.

Przykład 2. Proces

X_{t} = e^{bt}xi + s ∫_{0}^{t} e^{b(t−s)} dW_{s}

jest rozwiązaniem równania

dX_{t} = bX_{t}dt + s^{2}dW_{t}, X_{0} = ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie, gdyż funkcje b(x) = bx oraz σ(x) = s^{2} są lipschitzowskie. Jeśli b < 0 oraz ξ ma rozkład N (0, −\frac{1}{2b}s^{2}), to proces X jest stacjonarny (proces Ornsteina-Uhlenbecka).

14.2 Równania niejednorodne

Często współczynniki równania zależą nie tylko od x, ale i od czasu.

Definicja 7. Załóżmy, że b, σ: ℝ^{2} → ℝ są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową F_{s}-mierzalną. Mówimy, że proces X = (X_{t})_{t∈[s,T)} rozwiązuje równanie stochastyczne

dX_{t} = b(t, X_{t})dt + σ(t, X_{t})dW_{t}, X_{s} = ξ,  (11)

jeśli

X_{t} = ξ + ∫_{s}^{t} b(r, X_{r})dr + ∫_{s}^{t} σ(r, X_{r})dW_{r}, t ∈ [s, T).

Dla równania niejednorodnego naturalne są następujące warunki Lipschitza

|b(t, x) − b(t, y)| L|x − y|, |b(t, x)| L̃\sqrt{1 + x^{2}} ,
|σ(t, x) − σ(t, y)| L|x − y|, |σ(t, x)| L̃\sqrt{1 + x^{2}} .

Twierdzenie 8. Załóżmy, że funkcje b i σ spełniają warunki lipschitza. Wówczas dla dowolnej zmiennej ξ, F_{s}-mierzalnej takiej, że 𝔼ξ^{2} < ∞ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (11). Co więcej rozwiązanie to daje się otrzymać metodą kolejnych przybliżeń jak w przypadku jednorodnym.

Przykład 3. Równanie

dX_{t} = σ(t)X_{t}dW_{t}, X_{0} = ξ.  (12)

spełnia założenia twierdzenia, jeśli sup_{t} |σ(t)| < ∞. By znaleźć jego rozwiązanie sformułujmy ogólniejszy fakt.

Fakt 9. Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś Z_{0} zmienną F_{0}-mierzalną. Wówczas proces Z_{t} = exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) jest martyngałem lokalnym takim, że dZ_{t} = Z_{t}dM_{t}, tzn. Z_{t} = Z_{0} + ∫_{0}^{t} Z_{s}dM_{s}.

Dowód. Z wzoru Itô dla semimartyngału X_{t} = M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t} dostajemy

dZ_{t} = d(Z_{0}e^{X_{t}}) = Z_{0}e^{X_{t}} dX_{t} + \frac{1}{2}Z_{0}e^{X_{t}} d⟨M⟩_{t} = Z_{0}e^{X_{t}} dM_{t} = Z_{t}dM_{t}.

Proces Z jest martyngałem lokalnym na mocy konstrukcji całki stochastycznej.

Wracając do Przykładu 3 zauważamy, że M_{t} = ∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} jest martyngałem lokalnym, więc rozwiązanie równania (12) ma postać

X_{t} = ξ exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) = ξ exp(∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} σ(s)^{2}ds).

Przykład 4. Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe postaci

dY_{t} = b(t)Y_{t}dt + σ(t)Y_{t}dW_{t}, X_{0} = ξ.

Współczynniki b(t, y) = b(t)y i σ(t, y) = σ(t)y spełniają warunki lipschitza, jeśli sup_{t} |b(t)|, sup_{t} |σ(t)| < ∞. By znaleźć rozwiązanie załóżmy, że jest postaci X_{t} = g(t)Y_{t}, gdzie dY_{t} = σ(t)Y_{t}dW_{t}, Y_{0} = ξ, postać Y znamy z Przykładu 3. Wówczas, z dwuwymiarowego wzoru Itô

dX_{t} = g′(t)Y_{t}dt + g(t)dY_{t} = g′(t)Y_{t}dt + σ(t)X_{t}dW_{t}.

Wystarczy więc rozwiązać równanie

g′(t) = σ(t)g(t), g(0) = 1

by dostać

X_{t} = Y_{t}g(t) = ξ exp(∫_{0}^{t} σ(s)dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} σ(s)^{2}ds + ∫_{0}^{t} σ(s)ds).

14.3 Przypadek wielowymiarowy

Zanim sformułujemy odpowiednik wcześniejszych wyników dla przypadku wielowymiarowego wprowadzimy wygodne ustalenia notacyjne.

Definicja 10. Niech W = (W^{(1)}, …, W^{(d)}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera. Dla X = [X^{(i,j)} ]_{1 i m,1 j d} macierzy m × d złożonej z procesów z Λ_{T}^{2} określamy m-wymiarowy proces

M_{t} = (M_{t}^{(1)}, …, M_{t}^{(m)}) = ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s}, 0 t < T

wzorem

M_{t}^{(i)} = ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} X_{s}^{(i,j)} dW_{s}^{(j)}, 1 i m.

Przy powyżej wprowadzonej notacji możemy zdefiniować wielowymiarowe równania stochastyczne.

Definicja 11. Załóżmy, że b: ℝ^{m} → ℝ^{m}, σ: ℝ^{m} → ℝ^{m×d} są funkcjami ciągłymi, W = (W^{(1)}, …, W^{(d)}) jest d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{m}), m-wymiarowym, F_{s}-mierzalnym wektorem losowym. Mówimy, że m-wymiarowy proces X = (X_{t}^{(1)}, …, X_{t}^{(m)})_{t∈[s,T)} rozwiązuje jednorodne wielowymiarowe równanie stochastyczne

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{s} = ξ,

jeśli

X_{t} = ξ + ∫_{s}^{t} b(X_{r})dr + ∫_{s}^{t} σ(X_{r})dW_{r}, t ∈ [s, T).

Tak jak w przypadku jednowymiarowym dowodzimy:

Twierdzenie 12. Załóżmy, że ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{m}) jest m-wymiarowym, F_{s}- mierzalnym wektorem losowym takim, że 𝔼ξ_{j}^{2} < ∞ dla 1 j m, b: ℝ^{m} → ℝ^{m}, σ: ℝ^{m} → ℝ^{d×m} są funkcjami lipschitzowskimi oraz W jest d-wymiarowym procesem Wienera. Wówczas równanie

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{s} = ξ

ma dokładnie jedno rozwiązanie X = (X_{t}^{(1)}, …, X_{t}^{(m)})_{t s} . Ponadto

𝔼 sup_{s t u} 𝔼|X_{t}^{(i)}|^{2} < ∞ dla u < ∞.

14.4 Generator procesu dyfuzji.

W tej części zakładamy, że b = (b_{i})_{i m} : ℝ^{m} → ℝ^{m}, σ = (σ_{i,j} )_{i m,j d} : ℝ^{m} → ℝ^{m×d} są funkcjami ciągłymi, zaś W = (W^{(1)}, …, W^{(d)}) jest d-wymiarowym procesem Wienera

Definicja 13. Generatorem m-wymiarowego procesu dyfuzji spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}

nazywamy operator różniczkowy drugiego rzędu dany wzorem

Lf(x) = ∑_{i=1}^{n} b_{i}(x)\frac{∂f}{∂x_{i}} (x) + \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{d} σ_{i,j} (x)\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x), f ∈ C^{2}(ℝ^{m}).

Definicja ta jest motywowana przez poniższy prosty, ale bardzo ważny fakt.

Fakt 14. Załóżmy, że L jest generatorem procesu dyfuzji spełniającego równanie dX_{t} = b(X_{t})dt+σ(X_{t})dW_{t}. Wówczas dla dowolnej funkcji f ∈ C^{2}(ℝ^{m}) takiej, że f(X_{0}) jest całkowalne, proces M_{t}^{f} := f(X_{t})−∫_{0}^{t} Lf(X_{s})ds jest ciągłym martyngałem lokalnym. Ponadto, jeśli f ma dodatkowo nośnik zwarty, to M_{t}^{f} jest martyngałem.

Dowód. Ze wzoru Itô łatwo sprawdzić, że

M_{t}^{f} = f(X_{0}) + ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} σ_{i,j} (X_{t})\frac{∂f}{∂x_{i}} (X_{t})dW_{t}^{(j)} ∈ M_{loc}^{c}.

Jeśli f ∈ C_{zw}^{2}(ℝ^{m}), to funkcje σ_{i,j} (x)\frac{∂f}{∂x_{i}} (x) są ciągłe i mają nośnik zwarty w ℝ^{m}, więc są ograniczone, zatem procesy σ_{i,j} (X_{t})\frac{∂f}{∂x_{i}} (X_{t}) należą do L_{T}^{2} dla dowolnego T < ∞, więc M_{t}^{f} jest martyngałem (a nawet martyngałem całkowalnym z kwadratem).

Uwaga 15. Założenie o zwartym nośniku f można w wielu przykładach istotnie osłabić. Załóżmy, że współczynniki b i σ są lipschitzowskie oraz X_{0} ∈ L^{2}. Wówczas jak wiemy X_{t} jest w L^{2} oraz sup_{t T} 𝔼X_{t}^{2} < ∞ dla T < ∞. Stąd nietrudno sprawdzić (używając lipschitzowskości σ_{i,j} , że jeśli pochodne f są ograniczone, to σ_{i,j} (X_{t})\frac{∂f}{∂x_{i}} (X_{t}) ∈ L_{T}^{2} dla T < infty, zatem M_{t}^{f} jest martyngałem.

Przykłady Generatorem d-wymiarowego procesu Wienera jest operator Lf = \frac{1}{2}△f. Jeśli X = (X_{1}, …, X_{d}) spełnia

dX_{t}^{(}i) = bX_{t}^{(i)}dt + σdW_{t}^{(i)}, i = 1, …, m

(m-wymiarowy proces Ornsteina-Uhlenbecka), to Lf(x) = b⟨x, ∇f(x)⟩ + \frac{1}{2}σ^{2}△f.

Wykład zakończymy przykładem pokazującym związek między stochastycznymi równaniami różniczkowymi a równaniami cząstkowymi. Dokładna analiza takich związków jest ważną dziedziną łączącą rozumowania analityczne i probabilistyczne. Nieco więcej na ten temat można się będzie dowiedzieć na przedmiocie Procesy Stochastyczne.

Przykład Dla x ∈ ℝ^{m} niech X_{t}^{x} będzie rozwiązaniem równania stochastycznego

dX_{t}^{x} = b(X_{t}^{x})dt + σ(X_{t}^{x})dW_{t}, X_{t}^{0} = x,

zaś L odpowiadającym mu generatorem. Załóżmy, że D jest obszarem ograniczonym oraz f spełnia równanie cząstkowe

Lf(x) = 0, x ∈ D, f(x) = h(x)x ∈ ∂D.

Załóżmy dodatkowo, że f daje się rozszerzyć do funkcji klasy C^{2} na pewnym otoczeniu D. Wówczas f się rozszerza też do funkcji klasy C_{zw}^{2}(ℝ^{m}). Wybierzmy x ∈ D i określmy

τ = inf{t > 0: X_{t}^{x} ∉ D}.

Wiemy, że proces M_{t} = f(X_{t}^{x}) − ∫_{0}^{t} Lf(X_{s}^{x})ds jest martyngałem, zatem martyngałem jest również M_{t∧τ} , ale

M_{t∧τ} = f(X_{t∧τ}^{x} ) − ∫_{0}^{∧τ} tLf(X_{s}^{x})ds = f(X_{t∧τ}^{x} ),

w szczegóności

𝔼f(X_{t∧τ}^{x} ) = 𝔼M_{t∧τ} = 𝔼M_{0} = f(x).

Jeśli dodatkowo τ < ∞ p.n. (to założenie jest spełnione np. dla procesu Wienera), to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej

f(x) = 𝔼f(X_{t∧τ}^{x} ) → 𝔼f(X_{τ}^{x}) = 𝔼h(X_{τ}^{x}).

Otrzynaliśmy więc stochastyczną reprezentację rozwiązania eliptycznego równania cząstkowego.

Podobne rozumowanie pokazuje, że (przy pewnych dodatkowych założeniach) rozwiązanie równania

Lf(x) = g(x), x ∈ D, f(x) = h(x)x ∈ ∂D

ma postać

f(x) = 𝔼h(X_{τ}^{x}) = 𝔼 ∫_{0}^{τ} g(X_{s}^{x})ds, x ∈ D.

15 Twierdzenie Girsanowa

W czasie tego wykładu przyjmujemy jak zwykle, że (Ω, F, ℙ) jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Będziemy konstruowali inne miary probabilistyczne na przestrzeni (Ω, F) względem których proces Wienera z dryfem ma taki rozkład jak zwykły proces Wienera. Przez 𝔼X będziemy rozumieli zawsze wartość oczekiwaną względem ℙ, wartość oczekiwaną X względem innej miary ℚ będziemy oznaczać 𝔼_{ℚ}X. Zauważmy, że jeśli dℚ = Zdℙ, tzn. ℚ(A) = ∫_{A} Zdℙ, to

𝔼_{ℚ}X = ∫ Xdℚ = ∫ XZdℙ = 𝔼(XZ).

15.1 Przypadek Dyskretny

Załóżmy, że zmienne Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{n} są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Wprowadźmy nową miarę ℚ na ((Ω, F) wzorem dℚ = exp(∑ _{i=1}^{n} μ_{i}Z_{i} − \frac{1}{2} ∑ _{i=1}^{n} μ_{i}^{2})dℙ, tzn.

ℚ(A) = ∫_{A} exp(∑_{i=1}^{n} μ_{i}Z_{i}(ω) − \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} μ_{i}^{2})dℙ(ω) dla A ∈ F.

Zauważmy, że

ℚ(Ω) = 𝔼 exp(∑_{i=1}^{n} μ_{i}Z_{i} − \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} μ_{i}^{2}) = ∏_{i=1}^{n} 𝔼 exp(μ_{i}Z_{i} − \frac{1}{2}μ_{i}^{2}) = 1,

więc ℚ jest miarą probabilistyczną na (Ω, F). Ponadto dla dowolnego zbioru Γ ∈ B(ℝ^{n}),

ℚ((Z_{1}, …, Z_{n}) ∈ Γ) = 𝔼 exp(∑_{i=1}^{n} μ_{i}Z_{i} − \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} μ_{i}^{2})𝟙_{\{(Z_{1},...,Z_{n})∈Γ\}}

= \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{Γ} e^{∑ _{i=1}^{n} μ_{i}z_{i}− \frac{1}{2} ∑ _{i=1}^{n} μ_{i}^{2}} e^{− \frac{1}{2} ∑ _{i=1}^{n} z_{i}^{2}} dz_{1} …dz_{n}

= \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{Γ} e^{− \frac{1}{2} ∑ _{i=1}^{n} (z_{i}−μ_{i})^{2}} dz_{1} …dz_{n}.

Zatem względem miary ℚ zmienne Z_{i} − μ_{i} są niezależne oraz mają rozkład N (0, 1).

Definiując S_{k} = X_{1} + … + X_{k} widzimy, że względem ℚ zmienne (S_{k} − ∑ _{i=1}^{k} μ_{i})_{k n} są sumami niezależnych standardowych zmiennych normalnych (czyli mają ten sam rozkład co (S_{k})_{k} względem ℙ). Podczas dalszej części wykładu pokażemy, że można podobny fakt sformułować w przypadku ciągłym, gdy S_{k} zastąpimy procesem Wienera, a sumy ∑ _{i=1}^{k} μ_{i} całką ∫_{0}^{t} Y_{s}ds.

15.2 Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera

Załóżmy, że T < ∞, proces Y = (Y_{t})_{t<T} jest prognozowalny oraz ∫_{0}^{T} Y_{t}^{2} < ∞ p.n., wówczas Y ∈ Λ_{T}^{2}, proces M_{t} = ∫ Y dW jest martyngałem lokalnym na [0, T) oraz ⟨M⟩ = ∫ Y^{2}dt. Co więcej można też określić wartość M i Z w punkcie T. Zatem jak wiemy (zob. Fakt 9) proces

Z_{t} := exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) = exp(∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Y_{s}^{2}ds)

jest martyngałem lokalnym na [0, T]

Lemat 1. Jeśli M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, T], to proces Z_{t} = exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) jest martyngałem na przedziale skończonym [0, T] wtedy i tylko wtedy, gdy 𝔼Z_{T} = 1.

Dowód. Implikacja ”⇒” jest oczywista, bo 𝔼Z_{T} = 𝔼Z_{0} = 1. Wystarczy więc udowodnić ”⇐”.

Wiemy, że Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym, zatem jest nadmartyngałem. Ustalmy t ∈ [0, T], wówczas Z_{t} 𝔼(Z_{T}|F_{t}) p.n.. Ponadto 1 = 𝔼Z_{0} 𝔼Z_{t} 𝔼Z_{T}, czyli, jeśli 𝔼Z_{T} = 1, to 𝔼Z_{t} = 1 i

𝔼(Z_{t} − 𝔼(Z_{T}|F_{t})) = 𝔼Z_{t} − 𝔼Z_{T} = 0,

a więc Z_{t} = 𝔼(Z_{T}|F_{t}) p.n..

Twierdzenie 2. Załóżmy, że T < ∞, proces Y jest prognozowalny oraz ∫_{0}^{T} Y_{s}^{2}ds < ∞¿. Niech Z_{t} = exp(∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Y_{s}^{2}ds), wówczas, jeśli 𝔼Z_{T} = 1 (czyli Z jest martyngałem na [0, T]), to proces

V_{t} = W_{t} − ∫_{0}^{t} Y_{s}ds, t ∈ [0, T]

jest procesem Wienera względem wyjściowej filtracji na zmodyfikowanej przestrzeni propabilistycznej (Ω, F, ℚ_{T}), gdzie dℚ_{T} = Z_{T}dℙ, tzn.

ℚ_{T}(A) = ∫_{A} Z_{T}dℙ, A ∈ F.

Dowód. Zmienna Z_{T} jest nieujemna i 𝔼Z_{T} = 1, więc ℚ_{T} jest miarą probabilistyczną. Zauważmy też, że jeśli ℙ(A) = 0, to ℚ_{T}(A) = 0, czyli zdarzenia, które zachodzą ℙ prawie na pewno, zachodzą też ℚ_{T} prawie na pewno. Proces V jest ciągły, adaptowalny względem F_{t} oraz V_{0} = 0. Wystarczy zatem wykazać, że dla λ ∈ ℝ, proces U_{t} = U_{t}(λ) =:= exp(λV_{t} − \frac{1}{2}λ^{2}t) jest martyngałem lokalnym względem ℚ_{T}. Zauważmy, że

U_{t}Z_{t} = exp(λV_{t} − \frac{1}{2}λ^{2}t) exp(∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} − ∫_{0}^{t} Y_{s}^{2}ds)

= exp(λW_{t} + ∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(2λY_{s} + λ^{2} + Y_{s}^{2})ds)

= exp(∫_{0}^{t}(λ + Y_{s})dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(λ + Y_{s})^{2}ds) = exp(N_{t} − \frac{1}{2}⟨N⟩_{t}),

gdzie N = ∫(λ + Y)dW ∈ M_{loc}^{c}. Zatem proces UZ jest martyngałem lokalnym względem ℙ, czyli istnieją τ_{n} ↗ T takie, że U^{τ_{n}}Z^{τ_{n}} jest martyngałem. Ustalmy n, wtedy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ,

𝔼_{ℚ_{T}}U_{0} = 𝔼(U_{0}Z_{T}) = 𝔼(U_{0}𝔼(Z_{T}|F_{0})) = 𝔼(U_{0}Z_{0}) = 𝔼(U_{τ_{n} ∧τ} Z_{τ_{n} ∧τ})
= 𝔼(U_{τ_{n} ∧τ} 𝔼(Z_{T}|F_{τ_{n} ∧τ}) = 𝔼(U_{τ_{n} ∧τ} Z_{T}) = 𝔼_{ℚ_{T}}U_{τ_{n} ∧τ} ,

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Dooba wynika, że U^{τ_{n}} jest martyngałem względem ℚ_{T}, czyli U jest ℚ_{T}-martyngałem lokalnym.

W pewnych zastosowaniach wygodnie jest mieć miarę względem której proces W − ∫ Y ds jest procesem Wienera na całej półprostej [0, ∞).

Twierdzenie 3. Załóżmy, że Y ∈ Λ_{∞}^{2} , zaś proces Z_{t} i miary ℚ_{T} dla T < ∞ są jak poprzednio. Wówczas, jeśli 𝔼Z_{t} = 1 dla wszystkich t (czyli Z jest martyngałem na [0, ∞)), to istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna ℚ na (Ω, F_{∞}^{W}) taka, że ℚ(A) = ℚ_{T}(A) dla A ∈ F_{T}^{W} i T < ∞. Proces V = W − ∫ Y ds jest względem ℚ procesem Wienera na [0, ∞).

Szkic Dowodu.. Na zbiorach postaci A = {(W_{t_{1}}, W_{t_{2}}, …, W_{t_{k}}) ∈ Γ}, 0 t_{1} t_{2} … t_{k} T, Γ ∈ B(ℝ^{k}) kładziemy ℚ(A); = ℚ_{T}(A). Otrzymujemy w ten sposób zgodną rodzinę miar probabilistycznych i na mocy twierdzenia Kołmogorowa ℚ przedłuża się w spośób jednoznaczny do miary na F_{∞}^{W}.

Uwaga 4. O ile miara ℚ_{T} jest absolutnie ciągła względem ℙ (tzn. ℚ_{T}(A) = 0, jeśli ℙ(A) = 0), to miara ℚ zadana przez ostatnie twierdzenie taka być nie musi. Istotnie określmy Y_{t} ≡ μ ≠ 0, czyli V_{t} = W_{t} − μt. Niech

A := \{ω: lim sup \frac{1}{t}W_{t}(ω) = 0\},

B := \{ω: lim sup \frac{1}{t}V_{t}(ω) = 0\} = \{ω: lim sup \frac{1}{t}W_{t}(ω) = μ\}.

Wówczas z mocnego prawa wielkich liczb dla proceseu Wienera ℙ(A) = 1 oraz ℙ(B) = 0, z drugiej strony ℚ(B) = 1, zatem miary ℙ i ℚ są wzajemnie singularne na F_{∞}^{W}, mimo, że po odbcięciu do F_{T}^{W} dla T < ∞ są względem siebie absolutnie ciągłe. Można pokazać, że albsolutna ciągłość ℚ względem ℙ wiąże się z jednostajną całkowalnością martyngału Z.

Naturalne jest pytanie kiedy spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, czyli kiedy Z jest martyngałem. Użyteczne jest następujące kryterium.

Twierdzenie 5 (Kryterium Nowikowa). Jeśli Y jest procesem prognozowalnym spełniającym warunek 𝔼 exp(\frac{1}{2} ∫_{0}^{T} Y_{s}^{2}ds) < ∞, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, tzn. proces Z = exp(∫ Y dW − \frac{1}{2} ∫ Y^{2}dt) jest martyngałem na [0, T].

Kryterium Nowikowa jest konsekwencją silniejszego twierdzenia.

Twierdzenie 6. Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że dla wszystkich t, 𝔼 exp(\frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) < ∞. Niech Z_{t} = exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩), wówczas 𝔼Z_{t} = 1 dla wszystkich t, czyli Z jest martyngałem.

Twierdzenie Girsanowa można sformułować też w przypadku wielowymiarowym.

Twierdzenie 7. Załóżmy, że Y = (Y^{(1)}, …, Y^{(d)}) proces d-wymiarowy taki, że Y^{(j)} ∈ Λ_{T}^{2} oraz T < ∞. Niech W = (W^{(1)}, …, W^{(d)}) będzie dwymiarowym procesem Wienera oraz

Z_{t} = exp(∑_{i=1}^{d} ∫ Y_{s}^{(i)}dW_{t}^{(i)} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} |Y_{s}|^{2}ds).

Wówczas, jeśli 𝔼Z_{T} = 1 (czyli Z_{t} jest martyngałem na [0, T]), to proces

V_{t} = W_{t} − ∫_{0}^{t} Y_{s}ds = (W_{t}^{(1)} − ∫_{0}^{t} Y^{(1)}ds, …, W_{t}^{(d)} − ∫_{0}^{t} Y_{s}^{(d)}ds)

jest procesem Wienera na [0, T] względem miary probabilistycznej ℚ_{t} takiej, że dℚ_{T} = Z_{T}dℙ.

Kryterium Nowikowa w przypadku d-wymiarowym ma postać

Twierdzenie 8. Jeśli Y jest d-wymiarowym procesem prognozowalnym spełniającym warunek 𝔼 exp(\frac{1}{2} ∫_{0}^{T} |Y_{s}|^{2}ds) < ∞, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa.

A Wybrane Fakty z z Rachunku Prawdopodobieństwa i Analizy Matematycznej

W części tej zebraliśmy kilka stwierdzeń, na które się wcześniej powoływaliśmy. Fakty te, choć nieco mniej standardowe, są zwykle dowodzone w czasie kursowych wykładów z analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja 1. Rodzinę S podzbiorów zbioru X nazywamy π-układem, jeśli dla dowolnych A, B ∈ S, zbiór A ∩ B ∈ S.

Definicja 2. Rodzinę A podzbiorów zbioru X nazywamy λ-układem, jeśli spełnione są następujące waruki

(i) X ∈ A. (ii) Jeśli A, B ∈ A i A ⊂ B, to B \ A ∈ A. (iii) Jeśli A_{i} ∈ A dla i = 1, 2, … oraz A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ …, to ⋃ _{i=1}^{∞} A_{i} ∈ A.

Uwaga 3. Rodzina podzbiorów X jest σ-ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest π- i λ-układem.

Twierdzenie 4 (O π- i λ- układach). Jeśli A jest λ-układem zawierającym π-układ S, to A zawiera również σ-ciało σ(S) generowane przez S.

Twierdzenie 5 (Caratheodory’ego o przedłużaniu miary). Załóżmy, że A jest ciałem podzbiorów X, a μ_{0} skończenie addytywną funkcją z A w ℝ_{+} . Wówczas μ_{0} przedłuża się do miary μ na σ-ciele σ(A) wtedy i tylko wtedy, gdy μ_{0} jest ciągła w ∅, tzn

jeśli (A_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ A, A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ … oraz ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = ∅, to lim_{n→∞} μ_{0}(A_{n}) = 0.

(C)

B Dowody wybranych twierdzeń

B.1 Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu

Dowód Twierdzenia 2.8. W dowodzie wykorzystamy twierdzenie Caratheodory’ego o przedłużaniu miary (zob. Twierdzenie A.5). Niech A oznacza algebrę zbiorów cylindrycznych. Dla C = {x: (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ A}, A ∈ B(ℝ^{n}) połóżmy μ_{0}(C) = μ_{t_{1},...,t_{n}} (A). Zauważmy, że

• z warunków zgodności wynika, że μ_{0} jest dobrze zdefiniowane, tzn. μ_{0}(C) nie zależy od wyboru t_{1}, …, t_{n} i A reprezentujących C.

• μ_{0} jest skończenie addytywna. Istotnie jeśli C_{1}, …, C_{k} ∈ A, to można dobrać odpowiednio duży zbiór indeksów t_{1}, …, t_{n} ∈ T taki, że zbiory C_{1}, …, C_{k} zależą tylko od t_{1}, …, t_{n}, tzn.

C_{i} = {x: (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ A_{i}}, A_{i} ∈ B(ℝ^{n}).

Załóżmy, że zbiory zbiory C_{1}, …, C_{k} są rozłączne. Wówczas zbiory A_{1}, …, A_{k} są również rozłączne, a zatem

μ_{0}( ⋃_{i=0}^{k} C_{i}) = μ_{t_{1},...,t_{n}} ( ⋃_{i=0}^{k} A_{i}) = ∑_{i=0}^{k} μ_{t_{1},...,t_{n}} (A_{i}) = ∑_{i=0}^{k} μ_{0}(C_{i}).

By zakończyć dowód musimy wykazać warunek (C) z twierdzenia Caratheodory’ego, czyli

jeśli C_{n} ∈ A, C_{1} ⊃ C_{2} ⊃ …, μ_{0}(C_{n}) ε > 0, to ⋂_{n=1}^{∞} C_{n} ≠ ∅.

Każda miara μ na (ℝ^{n}, B(ℝ^{n})) jest regularna (zob. Twierdzenie A.?), tzn. dla dowolnego A ∈ B(ℝ^{n}),

μ(A) = sup{μ(K): K ⊂ A, K zwarte}.

Zbiory C_{n} są cylindryczne, czyli zależą tylko od skończonego zbioru indeksów. Możemy założyć, że te zbiory indeksów rosną, co więcej (ewentualnie powtarzając zbiory C_{i} lub dodając indeksy) możemy zakładać, że istnieje ciąg t_{1}, t_{2}, … taki, że

C_{n} = {x: (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ A_{n}} dla pewnego A_{n} ∈ B(ℝ^{n}).

Na mocy regularności miary μ_{t_{1},...,t_{n}}, istnieją zbiory zwarte K_{n} ⊂ A_{n} takie, że

μ_{t_{1},...,t_{n}} (A_{n} \ K_{n}) \frac{ε}{2^{n+1}} , n = 1, 2, . . ..

Oznaczając D_{n} = {x : (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ K_{n}}, mamy μ_{0}(C_{n} \ D_{n}) 2^{−n−1} ε. Niech

D̃_{n} = D_{1} ∩ … ∩ D_{n} = {x : (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ K̃_{n}}, gdzie
K̃_{n} = (K_{1} × ℝ^{n−1} ) ∩ (K_{2} × ℝ^{n−2} ) ∩ … ∩ (K_{n−1} × ℝ) ∩ K_{n}.

Ponieważ C_{n} \ D̃_{n} = ⋃ _{k=1}^{n} (C_{n} \ D_{k}) ⊂ ⋃ _{k=1}^{n} (C_{k} \ D_{k}), więc

μ_{0}(C_{n} \ D̃_{n}) ∑_{k=0}^{n} μ_{0}(C_{k} \ D_{k}) ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k−1} ε \frac{ε}{2}.

Zatem μ_{0}(D̃_{n}) μ_{0}(C_{n})−μ_{0}(C_{n}\D̃_{n}) ε− \frac{ε}{2} > 0 i w szczególności D̃_{n} ≠ ∅. Niech x^{(n)} ∈ D̃_{n}, wówczas

(x_{t_{1}}^{(n)}, …, x_{t_{k}}^{(n)}) ∈ K_{k}, k = 1, …, n.

Zbiory K_{k} są zwarte, co implikuje, że dla dowolnego k, ciąg (x_{t_{k}}^{(n)})_{n=1}^{∞} jest ograniczony. Za pomocą metody przekątniowej możemy wybrać podciąg (n_{i}) taki, że lim_{i→∞} x_{t_{k}}^{(n_{i})} = x_{t_{k}}^{∞} dla k = 1, 2, . . .. Ale wówczas, z domkniętości K_{k},

(x_{t_{1}}^{∞} , …, x_{t_{k}}^{∞}) = lim_{n_{i}→∞} (x_{t_{1}}^{(n_{i})}, …, x_{t_{k}}^{(n_{i})}) ∈ K_{k}.

Określmy y ∈ ℝ^{T} wzorem

y_{t} = \{ \begin{matrix}x_{t}^{∞} & dla t ∈ \{t_{1}, t_{2}, …\}, \\ 0 & dla t ∉ \{t_{1}, t_{2}, …\}. \end{matrix}

Wówczas y ∈ ⋂ _{n=1}^{∞} C_{n}, czyli ⋂ _{n=1}^{∞} C_{n} ≠ ∅, co chcieliśmy dowieść.

Wiemy zatem, że na Ω = ℝ^{T} istnieje miara probabilistyczna μ rozszerzająca μ_{0}. Wtedy dla t_{1}, …, t_{n} ∈ T oraz A ∈ B(ℝ^{n}) mamy

μ({x: (x_{t_{1}}, …, x_{t_{n}}) ∈ A}) = μ_{t_{1},...,t_{n}} (A).

Zatem na przestrzeni probabilistycznej (ℝ^{T}, B(ℝ^{T}), μ) wystarczy zdefiniować proces X wzorem X_{t}(x) = x_{t}.

B.2 Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Dowód Twierdzenia 3.14. Ustalmy γ ∈ (0, β/α) i niech

D = {t ∈ [a, b]: t = 2^{−n} k, n = 1, 2, …, k ∈ ℤ}

oznacza zbiór liczb dwójkowo wymiernych z [a, b]. Wówczas

D = ⋃_{n=0}^{∞} D_{n}, gdzie D_{n} = {t ∈ [a, b]: t = 2^{−n} k, k ∈ ℤ}.

Na mocy nierówności Czebyszewa,

ℙ(|X_{t} − X_{s}| ε) ε^{−α} 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{α} Cε^{−α} |t − s|^{1+β} ,

w szczególności

ℙ(|X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} ) C2^{−n(1+β−αγ)} .

Zatem, dla ustalonego n,

ℙ( max_{a \frac{k}{2^{n}} < \frac{k+1}{2^{n}} b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} ) ∑_{a \frac{k}{2^{n}} < \frac{k+1}{2^{n}} b} ℙ(|X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} )
2^{n}(b − a)C2^{−n(1+β−αγ)} = C(b − a)2^{−n(β−αγ)} .

Zdefiniujmy A = lim supA_{n}, gdzie

A_{n} = \{ max_{a 2^{−n} k<2^{−n} (k+1) b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | 2^{−γn} \}.

Nierówność γα < β implikuje, że

∑_{n=1}^{∞} ℙ(A_{n}) ∑_{n=1}^{∞} C(b − a)2^{−n(β−αγ)} < ∞.

zatem, na mocy lematu Borela-Cantelliego, ℙ(A) = 0, czyli ℙ(B) = 1, gdzie

B = Ω\A = \{ω: ∃_{n_{0}(ω)} ∀_{n n_{0}(ω)} ∀_{a 2^{−n} k<2^{−n} (k+1) b} |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} −X_{\frac{k}{2^{n}}} | < 2^{−γn} )\}. Załóżmy, że ω ∈ B, pokażemy wpierw, indukcyjnie po m, że

∀_{n n_{0}(ω)} ∀_{m n} ∀_{s,t∈D_{m}} |s − t| 2^{−n} ⇒ |X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| 2 ∑_{j=n}^{m} 2^{−γj} .  (13)

Dla m = n, jeśli |s − t| 2^{−n} , to możemy przyjąć, że s = \frac{k}{2^{n}} , t = \frac{k+1}{2^{n}} i |X_{s} − X_{t}| = |X_{\frac{k+1}{2^{n}}} − X_{\frac{k}{2^{n}}} | < 2^{−γn} na mocy definicji B.

Załóżmy zatem, że (13) jest udowodnione dla m = n, n + 1, …, M − 1, pokażemy, że zachodzi również dla m = M. Niech s, t ∈ D_{M}, s < t, możemy założyć, że |s − t| > 2^{−M} , bo inaczej działa argument przedstawiony w pierwszym kroku indukcji. Połóżmy

s̃ = min{u ∈ D_{M−1} , u > s}, t̃= max{u ∈ D_{M−1} , u < t},

wówczas s s̃ t̃ t, czyli |s̃ − t̃| |s − t| 2^{−n} . Stąd, wobec założenia indukcyjnego, |Xs̃(ω) − Xt̃(ω)| 2 ∑ _{j=n}^{M−1} 2^{−γj} . Ponadto, |s − s̃| 2^{−M} , |t − t̃| 2^{−M} , czyli

|X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| |Xs̃(ω) − Xt̃(ω)| + |Xs̃(ω) − X_{s}(ω)| + |X_{t}(ω) − Xt̃(ω)|

2 ∑_{j=n}^{M−1} 2^{−γj} + 2^{−γM} + 2^{−γM} = 2 ∑_{j=n}^{M} 2^{−γj} ,

co kończy dowód (13).

Wiemy zatem, że dla ω ∈ B,

s, t ∈ D, |s − t| 2^{−n} , n n_{0}(ω) ⇒ |X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| 2 ∑_{j=n}^{∞} 2^{−γj} = C_{γ}2^{−γn} ,

gdzie C_{γ} jest stałą zależną tylko od γ. Weźmy teraz dowolne s, t ∈ D takie, że |s−t| 2^{−n_{0}(ω)} , wówczas istnieje n n_{0}(ω) spełniające 2^{−n−1} < |s−t| 2^{−n} i

|X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| C_{γ}2^{−γn} 2^{γ}C_{γ}|s − t|^{γ}.

W końcu, dla dowolnych s, t ∈ D, możemy dobrać ciąg s = s_{0} < s_{1} < … < s_{k} = t, k 2^{n_{0}(ω)} (b − a) taki, że s_{i} ∈ D, |s_{i+1} − s_{i}| 2^{−n_{0}(ω)} i otrzymamy

|X_{s}(ω) − X_{t}(ω)| ∑_{i=1}^{k} |X_{s_{i}} (ω) − X_{s_{i+1}} (ω)| ∑_{i=1}^{k} 2^{γ} C̃_{γ}|s_{i} − s_{i−1} |^{γ}
(b − a)2^{n_{0}(ω)} 2^{γ} C̃_{γ}|t − s|^{γ}.

Udowodniliśmy zatem, że dla ω ∈ B, funkcja t → X_{t}(ω) jest hölderowsko ciągła na D, w szczególności jest jednostajnie ciągła i w każdym punkcie z [a, b] ma granicę. Połóżmy

X̃_{t}(ω) = \{ \begin{matrix}lim_{s→t,s∈D} X_{s}(ω) & dla ω ∈ B \\ 0 & dla ω ∉ B. \end{matrix}

Wówczas wszystkie trajektorie X̃ są ciągłe (a nawet hölderowsko ciągłe z wykładnikiem γ). Z nierówności Czebyszewa łatwo wynika, że dla dowolnego ciągu (t_{n}) ⊂ D, zbieżnego do t ∈ [a, b], X_{t_{n}} → X_{t} według prawdopodobieństwa. Z drugiej strony X_{t_{n}} → X̃_{t} p.n., a więc również według prawdopodobieństwa. Z jednoznaczności granicy wynika, że X̃_{t} = X_{t} p.n., czyli proces X̃ jest modyfikacją X.

Na koniec zauważmy, że trajektorie X̃ są hölderowsko ciągłe z wykładnikiem γ, a skoro wiemy, ze wszystkie ciągłe modyfikacje X są nierozróżnialne, to wszystkie ciągłe modyfikacje X mają, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe trajektorie z dowolnym wykładnikiem γ < \frac{α}{β}.

B.3 Rozkład Dooba-Meyera

Proces (M_{t}, F_{t}) jest ciągłym martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy proces (M_{arctgt}, F_{arctgt}) jest ciągłym martyngałem, zatem bez straty ogólności będziemy zakładać, że T < ∞. Przypomnijmy też, że (F_{t})_{0 t T} jest ustaloną filtracją spełniającą zwykłe warunki.

Dla procesu X = (X_{t})_{t∈[0,T]} i podziału Π = (0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = T) odcinka [0, T] określamy proces V_{Π}^{X} = (V_{Π,t}^{X} )_{t∈[0,T]} wzorem

V_{Π,t}^{X} = ∑_{i=0}^{n−1} (X_{t∧t_{i+1}} − X_{t∧t_{i}} )^{2}.

Będziemy też czasem dla wygody pisać V_{Π,t} (X) zamiast V_{Π,t}^{X} .

Idea dowodu twierdzenia Dooba-Meyera polega na wykazaniu, że ⟨M, M⟩ można określić jako granicę V_{Π,t}^{X} przy diam(Π) → 0. Dowód rozbijemy na kilka lematów.

Lemat 1. Dla M ∈ M_{T}^{2,c} proces (M_{t}^{2} − V_{Π,t}^{M})_{t∈[0,T]} jest ciągłym martyngałem.

Dowód. Niech t_{i} s < t t_{i+1} dla pewnego i n − 1. Wówczas

V_{Π,t}^{M} −V_{Π,s}^{M} = (M_{t}−M_{t_{i}})^{2}−(M_{s}−M_{t_{i}})^{2} = (M_{t}−M_{s})^{2}+2(M_{t}−M_{s})(M_{s}−M_{t_{i}}),

stąd

𝔼(V_{Π,t}^{M} − V_{Π,s}^{M} |F_{s}) = 𝔼((M_{t} − M_{s})^{2}|F_{s}) − 2(M_{s} − M_{t_{i}})𝔼((M_{t} − M_{s})|F_{s})
= 𝔼(M_{t}^{2}|F_{s}) − 2M_{s}𝔼(M_{t}|F_{s}) + M_{s}^{2} = 𝔼(M_{t}^{2}|F_{s}) − M_{s}^{2}
= 𝔼(M_{t}^{2} − M_{s}^{2}|F_{s}).

Lemat 2. Załóżmy, że M = (M_{t})_{0 t T} jest ciągłym, jednostajnie ograniczonym martyngałem. Wówczas dla dowolnego podziału Π,

𝔼(V_{Π,t}^{M})^{2} 48 sup_{t}∥M_{t}∥_{∞}^{4} < ∞.

Dowód. Mamy

(V_{Π,t}^{M})^{2}= (∑_{k=1}^{n} (M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{2})^{2}

= ∑_{k=1}^{n} (M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{4} + 2 ∑_{k=1}^{n−1} (M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{2} ∑_{j=k+1}^{n} (M_{t_{j}} − M_{t_{j−1}} )^{2}

= ∑_{k=1}^{n} (M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{4} + 2 ∑_{k=1}^{n−1} (V_{Π,t_{k}}^{M} − V_{Π,t_{k−1}}^{M} )(V_{Π,T}^{M} − V_{Π,t_{k}}^{M} ).

Z poprzedniego lematu mamy 𝔼(V_{Π,T}^{M} − V_{Π,t_{k}}^{M} |F_{t_{k}}) = 𝔼((M_{T} − M_{t_{k}})^{2}|F_{t_{k}}), zatem

𝔼(V_{Π,t}^{M})^{2}= ∑_{k=1}^{n} 𝔼(M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{4} + 2 ∑_{k=1}^{n−1} 𝔼[(V_{Π,t_{k}}^{M} − V_{Π,t_{k−1}}^{M} )(V_{Π,T}^{M} − V_{Π,t_{k}}^{M} )]

= ∑_{k=1}^{n} 𝔼(M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{4} + 2 ∑_{k=1}^{n−1} 𝔼[(V_{Π,t_{k}}^{M} − V_{Π,t_{k−1}}^{M} )(M_{T} − M_{t_{k}})^{2}]

𝔼(max_{k}(M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}} )^{2} + 2 max_{k}(M_{T} − M_{t_{k}})^{2})V_{Π,T}^{M}

12C^{2}𝔼V_{Π,T}^{2} = 12C^{2}𝔼(M_{T} − M_{0})^{2} 48C^{4},

gdzie C = sup_{t} ∥M_{t}∥_{∞} .

Lemat 3. Załóżmy, że M = (M_{t})_{0 t T} jest ciągłym, jednostajnie ograniczonym martyngałem. Wówczas istnieje N ∈ M_{T}^{2,c} taki, że M^{2} − V_{Π}^{M} zbiega do N w M_{T}^{2,c}, gdy diam(Π) → 0.

Dowód. Wystarczy udowodnić zbieżność (przy diam(Π) → 0) M_{T}^{2} − V_{Π,T}^{M} w L_{2}(Ω), czyli zbieżność V_{Π,T}^{M} w L_{2}(Ω).

Niech Π i Π′ będą podziałami [0, T], zaś ΠΠ′ podziałem wyznaczonym przez wszystkie punkty z Π i Π′. Na mocy Lematu 1 proces X = V_{Π}^{M} − V_{Π′}^{M} jest martyngałem, więc

𝔼|V_{Π,T}^{M} − V_{Π′,T}^{M} |^{2} = 𝔼(X_{T}^{2} − X_{0}^{2}) = 𝔼V_{ΠΠ′,T} (X),

gdzie ostatnia równość wynika stąd, że X^{2} − V_{ΠΠ′} (X) jest martyngałem (znów stosujemy Lemat 1). Ponieważ (x + y)^{2} 2(x^{2} + y^{2}), więc

V_{ΠΠ′,T} (X) 2(V_{ΠΠ′,T} (V_{Π}^{M}) + V_{ΠΠ′,T} (V_{Π′}^{M}).

Wystarczy więc udowodnić, że

𝔼V_{ΠΠ′,T} (V_{Π}^{M}) → 0, jeśli diam(Π) + diam(Π′) → 0.  (14)

Załóżmy, że s_{k} i s_{k+1} są kolejnymi punktami podziału ΠΠ′, a t_{l}, t_{l+1} kolejnymi punktami z Π takimi, że t_{l} s_{k} < s_{k+1} t_{l+1} , wówczas

V_{Π′,s_{k+1}}^{M} − V_{Π′,s_{k}}^{M} = (M_{s_{k+1}} − M_{t_{l}})^{2} − (M_{s_{k}} − M_{t_{l}})^{2}
= (M_{s_{k+1}} − M_{s_{k}})(M_{s_{k+1}} − M_{s_{k}} + 2M_{t_{l}}).

Stąd

V_{ΠΠ′,T} (V_{Π′}^{M}) max_{k}|M_{s_{k+1}} − M_{s_{k}} + 2M_{t_{l}}|^{2}V_{ΠΠ′,T}^{M}

i z nierówności Schwarza

𝔼V_{ΠΠ′,T} (V_{Π′}^{M}) (𝔼 max_{k}|M_{s_{k+1}} − M_{s_{k}} + 2M_{t_{l}}|^{4})^{1/2}(𝔼(V_{ΠΠ′,T}^{M} )^{2})^{1/2}.

Pierwszy składnik dąży do zera, gdy diam(Π) + diam(Π′) → 0 na mocy ciągłości i ograniczoności M (stosujemy twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmiajoryzowanej), drugi na mocy poprzedniego lematu jest ograniczony przez wielkość zależną tylko od M. Zatem spełnione jest (14).

Dowód Twierdzenia 8.1. Przypomnijmy, że zakładamy iż T < ∞.

Przypadek I Martyngał M jest jednostajnie ograniczony.

Niech Y = M^{2} − N, gdzie N jest procesem zadanym przez Lemat 3. Wówczas M^{2} − Y jest ciągłym martyngałem oraz dla t T, Y_{t} jest granicą w L_{2}(Ω) zmiennych V_{Π,t}^{M} przy diam(Π) → 0, stąd Y_{0} = 0 p.n.. Ustalmy s < t T i niech Π_{n} będzie ciągiem podziałów [0, T] zawierających punkty t i s o średnicy dążącej do zera. Przechodząc do podciągów możemy zakładać, że V_{Π_{n} ,t}^{M} → Y_{t} i V_{Π_{n} ,s}^{M} → Y_{s} p.n., ale V_{Π_{n} ,s} Π_{n}, t, więc Y_{t} Y_{s} p.n.. Z ciągłości Y ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie niemalejące, czyli Y jest szukanym procesem ⟨M⟩.

Przypadek II M ∈ M_{T}^{2,c} i M_{0} = 0.

Wybierzmy ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ T taki, że M^{τ_{n}} jest jednostajnie ograniczonym martyngałem (np. τ_{n} := inf{t 0: |M_{t}| n} ∧ T). Niech Y_{n} = ⟨M^{τ_{n}}⟩ oraz N_{n} = |M^{τ_{n}}|^{2} − Y_{n}. Ponieważ dla m n, Y_{m}^{τ_{n}} = ⟨M^{τ_{m}} ⟩^{τ_{n}} = ⟨(M^{τ_{m}})^{τ_{n}}⟩ = Y_{n}, więc da się określić taki proces ciągły (Y_{t})_{0 t<T} , że Y^{τ_{n}} = Y_{n} p.n.. Wówczas Y_{t} = Y_{n,t} dla t τ_{n}, więc Y jest niemalejący i Y_{0} = 0. Zauważmy, że 𝔼Y_{t}^{2} = 𝔼(M_{t}^{τ_{n}})^{2} 𝔼M_{T}^{2}, więc z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej Y_{T} := lim_{t→T} Y_{t} istnieje i jest całkowalne. Widzimy, że N_{n,t} → M_{t}^{2} − Y_{t}^{2} p.n. dla t T. Ponadto na mocy nierówności Dooba

𝔼 sup_{n}N_{n,t} 𝔼 sup_{n}(M_{t}^{τ_{n}})^{2} + 𝔼Y_{n,t} 4𝔼M_{T}^{2} + 𝔼M_{T}^{2} < ∞,

zatem (N_{n,t})_{n} jest jednostajnie całkowalny, czyli N_{n,t} zbiega w L_{1}, więc X^{2} − Y^{2} jest martyngałem, czyli Y = ⟨M⟩.

Przypadek III M ∈ M_{T}^{2,c} dowolne.

Wówczas M − M_{0} ∈ M_{T}^{2,c}, na mocy przypadku II istnieje ⟨M − M_{0}⟩. Ale M^{2}−⟨M −M_{0}⟩ = (M −M_{0})^{2}−⟨M −M_{0}⟩+2M_{0}M −M_{0}^{2} jest martyngałem, zatem ⟨M⟩ = ⟨M − M_{0}⟩.

Literatura

[1] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.

[2] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom III, PWN, Warszawa 1985.

[3] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd II, Script, Warszawa 2001

[4] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.

[5] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976.