Kolokwium ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa I 17 grudnia 2011

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa I). Za każde zadanie można dostać 10 punktów.

1. Znajdź funkcję f: [0, ∞) → [0, ∞) taką, że (∫_{0}^{f(t)} u^{2}dW_{u})_{t 0} jest procesem Wienera.

2. Proces (X_{t})_{t∈[0,3]} jest gaussowski i ma niezależne przyrosty. Ponadto 𝔼X_{t} = 0 oraz Var(X_{t}) = \sqrt{t^{2} + 4} .

a) Znajdź rozkład zmiennej X_{t} − X_{s} dla 0 s < t.

b) Wykaż, że proces X ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

3. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{2W_{s}}dW_{s} dla t 0. Oblicz 𝔼(M_{t}), Var(M_{t}) oraz Cov(M_{t}, M_{s}) dla 0 s t.

4. Niech

τ_{a} = inf{t > 0: W_{t} + at = 5}.

a) Wykaż,że ℙ(τ_{a} < ∞) = 1 dla a 0.

b) Oblicz 𝔼τ_{a} dla a 0.

5. Martyngał (M_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe i spełnia warunek

sup_{t 0}𝔼|M_{t}| ln^{3}(e + |M_{t}|) < ∞.

Wykaż, że M_{t} jest zbieżny prawie na pewno i w L_{1} przy t → ∞.

6. Znajdź wszystkie funkcje f i g takie, że (2W_{t}^{3}−W_{t}^{2}+f(t)W_{t}+g(t))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez W.

Kolokwium ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa II 17 grudnia 2011

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa II). Za każde zadanie można dostać 10 punktów.

1. Znajdź funkcję f: [0, ∞) → [0, ∞) taką, że (∫_{0}^{f(t)} \sqrt{u}dW_{u})_{t 0} jest procesem Wienera.

2. Proces (X_{t})_{t∈[0,2]} jest gaussowski i ma niezależne przyrosty. Ponadto 𝔼X_{t} = 0 oraz Var(X_{t}) = \sqrt{2t^{2} + 1} .

a) Znajdź rozkład zmiennej X_{t} − X_{s} dla 0 s < t.

b) Wykaż, że proces X ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

3. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−3W_{s}} dW_{s} dla t 0. Oblicz 𝔼(M_{t}), Var(M_{t}) oraz Cov(M_{t}, M_{s}) dla 0 s t.

4. Niech

τ_{a} = inf{t > 0: W_{t} + at = 2}.

a) Wykaż,że ℙ(τ_{a} < ∞) = 1 dla a 0.

b) Oblicz 𝔼τ_{a} dla a 0.

5. Martyngał (M_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe i spełnia warunek

sup_{t 0}𝔼|M_{t}| ln^{2}(e + |M_{t}|) < ∞.

Wykaż, że M_{t} jest zbieżny prawie na pewno i w L_{1} przy t → ∞.

6. Znajdź wszystkie funkcje f i g takie, że (W_{t}^{3}+2W_{t}^{2}+f(t)W_{t}+g(t))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez W.