Kolokwium ze Wstępu do Analizy Stochastycznej gr.I, 25 kwietnia 2014

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać pełne rozwiązanie każdego z nich na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa I). Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10, poza podpunktem iii) zadania 2 za który można dostać dodatkowe 5 punktów. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Scentrowany proces gaussowski (X_{t})_{t 0} ma niezależne przyrosty, ponadto 𝔼X_{t}^{2} = e^{3t}.

i) Wykaż, że istnieje modyfikacja Y procesu X o ciągłych trajektoriach. ii) Znajdź funkcję f taką, że Y_{f(t)} − Y_{0} jest procesem Wienera.

2. i) Znajdź funkcję g na [0, ∞) taką, że M_{t} = exp(∫_{0}^{t} s^{5} dW_{s} −g(t)), t 0 jest martyngałem. ii) Czy M jest zbieżny przy prawie na pewno? iii*) Czy M jest zbieżny w L^{1}?

3. Proces (X_{t})_{t 0} ma prawostronnie ciągłe trajektorie, X_{0} = 0 oraz dla każdego t > s, X_{t} − X_{s} ma rozkład Poissona (z parametrem zależnym od t i s). Wykaż, że proces X_{t} ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie monotoniczne przyjmujące tylko wartości całkowite.

4. Niech M_{t} := ∫_{0}^{t} \sqrt{2W_{s}^{2} + 3} dW_{s}, 0 t < ∞. Wykaż, że M jest martyngałem o ciągłych trajektoriach. Znajdź wartość średnią i kowariancję M.

5. Dla jakich α ∈ ℝ proces

X_{t} = \frac{W_{t}}{\sqrt{t}(lnln(t + 10))^{α}}

jest zbieżny do zera przy t → ∞

i) wg prawdopodobieństwa, ii) w L^{1}, iii) prawie na pewno?

6. Dla a 0 określmy

τ_{a} := inf\{t 0: |W_{t}| = \sqrt{at + 5} \}.

i) Wykaż, że τ_{a} < ∞ p.n. ii) Oblicz 𝔼τ_{a}.

Kolokwium ze Wstępu do Analizy Stochastycznej gr.II, 25 kwietnia 2014

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać pełne rozwiązanie każdego z nich na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa II). Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10, poza podpunktem iii) zadania 2 za który można dostać dodatkowe 5 punktów. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Scentrowany proces gaussowski (X_{t})_{t 0} ma niezależne przyrosty, ponadto 𝔼X_{t}^{2} = e^{5t}.

i) Wykaż, że istnieje modyfikacja Y procesu X o ciągłych trajektoriach. ii) Znajdź funkcję f taką, że Y_{f(t)} − Y_{0} jest procesem Wienera.

2. i) Znajdź funkcję g na [0, ∞) taką, że M_{t} = exp(∫_{0}^{t} s^{4} dW_{s} −g(t)), t 0 jest martyngałem. ii) Czy M jest zbieżny prawie na pewno? iii*) Czy M jest zbieżny w L^{1}?

3. Proces (X_{t})_{t 0} ma prawostronnie ciągłe trajektorie, X_{0} = 0 oraz dla każdego t > s, X_{t} − X_{s} ma rozkład Poissona (z parametrem zależnym od t i s). Wykaż, że proces X_{t} ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie monotoniczne przyjmujące tylko wartości całkowite.

4. Niech M_{t} := ∫_{0}^{t} \sqrt{3W_{s}^{2} + 2} dW_{s}, 0 t < ∞. Wykaż, że M jest martyngałem o ciągłych trajektoriach. Znajdź wartość średnią i kowariancję M.

5. Dla jakich α ∈ ℝ proces

X_{t} = \frac{W_{t}}{\sqrt{t}(lnln(t + 10))^{α}}

jest zbieżny do zera przy t → ∞

i) wg prawdopodobieństwa, ii) w L^{1}, iii) prawie na pewno?

6. Dla a 0 określmy

τ_{a} := inf\{t 0: |W_{t}| = \sqrt{at + 7} \}.

i) Wykaż, że τ_{a} < ∞ p.n. ii) Oblicz 𝔼τ_{a}.