Kartkówka 4 gr.I, 13 maja 2002

1. Dla jakich liczb rzeczywistych a istnieje jednorodna rodzina Markowa z dwuelementową przestrzenią stanów i macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}4 + ae^{−t} & 3 − ae^{−t} \\ 4 − 4e^{−t} & 3 + 4e^{−t} \end{matrix} ) ?

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera.

a) Czy (tW_{t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Czy dla każdej funkcji ciągłej f : ℝ → ℝ, (f(W_{t}))_{t 0} musi być procesem Markowa? Odpowiedź krótko uzasadnij.

Kartkówka 4 gr.II, 13 maja 2002

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera.

a) Czy (\frac{W_{t}}{1+t} )_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Czy dla każdej funkcji ciągłej f : ℝ → ℝ, (f(W_{t}))_{t 0} musi być procesem Markowa? Odpowiedź krótko uzasadnij.

2. Dla jakich liczb rzeczywistych a istnieje jednorodna rodzina Markowa z dwuelementową przestrzenią stanów i macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 + 2e^{−5t} & 2 − 2e^{−5t} \\ 3 + ae^{−5t} & 2 − ae^{−5t} \end{matrix} ) ?