Kartkówka 3 gr.I, 22 kwietnia 2002

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem 4, zaś F_{t} = σ(N_{s} : s t). Znajdź funkcję f taką, że (e^{2N_{t}−f(t)} , F_{t})_{t 0} jest martyngałem.

2. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 0, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ p.n. oraz (X_{t}^{3}, F_{t}^{X} ) jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a ∈ ℝ.

a) Wykaż, że dla a, b > 0 zachodzi P(τ_{a} < τ_{−b} ) = \frac{b^{3}}{a^{3} +b^{3}} . b)* Wybierzmy a ≠ 0, czy proces (X_{τ_{a} ∧t}^{3} )_{t 0} jest zbieżny prawie na pewno dla t → ∞? Czy jest zbieżny w L^{1}?

Kartkówka 3 gr.II, 22 kwietnia 2002

1. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 0, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ p.n. oraz (X_{t}^{5}, F_{t}^{X} ) jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a ∈ ℝ.

a) Wykaż, że dla a, b > 0 zachodzi P(τ_{a} < τ_{−b} ) = \frac{b^{5}}{a^{5} +b^{5}} . b)* Wybierzmy a ≠ 0, czy proces (X_{τ_{a} ∧t}^{5} )_{t 0} jest zbieżny prawie na pewno dla t → ∞? Czy jest zbieżny w L^{1}?

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem 2, zaś F_{t} = σ(N_{s} : s t). Znajdź funkcję f taką, że (e^{f(t)−N_{t}} , F_{t})_{t 0} jest martyngałem.