KARTKÓWKA 2 grupa I , 30 marca 2000

1. Załóżmy, że (X_{t})_{t∈[0,1]} jest procesem gaussowskim o średniej zero takim, że V (X_{t} − X_{s}) ≤ C|t − s|^{1/3} dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] i pewnej stałej C < ∞

a) wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} posiada modyfikacjȩ o cia̧głych trajektoriach b*) co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

2. Niech N_{t} bȩdzie procesem Poissona z parametrem (intensywnościa̧) λ > 0. Wykaż, że dla dowolnych cia̧gów a_{n}, b_{n} rosna̧cych do nieskończoności

P (lim sup_{n→∞} \frac{N_{a_{n}}}{b_{n}} < ∞) jest równe 0 lub 1

KARTKÓWKA 2 grupa II 30 marca 2000

1. Niech W_{t} bȩdzie procesem Wienera, zaś a_{n}, b_{n} cia̧gami rosna̧cymi takimi, że lim_{n→∞} = ∞. Udowodnij, że

P (lim sup_{n→∞} \frac{W_{a_{n}}}{b_{n}} < ∞) jest równe 0 lub 1

2. Załóżmy, że (X_{t})_{t∈[0,1]} jest procesem gaussowskim o średniej zero takim, że V (X_{t} − X_{s}) ≤ 15|t − s|^{1/4} dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] i pewnej stałej C < ∞

a) wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} posiada modyfikacjȩ o cia̧głych trajektoriach b*) co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?