Kartkówka 2 gr.I, 21 marca 2002

1. τ_{1}, τ_{2}, τ_{3} sa̧ momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 1} . Które z następujących zmiennych muszą wówczas być momentami zatrzymania: τ_{1} + 1, τ_{1} − 1, min(max(τ_{1}, τ_{2}), τ_{3})?

2. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 10 ^{3} \sqrt{|t − s|} .

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach. b*) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

Kartkówka 2 gr.II, 25 marca 2002

1. (X_{t})_{t∈[0,2]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że

Var(X_{t} − X_{s}) C ^{5} \sqrt{|t − s|}

dla wszystkich t, s ∈ [0, 2] i pewnej stałej C < ∞.

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,2]} ma modyfikację (Y_{t})_{t∈[0,2]} o ciągłych trajektoriach. b*) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii (Y_{t})_{t∈[0,2]} ?

2. σ_{1}, σ_{2}, … sa̧ momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które z następujących zmiennych muszą wówczas być momentami zatrzymania: σ_{1} − 2, min(σ_{1} + 1, 2), sup{σ_{i} : i = 1, 2, …}?