Kartkówka 1 gr.I, 4 marca 2002

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Oblicz P(W_{t_{1}} W_{t_{2}} … W_{t_{n}} ) dla 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{n}. b*) Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na [a, b]) = 0.

2. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,1]}

A_{1} = {x : sup{|nx_{1/n} | : n = 1, 2, …} < ∞},
A_{2} = {x : sup{|tx_{t}| : t ∈ [0, 1]} < ∞}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]})? Czy zbiory A_{i}∩C[0, 1] należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]}) ∩ C[0, 1]? Odpowiedź uzasadnij.

Kartkówka 1 gr.II, 4 marca 2002

1. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,∞)}

A_{1} = {x : sup{|x_{t}| : t ∈ [0, ∞)} < ∞},
A_{2} = {x : sup{|x_{n}| : n = 1, 2, …} < ∞}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} )? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, 1] należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} ) ∩ C[0, 1]? Odpowiedź uzasadnij.

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Oblicz P(W_{t_{1}} W_{t_{2}} … W_{t_{n}} ) dla 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{n}. b*) Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na [a, b]) = 0.