KARTKÓWKA 1 grupa I , 9 marca 2000

1. Które z poniższych zbiorów należa̧ do σ-ciała cylindrycznego F^{T} dla T = [0, ∞)?

a) A = {f : [0, ∞) → R : sup_{x∈Q∩[0,∞)} |f(x + 1) − f(x)| ≤ 1}

b) B = {f : [0, ∞) → R : sup_{x∈[0,∞)} |f(x + 1) − f(x)| ≤ 1},

gdzie Q oznacza zbiór liczb wymiernych.

2. Niech X_{t} = N_{t} − λt gdzie N_{t} jest procesem Poissona z parametrem (intensywnościa̧) λ > 0.

a) Wykaż, że EX_{t} = 0, Cov(X_{t}, X_{s}) = λ min(t, s) dla s, t ≥ 0

b) Dla λ = 1 proces X_{t} ma takie same funkcje wartości średniej i kowariancji co proces Wienera W_{t}. Czy to znaczy, że oba te procesy maja̧ te same rozkłady?

KARTKÓWKA 1 grupa II 9 marca 2000

1. Niech X_{t} = \frac{1}{λ}N_{t} − t gdzie N_{t} jest procesem Poissona z parametrem (intensywnościa̧) λ > 0.

a) Wykaż, że EX_{t} = 0, Cov(X_{t}, X_{s}) = \frac{1}{λ} min(t, s) dla s, t ≥ 0

b) Dla λ = 1 proces X_{t} ma takie same funkcje wartości średniej i kowariancji co proces Wienera W_{t}. Czy to znaczy, że oba te procesy maja̧ te same rozkłady?

2. Które z poniższych zbiorów należa̧ do σ-ciała cylindrycznego F^{T} dla T = [0, 1]?

a) A = {f : [0, 1] → R : sup_{x∈[0,1} |x^{2}f(x)| ≤ 1}

b) B = {f : [0, 1] → R : sup_{x∈Q∩[0,1]} |x^{2}f(x)| ≤ 1},

gdzie Q oznacza zbiór liczb wymiernych.