KARTKÓWKA 3 grupa I , 11 maja 2000

1. Niech N_{t} bȩdzie procesem Poissona z intensywnościa̧ 2 oraz F_{s} = σ(N_{t} : 0 ≤ t ≤ s). Udowodnij, że (N_{t}^{2} − 4tN_{t} + 4t^{2} − 2t, F_{t})_{t≥0} jest martyngałem.

2. Niech W_{t} bȩdzie procesem Wienera startuja̧cym z zera. Czy W_{t} +t jest procesem Markowa, jeśli tak to znajdź prawdopodobieństwa przejścia dla tego procesu.

KARTKÓWKA 3 grupa II 11 maja 2000

1. Niech W_{t} bȩdzie procesem Wienera startuja̧cym z zera. Czy tW_{t} jest procesem Markowa, jeśli tak to znajdź prawdopodobieństwa przejścia dla tego procesu.

2. Niech N_{t} bȩdzie procesem Poissona z intensywnościa̧ 1 oraz F_{s} = σ(N_{t} : 0 ≤ t ≤ s). Udowodnij, że (N_{t}^{2} −2tN_{t} +t^{2} −t, F_{t})_{t≥0} jest martyngałem.