Kartkówka 4 gr.1, 24 maja 2010

1. Znajdź funkcje b i σ takie, że proces X_{s} = arctg(3W_{t} − t) spełnia

równanie

dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt.

2. Znajdź taki ciągły proces A o wahaniu ograniczonym na każdym przedziale skończonym, żeby (sin(2W_{t})−A_{t})_{t 0} był martyngałem oraz A_{0} = 0. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie?

3* Załóżmy, że X ∈ Λ_{∞}^{2} jest taki, że 𝔼 ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2}ds = ∞. Wykaż, że

𝔼 sup_{t}( ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} = ∞.

Kartkówka 4 gr.2, 24 maja 2010

1. Znajdź taki ciągły proces A o wahaniu ograniczonym na każdym przedziale skończonym, żeby (cos(3W_{t})−A_{t})_{t 0} był martyngałem oraz A_{0} = 0. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie?

2. Znajdź funkcje b i σ takie, że proces X_{s} = arctg(2W_{t} + 3t) spełnia

równanie

dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt.

3* Załóżmy, że X ∈ Λ_{∞}^{2} jest taki, że 𝔼 ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2}ds = ∞. Wykaż, że

𝔼 sup_{t}( ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} = ∞.

1. Proces X spełnia równanie stochastyczne

dX_{t} = \frac{1}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}^{1} + \frac{X_{t}}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}^{2}, X_{0} = 0,

Wykaż, że X_{t} jest procesem Wienera.

2. Proces X spełnia równanie stochastyczne

dX_{t} = cos(X_{t})dt + sin(X_{t})dW_{t}.

Znajdź równanie stochastyczne spełnione przez proces exp(3X_{t} + 2t).

3* Załóżmy, że funkcje b, σ: ℝ → ℝ są lipschitzowskie na każdym przedziale skończonym. Wykaż, że równanie X_{0} = 0, dX_{t} = b(X_{t})dt+σ(X_{t})dW_{t} ma conajwyżej jedno rozwiązanie.

Kartkówka 4 gr.2, 25 maja 2010

1. Proces X spełnia równanie stochastyczne

dX_{t} = sin(X_{t})dt + cos(X_{t})dW_{t}.

Znajdź równanie stochastyczne spełnione przez proces exp(2X_{t} − 3t).

2. Proces X spełnia równanie stochastyczne

dX_{t} = \frac{X_{t}}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}^{1} + \frac{1}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}^{2}, X_{0} = 0,

Wykaż, że X_{t} jest procesem Wienera.

3* Załóżmy, że funkcje b, σ: ℝ → ℝ są lipschitzowskie na każdym przedziale skończonym. Wykaż, że równanie X_{0} = 0, dX_{t} = b(X_{t})dt+σ(X_{t})dW_{t} ma conajwyżej jedno rozwiązanie.