Kartkówka 4 gr.I, 30 maja 2006

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy (e^{t}W_{2t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to wyznacz funkcję przejścia. Czy jest to proces jednorodny?

2. Dla jakich liczb rzeczywistych a, b, c istnieje jednorodna rodzina Markowa z dwuelementową przestrzenią stanów i macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{10} ( \begin{matrix}3 + ae^{−t} & b + ce^{−t} \\ 3 − 3e^{−t} & 7 + 3e^{−t} \end{matrix} ) ?

3* Funkcja przejścia procesu Markowa X_{t} spełnia P_{s,t}(x, A) = P_{s,t}(−x, A) dla dowolnego x ∈ ℝ oraz zbioru A ⊂ ℝ takiego, że A = −A. Wykaż, że |X_{t}| jest procesem Markowa.

Kartkówka 4 gr.II, 30 maja 2006

1. Dla jakich liczb rzeczywistych a, b, c istnieje jednorodna rodzina Markowa z dwuelementową przestrzenią stanów i macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{10} ( \begin{matrix}1 + ae^{−2t} & b + ce^{−2t} \\ 1 − e^{−2t} & 9 + e^{−2t} \end{matrix} ) ?

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy (e^{−2t} W_{t/2})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to wyznacz funkcję przejścia. Czy jest to proces jednorodny?

3* Funkcja przejścia procesu Markowa X_{t} spełnia P_{s,t}(x, A) = P_{s,t}(−x, A) dla dowolnego x ∈ ℝ oraz zbioru A ⊂ ℝ takiego, że A = −A. Wykaż, że |X_{t}| jest procesem Markowa.

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy (\frac{W_{t+1}}{t+1} )_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to wyznacz funkcję przejścia. Czy jest to proces jednorodny?

2. Niech Q będzie macierzą stochastyczną n × n, a N_{t} procesem Poissona z parametrem 2. Czy istnieje proces Markowa o macierzy przejścia

P^{t} := ∑_{k=0}^{∞} Q^{k}P(N_{t} = k)?

3* Funkcja przejścia procesu Markowa X_{t} spełnia P_{s,t}(x, A) = P_{s,t}(−x, A) dla dowolnego x ∈ ℝ oraz zbioru A ⊂ ℝ takiego, że A = −A. Wykaż, że |X_{t}| jest procesem Markowa.

Kartkówka 4 gr.II, 30 maja 2006

1. Niech Q będzie macierzą stochastyczną n × n, a N_{t} procesem Poissona z parametrem 3. Czy istnieje proces Markowa o macierzy przejścia

P^{t} := ∑_{k=0}^{∞} Q^{k}P(N_{t} = k)?

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy (t^{2}W_{t/2})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to wyznacz funkcję przejścia. Czy jest to proces jednorodny?

3* Funkcja przejścia procesu Markowa X_{t} spełnia P_{s,t}(x, A) = P_{s,t}(−x, A) dla dowolnego x ∈ ℝ oraz zbioru A ⊂ ℝ takiego, że A = −A. Wykaż, że |X_{t}| jest procesem Markowa.