Kartkówka 4 gr.I, 12 maja 2003

1. a) Niech (W_{t}) będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy proces (e^{−5t} W_{2t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Załóżmy, że X_{t} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{t} taką, że dla Γ ⊂ ℝ symetrycznych (tzn. −Γ = Γ), P_{t}(x, Γ) = P_{t}(−x, Γ) dla wszystkich x. Wykaż, że wówczas |X_{t}| też jest procesem Markowa.

2. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b takie, że na dwuelementowej przestrzeni stanów istnieje jednorodna rodzina Markowa z macierzami przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}4 + ae^{−3t} & 3 + be^{−3t} \\ 4 − 4e^{−3t} & 3 + 4e^{−3t} \end{matrix} ) .

Kartkówka 4 gr.II, 12 maja 2003

1. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b takie, że na dwuelementowej przestrzeni stanów istnieje jednorodna rodzina Markowa z macierzami przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}3 + ae^{−2t} & 4 + be^{−2t} \\ 3 − 3e^{−2t} & 4 + 3e^{−2t} \end{matrix} ) .

2. a) Niech (W_{t}) będzie procesem Wienera startującym z zera. Czy proces (e^{2t}W_{5t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Załóżmy, że X_{t} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{t} taką, że dla Γ ⊂ ℝ symetrycznych (tzn. −Γ = Γ), P_{t}(x, Γ) = P_{t}(−x, Γ) dla wszystkich x. Wykaż, że wówczas |X_{t}| też jest procesem Markowa.

1. Niech (W_{t}) będzie procesem Wienera startującym z zera.

a) Czy proces (\sqrt{t}W_{t/2})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Czy proces W_{t}^{2} jest procesem Markowa? Odpowiedź uzasadnij.

2. Załóżmy, że Q jest stochastyczną macierzą n × n, a N_{t} procesem Poissona z parametrem 2. Wykaż, że istnieje rodzina Markowa na n elementowej przestrzeni stanów z macierzami przejścia

P^{t} := EQ^{N_{t}} = ∑_{k=0}^{∞} Q^{k}P(N_{t} = k).

Kartkówka 4 gr.II, 13 maja 2003

1. Załóżmy, że Q jest stochastyczną macierzą n × n, a N_{t} procesem Poissona z parametrem 1. Wykaż, że istnieje rodzina Markowa na n elementowej przestrzeni stanów z macierzami przejścia

P^{t} := EQ^{2N_{t}} = ∑_{k=0}^{∞} Q^{2k}P(N_{t} = k).

2. Niech (W_{t}) będzie procesem Wienera startującym z zera.

a) Czy proces (\frac{1}{\sqrt{1+t}} W_{3t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to wyznacz funkcję przejścia. b)* Czy proces W_{t}^{2} jest procesem Markowa? Odpowiedź uzasadnij.