Kartkówka 4 gr I, 22 stycznia 2007

1. Niech B będzie procesem Wienera na (Ω, F, P). Znajdź miarę probabilistyczną Q dla której W_{t} = B_{t}−∫_{0}^{t} sin(B_{s}+s)ds jest procesem Wienera na [0, 5]. Wypisz równanie stochastyczne, którego słabym rozwiązaniem (na przestrzeni (Ω, F, Q)) jest (B, W).

2. a) Czy istnieje proces o wahaniu ograniczonym A = (A_{t})_{t 0} taki, że M_{t} = |W_{t} − 1| − A_{t} jest martyngałem lokalnym na [0, ∞)? Jeśli tak, to ile wynosi ⟨M⟩_{t}? b*) Czy proces |W_{t} − 1|^{3/2} jest semimartyngałem?

Kartkówka 4 gr II, 22 stycznia 2007

1. a) Czy istnieje proces o wahaniu ograniczonym A = (A_{t})_{t 0} taki, że M_{t} = |W_{t} + 2| − A_{t} jest martyngałem lokalnym na [0, ∞)? Jeśli tak, to ile wynosi ⟨M⟩_{t}? b*) Czy proces |W_{t} + 2|^{3/2} jest semimartyngałem?

2. Niech B będzie procesem Wienera na (Ω, F, P). Znajdź miarę probabilistyczną Q dla której W_{t} = B_{t} − ∫_{0}^{t} cos(sB_{s})ds jest procesem Wienera na [0, 2]. Wypisz równanie stochstyczne, którego słabym rozwiązaniem (na przestrzeni (Ω, F, Q)) jest (B, W).