Kartkówka 3 gr.1, 13 maja 2014

1. Wykaż, że ciąg X_{n} = ∑ _{k=1}^{5n} ( W_{k/n} − W_{(k−1)/n} ) ∫_{(k−1)/n}^{k/n} W_{t}^{2}dW_{t} jest

zbieżny w L^{1} i znajdź jego granicę.

2. Określmy M_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{W_{s}^{2} + 2}dW_{s} oraz N_{t} = ∫_{0}^{t} W_{s}dM_{s}. Wykaż, że M_{t} i N_{t} są ciągłymi martyngałami. Oblicz 𝔼M_{t}^{2}.

3* Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem adaptowalnym o ciągłych trajektoriach oraz zachodzi 𝔼 sup_{t>0} (∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} < ∞. Wykaż, że 𝔼 ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2}ds < ∞.

Kartkówka 3 gr.2, 13 maja 2014

1. Określmy M_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{2W_{s}^{2} + 1}dW_{s} oraz N_{t} = ∫_{0}^{t} W_{s}dM_{s}. Wykaż, że M_{t} i N_{t} są ciągłymi martyngałami. Oblicz 𝔼M_{t}^{2}.

2. Wykaż, że ciąg X_{n} = ∑ _{k=1}^{3n} ( W_{k/n}−W_{(k−1)/n} ) ∫_{(k−1)/n}^{k/n} W_{t}dW_{t} jest zbież-

ny w L^{1} i znajdź jego granicę.

3* Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem adaptowalnym o ciągłych trajektoriach oraz zachodzi 𝔼 sup_{t>0} (∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} < ∞. Wykaż, że 𝔼 ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2}ds < ∞.