Kartkówka 3 gr.1, 9 stycznia 2012

1. Niech M_{t} = W_{t}^{2} − t oraz N_{t} = ∫_{0}^{t} W_{s}^{4}dW_{s}. Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{2n} M_{tk/n}(N_{tk/n} − N_{t(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i przedstaw jego granicę w jak najprostszej postaci.

2. Znajdź proces (A_{t})_{t 0} , którego trajektorie mają wahanie ograniczone na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces X_{t} = sin(2W_{t} − 3t) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Wykaż, że X_{t} jest martyngałem oraz 𝔼X_{t}^{2} 4t.

3* Ciągły martyngał lokalny (M_{t})_{t 0} spełnia lim_{t→∞} ⟨M⟩_{t} = ∞ p.n.. Niech τ := inf{t 0: ⟨M⟩_{t} = 1}. Wykaż, że 𝔼(M_{τ} − M_{0})^{2} = 1.

Kartkówka 3 gr.2, 9 stycznia 2012

1. Znajdź proces (A_{t})_{t 0} , którego trajektorie mają wahanie ograniczone na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces X_{t} = cos(3W_{t} − 2t) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Wykaż, że X_{t} jest martyngałem oraz 𝔼(X_{t} − 1)^{2} 9t.

2. Niech M_{t} = W_{t}^{2} − t oraz N_{t} = ∫_{0}^{t} W_{s}^{3}dW_{s}. Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{5n} M_{tk/n}(N_{tk/n} − N_{t(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i przedstaw jego granicę w jak najprostszej postaci.

3* Ciągły martyngał lokalny (M_{t})_{t 0} spełnia lim_{t→∞} ⟨M⟩_{t} = ∞ p.n.. Niech τ := inf{t 0: ⟨M⟩_{t} = 1}. Wykaż, że 𝔼(M_{τ} − M_{0})^{2} = 1.