Kartkówka 3 gr.1, 4 maja 2010

1. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{5(u−t)} dW_{u}. Znajdź rozkład X_{t} i oblicz Cov(X_{t}, X_{s}) dla s t 0.

2. Załóżmy, że M = (M_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} |M_{t}| = ∞. Określmy τ := inf{t: |M_{t}| = 10}. Wykaż, że M^{τ} ∈ M_{∞}^{2,c}, 𝔼M_{τ} = 0 oraz 100 = 𝔼M_{τ}^{2} = 𝔼⟨M⟩_{τ}.

3* Niech M i N będą ograniczonymi martyngałami ciągłymi. Wykaż, że ∑ _{k=1}^{n} M_{k/n}(N_{k.n} − N_{(k−1)/n} ) zbiega w L^{2} do ∫_{0}^{1} MdN + ⟨M, N⟩_{1}.

Kartkówka 3 gr.1, 4 maja 2010

1. Załóżmy, że M = (M_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} |M_{t}| = ∞. Określmy τ := inf{t: |M_{t}| = 5}. Wykaż, że M^{τ} ∈ M_{∞}^{2,c}, 𝔼M_{τ} = 0 oraz 25 = 𝔼M_{τ}^{2} = 𝔼⟨M⟩_{τ}.

2. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{3(u−t)} dW_{u}. Znajdź rozkład X_{t} i oblicz Cov(X_{t}, X_{s}) dla t s 0.

3* Niech M i N będą ograniczonymi martyngałami ciągłymi. Wykaż, że ∑ _{k=1}^{n} M_{k/n}(N_{k.n} − N_{(k−1)/n} ) zbiega w L^{2} do ∫_{0}^{1} MdN + ⟨M, N⟩_{1}.

1. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{5W_{u}}dW_{u}, oblicz 𝔼X_{t} oraz Cov(X_{t}, X_{s}) dla s t 0.

2. Niech τ := inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 2} \}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz oblicz ∫_{0}^{τ} W_{t}dW_{t}.

3* Załóżmy, że M jest całkowalnym martyngałem lokalnym takim, że 𝔼 sup_{t}(M_{t})_{+} < ∞. Udowodnij, że M jest podmartyngałem.

Kartkówka 3 gr.2, 5 maja 2010

1. Niech τ := inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 5} \}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz oblicz ∫_{0}^{τ} W_{t}dW_{t}.

2. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{2W_{u}}dW_{u}, oblicz 𝔼X_{t} oraz Cov(X_{t}, X_{s}) dla t s 0.

3* Załóżmy, że M jest całkowalnym martyngałem lokalnym takim, że 𝔼 sup_{t}(M_{t})_{+} < ∞. Udowodnij, że M jest podmartyngałem.