Kartkówka 3 gr.1, 27 maja 2008

1. Czy proces (W_{2t}^{3})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to znajdź funkcję przejścia.

2. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c, d takie, że na dwuelementowej przestrzeni stanów istnieje jednorodna rodzina Markowa z macierzami przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}a + be^{−3t} & c + de^{−3t} \\ 4 − 4e^{−3t} & 3 + 4e^{−3t} \end{matrix} ) .

3* Załóżmy, że X_{t} jest jednorodnym procesem Markowa z funkcją przejścia P_{t} taką, że dla Γ ⊂ ℝ symetrycznych (tzn. −Γ = Γ), P_{t}(x, Γ) = P_{t}(−x, Γ) dla wszystkich x. Wykaż, że wówczas X_{t}^{2} też jest procesem Markowa.

Kartkówka 3 gr.2, 27 maja 2008

1. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c, d takie, że na dwuelementowej przestrzeni stanów istnieje jednorodna rodzina Markowa z macierzami przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}4 + 3e^{−5t} & 3 − 3e^{−5t} \\ a + be^{−5t} & c + de^{−5t} \end{matrix} ) .

2. Czy proces (W_{t/2}^{5})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak, to znajdź funkcję przejścia.

3* Załóżmy, że X_{t} jest jednorodnym procesem Markowa z funkcją przejścia P_{t} taką, że dla Γ ⊂ ℝ symetrycznych (tzn. −Γ = Γ), P_{t}(x, Γ) = P_{t}(−x, Γ) dla wszystkich x. Wykaż, że wówczas X_{t}^{2} też jest procesem Markowa.