Kartkówka 3 gr.I, 9 maja 2006

1. Proces M = (M_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} M_{t} = ∞. Ponadto (exp(M_{t}−t^{2}), F_{t})_{t 0} jest martyngałem. Oblicz E exp(−τ^{2}), gdzie τ := inf{t > 0: M_{t} = 2}.

2. N_{s}^{(1)} i N_{s}^{(2)} są niezależnymi procesami Poissona z intensywnością 2 oraz F_{t} = σ(N_{s}^{(i)} : s t, i = 1, 2). Czy istnieją takie a, b, że ((N_{t}^{(1)} − at)(N_{t}^{(2)} − bt), F_{t}) jest martyngałem?

3* Dla jakich α ∈ ℝ istnieje p.n. granica lim_{n→∞} \frac{|W_{t}|}{N_{t}^{α}}? (W jest procesem Wienera, a N procesem Poissona z parametrem 1.)

Kartkówka 3 gr.II, 9 maja 2006

1. N_{s}^{(1)} i N_{s}^{(2)} są niezależnymi procesami Poissona z intensywnością 5 oraz F_{t} = σ(N_{s}^{(i)} : s t, i = 1, 2). Czy istnieją takie a, b, że ((N_{t}^{(1)} − at)(N_{t}^{(2)} − bt), F_{s}) jest martyngałem?

2. Proces M = (M_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} M_{t} = ∞. Ponadto (exp(2M_{t}−t^{2}), F_{t})_{t 0} jest martyngałem. Oblicz E exp(−τ^{2}), gdzie τ := inf{t > 0: M_{t} = 3}.

3* Dla jakich α ∈ ℝ istnieje p.n. granica lim_{n→∞} \frac{|W_{t}|}{N_{t}^{α}}? (W jest procesem Wienera, a N procesem Poissona z parametrem 1.)

1. Proces M = (M_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} M_{t} = ∞. Ponadto (M_{t}^{2} − 2t^{2}, F_{t})_{t 0} jest martyngałem. Oblicz Eτ^{2}, gdzie τ := inf{t > 0: |M_{t}| = 3}.

2. Proces (X_{t})_{t 0} jest scentrowany, ma przyrosty niezależne oraz Var(X(t)) = t^{4}. Znajdź funkcję f taką, że X_{t}^{2} − f(t) jest martyngałem względem filtarcji F_{t} := σ(X_{s}: s t).

3* Dla jakich α ∈ ℝ istnieje p.n. granica lim_{n→∞} \frac{|W_{t}|}{N_{t}^{α}}? (W jest procesem Wienera, a N procesem Poissona z parametrem 1.)

Kartkówka 3 gr.II, 9 maja 2006

1. Proces (X_{t})_{t 0} jest scentrowany, ma przyrosty niezależne oraz Var(X(t)) = e^{t}. Znajdź funkcję f taką, że X_{t}^{2} − f(t) jest martyngałem względem filtarcji F_{t} := σ(X_{s}: s t).

2. Proces M = (M_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie M_{0} = 0 oraz lim sup_{t→∞} M_{t} = ∞. Ponadto (M_{t}^{2} − 4t^{2}, F_{t})_{t 0} jest martyngałem. Oblicz Eτ^{2}, gdzie τ := inf{t > 0: |M_{t}| = 1}.

3* Dla jakich α ∈ ℝ istnieje p.n. granica lim_{n→∞} \frac{|W_{t}|}{N_{t}^{α}}? (W jest procesem Wienera, a N procesem Poissona z parametrem 1.)