Kartkówka 3 gr.I, 7 kwietnia 2003

1. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem o przyrostach niezależnych i funkcji kowariancji K(t, s). Znajdź funkcje f(t) taką, że (3X_{t}^{2} + 2X_{t} − f(t), F_{t}^{X})_{t∈[0,1]} jest martyngałem.

2. Zmienne σ_{1}, σ_{2}, …są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . a) Które ze zmiennych (σ_{1} ∧ σ_{2}) ∨ σ_{3}, σ_{1} + 2, (σ_{1} ∨ 2) − 1, σ_{1}^{3} muszą być momentami zatrzymania? b)* Wykaż, że zmienna σ_{1} + σ_{2} jest momentem zatrzymania względem danej filtracji.

Kartkówka 3 gr.II, 7 kwietnia 2003

1. Zmienne σ_{1}, σ_{2}, …są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . a) Które ze zmiennych max(σ_{1}, σ_{2}, …), σ_{1}+3, σ_{1}∨(σ_{2}−1), σ_{1}^{2}+1 muszą być momentami zatrzymania? b)* Wykaż, że zmienna σ_{1} + σ_{2} jest momentem zatrzymania względem danej filtracji.

2. (X_{t})_{t 0} jest scentrowanym procesem o przyrostach niezależnych i funkcji kowariancji K(t, s). Znajdź funkcje f(t) taką, że (2X_{t}^{2} + 5X_{t} + f(t), F_{t}^{X})_{t 0} jest martyngałem.

1. a) Niech N_{t} będzie procesem Poissona z intensywnością 2. Znajdź taką funkcję f(t), że (e^{5N_{t}+f(t)} , F_{t}^{N}) jest martyngałem. b)* Czy powyższy martyngał jest zbieżny p.n.? Czy jest zbieżny w L^{1}?

2. Niech W_{t} będzie procesem Wienera, N_{t} procesem Poissona z intensywnością 2, zaś α liczbą rzeczywistą. Znajdź

lim sup_{t→∞} \frac{|W_{t}|}{t^{α}} i lim sup_{t→∞} \frac{|N_{t}|}{t^{α}}.

Kartkówka 3 gr.II, 8 kwietnia 2003

1. Niech W_{t} będzie procesem Wienera, N_{t} procesem Poissona z intensywnością 5, zaś α liczbą rzeczywistą. Znajdź

lim sup_{t→∞}t^{α}|W_{t}| i lim sup_{t→∞}t^{α}|N_{t}|.

2. a) Niech N_{t} będzie procesem Poissona z intensywnością 5. Znajdź taką funkcję f(t), że (e^{2N_{t}−f(t)} , F_{t}^{N}) jest martyngałem. b)* Czy powyższy martyngał jest zbieżny p.n.? Czy jest zbieżny w L^{1}?