Kartkówka 3 gr I, 18 grudnia 2006

1. Znajdź funkcje b i σ takie, że proces X_{t} := tg(2W_{t} + 3t) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt.

2. Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, W_{t}^{(2)}, W_{t}^{(3)}) będzie trójwymiarowym procesem Wienera oraz

Y_{t} := ∫_{0}^{t} sin(W_{s}^{(1)})dW_{s}^{(2)} + ∫_{0}^{t} cos(W_{s}^{(1)})dW_{s}^{(3)}.

Ile wynosi ⟨Y ⟩? Co można powiedzieć o procesie Y?

3* Niech X_{t} = X_{0} + A_{t} + M_{t} będzie semimartyngałem ciągłym (A ∈ V^{c}, M ∈ M_{loc}^{c}). Wykaż, że

∑_{i=1}^{n} |X_{\frac{ti}{n}} − X_{\frac{t(i−1)}{n}} |^{2} → ⟨M⟩_{t}

według prawdopodobieństwa przy n → ∞.

Kartkówka 3 gr II, 18 grudnia 2006

1. Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, W_{t}^{(2)}, W_{t}^{(3)}) będzie trójwymiarowym procesem Wienera oraz

Y_{t} := ∫_{0}^{t} cos(W_{s}^{(3)})dW_{s}^{(1)} + ∫_{0}^{t} sin(W_{s}^{(3)})dW_{s}^{(2)}.

Ile wynosi ⟨Y ⟩? Co można powiedzieć o procesie Y?

2. Znajdź funkcje b i σ takie, że proces X_{t} := tg(3W_{t} + 2t) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt.

3* Niech X_{t} = X_{0} + A_{t} + M_{t} będzie semimartyngałem ciągłym (A ∈ V^{c}, M ∈ M_{loc}^{c}). Wykaż, że

∑_{i=1}^{n} |X_{\frac{ti}{n}} − X_{\frac{t(i−1)}{n}} |^{2} → ⟨M⟩_{t}

według prawdopodobieństwa przy n → ∞.