Kartkówka 2 gr.1, 8 kwietnia 2014

1. Określmy τ := inf{t > 0: W_{t}^{2} − t = 5}. Wykaż, że τ < ∞ p.n., ale 𝔼τ = ∞.

2. Proces X_{t} ma skończoną wariancję, przyrosty niezależne oraz średnią zero. Wykaż, że proces (3(X_{t} − 2)^{2} − 3Var(X_{t}))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X.

3* Udowodnij, że lim sup_{n→∞} \frac{W_{n+1} −W_{n}}{\sqrt{2 log n}} = 1 p.n.

Kartkówka 2 gr.2, 8 kwietnia 2014

1. Proces X_{t} ma skończoną wariancję, przyrosty niezależne oraz średnią zero. Wykaż, że proces (2(X_{t} − 3)^{2} − 2Var(X_{t}))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X.

2. Określmy τ := inf{t > 0: W_{t}^{2} − t = 7}. Wykaż, że τ < ∞ p.n., ale 𝔼τ = ∞.

3* Udowodnij, że lim sup_{n→∞} \frac{W_{n+1} −W_{n}}{\sqrt{2 log n}} = 1 p.n.