Kartkówka 2 gr.1, 5 grudnia 2011

1. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o wartościach dodatnich, ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 1, lim sup_{t→∞} X_{t} = ∞ p.n. oraz X_{t}^{4} jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a > 0.

Uzasadnij, że dla a > 1 > b > 0 zachodzi ℙ(τ_{a} < τ_{b}) = \frac{1−b^{4}}{a^{4}−b^{4}} .

2. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} u^{3}dW_{u}. Znajdź rozkład X_{t} i oblicz Cov(X_{t}, X_{s}) dla s t 0.

3* Niech τ := inf{t 1: W_{t} = 0}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. i oblicz 𝔼τ.

Kartkówka 2 gr.2, 5 grudnia 2011

1. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} u^{4}dW_{u}. Znajdź rozkład X_{t} i oblicz Cov(X_{t}, X_{s}) dla s t 0.

2. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o wartościach dodatnich, ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 1, lim sup_{t→∞} X_{t} = ∞ p.n. oraz X_{t}^{3} jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a > 0.

Uzasadnij, że dla a > 1 > b > 0 zachodzi ℙ(τ_{a} < τ_{b}) = \frac{1−b^{3}}{a^{3}−b^{3}} .

3* Niech τ := inf{t 1: W_{t} = 0}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. i oblicz 𝔼τ.