Kartkówka 2 gr.1, 30 marca 2010

1. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 0, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ p.n. oraz X_{t}^{5} jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a ∈ ℝ.

Uzasadnij, że dla a, b > 0 zachodzi P(τ_{a} < τ_{−b}) = \frac{b^{5}}{a^{5}+b^{5}} .

2. Proces X_{t} ma skończoną wariancję, przyrosty niezależne oraz średnią zero. Wykaż, że proces (X_{t}^{2}+3X_{t}−Var(X_{t}))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X.

3* Udowodnij, że lim sup_{n→∞} \frac{W_{n+1} −W_{n}}{\sqrt{2 log n}} = 1 p.n.

Kartkówka 2 gr.2, 30 marca 2010

1. Proces X_{t} ma skończoną wariancję, przyrosty niezależne oraz średnią zero. Wykaż, że proces (2X_{t}^{2} + X_{t} − 2Var(X_{t}))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X.

2. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest procesem o wartościach dodatnich, ciągłych trajektoriach takim, że X_{0} = 1, lim sup_{t→∞} X_{t} = ∞ p.n. oraz lnX_{t} jest martyngałem. Określmy

τ_{a} = inf{t 0 : X_{t} = a} dla a > 0.

Uzasadnij, że dla a > 1 > b > 0 zachodzi P(τ_{a} < τ_{b}) = \frac{− ln b}{ln a−ln b} .

3* Udowodnij, że lim sup_{n→∞} \frac{W_{n+1} −W_{n}}{\sqrt{2 log n}} = 1 p.n..

1. Proces (X_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe, X_{0} = 1, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ oraz (X_{t}^{2} − 3t^{6})_{t 0} jest martyngałem. Niech τ := inf{t > 0: |X_{t}| = 4}. Znajdź 𝔼τ^{6}.

2. Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, W_{t}^{(2)}) będzie dwuwymiarowym procesem Wienera. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c takie, że (a|W_{t}^{(1)}|^{2} + bW_{t}^{(1)}W_{t}^{(2)} + c|W_{t}^{(2)}|^{2})_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez W.

3* Załóżmy, że M = (M_{t})_{t 0} jest martyngałem względem pewnej filtracji o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wykaż, że M jest martyngałem względem F_{t+}^{M}.

Kartkówka 2 gr.2, 31 marca 2010

1. Niech W_{t} = (W_{t}^{(1)}, W_{t}^{(2)}) będzie dwuwymiarowym procesem Wienera. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c takie, że (a|W_{t}^{(1)}|^{2} + b|W_{t}^{(2)}|^{2} + cW_{t}^{(1)}W_{t}^{(2)})_{t 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez W.

2. Proces (X_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe, X_{0} = −2, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ oraz (X_{t}^{2} − 3t^{4})_{t 0} jest martyngałem. Niech τ := inf{t > 0: |X_{t}| = 5}. Znajdź 𝔼τ^{4}.

3* Załóżmy, że M = (M_{t})_{t 0} jest martyngałem względem pewnej filtracji o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wykaż, że M jest martyngałem względem F_{t+}^{M}.