Kartkówka 2 gr.1, 29 kwietnia 2008

1. Scentrowany proces gaussowski (G_{t})_{t 0} ma funkcje kowariancji równą e^{min{s,t}}.

a) Wykaż, że (G_{t}, F_{t}^{G})_{t 0} jest martyngałem.

b) Czy istnieje funkcja f taka, że (G_{t}^{2}−f(t), F_{t}^{G})_{t 0} jest martyngałem?

2. Proces (X_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe, X_{0} = 0, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ oraz (X_{t}^{2} − 2t^{4})_{t 0} jest martyngałem. Niech τ := inf{t > 0: |X_{t}| = 4}. Znajdź 𝔼τ^{4}.

3* Wykaż, że a) ℙ(W_{t}^{2} = t + 1 dla nieskończenie wielut ∈ ℝ_{+} ) = 1,

b) ℙ(W_{t}^{2} = t + 1 dla pewnego t ∈ ℚ_{+} ) = 0.

Kartkówka 2 gr.2, 29 kwietnia 2008

1. Proces (X_{t})_{t 0} ma trajektorie ciągłe, X_{0} = 0, lim sup_{t→∞} |X_{t}| = ∞ oraz (2X_{t}^{2} − t^{4})_{t 0} jest martyngałem. Niech τ := inf{t > 0: |X_{t}| = 3}. Znajdź 𝔼τ^{4}.

2. Scentrowany proces gaussowski (G_{t})_{t 0} ma funkcje kowariancji równą e^{min{s^{2},t^{2}}}.

a) Wykaż, że (G_{t}, F_{t}^{G})_{t 0} jest martyngałem.

b) Czy istnieje funkcja f taka, że (G_{t}^{2}−f(t), F_{t}^{G})_{t 0} jest martyngałem?

3* Wykaż, że a) ℙ(W_{t}^{2} = t + 1 dla nieskończenie wielut ∈ ℝ_{+} ) = 1,

b) ℙ(W_{t}^{2} = t + 1 dla pewnego t ∈ ℚ_{+} ) = 0.