Kartkówka 2 gr.I, 4 kwietnia 2006

1. Proces (X_{t})_{t 0} ma średnią zero i przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = \sqrt{1 + t}. Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X_{t} − t.

2. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 3|t − s|^{2/5}.

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

b) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji? c*) Dla jakich p 1, X_{t} jest ciągły w L^{p}?

Kartkówka 2 gr.II, 4 kwietnia 2006

1. (X_{t})_{t∈[2,4]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [2, 4] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 2|t − s|^{3/7}.

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[2,4]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

b) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji? c*) Dla jakich p 1, X_{t} jest ciągły w L^{p}?

2. Proces (X_{t})_{t 0} ma średnią zero i przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = e^{t}. Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X_{t} − t.

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością λ, a X_{t} = \frac{N_{t}}{λ} − t.

a) Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X.

b) Dla λ = 1 funkcja kowariancji i wartości średniej procesu X są takie same jak dla procesu Wienera. Czy oznacza to, że oba procesy mają takie same rozkłady? Odpowiedź uzasadnij.

2. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 2|t − s|^{2/7}.

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

b) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji? c*) Dla jakich p 1, X jest ciągły w L^{p}?

Kartkówka 2 gr.II, 4 kwietnia 2006

1. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 5|t − s|^{3/8}.

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

b) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji? c*) Dla jakich p 1, X jest ciągły w L^{p}?

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością λ, a X_{t} = N_{t} − λt.

a) Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X.

b) Dla λ = 1 funkcja kowariancji i wartości średniej procesu X są takie same jak dla procesu Wienera. Czy oznacza to, że oba procesy mają takie same rozkłady? Odpowiedź uzasadnij.