Kartkówka 2 gr.I, 17 marca 2003

1. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 5 ^{3} \sqrt{|t − s|} .

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach. b*) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością λ, a X_{t} = N_{t} − λt.

a) Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X

b) Dla λ = 1 funkcja kowariancji i wartości średniej procesu X są takie same jak dla procesu Wienera. Czy oznacza to, że oba procesy mają takie same rozkłady? Odpowiedź uzasadnij.

Kartkówka 2 gr.II, 17 marca 2003

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością λ, a X_{t} = \frac{N_{t}}{λ} − t.

a) Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X

b) Dla λ = 1 funkcja kowariancji i wartości średniej procesu X są takie same jak dla procesu Wienera. Czy oznacza to, że oba procesy mają takie same rozkłady? Odpowiedź uzasadnij.

2. (X_{t})_{t∈[0,1]} jest scentrowanym procesem gaussowskim takim, że dla wszystkich t, s ∈ [0, 1] zachodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 2\sqrt{|t − s|} .

a) Wykaż, że (X_{t})_{t∈[0,1]} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach. b*) Co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii tej modyfikacji?

1. Proces (X_{t})_{t 0} ma średnią zero i przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = t^{3}. Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X_{t} − t.

2. Załóżmy, że (G_{t})_{t 0} jest scentrowanym procesem gaussowskim a) Które z następujących procesów są również gaussowkie G_{t}^{2}, t^{2}G_{5t}, G_{t+2} + G_{t} − 2G_{t−1} , e^{G_{t}}? b*) Wykaż, że dla dowolnego p > 2, G_{t} jest ciągły w L^{2} wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły w L^{p}.

Kartkówka 2 gr.II, 18 marca 2003

1. Załóżmy, że (Y_{t})_{t 0} jest procesem gaussowskim o średniej zero a) Które z następujących procesów są również gaussowkie Y_{2t}−Y_{1}, |Y_{5t}|, tY_{t} + Y_{t^{2}}, sin(Y_{t})? b*) Wykaż, że dla dowolnego p > 2, Y_{t} jest ciągły w L^{2} wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły w L^{p}.

2. Proces (X_{t})_{t 0} jest scentrowany, ma przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = t^{2} + t. Znajdź funkcję kowariancji i wartości średniej procesu X_{t} − 2t.