Kartkówka 2 gr I, 20 listopada 2006

1. Niech τ := inf{t > 0: ∫_{0}^{t} W_{s}^{6} ds = 4} oraz X := ∫_{0}^{τ} W_{s}^{3} dW_{s}. Oblicz EX oraz EX^{2}.

2. Czy istnieje funkcja f taka, że proces

Y_{t} := ( ∫_{0}^{t} e^{W_{s}}dW_{s}) ( ∫_{0}^{t} e^{−W_{s}} dW_{s}) − f(t)

jest martyngałem? Odpowiedź uzasadnij.

3* Załóżmy, że X ∈ Λ_{∞}^{2} jest taki, że E ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2} ds = ∞. Wykaż, że

E sup_{t}( ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} = ∞.

Kartkówka 2 gr II, 20 listopada 2006

1. Czy istnieje funkcja f taka, że proces

Y_{t} := ( ∫_{0}^{t} 2^{W_{s}}dW_{s}) ( ∫_{0}^{t} 2^{−W_{s}} dW_{s}) − f(t)

jest martyngałem? Odpowiedź uzasadnij.

2. Niech τ := inf{t > 0: ∫_{0}^{t} W_{s}^{8} ds = 5} oraz X := ∫_{0}^{τ} W_{s}^{4} dW_{s}. Oblicz EX oraz EX^{2}.

3* Załóżmy, że X ∈ Λ_{∞}^{2} jest taki, że E ∫_{0}^{∞} X_{s}^{2}ds = ∞. Wykaż, że

E sup_{t}( ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s})^{2} = ∞.