Kartkówka 1 gr.1, 18 marca 2014

1. Proces (X_{t})_{t∈[1,2]} jest gaussowski, scentrowany oraz Var(X_{t} − X_{s}) 2|t − s|^{1/3}. Udowodnij, że X ma modyfikację ciągłą.

2. Wyznacz wszystkie liczby a i b dla których zmienne aW_{1} − 3W_{5} oraz W_{3} + bW_{4} są niezależne.

3* Oblicz ℙ(ciąg (W_{n})_{n=0}^{∞} jest malejący od pewnego miejsca).

Kartkówka 1 gr.2, 18 marca 2014

1. Wyznacz wszystkie liczby a i b dla których zmienne W_{1} + aW_{6} oraz bW_{3} − W_{5} są niezależne.

2. Proces (X_{t})_{t∈[2,3]} jest gaussowski, scentrowany oraz Var(X_{t} − X_{s}) 3|t − s|^{1/2}. Udowodnij, że X ma modyfikację ciągłą.

3* Oblicz ℙ(ciąg (W_{n})_{n=0}^{∞} jest malejący od pewnego miejsca).