Kartkówka 1 gr.1, 7 listopada 2011

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera. Znajdź wszystkie liczby a > 0 i b, c ∈ ℝ takie, że (b(2 + t)W_{a/(2+t)} − cW_{a/2})_{t 0} jest procesem Wienera.

2. Proces (X_{t})_{t∈[0,2]} jest gaussowski, ma średnią zero oraz Var(X_{t}− X_{s}) 10(t − s)^{1/5}. Wykaż, że proces X ma modyfikację ciągłą. Co można powiedzieć o hölderowskości jego trajektorii?

3* Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale, tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na[a, b]) = 0.

Kartkówka 1 gr.2, 7 listopada 2011

1. Proces (X_{t})_{t∈[1,4]} jest gaussowski, ma średnią zero oraz Var(X_{t}− X_{s}) 4(t − s)^{1/6}. Wykaż, że proces X ma modyfikację ciągłą. Co można powiedzieć o hölderowskości jego trajektorii?

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera. Znajdź wszystkie liczby a > 0 i b, c ∈ ℝ takie, że (b(1 + t)W_{2a/(1+t)} − cW_{2a})_{t 0} jest procesem Wienera.

3* Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale, tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na[a, b]) = 0.