Kartkówka 1 gr.1, 9 marca 2010

1. Niech (F_{t})_{t 0} będzie filtracją, zaś τ zmienną losową o wartościach w [0, ∞]. Wykaż, że τ jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t+} )_{t 0} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t > 0, {τ < t} ∈ F_{t}.

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera. Znajdź wszystkie liczby a > 0 i b, c ∈ ℝ takie, że (b(1 + 2t)W_{a/(1+2t)} − cW_{a})_{t 0} jest procesem Wienera.

3* Udowodnij, że zbiór miejsc zerowych procesu Wienera Z = {t 0 : W_{t} = 0} jest nieograniczony z prawdopodobieństwem 1.

Kartkówka 1 gr.2, 9 marca 2010

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera. Znajdź wszystkie liczby a > 0 i b, c ∈ ℝ takie, że (b(2 + t)W_{a/(2+t)} − cW_{a/2})_{t 0} jest procesem Wienera.

2. Niech (F_{t})_{t 1} będzie filtracją, zaś τ zmienną losową o wartościach w [1, ∞]. Wykaż, że τ jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t+} )_{t 1} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t > 1, {τ < t} ∈ F_{t}.

3* Udowodnij, że zbiór miejsc zerowych procesu Wienera Z = {t 0 : W_{t} = 0} jest nieograniczony z prawdopodobieństwem 1.

1. Proces (X_{t})_{1 t 2} jest gaussowski o średniej zero taki, że Var(X_{t}−X_{s}) = |\sqrt{t}− \sqrt{s}|. Czy proces X ma ciągłą modyfikację?

2. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,1]}:

A_{1} = {x: sup{|nx_{1/n}| : n = 1, 2, …} < ∞},
A_{2} = \{x: sup\{|\frac{1}{t}x_{t}| : t ∈ (0, 1]\} < ∞\}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]})? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, 1] należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]}) ∩ C[0, 1]? Odpowiedź uzasadnij.

3* Wykaż, że P(lim sup_{t→∞} t^{−1/2} (W_{2t} − W_{t}) = ∞) = 1.

Kartkówka 1 gr.2, 10 marca 2010

1. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[1,∞)} :

A_{1} = {x: sup{|tx_{t}| : t ∈ [1, ∞)} < ∞},
A_{2} = {x: sup{|nx_{n}| : n = 1, 2, …} < ∞}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[1,∞)} )? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, 1] należą do sigma ciała B(ℝ^{[1,∞)} )∩C[1, ∞)? Odpowiedź uzasadnij.

2. Proces (X_{t})_{0 t 1} jest gaussowski o średniej zero taki, że Var(X_{t}−X_{s}) = |t^{3} − s^{3}|. Czy proces X ma ciągłą modyfikację?

3* Wykaż, że P(lim sup_{t→∞} t^{−1/2} (W_{2t} − W_{t}) = ∞) = 1.