Kartkówka 1 gr.1, 1 kwietnia 2008

1. Niech N będzie procesem Poissona z parametrem λ, a W_{t} procesem Wienera. Jaki rozkład mają zmienne losowe N_{1} − N_{3} + N_{4} oraz 2W_{1} − 3W_{2} + W_{5}?

2. Proces X = (X_{t})_{0 t 2} jest gaussowski, scentrowany, ma przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = t^{2}.

a) Oblicz 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{2}

b) Czy X ma modyfikację ciągłą?

3* Wykaż, że ℙ(ciąg (W_{n})_{n=0}^{∞} jest malejący od pewnego miejsca) = 0.

Kartkówka 1 gr.2, 1 kwietnia 2008

1. Proces X = (X_{t})_{1 t 2} jest gaussowski, scentrowany, ma przyrosty niezależne oraz Var(X_{t}) = \sqrt{t}.

a) Oblicz 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{2}

b) Czy X ma modyfikację ciągłą?

2. Niech N będzie procesem Poissona z parametrem λ, a W_{t} procesem Wienera. Jaki rozkład mają zmienne losowe N_{2} − N_{3} + N_{6} oraz W_{1} − 4W_{2} + 3W_{4}?

3* Wykaż, że ℙ(ciąg (W_{n})_{n=0}^{∞} jest malejący od pewnego miejsca) = 0.