Kartkówka 1 gr.I, 14 marca 2006

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością 5 a) Oblicz P(0 < N_{1} < N_{3} N_{4}).

b) Jaki rozkład ma zmienna N_{2} + N_{4} − N_{3}?

2. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,∞)}

A_{1} = {x: sup{|n(x_{n} − x_{n−1} )|: n = 1, 2, …} < ∞},
A_{2} = {x: sup{|t(x_{t} − x_{t−1} )|: t ∈ [1, ∞)} < ∞}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} )? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, ∞) należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} )∩C[0, ∞)? Odpowiedź uzasadnij.

3* Dla jakich α > 0 ciąg S_{n} = ∑ _{k=1}^{2^{n}} |W_{k2^{−n}} − W_{(k−1)2^{−n}} |^{α} jest zbieżny prawie na pewno? Ile wynosi jego granica?

Kartkówka 1 gr.II, 14 marca 2006

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością 2 a) Oblicz P(1 < N_{2} N_{3} < N_{4}).

b) Jaki rozkład ma zmienna N_{4} + N_{7} − N_{6}?

2. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[1,∞]}

A_{1} = {x: inf{|x_{n}/n|: n = 1, 2, …} > 0},
A_{2} = {x: inf{|x_{t}/t|: t ∈ [1, ∞)} > 0}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[1,∞)} )? Czy zbiory A_{i} ∩ C[1, ∞) należą do sigma ciała B(ℝ^{[1,∞)} )∩C[1, ∞)? Odpowiedź uzasadnij.

3* Dla jakich α > 0 ciąg S_{n} = ∑ _{k=1}^{2^{n}} |W_{k2^{−n}} − W_{(k−1)2^{−n}} |^{α} jest zbieżny prawie na pewno? Ile wynosi jego granica?

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Podaj łączną gęstość zmiennej (W_{1}, W_{3}).

b) Jaki rozkład ma zmienna 2W_{2} + W_{5} − W_{3}?

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem λ. Które z następujących procesów też są procesami Poissona: a) N_{3t}, b) N_{t^{2}} c) 2N_{t},

d) N_{t+2} − N_{2}? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj parametr procesu, w przeciwny przypadku napisz jaki warunek definicji procesu Poissona nie jest spełniony.

3* Dla jakich α > 0 ciąg S_{n} = ∑ _{k=1}^{2^{n}} |W_{k2^{−n}} − W_{(k−1)2^{−n}} |^{α} jest zbieżny prawie na pewno? Ile wynosi jego granica?

Kartkówka 1 gr.II, 14 marca 2006

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Jaki rozkład ma zmienna W_{1} + 2W_{3} − 2W_{2}? b) Podaj łączną gęstość zmiennej (W_{3}, W_{5}).

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem λ. Które z następujących procesów też są procesami Poissona: a) N_{t^{3}}, b) 3N_{t} c) N_{4t},

d) N_{t+4} − N_{2}? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj parametr procesu, w przeciwny przypadku napisz jaki warunek definicji procesu Poissona nie jest spełniony.

3* Dla jakich α > 0 ciąg S_{n} = ∑ _{k=1}^{2^{n}} |W_{k2^{−n}} − W_{(k−1)2^{−n}} |^{α} jest zbieżny prawie na pewno? Ile wynosi jego granica?