Kartkówka 1 gr.I, 24 lutego 2003

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem 2 a) Oblicz P(N_{1} = 2, N_{2} = 3) oraz P(0 < N_{1} < N_{2}) b*) Znajdź rozkład zmiennej losowej X = inf{t 0: N_{t} = 3}

2. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,1]}

A_{1} = {x : sup{|nx_{1/n}| : n = 1, 2, …} < ∞},

A_{2} = \{x : sup\{|\frac{1}{t}x_{t}| : t ∈ [0, 1]\} < ∞\}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]})? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, 1] należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,1]}) ∩ C[0, 1]? Odpowiedź uzasadnij.

Kartkówka 1 gr.II, 24 lutego 2003

1. Rozpatrzmy następujące podzbiory ℝ^{[0,∞)}

A_{1} = \{x : sup\{|\sqrt{t}x_{t}| : t ∈ [0, ∞)\} < ∞\},
A_{2} = \{x : sup\{|\sqrt{n}x_{n}| : n = 1, 2, …\} < ∞\}.

Które ze zbiorów A_{i} należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} )? Czy zbiory A_{i} ∩ C[0, ∞) należą do sigma ciała B(ℝ^{[0,∞)} )∩C[0, ∞)? Odpowiedź uzasadnij.

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem 1/2 a) Oblicz P(N_{2} = 1, N_{4} = 3) oraz P(0 < N_{2} < N_{4}) b*) Znajdź rozkład zmiennej losowej X = inf{t 0: N_{t} = 3}.

1. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem λ. Które z następujących procesów też są procesami Poissona: a) N_{3t}, b) 3N_{t} c) N_{t^{3}},

d) N_{t+3} − N_{3}? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj parametr procesu, w przeciwny przypadku napisz jaki warunek definicji procesu Poissona nie jest spełniony.

2. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Oblicz P(W_{t_{1}} W_{t_{2}} … W_{t_{n}}) dla 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{n}. b*) Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na[a, b]) = 0.

Kartkówka 1 gr.II, 25 lutego 2003

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera a) Oblicz P(W_{t_{1}} W_{t_{2}} … W_{t_{n}}) dla 0 t_{1} < t_{2} < … < t_{n}. b*) Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są niemonotoniczne na każdym przedziale tzn.

P(∃_{0 a<b} t → W_{t} monotoniczne na[a, b]) = 0.

2. Niech (N_{t})_{t 0} będzie procesem Poissona z parametrem λ. Które z następujących procesów też są procesami Poissona: a) N_{t^{2}}, b) N_{2t} c) 2N_{t},

d) N_{t+2} − N_{2}? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj parametr procesu, w przeciwny przypadku napisz jaki warunek definicji procesu Poissona nie jest spełniony.