Kartkówka 1 gr I, 30 października 2006

1. Niech X_{t} := ∫_{0}^{t} \sqrt{|W_{s}| + 2}dW_{s}. Oblicz wartość oczekiwaną i funkcję

kowariancji procesu X. (Uwaga: E|g| = \sqrt{2/π} dla g ∼ N (0, 1)).

2. a) Oblicz ∫_{0}^{τ} W_{t}dW_{t}, gdzie τ := inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 2} \}.

b*) Uzasadnij, że τ < ∞ p.n. Ile wynosi Eτ?

Kartkówka 1 gr II, 30 października 2006

1. Niech X_{t} := ∫_{0}^{t} \sqrt{|W_{s}| + 1}dW_{s}. Oblicz wartość oczekiwaną i funkcję

kowariancji procesu X. (Uwaga: E|g| = \sqrt{2/π} dla g ∼ N (0, 1)).

2. a) Oblicz ∫_{0}^{τ} W_{t}dW_{t}, gdzie τ := inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 3} \}.

b*) Uzasadnij, że τ < ∞ p.n. Ile wynosi Eτ?