Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa I, 25 stycznia 2012

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań proszę wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa I).

1. (8pkt) Niech τ_{a} = inf\{t 0: |W_{t}| = \sqrt{at + 7} \}.

a) Wykaż, że τ_{a} < ∞ p.n. dla a 0.

b) W zależności od parametru a 0 oblicz 𝔼τ_{a}.

2. (8pkt) Proces M jest dany wzorem

M_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{W_{s}^{2} + 2}dW_{s}.

a) Jakie procesy należą do przestrzeni L_{T}^{2}(M) i Λ_{T}^{2}(M)?

b) Niech N_{t} = ∫_{0}^{t} |W_{s}|dM_{s}. Oblicz 𝔼N_{t} i Cov(N_{t}, N_{s}). (Uwaga: 𝔼W_{1}^{4} = 3).

3. (8pkt) a) Wykaż, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie X = (X_{t})_{t 0} stochastycznego równania różniczkowego

dX_{t} = \frac{1}{1 + e^{4X_{t}}} dW_{t} + 10dt

z warunkiem początkowym X_{0} = 1.

b) Znajdź funkcje b i σ takie, że proces Y = e^{2X} spełnia równanie

dY_{t} = σ(Y_{t})dW_{t} + b(Y_{t})dt.

4. (8pkt) Znajdź proces (A_{t})_{t 0} o wahaniu ograniczonym na przedziałach ograniczonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces M_{t} = sin(t^{2}W_{t}) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie? Czy M jest martyngałem?

5. (8pkt) Wykaż, że ciąg zmiennych losowych

∑_{k=n+1}^{5n} \frac{1}{2}( W_{k/n}^{5} + W_{(k−1)/n}^{5} ) (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

6. (8pkt) Proces (X, Y) jest rozwiązaniem dwuwymiarowego równania stochastycznego

\{ \begin{matrix}dX_{t} = sin(X_{t} + Y_{t})dW_{t}^{1}, dY_{t} = cos(X_{t} + Y_{t})dW_{t}^{2} \\ X_{0} = Y_{0} = 0, \end{matrix}

gdzie (W^{1}, W^{2}) oznacza dwuwymiarowy proces Wienera. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a i b takie, że aX_{t} + bY_{t} jest procesem Wienera.

Część testowa

1. (4pkt) W zależności od parametru α ∈ ℝ wyznacz

lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{t^{α}} =

2. (2pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{t 0}

3. (2pkt) Podaj sformułowanie twierdzenia Kołmogorowa o istnieniu ciągłej modyfikacji procesu.

4. (3pkt) Proces X = (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu W_{t}^{2} − t. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): X jest ciągły w L^{2}, X jest martyngałem, X jest procesem gaussowskim, X ma ciągłe trajektorie.

5. (4pkt) Proces (W_{t} + 3\sqrt{t + 1} )_{0 t 2} jest procesem Wienera względem miary probabilistycznej ℚ danej wzorem

ℚ(A) =

6. (3pkt) Przedstaw poniższą całkę w postaci nie zawierającej całek stochastycznych

∫_{0}^{t} W_{s}^{8}dW_{s} =

7. (3pkt) Proces M = (M_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem. Podkreśl warunki, które implikują zbieżność M_{t} w L_{1} przy t → ∞: sup_{t 0} 𝔼M_{t}^{2} < ∞, sup_{t 0} 𝔼|M_{t}| < ∞, 𝔼 sup_{t 0} |M_{t}| < ∞, zbieżność M_{t} według rozkładu przy t → ∞.

8. (3pkt) Zmienna ∫_{0}^{∞} e^{−2s} dW_{s} ma rozkład

9. (2pkt) Zmienne aW_{1} + 3W_{2} oraz W_{3} − bW_{4} są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

10. (2pkt) Podaj definicję sigma ciała F_{τ}

11. (2pkt) Sformułuj twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej dla całki stochastycznej.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa II, 25 stycznia 2012

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań proszę wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa II).

1. (8pkt) Niech τ_{a} = inf\{t 0: |W_{t}| = \sqrt{at + 10} \}.

a) Wykaż, że τ_{a} < ∞ p.n. dla a 0.

b) W zależności od parametru a 0 oblicz 𝔼τ_{a}.

2. (8pkt) Proces M jest dany wzorem

M_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{2W_{s}^{2} + 1}dW_{s}.

a) Jakie procesy należą do przestrzeni L_{T}^{2}(M) i Λ_{T}^{2}(M)?

b) Niech N_{t} = ∫_{0}^{t} |W_{s}|dM_{s}. Oblicz 𝔼N_{t} i Cov(N_{t}, N_{s}). (Uwaga: 𝔼W_{1}^{4} = 3).

3. (8pkt) a) Wykaż, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie X = (X_{t})_{t 0} stochastycznego równania różniczkowego

dX_{t} = \frac{1}{1 + e^{6X_{t}}} dW_{t} + 10dt

z warunkiem początkowym X_{0} = 1.

b) Znajdź funkcje b i σ takie, że proces Y = e^{3X} spełnia równanie

dY_{t} = σ(Y_{t})dW_{t} + b(Y_{t})dt.

4. (8pkt) Znajdź proces (A_{t})_{t 0} o wahaniu ograniczonym na przedziałach ograniczonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces M_{t} = cos(t^{2}W_{t}) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie? Czy M jest martyngałem?

5. (8pkt) Wykaż, że ciąg zmiennych losowych

∑_{k=2n+1}^{4n} \frac{1}{2}( W_{k/n}^{6} + W_{(k−1)/n}^{6} ) (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

6. (8pkt) Proces (X, Y) jest rozwiązaniem dwuwymiarowego równania stochastycznego

\{ \begin{matrix}dX_{t} = cos(X_{t} − Y_{t})dW_{t}^{1}, dY_{t} = sin(X_{t} − Y_{t})dW_{t}^{2} \\ X_{0} = Y_{0} = 0, \end{matrix}

gdzie (W^{1}, W^{2}) oznacza dwuwymiarowy proces Wienera. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a i b takie, że aX_{t} + bY_{t} jest procesem Wienera.

1. (2pkt) Podaj sformułowanie twierdzenia Kołmogorowa o istnieniu ciągłej modyfikacji procesu.

2. (3pkt) Przedstaw poniższą całkę w postaci nie zawierającej całek stochastycznych

∫_{0}^{t} W_{s}^{5}dW_{s} =

3. (2pkt) Zmienne aW_{1} + 2W_{3} oraz W_{2} + bW_{4} są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

4. (3pkt) Proces M = (M_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem. Podkreśl warunki, które implikują zbieżność M_{t} w L_{1} przy t → ∞: zbieżność M_{t} według rozkładu przy t → ∞, sup_{t 0} 𝔼|M_{t}| < ∞, sup_{t 0} 𝔼M_{t}^{2} < ∞, 𝔼 sup_{t 0} |M_{t}| < ∞.

5. (2pkt) Sformułuj twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej dla całki stochastycznej

6. (3pkt) Zmienna ∫_{0}^{∞} e^{−4s} dW_{s} ma rozkład

7. (2pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{t 0}

8. (2pkt) Podaj definicję sigma ciała F_{τ}

9. (4pkt) Proces (W_{t} + \sqrt{3t + 2} )_{0 t 1} jest procesem Wienera względem miary probabilistycznej ℚ danej wzorem

ℚ(A) =

10. (4pkt) W zależności od parametru α ∈ ℝ wyznacz

lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{t^{α}} =

11. (3pkt) Proces X = (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu W_{t}^{2} − t. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): X jest procesem gaussowskim, X jest martyngałem, X jest ciągły w L^{2}, X ma ciągłe trajektorie.