Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa I, 13 czerwca 2014 Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy (grupa I) i zadania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–7 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Znajdź funkcje b(x) i σ(x) takie, że proces

X_{t} = e^{W_{t}− \frac{1}{2} t} ( 3 + 5 ∫_{0}^{t} e^{−W_{s} + \frac{s}{2}} ds) .

spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}.

Czy równanie to ma inne rozwiązanie z warunkiem początkowym X_{0} = 3?

2. Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ na F_{3}^{W}, by proces

X_{t} = W_{t}^{2} − t(4W_{t} + 1) + 4t^{2}, 0 t 3

był martyngałem na (Ω, F_{3}^{W}, ℚ).

3. Znajdź proces (A_{t})_{t 0} o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0

oraz proces

M_{t} = W_{t} sin( ∫_{0}^{t} W_{s}^{3}dW_{s}) − A_{t}

jest martyngałem lokalnym. Czy M jest martyngałem?

4. Niech X_{t} = exp(6W_{t} − 18t) oraz

S_{n} = ∑_{k=4n+1}^{5n} |X_{k/n} − X_{(k−1)/n} | ^{2} .

Wykaż, że ciąg S_{n} jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę. Czy ciąg S_{n} jest zbieżny w L^{1}?

5. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś (Y_{t})_{t 0} ściśle dodatnim proce-

sem prognozowalnym takim, że

⟨X⟩_{t} = ∫_{0}^{t} Y_{s}ds.

Wykaż, że istnieje proces Wienera W taki, że

X_{t} − X_{0} = ∫_{0}^{t} \sqrt{Y_{s}}dW_{s}.

Wsk. Rozpatrz proces ∫_{0}^{t} Y_{s}^{−1/2} dX_{s}.

6. Niech τ = inf{t > 0: W_{t} = 5 − 2t}.

i) Wykaż, że τ < ∞ p.n. ii) Oblicz 𝔼 exp(−6τ). (Wsk. exp(λW_{t} − \frac{1}{2}λ^{2}t) jest martyngałem dla dowolnego parametru λ).

Obróć kartkę, by wypełnić część testową egzaminu!

Część testowa

1. (2pkt) Sformułuj twierdzenie o zbieżności martyngałów w L^{2}.

2. (3pkt) Oblicz Cov(W_{2} + W_{5}, W_{4}) = oraz 𝔼(W_{4}^{2} − 5W_{3}|W_{2}) =

3. (3pkt) Niech X = ∫_{0}^{∞} (1 + t)^{−4} dW_{t}. Oblicz 𝔼e^{2iX} =

4. (5pkt) Przedstaw następujące granice przy n → ∞ w jak najprostszej postaci:

∑_{k=1}^{5n} \frac{k − 1}{n} W 5_{\frac{k−1}{n}} (W_{\frac{k}{n}} − W_{\frac{k−1}{n}} ) →^{ℙ}

∑_{k=1}^{5n} \frac{k}{n}W 5_{\frac{k}{n}} (W_{\frac{k}{n}} − W_{\frac{k−1}{n}} ) →^{ℙ}

5. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} u^{3}W_{u}dW_{u}. Wówczas dla 0 s t, 𝔼X_{t} = , Cov(X_{t}, X_{s}) = oraz ⟨X, W ⟩_{t} =

6. (4pkt) Wyznacz wszystkie parametry β i γ takie, że proces (e^{βt}W_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalny funkcje t ↦ W_{t} z prawdopodobieństwem 1 są hölderowskie na [0, 10] z wykładnikiem γ Odpowiedź:

7. (2pkt) Podaj następujące dwie definicje:

Proces (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu (Y_{t})_{t 0} , jeśli

Procesy (X_{t})_{t 0} i (Y_{t})_{t 0} są nieodróżnialne, jeśli

8. (2pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{t 0} .

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa II, 13 czerwca 2014

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy (grupa II) i zadania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–7 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Znajdź funkcje b(x) i σ(x) takie, że proces

X_{t} = e^{2W_{t}−2t} ( 5 + 3 ∫_{0}^{t} e^{−2W_{s} +2s} ds) .

spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}.

Czy równanie to ma inne rozwiązanie z warunkiem początkowym X_{0} = 5?

2. Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ na F_{2}^{W}, by proces

X_{t} = W_{t}^{2} − t(6W_{t} + 1) + 9t^{2}, 0 t 2

był martyngałem na (Ω, F_{2}^{W}, ℚ).

3. Znajdź proces (A_{t})_{t 0} o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces

M_{t} = W_{t} cos( ∫_{0}^{t} W_{s}^{2}dW_{s}) − A_{t}

jest martyngałem lokalnym. Czy M jest martyngałem?

4. Niech X_{t} = exp(3W_{t} − 9t/2) oraz

S_{n} = ∑_{k=3n+1}^{4n} |X_{k/n} − X_{(k−1)/n} | ^{2} .

Wykaż, że ciąg S_{n} jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę. Czy ciąg S_{n} jest zbieżny w L^{1}?

5. Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś (Y_{t})_{t 0} ściśle dodatnim procesem prognozowalnym takim, że

⟨X⟩_{t} = ∫_{0}^{t} Y_{s}^{2}ds.

Wykaż, że istnieje proces Wienera W taki, że

X_{t} − X_{0} = ∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s}.

Wskazówka. Rozpatrz proces ∫_{0}^{t} Y_{s}^{−1} dX_{s}.

6. Niech τ = inf\{t > 0: W_{t} = 7 − \frac{1}{2}t\}.

i) Wykaż, że τ < ∞ p.n. ii) Oblicz 𝔼 exp(−6τ). (Wskazówka: exp(λW_{t} − \frac{1}{2}λ^{2}t) jest martyngałem dla dowolnego parametru λ).

Obróć kartkę, by wypełnić część testową egzaminu!

1. (2pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{t 0} .

2. (4pkt) Wyznacz wszystkie parametry β i γ takie, że proces (e^{−βt} W_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalny funkcje t ↦ W_{t} z prawdopodobieństwem 1 są hölderowskie na [0, 5] z wykładnikiem γ Odpowiedź:

3. (5pkt) Przedstaw następujące granice przy n → ∞ w jak najprostszej postaci:

∑_{k=1}^{3n} \frac{k − 1}{n} W 6_{\frac{k−1}{n}} (W_{\frac{k}{n}} − W_{\frac{k−1}{n}} ) →^{ℙ}

∑_{k=1}^{3n} \frac{k}{n}W 6_{\frac{k}{n}} (W_{\frac{k}{n}} − W_{\frac{k−1}{n}} ) →^{ℙ}

4. (3pkt) Oblicz Cov(W_{3} + W_{7}, W_{4}) = oraz 𝔼(W_{5}^{2} + 2W_{4}|W_{3}) =

5. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} u^{2}W_{u}dW_{u}. Wówczas dla 0 s t, 𝔼X_{t} = , Cov(X_{t}, X_{s}) = oraz ⟨X, W ⟩_{t} =

6. (3pkt) Niech X = ∫_{0}^{∞} (1 + t)^{−3} dW_{t}. Oblicz 𝔼e^{3iX} =

7. (2pkt) Podaj następujące dwie definicje:

Procesy (X_{t})_{t 0} i (Y_{t})_{t 0} są nieodróżnialne, jeśli

Proces (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu (Y_{t})_{t 0} , jeśli

8. (2pkt) Sformułuj twierdzenie o zbieżności martyngałów w L^{2}.