Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa I, 19 czerwca 2010

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa I).

1. (8pkt) Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{2n} \frac{k}{n}W_{k/n}^{3} (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

2. (8pkt) Znajdź miarę probabilistyczną na (Ω, F_{3}^{W}) taką, że proces (W_{t} + t^{3}e^{3t})_{0 t 3} jest procesem Wienera względem ℚ.

3. (8pkt) Proces (X_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie, X_{0} = 0 oraz X_{t}^{4} −6t^{2} jest martyngałem. Określmy τ := inf{t > 0: |X_{t}| = (2t^{2} + 10)^{1/4} }. Oblicz 𝔼τ^{2}.

4. (8pkt) Rozważmy równanie stochastyczne

dX_{t} = \frac{3}{1 + X_{t}^{2}} dt + \frac{1}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}, X_{0} = 0.

a) Wykaż, że równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie.

b) Niech (X_{t})_{t 0} będzie rozwiązaniem tego równania. Znajdź niestałą funkcję f ∈ C^{2}(ℝ) taką, że f(X_{t}) jest martyngałem lokalnym.

5. (8pkt) Załóżmy, że

X_{t} = ∫_{0}^{t} sin(W_{s})dW_{s} + ∫_{0}^{t} cos(W_{s})ds, t 0.

Znajdź proces A o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz M_{t} = W_{t}arctg(3X_{t}) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Czy M_{t} jest martyngałem?

6. (8pkt) Proces (X_{t})_{1 t 2} jest gaussowski, ma średnią zero oraz 𝔼|X_{t} − X_{s}| 10(t − s)^{1/4} . Wykaż, że proces X ma modyfikację ciągłą. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

Część testowa

1. (3pkt) Proces (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu W\sqrt{t}. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): proces X_{t} ma trajektorie ciągłe, proces X_{t} ma przyrosty niezależne, proces X_{t^{2}} jest procesem Wienera, X_{t} jest procesem gaussowskim.

2. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−5u} dW_{u}. Wówczas X_{t} ma rozkład............... oraz Cov(X_{t}, X_{s}) =................

3. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Levy’ego o charakteryzacji procesu Wienera.

4. (2pkt) Podaj definicję nawiasu skośnego dwóch martyngałów lokalnych M i N startujących z zera.

5. (3pkt) Załóżmy, że τ jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które ze zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej samej filtracji (podkreśl): τ^{2}, τ^{2} + 1, min{τ + 2, 2τ}, max{τ − 1, 0}.

6. (3pkt) Załóżmy, że (M_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalnym, ciągłym martyngałem. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): sup_{t} 𝔼|M_{t}| < ∞, M_{t} jest zbieżny prawie na pewno, M_{t} jest zbieżny w L^{1}, M_{t}^{2} jest jednostajnie całkowalny, \sqrt{|M_{t}|} jest jednostajnie całkowalny.

7. (2pkt) Sformułuj prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera.

8. (3pkt) Niech τ = inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 5} \}. Wówczas ∫_{0}^{∞} W_{s}dW_{s∧τ} =......

9. (2pkt) Gęstość zmiennej (W_{2}, W_{7}) wynosi g(x, y) =...........

10. (3pkt) Niech Z = ∫_{0}^{∞} e^{−2t} W_{t}dW_{t}, wówczas 𝔼Z = ...., 𝔼Z^{2} = ....

11. (2pkt) Sformułuj nierówność maksymalną Dooba dla p-tych momentów martyngału z czasem ciągłym.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin ze Wstępu do Analizy Stochastycznej grupa II, 19 czerwca 2010

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce podpisanej u góry imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa II).

1. (8pkt) Proces (X_{t})_{t 0} ma ciągłe trajektorie, X_{0} = 0 oraz X_{t}^{4} −5t^{2} jest martyngałem. Określmy τ := inf{t > 0: |X_{t}| = (3t^{2} + 6)^{1/4} }. Oblicz 𝔼τ^{2}.

2. (8pkt) Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{3n} \frac{k^{2}}{n^{2}} W_{k/n}^{2} (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

3. (8pkt) Załóżmy, że

X_{t} = ∫_{0}^{t} cos(W_{s})dW_{s} + ∫_{0}^{t} sin(W_{s})ds, t 0.

Znajdź proces A o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz M_{t} = W_{t}arctg(2X_{t}) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Czy M_{t} jest martyngałem?

4. (8pkt) Proces (X_{t})_{0 t 2} jest gaussowski, ma średnią zero oraz 𝔼|X_{t} − X_{s}| 4(t − s)^{1/5} . Wykaż, że proces X ma modyfikację ciągłą. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

5. (8pkt) Rozważmy równanie stochastyczne

dX_{t} = \frac{2}{1 + X_{t}^{2}} dt + \frac{3}{\sqrt{1 + X_{t}^{2}}} dW_{t}, X_{0} = 0.

a) Wykaż, że równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie.

b) Niech (X_{t})_{t 0} będzie rozwiązaniem tego równania. Znajdź niestałą funkcję f ∈ C^{2}(ℝ) taką, że f(X_{t}) jest martyngałem lokalnym.

6. (8pkt) Znajdź miarę probabilistyczną na (Ω, F_{2}^{W}) taką, że proces (W_{t} + t^{2}e^{2t})_{0 t 2} jest procesem Wienera względem ℚ.

Część testowa

1. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Levy’ego o charakteryzacji procesu Wienera.

2. (2pkt) Sformułuj prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera.

3. (3pkt) Załóżmy, że τ jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które ze zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej samej filtracji (podkreśl): min{τ + 3, 3τ}, τ^{4}, τ^{4} + 2, max{τ − 2, 0}.

4. (3pkt) Niech τ = inf\{t > 0: |W_{t}| = \sqrt{t + 7} \}. Wówczas ∫_{0}^{∞} W_{s}dW_{s∧τ} =......

5. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−4u} dW_{u}. Wówczas X_{t} ma rozkład............... oraz Cov(X_{t}, X_{s}) =................

6. (3pkt) Niech Z = ∫_{0}^{∞} e^{−3t} W_{t}dW_{t}, wówczas 𝔼Z = ....., 𝔼Z^{2} = ......

7. (3pkt) Załóżmy, że (M_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalnym, ciągłym martyngałem. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): \sqrt{|M_{t}|} jest jednostajnie całkowalny, M_{t}^{2} jest jednostajnie całkowalny, sup_{t}𝔼|M_{t}| < ∞, M_{t} jest zbieżny prawie na pewno, M_{t} jest zbieżny w L^{1},

8. (2pkt) Sformułuj nierówność maksymalną Dooba dla p-tych momentów martyngału z czasem ciągłym.

9. (2pkt) Gęstość zmiennej (W_{3}, W_{5}) wynosi g(x, y) =...........

10. (3pkt) Proces (X_{t})_{t 0} jest modyfikacją procesu W_{t^{2}} . Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): X_{t} jest procesem gaussowskim, proces X_{t} ma trajektorie ciągłe, proces X_{t} ma przyrosty niezależne, proces X\sqrt{t} jest procesem Wienera.

11. (2pkt) Podaj definicję nawiasu skośnego dwóch martyngałów lokalnych M i N startujących z zera.