Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin z procesów stochastycznych grupa I, 5 czerwca 2002

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

1. Proces (X_{t})_{t 0} jest procesem gaussowskim. Które z poniższych procesów muszą być gaussowskie (podkreśl właściwe odpowiedzi)? X_{t} + X_{t+1} ; |X_{t}|; t^{2}X_{5t}; X_{t}X_{t+1} ; tX_{t} − X_{1}.

2. τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które z następujących zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej filtracji (podkreśl)? τ ∧ σ + 1; (τ − 1) ∨ 0; 3τ; σ^{2}.

3. Napisz równanie Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych funkcji przejścia

P_{s+t} (x, Γ) =

4. Niech τ_{a} = inf{t : W_{t} a}. Dla a > 0 oblicz P(τ_{a} 1) =

5. Uzupełnij następujące stwierdzenie: Proces (W_{t}^{2}−λt)_{t 0} jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{W} wtedy i tylko wtedy gdy λ.......... , zaś nadmartyngałem względem tej samej filtracji wtedy i tylko wtedy gdy λ..........

6. Czy następujące procesy są procesami Markowa? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj funkcję przejścia.

a) (N_{t})_{t 0}

b) (t^{2}W_{t})_{t 0}

c) (sup_{0 s t} N_{t})_{t 0}

d) (sup_{0 s t} W_{t})_{t 0} .

7. Jaki rozkład ma zmienna W_{1} − 2W_{2} + W_{3}?

8. Dla 0 < t < s oblicz E(N_{s}^{2} − N_{s}|F_{t}^{N} ) =

9. Dla 0 < t < s oblicz E(W_{s}^{3}|F_{t}^{W}) =

10. (X_{t})_{t 0} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} (·, ·) takim, że P(X_{0} = x) = 1. Dla 0 < s < t oblicz

P(X_{s} ∈ Γ_{1}, X_{t} ∈ Γ_{2}) =.

11. Literą W (odpowiednio P) oznacz własności, które posiadają prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera (odp. Poissona): prawostronna ciągłość ciągłość różniczkowalność monotoniczność hölderowskość

12. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem. Które z poniższych warunków implikują istnienie prawie na pewno granicy lim_{t→∞} M_{t}? (podkreśl): ∀_{t 0} M_{t} 0; sup_{t} EM_{t} < ∞; sup_{t} E|M_{t}| < ∞; E sup_{t} |M_{t}| < ∞.

13. Napisz którąś z wersji mocnej własności Markowa

14. Uzupełnij sformułowanie twierdzenia Kołmogorowa: (X_{t})_{t∈[0,1]} ma ciągłą modyfikację jeśli ................................ ............................, przy czym ...............................

15. Uzupełnij: X = (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa na przestrzeni stanów E = {1, 2} z macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 + 2e^{−4t} & a(t) \\ 3 − 3e^{−4t} & b(t) \end{matrix} ) .

Wówczas a(t) =......................., b(t) =....................... Niech A będzie generatorem półgrupy wyznaczonej przez X. Wówczas dla f : E → ℝ zachodzi Af(1) =........................., Af(2) =.............................

16. Podaj definicję progresywnej mierzalności procesu (X_{t})_{t 0} względem filtracji (F_{t})_{t 0} .

17. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem. Które z poniższych warunków implikują jednostajną całkowalność M_{t} (podkreśl): zbieżność p.n. przy t → ∞; zbieżność w L^{1} przy t → ∞; ∀_{t 0} M_{t} 0; E sup_{t} |M_{t}| < ∞.

18. Proces (W_{t}1_{W_{t} ≠1} )_{t 0} ma ciągłe trajektorie, modyfikację ciągłą, jest nieodróżnialny od procesu ciągłego, jest procesem gaussowskim (podkreśl właściwe odpowiedzi).

19. Podaj definicję rezolwenty półgrupy P^{t}. Jaki związek zachodzi między rezolwentą a generatorem mocno ciągłej półgrupy kontrakcji?

Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin z procesów stochastycznych grupa II, 5 czerwca 2002

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

1. Jaki rozkład ma zmienna 2W_{1} − 3W_{2} + W_{3}?

2. Dla 0 < t < s oblicz E(W_{s}^{3} + W_{s}|F_{t}^{W}) =

3. Dla 0 < t < s oblicz E(N_{s}^{2}|F_{t}^{N} ) =

4. Proces (X_{t})_{t 0} jest procesem gaussowskim. Które z poniższych procesów muszą być gaussowskie (podkreśl właściwe odpowiedzi)? X_{t}^{3}; X_{2t} − 2tX_{1}; \sqrt{t}X_{t}; X_{3t} + 3X_{t}; X_{t}X_{2t};

5. Napisz równanie Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych funkcji przejścia

P_{s+t} (x, Γ) =

6. τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które z następujących zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej filtracji (podkreśl)? (τ − 1) ∨ σ; (τ + 1) ∧ 3; \sqrt{τ}; 5σ.

7. Niech τ_{a} = inf{t : W_{t} a}. Dla s > 0 oblicz P(τ_{1} s) =

8. Uzupełnij następujące stwierdzenie: Proces (λW_{t}^{2}−t)_{t 0} jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{W} wtedy i tylko wtedy gdy λ.......... , zaś nadmartyngałem względem tej samej filtracji wtedy i tylko wtedy gdy λ..........

9. Czy następujące procesy są procesami Markowa? W przypadku pozytywnej odpowiedzi podaj funkcję przejścia.

a) (\sqrt{t}W_{t})_{t 0}

b) (N_{t})_{t 0}

c) (sup_{0 s t} W_{t})_{t 0}

d) (sup_{0 s t} N_{t})_{t 0} .

10. Napisz którąś z wersji mocnej własności Markowa 11. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem. Które z poniższych warunków

implikują istnienie prawie na pewno granicy lim_{t→∞} M_{t}? (podkreśl): ∀_{t 0} M_{t} 0; sup_{t} E|M_{t}| < ∞; sup_{t} EM_{t} < ∞; E sup_{t} |M_{t}| < ∞.

12. (X_{t})_{t 0} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} (·, ·) takim, że P(X_{1} = x) = 1. Dla 1 < s < t oblicz

P(X_{s} ∈ Γ_{1}, X_{t} ∈ Γ_{2}) =.

13. Uzupełnij sformułowanie twierdzenia Kołmogorowa: (X_{t})_{t∈[0,1]} ma ciągłą modyfikację jeśli ................................ ............................, przy czym ...............................

14. Literą W (odpowiednio P) oznacz własności, które posiadają prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera (odp. Poissona): ciągłość prawostronna ciągłość monotoniczność różniczkowalność hölderowskość

15. Proces (W_{t}1_{|W_{t}|≠2} )_{t 0} ma ciągłe trajektorie, modyfikację ciągłą, jest nieodróżnialny od procesu ciągłego, jest procesem gaussowskim (podkreśl właściwe odpowiedzi).

16. Podaj definicję progresywnej mierzalności procesu (X_{t})_{t 0} względem filtracji (F_{t})_{t 0} .

17. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem. Które z poniższych warunków implikują jednostajną całkowalność M_{t} (podkreśl): ∀_{t 0} M_{t} 0; E sup_{t} |M_{t}| < ∞; zbieżność p.n. przy t → ∞; zbieżność w L^{1} przy t → ∞.

18. Uzupełnij: X = (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa na przestrzeni stanów E = {1, 2} z macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}a(t) & 3 − 3e^{−2t} \\ 4 − 4e^{−2t} & b(t) \end{matrix} ) .

Wówczas a(t) =....................., b(t) =..................... Niech A będzie generatorem półgrupy wyznaczonej przez X. Wówczas dla f : E → ℝ zachodzi Af(1) =..........................., Af(2) =.........................

19. Podaj definicję rezolwenty półgrupy P^{t}. Jaki związek zachodzi między rezolwentą a generatorem mocno ciągłej półgrupy kontrakcji?