Imię i nazwisko:...................................................... Nr indeksu.....................

Egzamin z Procesów Stochastycznych II grupa I, 5 lutego 2007

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera na przestrzeni (Ω, F, ℙ).

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 5 zadań należy napisać na osobnych kartkach. Można powoływać się na wszystkie twierdzenia i fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach. Każde zadanie jest warte 7 punktów. Podpunkty oznaczone gwiazdką będą oceniane osobno.

1. Rozpatrzmy równanie

dX_{s} = dW_{s} + 5 sin(3s)ds, s ∈ [0, 2]

z warunkiem początkowym X_{0} = 0.

a) Czy to równanie ma dokładnie jedno (mocne) rozwiązanie?

b) Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ, by proces X spełniający powyższe równanie był procesem Wienera na (Ω, F, ℚ).

2. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−2s} W_{s}dW_{s}. Czy granica M_{∞} = lim_{t→∞} M_{t} istnieje? W jakim sensie mamy tu zbieżność? Oblicz 𝔼M_{∞} i Var(M_{∞} ).

3. a) Czy ciąg S_{n} := ∑ _{k=1}^{3n} | cos(W_{k/n} ) − cos(W_{(k−1)/n} )|^{2} jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Jeśli tak, to ile wynosi jego granica? b*) Czy ciąg S_{n} jest zbieżny w L^{1}?

4. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} 5^{s}dW_{s}. Czy istnieje funkcja g: [0, ∞) → [0, ∞) taka, że X_{g(t)} jest procesem Wienera?

5. a) Czy proces X_{t} = W_{t}^{5} + 4|W_{t}| jest semimartyngałem? Jeśli tak, to znajdź jego rozkład na martyngał lokalny i proces o trajektoriach o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych. b*) Czy |W_{t}|^{1/2} jest semimartyngałem?

Część Testowa

1. (4pkt) Proces X_{t} = W_{t}^{5} spełnia stochastyczne równanie różniczkowe dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt, t 0 z warunkiem początkowym X_{0} = 0 dla funkcji σ(x) = .............. oraz b(x) = .............. Równanie to posiada/nie posiada inne mocne rozwiązanie.

2. (4pkt) Dla t 0 oblicz granice następujących zmiennych przy n → ∞,

∑_{k=1}^{n} W_{t(k−1)/n}^{2} (W_{tk/n} − W_{t(k−1)/n} ) →^{ℙ}

∑_{k=1}^{n} W_{tk/n}^{2} (W_{tk/n} − W_{t(k−1)/n} ) →^{ℙ}

3. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t}(1+2W_{s})dW_{s}. Oblicz 𝔼X_{t} = .................., Cov(X_{t}, X_{s}) =..........................

4. (3pkt) Proces M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, 1] takim, że M_{0} = 0 oraz ℙ(M_{1} = 0) < 1. Wówczas

lim sup_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} |M_{k/n} − M_{(k−1)/n} |^{α} < ∞ p.n.

wtedy i tylko wtedy gdy α ∈.......

5. (5pkt) Niech M_{t} := ∫_{0}^{t} e^{W_{s}} dW_{s} oraz N_{t} := ∫_{0}^{t} se^{−W_{s}} dW_{s}.

a) Proces M_{t}N_{t} − A_{t} jest martyngałem dla następującego procesu A ∈ V^{c}, A_{t} = ................. b)⟨M⟩_{t} = ....................... c)L_{∞}^{2} (M) =................................................

6. (4pkt) Para (X, W) jest słabym rozwiązaniem równania

dX_{t} = cos(tX_{t})dW_{t} + sin(2t)dt

z warunkiem początkowym X_{0} = 0.

a) Oblicz 𝔼X_{t} =............................

b) Dla f ∈ C^{2}(ℝ^{2}) o nośniku zwartym, proces f(t, X_{t}) − f(0, X_{0}) − ∫_{0}^{t} g(s, X_{s})ds jest martyngałem dla g(t, x) = ...............................................

7. (3pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{0 t<5} .

8. (2pkt) Uzupełnij.

a) Każdy nieujemny ciągły martyngał lokalny jest ....................................

b) Każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest ...................................

9. (3pkt) Równanie

dX_{t} = sgn(X_{t})dW_{t}

z warunkiem początkowym X_{0} = 0 ma (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): mocne rozwiązanie, słabe rozwiązanie, rozwiązanie jednoznaczne w sensie trajektorii, rozwiązanie jednoznaczne w sensie rozkładu.

10. (3pkt) Podaj sformułowanie twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej dla całki stochastycznej.

Imię i nazwisko:...................................................... Nr indeksu.....................

Egzamin z Procesów Stochastycznych II grupa II, 5 lutego 2007

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera na przestrzeni (Ω, F, ℙ).

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 5 zadań należy napisać na osobnych kartkach. Można powoływać się na wszystkie twierdzenia i fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach. Każde zadanie jest warte 7 punktów. Podpunkty oznaczone gwiazdką będą oceniane osobno.

1. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} 2^{s}dW_{s}. Czy istnieje funkcja g: [0, ∞) → [0, ∞) taka, że X_{g(t)} jest procesem Wienera?

2. a) Czy ciąg S_{n} := ∑ _{k=1}^{4n} | sin(W_{k/n} ) − sin(W_{(k−1)/n} )|^{2} jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Jeśli tak, to ile wynosi jego granica? b*) Czy ciąg S_{n} jest zbieżny w L^{1}?

3. Rozpatrzmy równanie

dX_{s} = dW_{s} + 3 cos(2s)ds, s ∈ [0, 2]

z warunkiem początkowym X_{0} = 0.

a) Czy to równanie ma dokładnie jedno (mocne) rozwiązanie?

b) Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ, by proces X spełniający powyższe równanie był procesem Wienera na (Ω, F, ℚ).

4. a) Czy proces X_{t} = W_{t}^{4} + 3|W_{t}| jest semimartyngałem? Jeśli tak, to znajdź jego rozkład na martyngał lokalny i proces o trajektoriach o wahaniu ograniczonym na przedziałach skończonych. b*) Czy |W_{t}|^{1/2} jest semimartyngałem?

5. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−s} W_{s}dW_{s}. Czy granica M_{∞} = lim_{t→∞} M_{t} istnieje? W jakim sensie mamy tu zbieżność? Oblicz 𝔼M_{∞} i Var(M_{∞} ).

Część Testowa

1. (3pkt) Proces M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, 1] takim, że M_{0} = 0 oraz ℙ(M_{1} = 0) < 1. Wówczas

lim sup_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} |M_{k/n} − M_{(k−1)/n} |^{α} < ∞ p.n.

wtedy i tylko wtedy gdy α ∈.......

2. (5pkt) Niech M_{t} := ∫_{0}^{t} e^{−W_{s}} dW_{s} oraz N_{t} := ∫_{0}^{t} s^{2}e^{W_{s}} dW_{s}.

a) Proces M_{t}N_{t} − A_{t} jest martyngałem dla następującego procesu A ∈ V^{c}, A_{t} = ................. b)⟨M⟩_{t} = ....................... c)L_{∞}^{2} (M) =................................................

3. (4pkt) Para (X, W) jest słabym rozwiązaniem równania

dX_{t} = sin(tX_{t})dW_{t} + cos(2t)dt

z warunkiem początkowym X_{0} = 0.

a) Oblicz 𝔼X_{t} =............................

b) Dla f ∈ C^{2}(ℝ^{2}) o nośniku zwartym, proces f(t, X_{t}) − f(0, X_{0}) − ∫_{0}^{t} g(s, X_{s})ds jest martyngałem dla g(t, x) = ...............................................

4. (4pkt) Dla t 0 oblicz granice następujących zmiennych przy n → ∞,

∑_{k=1}^{n} W_{t(k−1)/n}^{3} (W_{tk/n} − W_{t(k−1)/n} ) →^{ℙ}

∑_{k=1}^{n} W_{tk/n}^{3} (W_{tk/n} − W_{t(k−1)/n} ) →^{ℙ}

5. (3pkt) Podaj definicję martyngału lokalnego względem filtracji (F_{t})_{0 t<5} .

6. (2pkt) Uzupełnij.

a) Każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest ...................................

b) Każdy nieujemny ciągły martyngał lokalny jest ....................................

7. (4pkt) Proces X_{t} = W_{t}^{3} spełnia stochastyczne równanie różniczkowe dX_{t} = σ(X_{t})dW_{t} + b(X_{t})dt, t 0 z warunkiem początkowym X_{0} = 0 dla funkcji σ(x) = .............. oraz b(x) = .............. Równanie to posiada/nie posiada inne mocne rozwiązanie.

8. (4pkt) Niech X_{t} = ∫_{0}^{t}(2+W_{s})dW_{s}. Oblicz 𝔼X_{t} = .................., Cov(X_{t}, X_{s}) =..........................

9. (3pkt) Równanie

dX_{t} = sgn(X_{t})dW_{t}

z warunkiem początkowym X_{0} = 0 ma (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): słabe rozwiązanie, mocne rozwiązanie, rozwiązanie jednoznaczne w sensie rozkładu, rozwiązanie jednoznaczne w sensie trajektorii.

10. (3pkt) Podaj sformułowanie twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej dla całki stochastycznej.