Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin z Procesów Stochastycznych II grupa I, 19 stycznia 2004

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 5 zadań należy napisać na osobnych kartkach. Można powoływać się na wszystkie twierdzenia i fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Znajdź taki ciągły proces A o wahaniu ograniczonym na każdym przedziale skończonym, żeby (sin(W_{t}) − A_{t})_{t 0} był martyngałem oraz A_{0} = 0. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie?

2. Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na (Ω, F_{1}^{W} ), by proces (W_{t} + 2t^{4})_{0 t 1} był procesem Wienera względem Q.

3. Jakie warunki musi spełniać ograniczony proces prognozowalny Y, by X_{t} = ∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} był procesem Wienera?

4. Oblicz następującą granicę w L^{1}

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{2n−1} (∫_{k/n}^{(k+1)/n} W_{s}^{4}dW_{s})^{2}.

5. Wykaż, że proces

X_{t} = e^{−3t+2W_{t}}

spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = X_{t}dt + 2X_{t}dW_{t}.

Czy równanie to może mieć inne rozwiązania?

Część Testowa

1. Niech X = (X_{t})_{0 t 1} będzie martyngałem lokalnym. Które z następujących warunków implikują, że X jest martyngałem (podkreśl właściwe odpowiedzi): X_{t} 0 dla wszystkich t p.n., |X_{t}| C dla wszystkich t, gdzie C - skończona stała, E sup_{t} |X_{t}| < ∞, X_{t} 0 dla wszystkich t p.n. oraz EX_{1} = EX_{0}.

2. Przedstaw poniższą całkę stochastyczną w postaci nie zawierającej całek stochastycznych

∫_{0}^{t} W_{s}^{10}dW_{s} =

3. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{|W_{s}|}dW_{s}. Oblicz EX_{t} = oraz Var(X_{t}) = (Uwaga: E|g| = \sqrt{2/π} dla g ∼ N (0, 1)).

4. Uzupełnij sformułowanie twierdzenia Levy’ego: Martyngał lokalny (X_{t})_{t 0} jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy

5. Podaj definicję przestrzeni L_{T}^{2}.

6. Podaj definicję nawiasu skośnego ⟨M, N⟩ dla dwu martyngałów lokalnych M i N.

7. Rozpatrzmy stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = sin(X_{t})dW_{t} + 2X_{t}dt, X_{0} = 1.

Równanie to ma (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): słabe rozwiązanie, mocne rozwiązanie, rozwiązanie jednoznaczne w sensie trajektorii, rozwiązanie będące martyngałem lokalnym.

8. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{W_{s}} dW_{s}. Czy M_{t} jest martyngałem: tak/nie? Oblicz

⟨M⟩_{t} =

oraz

∫_{0}^{t} e^{−W_{s}} dM_{s} =

9. Niech M będzie ciagłym martyngałem lokalnym, M_{0} = 0. Zapisz proces Z = e^{M− \frac{1}{2} ⟨M⟩} w takiej postaci by było widać, że jest martyngałem lokalnym

Z_{t} =

10. Proces dyfuzji X jest zadany przez równanie

dX_{t} = cos(X_{t})dW_{t} + 3X_{t}dt.

Niech A będzie operatorem infinitezymalnym dla X. Wtedy dla f ∈ C_{zw}^{2}(ℝ) mamy Af(x) =

11. Niech τ będzie momentem zatrzymania. Oblicz

∫_{0}^{t} sdW_{s∧τ} =

Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin z Procesów Stochastycznych II grupa II, 19 stycznia 2004

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 5 zadań należy napisać na osobnych kartkach. Można powoływać się na wszystkie twierdzenia i fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Oblicz następującą granicę w L^{1}

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n−1} (∫_{k/2n}^{(k+1)/2n} W_{s}^{3}dW_{s})^{2}.

2. Wykaż, że proces

X_{t} = e^{3t/2−W_{t}}

spełnia stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = 2X_{t}dt − X_{t}dW_{t}.

Czy równanie to może mieć inne rozwiązania?

3. Znajdź taki ciągły proces A o wahaniu ograniczonym na każdym przedziale skończonym, żeby (cos(W_{t}) − A_{t})_{t 0} był martyngałem oraz A_{0} = 0. Czy proces A jest wyznaczony jednoznacznie?

4. Jakie warunki musi spełniać ograniczony proces prognozowalny Y, by X_{t} = ∫_{0}^{t} Y_{s}dW_{s} był procesem Wienera?

5. Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na (Ω, F_{1}^{W} ), by proces (W_{t} + 5t^{3})_{0 t 1} był procesem

Wienera względem Q.

Część Testowa

1. Niech τ będzie momentem zatrzymania. Oblicz

∫_{0}^{t} s^{2}dW_{s∧τ} =

2. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−W_{s}} dW_{s}. Czy M_{t} jest martyngałem: tak/nie? Oblicz

⟨M⟩_{t} =

oraz

∫_{0}^{t} e^{W_{s}} dM_{s} =

3. Niech X = (X_{t})_{0 t 1} będzie martyngałem lokalnym. Które z następujących warunków implikują, że X jest martyngałem (podkreśl właściwe odpowiedzi): |X_{t}| C dla wszystkich t, gdzie C - skończona stała, E sup_{t} |X_{t}| < ∞, X_{t} 0 dla wszystkich t p.n., X_{t} 0 dla wszystkich t p.n. oraz EX_{1} = EX_{0}.

4. Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym, M_{0} = 0. Zapisz proces Z = e^{M− \frac{1}{2} ⟨M⟩} w takiej postaci by było widać, że jest martyngałem lokalnym

Z_{t} =

5. Przedstaw poniższą całkę stochastyczną w postaci nie zawierającej całek stochastycznych

∫_{0}^{t} W_{s}^{8}dW_{s} =

6. Niech X_{t} = ∫_{0}^{t} \sqrt{|W_{s}| + 1}dW_{s}. Oblicz EX_{t} = oraz Var(X_{t}) = (Uwaga: E|g| = \sqrt{2/π} dla g ∼ N (0, 1)).

7. Podaj definicję nawiasu skośnego ⟨M, N⟩ dla dwu martyngałów lokalnych M i N.

8. Podaj definicję przestrzeni L_{∞}^{2} .

9. Proces dyfuzji X jest zadany przez równanie

dX_{t} = 2X_{t})dW_{t} + cos(X_{t})dt.

Niech A będzie operatorem infinitezymalnym dla X. Wtedy dla f ∈ C_{zw}^{2}(ℝ) mamy Af(x) =

10. Uzupełnij sformułowanie twierdzenia Levy’ego: Martyngał lokalny (X_{t})_{t 0} jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy

11. Rozpatrzmy stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t} = 2 sin(X_{t})dW_{t} + X_{t}dt, X_{0} = 2.

Równanie to ma (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): słabe rozwiązanie, mocne rozwiązanie, rozwiązanie będące martyngałem lokalnym, rozwiązanie jednoznaczne w sensie trajektorii.