Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Procesów Stochastycznych I grupa I, 29 czerwca 2006

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych zadań należy napisać na osobnych kartkach.

1. (8pkt) Dana jest jednorodna w czasie rodzina Markowa (X_{t})_{t 0} na pewnej przestrzeni stanów E o funkcji przejścia P_{t}(·, ·). Wiadomo, iż istnieje t_{0} > 0 oraz Γ ⊆ E o tej własności, że dla każdego x ∈ E,

P_{x}(X_{t_{0}} ∈ Γ) 1/2.

Udowodnij, że dla dowolnej liczby s > t_{0} i dowolnego x ∈ E,

P_{x}(X_{s} ∈ Γ) 1/2.

2. (8pkt) Wyznacz wszystkie funkcje f : [0, π/2] → (0, ∞) takie, że proces X_{t} = f(t)W_{2 sin t} ma przyrosty niezależne na [0, π/2]. Czy istnieje f dla którego X jest procesem Wienera na [0, π/2]?

3. (8pkt) Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa o wartościach rzeczywistych i gęstości przejścia p_{t}(x, y). Czy proces 5X_{4t}^{3} jest procesem Markowa? W przypadku twierdzącej odpowiedzi podaj funkcję przejścia dla tego procesu.

4. (8pkt) a) Znajdź wszystkie funkcje f(s) takie, że (W_{s}^{3} −f(s)W_{s}) jest martyngałem względem naturalnej filtracji generowanej przez W_{t}.

b) Czy istnieje wielomian stopnia trzeciego p(x) taki, że p(W_{t}) jest martyngałem względem naturalnej filtracji generowanej przez W_{t}?

Część testowa

1. (3pkt) Oblicz P(inf_{0 t 3} W_{t} −5) =

2. (3pkt) τ jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{W} takim, że P(τ < ∞) = 1. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): EW_{τ} = 0, EW_{τ∧1} = 0, EW_{τ}^{2} Eτ, EW_{τ}^{2} Eτ.

3. (3pkt) Podaj warunki dostateczne dla tego, by rodzina Markowa (X_{t})_{t 0} o wartościach rzeczywistych miała mocną własność Markowa względem filtacji F_{t+}^{X} .

4. (3pkt) Które z poniższych własności implikują zbieżność w L^{2} przy t → ∞ martyngału (X_{t})_{t 0} o ciągłych trajektoriach (podkreśl): E sup_{t} X_{t}^{2} < ∞, sup_{t} EX_{t}^{2} < ∞, jednostajna całkowalność (X_{t}), jednostajna całkowalność (X_{t}^{2}).

5. (3pkt) Proces X ma te same rozkłady skończenie wymiarowe, co proces Wienera W. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): istnieje proces Wienera będący modyfikacją X, X jest procesem Markowa, lim_{t→∞} X_{t}/t = 0 p.n., X jest martyngałem względem F_{t}^{X} .

6. (3pkt) Które z poniższych procesów są gaussowskie (podkreśl): W_{4t}+sint, (W_{2t}+W_{t})I_{W_{t} ≠W_{2t}} , (W_{2t} + W_{t})I_{W_{t} W_{2t}} , W_{t}W_{1}.

7. (3pkt) Podaj gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (W_{2}, W_{7}).

8. (5pkt) Oblicz a) P(W_{2} − 3W_{3} + 4W_{7} 2) =

b) P(N_{5} = 3|F_{4}^{N} ) =

c) P(N_{4} = N_{3} N_{1} + 1) =

9. (3pkt) Niech A będzie generatorem półgrupy dla procesu Wienera W. Czy funkcja f(t) = e^{−t^{2}} należy do D(A)? Jeśli tak, to oblicz Af =

10. (2pkt) Podaj definicję progresywnej mierzalności procesu (X_{t})_{t∈[0,2]} o wartościach rzeczywistych.

11. (3pkt) W zależności od α ∈ ℝ oblicz

lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{|t|^{α}} =

12. (4pkt) Uzupełnij: X = (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa na przestrzeni stanów E = {1, 2} z macierzą przejścia

P^{t} = a ( \begin{matrix}2 + e^{−4t} & b + ce^{−4t} \\ d + fe^{−4t} & 1 + ge^{−4t} \end{matrix} ) .

Wówczas a =......,b = ......., c = ......, d = ....., e = ....., f = ......., g = ........ Jeśli dodatkowo X jest procesem stacjonarnym, to P(X_{2} = 1) =.............

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Procesów Stochastycznych I grupa II, 29 czerwca 2006

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych zadań należy napisać na osobnych kartkach.

1. (8pkt) Wyznacz wszystkie funkcje f : [0, π] → (0, ∞) takie, że proces X_{t} = f(t)W_{sin(t/2)} ma przyrosty niezależne na [0, π]. Czy istnieje f dla którego X jest procesem Wienera na [0, π]?

2. (8pkt) a) Znajdź wszystkie funkcje f(s) takie, że (W_{s}^{3} +f(s)W_{s}) jest martyngałem względem naturalnej filtracji generowanej przez W_{t}.

b) Czy istnieje wielomian stopnia trzeciego p(x) taki, że p(W_{t}) jest martyngałem względem naturalnej filtracji generowanej przez W_{t}?

3. (8pkt) Dana jest jednorodna w czasie rodzina Markowa (X_{t}) na pewnej przestrzeni stanów E o funkcji przejścia P_{t}(·, ·). Wiadomo, iż istnieje t_{0} > 0 oraz Γ ⊆ E o tej własności, że dla każdego x ∈ E,

P_{x}(X_{t} ∈ Γ) 1/2.

Udowodnij, że dla dowolnej liczby s > t_{0} i dowolnego x ∈ E,

P_{x}(X_{s} ∈ Γ) 1/2.

4. (8pkt) Załóżmy, że (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa o wartościach rzeczywistych i gęstości przejścia p_{t}(x, y). Czy proces 3X_{2t}^{5} jest procesem Markowa? W przypadku twierdzącej odpowiedzi podaj funkcję przejścia dla tego procesu.

Część testowa

1. (3pkt) Podaj gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (W_{3}, W_{9}).

2. (3pkt) Które z poniższych własności implikują zbieżność w L^{2} przy t → ∞ martyngału (X_{t})_{t 0} o ciągłych trajektoriach (podkreśl): jednostajna całkowalność (X_{t}), jednostajna całkowalność (X_{t}^{2}), sup_{t} EX_{t}^{2} < ∞, E sup_{t} X_{t}^{2} < ∞.

3. (4pkt) Uzupełnij: X = (X_{t})_{t 0} jest jednorodnym procesem Markowa na przestrzeni stanów E = {1, 2} z macierzą przejścia

P^{t} = a ( \begin{matrix}1 + 2e^{−3t} & b + ce^{−3t} \\ d + fe^{−3t} & g + e^{−3t} \end{matrix} ) .

Wówczas a =......,b = ......., c = ......, d = ....., e = ....., f = ......., g = ........ Jeśli dodatkowo X jest procesem stacjonarnym, to P(X_{3} = 1) =.............

4. (3pkt) Proces X ma te same rozkłady skończenie wymiarowe, co proces Wienera W. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): X jest procesem Markowa, X jest martyngałem względem F_{t}^{X} , istnieje proces Wienera będący modyfikacją X, lim_{t→∞} X_{t}/t = 0 p.n..

5. (3pkt) Niech A będzie generatorem półgrupy dla procesu Wienera W. Czy funkcja f(t) = e^{−t^{2} /2} należy do D(A)? Jeśli tak, to oblicz Af =

6. (3pkt) τ jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{W} takim, że P(τ < ∞) = 1. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): EW_{τ}^{2} Eτ, EW_{τ}^{2} Eτ, EW_{τ∧1} = 0, EW_{τ} = 0.

7. (3pkt) Które z poniższych procesów są gaussowskie (podkreśl): W_{t}W_{1}, (W_{4t} −W_{t})I_{W_{2t} ≠W_{4t}} , (W_{4t} − W_{t})I_{W_{4t} W_{t}} , W_{4t} + sint.

8. (3pkt) W zależności od α ∈ ℝ oblicz

lim sup_{t→∞}|t|^{α} W_{t} =

9. (3pkt) Oblicz P(inf_{0 t 5} W_{t} −3) =

10. (5pkt) Oblicz a) P(W_{1} − 4W_{3} + 5W_{5} 1) =

b) P(N_{7} = 5|F_{5}^{N} ) =

c) P(N_{4} − 1 N_{2} = N_{1} + 1) =

11. (2pkt) Podaj definicję progresywnej mierzalności procesu (X_{t})_{t∈[0,5]} o wartościach rzeczywistych.

12. (3pkt) Podaj warunki dostateczne dla tego, by rodzina Markowa (X_{t})_{t 0} o wartościach rzeczywistych miała mocną własność Markowa względem filtracji F_{t+}^{X} .