EGZAMIN Z PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH

29 maja 2000r.

1. (10p.) (ξ_{t})_{t∈T} jest procesem o przyrostach niezależnych. Udowodnij, że f(t) = D^{2}(ξ_{t}) jest niemalej _{}ac _{}a funkcj _{}a t.

2. (10p.) T_{1}, T_{2}, T_{3} s _{}a momentami Markowa wzgl_{}edem (F_{t})_{t≥0}. Które z nast_{}epuj _{}acych zmiennych s _{}a momentami Markowa: T_{1} + 1, T_{1} − 1, T_{1} + T_{2}, max(T_{1}, T_{2}), max(min(T_{1}, T_{2}), T_{3})?

3. (12p.) Przypuśćmy, że (G_{t})_{t≥0} jest procesem gaussowskim o niezależnych przyrostach. Rozpatrzmy nast_{}epuj _{}ace trzy procesy: X_{t} = G_{t} + t^{2}, Y_{t} = t^{2}G_{t}, Z_{t} = (G_{t})^{2}. Które z tych procesów s _{}a procesami gaussowskimi? Które maj _{}a niezależne przyrosty?

4. (10p.) (N_{t})_{t≥0} jest procesem Poissona z intensywnościa λ, α jest ustalon _{}a liczb _{}a rzeczywist _{}a dodatni _{}a, F_{t} = σ{N_{s} : s ≤ t}, Wyznacz f(t) tak, by exp(αN_{t} − f(t)) było martyngałem wzgl_{}edem filtracji (F_{t}).

5. (10p.) W_{t}^{1}, W_{t}^{2} s _{}a dwoma niezależnymi procesami Wienera. Dla jakich α, β ∈ R proces Z_{t} = αW_{t}^{1} + βW_{t}^{2} b_{}edzie procesem Wienera?

6. (10p.) Niech E = {1, 2}. Rozważmy funkcj_{}e P (t, i, {j}) = a_{ij}(t), i, j = 1, 2, gdzie macierz A(t) = (a_{ij}(t)) dana jest wzorem:

A(t) = [ \begin{matrix}\frac{3+2e^{−5t}}{5} , & \frac{2−2e^{−5t}}{5} \\ \frac{3−3e^{−5t}}{5} , & \frac{2+3e^{−5t}}{5} \end{matrix} ] .

Udowodnij, że istnieje proces Markowa o przestrzeni stanów E, dla którego P jest funkcj _{}a przejścia. Wyznacz jego generator.

7. (15p.) Czy proces Ornsteina-Uhlenbecka (G_{t} = e^{−t}W_{e^{2t}}) jest mocnym procesem Markowa?

8. (10p.) Na przestrzeni stanów E = {3, 7} rozważmy jednorodny łańcuch Markowa o macierzy przejścia

A = [ \begin{matrix}\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix} ] .

Wyznacz półgrup_{}e operatorów, zwi _{}azanych z tym łańcuchem Markowa.

9*. (30p.) W_{t} jest jednowymiarowymruchem Browna, natomiast M_{t} = sup_{0≤s≤t} W_{s}. Czy M_{t} jest procesem Markowa? Czy (M_{t}, W_{t}), traktowany jako proces o wartościach w R^{2}, jest procesem Markowa? W przypadku odpowiedzi twierdz _{}acych wyznacz funkcj_{}e przejścia.