Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin poprawkowy z procesów stochastycznych grupa I, 10 września 2002

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 3 zadań należy napisać na osobnych kartkach.

1. Proces (X_{t})_{t 0} ma przyrosty niezależne, przy czym EX_{t} = 0, Var(X_{t}) = t^{2}. Oblicz Cov(X_{t}, X_{s}). Czy istnieje funkcja f(t) taka, że (X_{t}^{2} + f(t))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{X} ?

2. Czy (t^{2}W_{t}) jest procesem Markowa? Jeśli tak to znajdź funkcję przejścia dla tego procesu.

3. (X_{t})_{0 t 1} jest procesem gaussowskim o średniej 0 takim, że dla wszystkich s, t ∈ [0, 1] za-

chodzi

Var(X_{t} − X_{s}) 2\sqrt{|t − s|} .

Wykaż, że (X_{t})_{0 t 1} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

Część Testowa

1. Które z poniższych procesów są gaussowskie (podkreśl właściwe odpowiedzi)? W_{3t}; |W_{t}|; t^{2}W_{5t} + t; N_{t}; W_{t}W_{1}.

2. τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które z następujących zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej filtracji (podkreśl)? 2τ ∧ σ; τ^{2}; τ^{2} + 1 (τ − 1) ∨ (σ + 1).

3. Napisz równanie Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych macierzy przejścia (można przyjąć, że przestrzeń stanów to zbiór liczb naturalnych ℕ).

p_{s+t} (x, y) =

4. Dla s > 0 oblicz P(sup_{0 t s} W_{t} 1) =

5. Jaki rozkład ma zmienna 2W_{1} + 3W_{2} − 3W_{3}?

6. Dla 0 < t < s oblicz E(e^{2N_{s}} |F_{t}^{N} ) =

7. Które z następujących procesów są martyngałami względem filtracji (F_{t}^{W})_{t 0} (podkreśl)? |W_{t}|; W_{t} + 1; W_{t} + W_{1}; 2W_{t}^{2} + 3W_{t} − 2t.

8. (X_{t})_{t 0} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} (·, ·) takim, że P(X_{0} = x) = 1. Dla 0 < s < t oblicz

P(X_{s} < X_{t}) =.

9. Niech (M_{t})_{t 0} będzie nieujemnym prawostronnie ciągłym martyngałem. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): M_{t} jest zbieżny prawie na pewno przy t → ∞; M_{t} jest zbieżny w L^{1} przy t → ∞; E sup_{t 0} |M_{t}| < ∞; sup_{t 0} E|M_{t}| < ∞.

10. Oblicz P(N_{1} N_{3}) =.............................. oraz P(N_{1} < N_{3}) =.............................. .

11. Podkreśl pary zmiennych losowych niezależnych:

{W_{2}, W_{3} − W_{2}}; {W_{3}, W_{3} − W_{2}}; {W_{1} + W_{2}, W_{3} − W_{2}}.

12. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem takim, że sup_{t 0} EM_{t}^{2} < ∞. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): E sup_{t 0} M_{t}^{2} < ∞; EM_{t} = 0; (M_{t})_{t 0} jest jednostajnie całkowalny; EM_{s}^{2} EM_{t}^{2} dla s t.

13. (X_{t})_{t 0} jest procesem takim, że P(X_{t} ≠ W_{t}) = 0 dla wszystkich t 0. Wynika stąd, że proces (X_{t})_{t 0} (podkreśl właściwe odpowiedzi): jest procesem gaussowskim; ma ciągłe trajektorie; ma modyfikację ciągłą; ma przyrosty niezależne; jest procesem Markowa.

14. Podaj definicję funkcji przejścia P_{s,t} (x, Γ).

15. Podaj definicję półgrupy operatorów kontrakcji na przestrzeni Banacha (F, ∥·∥) oraz zdefiniuj generator (operator infinitezymalny) takiej półgrupy.

Imię i nazwisko:......................................................

Egzamin poprawkowy z procesów stochastycznych grupa II, 10 września 2002

Uwaga: W poniższych zadaniach W = (W_{t})_{t 0} oznacza zawsze standardowy proces Wienera w ℝ, a N = (N_{t})_{t 0} proces Poissona z intensywnością λ.

Część zadaniowa

Pełne rozwiązania poniższych 3 zadań należy napisać na osobnych kartkach.

1. Czy ((1 + t)W_{t})_{t 0} jest procesem Markowa? Jeśli tak to znajdź funkcję przejścia dla tego procesu.

2. (X_{t})_{0 t 1} jest procesem gaussowskim o średniej 0 takim, że dla wszystkich s, t ∈ [0, 1] za-

chodzi

Var(X_{t} − X_{s}) ^{3} \sqrt{|t − s|} .

Wykaż, że (X_{t})_{0 t 1} ma modyfikację o ciągłych trajektoriach.

3. Proces (X_{t})_{t 0} ma przyrosty niezależne, przy czym EX_{t} = 0, Var(X_{t}) = \sqrt{t + 1} . Oblicz Cov(X_{t}, X_{s}). Czy istnieje funkcja f(t) taka, że (X_{t}^{2} + f(t))_{t 0} jest martyngałem względem filtracji F_{t}^{X} ?

Część Testowa

1. (X_{t})_{t 0} jest procesem takim, że P(X_{t} ≠ W_{t}) = 0 dla wszystkich t 0. Wynika stąd, że proces (X_{t})_{t 0} (podkreśl właściwe odpowiedzi): jest procesem Markowa; jest procesem gaussowskim; ma ciągłe prawie wszystkie trajektorie; ma modyfikację ciągłą; ma przyrosty niezależne;

2. Jaki rozkład ma zmienna 4W_{1} + 2W_{2} − 2W_{3}?

3. Które z poniższych procesów są gaussowskie (podkreśl właściwe odpowiedzi)? tW_{t^{2}} + W_{1}; W_{3t}; W_{t}^{3}; N_{t}; W_{t}W_{1}.

4. τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{t})_{t 0} . Które z następujących zmiennych losowych muszą być momentami zatrzymania względem tej filtracji (podkreśl)? τ ∨ (σ − 3); \sqrt{τ}; \sqrt{τ} ∧ 1 3τ ∧ (σ + 1).

5. Dla s > 0 oblicz P(sup_{0 t s} W_{t} 5) =

6. Dla 0 < t < s oblicz E(e^{−N_{s}} |F_{t}^{N} ) =

7. Napisz równanie Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych macierzy przejścia (można przyjąć, że przestrzeń stanów to zbiór liczb naturalnych ℕ).

p_{s+t} (k, l) = 8. Które z następujących procesów są martyngałami względem filtracji (F_{t}^{W})_{t 0} (podkreśl)?

W_{t} + 3; |W_{t}|; W_{t} + W_{1}; 5W_{t}^{2} + 2W_{t} − 5t.

9. (X_{t})_{t 0} jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} (·, ·) takim, że P(X_{0} = 0) = 1. Dla 0 < s < t oblicz

P(X_{s} + 1 > X_{t}) =.

10. Podaj definicję funkcji przejścia P_{s,t} (x, Γ).

11. Niech (M_{t})_{t 0} będzie nieujemnym prawostronnie ciągłym martyngałem. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): M_{t} jest zbieżny prawie na pewno przy t → ∞; sup_{t 0} E|M_{t}| < ∞; E sup_{t 0} |M_{t}| < ∞; M_{t} jest zbieżny w L^{1} przy t → ∞.

12. Oblicz P(N_{2} N_{3}) =.............................. oraz P(N_{2} > N_{3}) =.............................. .

13. Podkreśl pary zmiennych losowych niezależnych:

{W_{4}, W_{4} − W_{3}}; {W_{3}, W_{4} − W_{3}}; {W_{2} + W_{3}, W_{4} − W_{3}}.

14. Niech (M_{t})_{t 0} będzie prawostronnie ciągłym martyngałem takim, że sup_{t 0} EM_{t}^{2} < ∞. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): E sup_{t 0} M_{t}^{2} < ∞; (M_{t})_{t 0} jest zbieżny w L^{1}; EM_{s}^{2} EM_{t}^{2} dla s t; EM_{t} = 0.

15. Podaj definicję półgrupy operatorów kontrakcji na przestrzeni Banacha (F, ∥·∥) oraz zdefiniuj generator (operator infinitezymalny) takiej półgrupy.