Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw I

1. Niech x_{0} będzie ustalonym punktem S^{n} a H podprzestrzenią w ℝ^{n+1} wymiaru n, nie przechodzącą przez x_{0}. Wówczas ℝ^{n+1} \H jest sumą dwóch otwartych półprzestrzeni H_{+} zawierającej x_{0} i H_{−} nie zawierającej x_{0}. Niech i = i_{H} : S^{n} → S^{n} będzie odbiciem względem H. Określmy dla mierzalnej, ograniczonej funkcji f: S^{n} → ℝ

f^{H} (x) := \{ \begin{matrix}max\{f(x), f(ix)\} & dla x ∈ H_{+} \\ min\{f(x), f(ix)\} & dla x ∈ H_{−} \\ f(x) & dla x ∈ H \end{matrix}

Wykaż, że

i) f i f^{H} mają ten sam rozkład względem σ_{n}; ii) Jeśli f jest Lipschitzowska ze stałą L, to f^{H} też jest Lipschitzowska ze stałą L; iii) ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)f(x)dσ_{n}(x) ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)f^{H} (x)dσ_{n}(x), ponadto, jeśli f jest ciągła, to równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy f = f^{H}.

2. Funkcję g na S^{n} nazywamy radialną (względem ustalonego punktu x_{0} ∈ S^{n}, jeśli d(x, x_{0}) d(y, x_{0}) implikuje g(x) g(y). Jeśli f: S^{n} → ℝ jest funkcją mierzalną ograniczoną to jej radialną symetryzacją nazywamy funkcję radialną f^{∗} o takim samym rozkładzie względem σ_{n}, co f. Udowodnij, że

i) Funkcja f^{∗} istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero. ii) Funkcja g jest radialna wtedy i tylko wtedy, gdy g^{H} = g dla wszystkich H.

3. Ustalmy funkcję L-Lipschitzowską f: S^{n} → ℝ i niech

A := {g: S^{n} → ℝ: g L-Lipschitzowska o tym samym rozkładzie względem σ_{n} co f }.

Ponadto niech m := inf_{g∈A} ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g(x)dσ_{n}(x). Udowodnij, że

i) Istnieje ciąg (g_{k}) ⊂ A jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji g taki, że ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g_{k}(x)dσ_{n}(x) → m przy k → ∞ (skorzystać z twierdzenia Arzeli-Ascoli) ii) g ∈ A oraz m = ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g(x)dσ_{n}(x). iii) g = f^{∗}.

4. (Izoperymetria sferyczna) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w S^{n} takim, że σ_{n}(A) = σ_{n}(B(x_{0}, r)), to

i) Dla wszystkich t > 0, σ_{n}(A_{t}) σ_{n}((B(x_{0}, r))_{t}) = σ_{n}(B(x_{0}, r + t)). ii) σ_{n}^{+} (A) σ_{n}^{+} (B(x, r)). Wskazówka. Wykorzystaj fakt, że symetryzacja radialna funkcji max{t − d(x, A), 0} jest 1-Lipschitzowska.

5. Wykaż, że σ_{n}(A) \frac{1}{2} implikuje 1 − σ_{n}(A_{t}) e^{−(n−1)t^{2} /2} .

6. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f: S^{n} → ℝ, L-lipschitzowskiej,

σ_{n}({x: f(x) Med_{σ_{n}} (f) + Lt}) e^{−(n−1)t^{2} /2}

oraz

σ_{n}({x: |f(x) − Med_{σ_{n}} (f)| Lt}) 2e^{−(n−1)t^{2} /2} ,

gdzie Med_{σ_{n}} (f) oznacza medianę funkcji f względem σ_{n}. Udowodnij ponadto, że

|Med_{σ_{n}} (f) − ∫ fdσ_{n}| CL(n − 1)^{−1/2}

i wywnioskuj stąd, że

σ_{n}({x: |f(x) − ∫ fdσ_{n}| Lt}) C′e^{−(n−1)t^{2} /4} ,

gdzie C i C′ są pewnymi stałymi uniwersalnymi.

7. Korzystając z faktu, że suma zbiorów borelowskich jest zbiorem mierzalnym wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B ⊂ ℝ^{n}

vol_{n}(A + B)^{1/n} vol_{n}(A)^{1/n} + vol_{n}(B)^{1/n} .

8. Wykaż, że zbiór K + L jest i) wypukły, jeśli zbiory K i L są wypukłe; ii) wielościanem wypukłym, jeśli K i L są wielościanami wypukłymi; iii) symetryczny, jeśli zbiory K i L są symetryczne.

9. Zonotopem nazywamy podzbiór ℝ^{n} postaci I_{1} + I_{2} + … + I_{k}. Wykaż, że i) zonotop jest wypukłym wielościanem posiadającym środek symetrii, ii) każdy środkowosymetryczny wielokąt wypukły na płaszczyźnie jest zonotopem, iii) zbiór B_{1}^{3} = {x ∈ ℝ^{3} : |x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| 1} nie jest zonotopem.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw II

1. Wykaż, że dla dowolnej funkcji L-Lipschitzowskiej f: ℝ^{n} → ℝ i ε > 0 istnieje funkcja L-Lipschitzowska g klasy C^{1} taka, że ∥f − g∥_{∞} ε.

2. Udowodnij, że istnieje stała uniwersalna C taka, że dla 1 < p < ∞, dowolnej funkcji L-Lipschitzowskiej F,

|( ∫ |F |^{p}dγ_{n})^{1/p} − ∫ |F |dγ_{n} | C\sqrt{p}L

oraz

|Med_{γ_{n}} (F) − ∫ F dγ_{n} | CL.

Gdy γ_{n} zastąpimy przez σ_{n} to zachodzą analogiczne nierówności tylko ze stałą \frac{L}{\sqrt{n−1}} zamiast L. Wywnioskuj stąd, że dla dowolnego wektora gaussowskiego w ℝ^{n},

|(𝔼∥X∥^{p})^{1/p} − 𝔼∥X∥| C\sqrt{p}σ(X) i |𝔼∥X∥ − Med(∥X∥)| Cσ(X).

3. Niech G będzie kanonicznym wektorem gaussowskim w ℝ^{n}. Wykaż, że i) ℙ(||G| − \sqrt{n}| t) C exp(−ct^{2}) dla pewnych stałych C < ∞ oraz c > 0. ii) |(𝔼|G|^{p})^{1/p} − \sqrt{n}| C\sqrt{p}, p 1, iii) 𝔼∥G∥_{∞} ∼ \sqrt{log(n + 1)} i 𝔼∥G∥_{∞} ∼ \sqrt{log(n + 1)} + \sqrt{p}, p 1.

4. Załóżmy, że E jest ośrodkową przestrzenią Banacha, a X wektorem gaussowskim w X (tzn. takim wektorem, że φ(X) jest gaussowski dla każdego funkcjonału φ). Wykaż, że dla t > 0,

ℙ(|∥X∥ − 𝔼∥X∥| tσ(X)) 2 exp(−\frac{2}{π^{2}} t^{2}),

gdzie

σ(X) = sup_{∥φ∥_{∗} 1} Var^{1/2} (φ(X)).

Wskazówka. Istnieją takie funkcjonały φ_{1}, φ_{2}, … o normie nie większej niż 1, że ∥x∥ = sup_{n} |φ_{n}(x)| dla x ∈ E.

5. Założmy, że g_{1}, g_{2}, … są niezależnymi zmiennymi N (0, 1), a x_{0}, x_{1}, x_{2}, … takimi wektorami w ośrodkowej przestrzeni Banacha E, że szereg X = x_{0} + ∑ _{i=1}^{n} x_{i}g_{i} jest zbieżny w L_{2}. Oblicz σ(X).

6. Udowodnij, że klasa wszystkich niepustych zwartych podzbiorów ustalonego zbioru zwartego K jest zwartą przestrzenią w metryce Hausdorffa.

7. Pokaż, że granicą zbiorów wypukłych w metryce Hausdorffa jest zbiór wypukły, a granicą zbiorów symetrycznych jest zbiór symetryczny.

8. Wykaż, że infimum w definicji metryki geometrycznej i Banacha-Mazura jest osiągane.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw III

1. Niech E będzie elipsoidą. Oblicz d_{G}(E, B_{2}^{n}).

2. Pokaż, że d_{BM}(K, L) = d_{BM}((ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}), (ℝ^{n}, ∥ ∥_{L})) dla dowolnych symetrycznych n-wymiarowych ciał wypukłych K i L.

3. Oblicz d_{BM}(B_{2}^{n}, B_{p}^{n}) dla 1 p ∞.

4. Załóżmy, że K jest wielościanem w ℝ^{n} takim, że d_{BM}(B_{2}^{n}, K) d, pokaż, że K ma przynajmniej e^{n/(2d^{2} )} ścian. Wskazówka. Załóżmy, że K = {x: ⟨x, v_{i}⟩ 1, i = 1, …, m} oraz B_{2}^{n} ⊂ K ⊂ dB_{2}^{n}. Wówczas |v_{i}| 1 oraz S^{n−1} ⊂ ⋃ _{i} C(v_{i}, \frac{1}{d}), gdzie C(v, ε) = {x: ⟨x, v⟩ ε}. Ponadto σ_{n−1} (C(v, ε)) (1 − ε^{2})^{n/2} dla |v| = 1 i ε ∈ (0, 1).

5. Wykaż, że dla ε > 0 istnieje wielościan w ℝ^{n} o conajwyżej C(ε)^{n} ścianach taki, że d_{BM}(B_{2}^{n}, K) 1 + ε, gdzie C(ε) jest stałą zależną tylko od n.

6. Udowodnij, że n^{−1/2} B_{2}^{n} jest elipsoidą maksymalnej objętości zawartą w B_{1}^{n}. Znajdź elipsoidę maksymalnej objętości w B_{p}^{n}.

7. Wykaż, że jeśli K jest ciałem wypukłym, to istnieje dokładnie jedna elipsoida maksymalnej objętości E_{max} zawarta w K. Ponadto, jeśli x jest środkiem E_{max} , to E_{max} − x ⊂ K − x ⊂ n(E_{max} − x).

8. Udowodnij, że d_{BM}(l_{1}^{n}, l_{∞}^{n} ) \sqrt{n}, jeśli n = 2^{m}. (Wskazówka. Użyj macierzy Walsha.)

9. Wykaż, że d_{BM}(l_{1}^{n}, l_{∞}^{n} ) ∼ \sqrt{n} dla wszystkich n.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw IV

1. Wykaż, że i) A^{0} jest domkniętym, wypukłym podzbiorem ℝ^{n} zawierającym 0, ii) A^{0} = conv(A)^{0}, iii) A^{0} jest zwarty, jeśli 0 ∈ int(conv(A)), iv) 0 ∈ int(A^{0}), jeśli A jest ograniczony,

v) A^{0} jest symetryczny, jeśli A jest symetryczny, vi) (T^{∗})^{−1} (A^{0}) = (T (A))^{0} dla T ∈ GL(n), w szczególności (tA)^{0} = \frac{1}{t}A^{0} dla t > 0, vii) A^{0} ⊃ B^{0}, jeśli A ⊂ B.

2. Niech E będzie elipsoidą o środku w zerze, znajdź E^{0}. Oblicz vol_{n}(E)vol_{n}(E^{0}).

3. Wykaż, że istnieje dokładnie jedna elipsoida symetryczna minimalnej objętości E_{min} zawierająca symetryczne n-wymiarowe ciało wypukłe K oraz E_{min} ⊃ K ⊃ n^{−1/2} E_{min} .

4. Udowodnij, że dla zbiorów wypukłych K i L, conv(K, L)^{0} = K^{0} ∩L^{0} oraz, jeśli 0 ∈ K ∩ L, to (K ∩ L)^{0} = conv(K^{0}, L^{0}).

5. Dla przestrzeni metrycznej (T, d) określmy

S(T, d, ε) := sup{N: istnieją x_{1}, …, x_{N} ∈ T, d(x_{i}, x_{j}) > ε dla i ≠ j},

udowodnij, że N(T, d, ε) S(T, d, ε) N(T, d, ε/2).

6. Zdefiniujmy dla ciał wypukłych K, L,

Ñ(K, L) := inf {N: K ⊂ ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + L) dla pewnych x_{1}, …, x_{N} ∈ ℝ^{n}}.

Pokaż, że Ñ(K, L) N(K, L), ponadto dla symetrycznych ciał L, N(K, 2L) Ñ(K, L).

7. Wykaż, że N(K_{1} + … + K_{n}, L_{1} + … + L_{n}) ∏ _{i=1}^{n} N(K_{i}, L_{i}).

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw V

1. Niech E będzie symetryczną elipsoidą w ℝ^{n}, wykaż, że istnieje przestrzeń V wymiaru k n/2 taka, że V ∩E jest kulą euklidesową. Wywnioskuj stąd, że dla symetrycznego ciała wypukłego K i ε > 0 istnieje podprzestrzeń V wymiaru k c(ε)d(K) taka, że d_{G}(K ∩ V, B_{2}^{n} ∩ V) 1 + ε.

2. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n} takim, że istnieje podprzestrzeń V wymiaru k dla której d_{BM}(K ∩ V, B_{2}^{k}) a, to d(K) c(a)k.

3. Wykaż, że dla symetrycznych ciał wypukłych K i L, d(K) d(L)d_{BM}(K, L). W szczególności d(K) = d(T K) dla T ∈ GL(n).

4. Udowodnij, że dla dowolnego n-wymiarowego ciała wypukłego w ℝ^{n},

d(K)d(K^{0}) c\frac{n^{2}}{d_{BM}^{2}(K, B_{2}^{n})} .

W szczególności d(K)d(K^{0}) cn, czyli max\{d(K), d(K^{0})\} \sqrt{n}.

5. Pokaż, że dla dowolnej podprzestrzeni V i symetrycznego ciała wypukłego (K ∩ V)^{0} = P_{V}(K^{0}), gdzie P_{V} oznacza rzut ortogonalny na V.

6. Wykaż dualną wersję twierdzenia Dvoretzky’ego - dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K istnieje rzut P na przestrzeń wymiaru k c(ε)d(K^{0}) taki, że d_{BM}(P K, B_{2}^{k}) 1 + ε.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw VI

Załóżmy, że (M, ρ) jest zwartą przestrzenią metryczną, zaś G jej grupą izometrii. Pokażemy, że istnieje miara probabilistyczna μ na M niezmiennicza względem działania G.

1. Niech N_{ε} oznacza minimalną ε-sieć w M oraz

φ_{ε}(f) = \frac{1}{|N_{ε}|} ∑_{x∈N_{ε}} f(x) dla f ∈ C(M).

Wykaż, że

i) da się wybrać taki podciąg ε_{n} → 0, że dla każdego f ∈ C(M) istnieje granica φ(f) = lim_{n→∞} φ_{ε_{n}} (f). ii) φ(f) = ∫_{M} f(x)dμ(x) dla pewnej miary probabilistycznej f; iii) jeśli N′_{ε} jest inną minimalną ε-siecią, to istnieje takie przyporządkowanie, że u: N_{ε} → N′_{ε}, że ρ(x, u(x)) 2ε dla wszystkich x (Wsk. skorzystaj z lematu Halla o małżeństwach); iv) μ jest G-niezmiennicza, tzn. μ(gA) = μ(A) dla g ∈ G.

2. Wykaż, że jeśli grupa izometrii jest tranzytywna, to miara μ jest wyznaczona jednoznacznie.

3. Załóżmy teraz, że (G, ρ) jest zwartą grupą metryczną. Wówczas oczywiście G jest podgrupą izometrii. Miarę G-niezmienniczą skonstruowaną w poprzednim zadaniu nazywamy miarą Haara. Wykaż, że

i) miara Haara jest niezmiennicza ze względu zarówno na mnożenie z lewej jak i z prawej strony; ii) miara Haara jest niezmiennicza ze względu na odwrotność, tzn. μ(A) = μ(A^{−1} ).

4. Załóżmy, że n = 2k. Wykaż, że istnieje macierz a ∈ O(n) taka, że A^{2} = I oraz dla dowolnego x ∈ ℝ^{n},

\frac{1}{C} \sqrt{n}∥x∥_{2} ∥x∥_{1} + ∥Ax∥_{1} 2\sqrt{n}∥x∥_{2}

gdzie C jest stałą uniwersalną.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw VII

1. Wykaż następującą formę zasady minoryzacyjnej Sudakowa: jeśli (X_{t})_{t∈T} jest scentrowanym procesem gaussowskim, d(t, s) = (𝔼(X_{t} − X_{s})^{2})^{1/2} dla t, s ∈ T, to

sup_{ε>0}ε\sqrt{logN(T, d, ε)} C𝔼 sup_{t∈T}X_{t}.

Wskazówka. Sprowadzić do T ⊂ ℝ^{n} i X_{t} = ∑ _{i=1}^{n} t_{i}g_{i} dla t ∈ T. Potem zauważyć, że jeśli dla takich g(T) = 𝔼 sup_{t∈T} X_{t}, to g(T) = g(conv(T)) oraz g(conv(T, −T)) 2g(T) gdy 0 ∈ convT.

2. Wykaż, że i) Układ wielomianów Hermite’a na prostej

h_{k}(x) = \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k!}} e^{x^{2} /2} \frac{d^{k}}{dt^{k}}(e^{−x^{2} /2} ), k = 0, 1, 2, …

jest bazą ortonormalną w L_{2}(ℝ, γ_{1}). ii) Układ Hermite’a w ℝ^{n}

h_{α} (x) = ∏_{j=1}^{n} h_{α_{j}} (x_{j}), α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℕ^{n}

jest bazą ortonormalną w L_{2}(ℝ^{n}, γ_{n}).

3. Określmy półgrupę Ornsteina-Uhlenbecka wzorem

P_{t}f(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(e^{−t} x + (1 − e^{−2t} )^{1/2} y)dγ_{n}(y).

Udowodnij, że

i) P_{t}: L_{p}(ℝ^{n}, γ_{n}) → L_{p}(ℝ^{n}, γ_{n}) i ∥P_{t}f∥_{p} ∥f∥_{p}, 1 p ∞, ii) P_{t} jest półgrupą na L_{p}, tzn. P_{0}f = f, P_{t+s} = P_{t}P_{s}, iii) P_{t}f → ∫ fdγ_{n} w L_{p} = L_{p}(ℝ^{n}, γ_{n}) dla f ∈ L_{p}, 1 p < ∞, iv) Operatory P_{t} są samosprzężone na L_{2},

v) P_{t}h_{α} = e^{−t|α|} h_{α}. Wskazówka. Dla n = 1, P_{t}h_{k} jest wielomianem stopnia k, ortogonalnym do h_{l}, l < k.

4. Załóżmy, że E jest przestrzenią Banacha, a T jest ciągłym operatorem liniowym na L_{p}(X, μ), 1 p < ∞. Określmy

L_{p}(X, E) := {f: X → E mierzalne : ∥f∥_{p} = (∫_{X} ∥f(x)∥^{p}dμ)^{1/p} < ∞},

L_{p} ⊗ E := {f ∈ L_{p}(X, E): f = ∑_{i=1}^{k} u_{i}f_{i}, f_{i} ∈ L_{p}(X), u_{i} ∈ E}.

oraz S(∑ _{i=1}^{k} u_{i}f_{i}) = ∑ _{i=1}^{k} u_{i}T f_{i}. Jeśli S jest ciągłe, to oczywiście S ma jednoznaczne przedłużenie na domknięcie L_{p} ⊗ E w L_{p}(X, E). Zarówno S, jak i to przedłużenie, będziemy oznaczać przez T ⊗ Id. Wykaż, że

i) S jest dobrze określone; ii) L_{p} ⊗ E jest liniową podprzestrzenią L_{p}(E), oraz jest w niej gęsta, gdy E jest ośrodkowe; iii) Jeśli p = 2 oraz E jest przestrzenią Hilberta, to ∥S∥ = ∥T ∥, ogólniej ∥S∥ ∥T ∥d_{BM}(E, H), jeśli E jest izomorficzne z przestrzenią Hilberta H; iv) Jeśli P_{t} jest jak w poprzednim zadaniu, to

P_{t} ⊗ Idf(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(e^{−t} x + (1 − e^{−2t} )y)dγ_{n}(y)

oraz ∥S∥_{L_{p} (E)} 1;

v) Jeśli Q_{k} jest rzutem w L_{2}(γ_{n}) na Lin(h_{α} : |α| = k}, to

Q_{k} ⊗ Idf = ∑_{|α|=k} h_{α} ∫ f(x)h_{α} (x)dγ_{n}(x)

oraz

P_{t} ⊗ Id = ∑_{k=0}^{∞} e^{−tk} Q_{k} ⊗ Id.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw VIII

W zadaniach poniżej c i C oznaczają stałe uniwersalne, które mogą się różnić przy każdym wystąpieniu.

1. Określmy dla symetrycznego ciała wypukłego K w ℝ^{n}

M(K) = ∫_{S^{n−1}} ∥x∥^{2}dσ_{n−1} (x).

Wykaż, że

i) \sqrt{n}M(K) = (∫_{ℝ^{n}} ∥x∥_{K}^{2} dγ_{n}(x))^{1/2} .

ii) M(K)M(K^{0}) 1

iii) Istnieje T ∈ GL(n) takie, że

M(T K)M((T K)^{0}) C( 1 + log_{BM}(K, B_{2}^{n})) C(1 + logn).

2. Pokaż, że M(B_{1}^{n})M(B_{∞}^{n} ) c\sqrt{1 + log(n)} .

3. Udowodnij, że dla dowolnego T ∈ GL(n),

M(T B_{1}^{n})M((T B_{1}^{n})^{0}) c\sqrt{1 + log(n)} .

4. Pokaż, że istnieje n-wymiarowe ciało wypukłe takie, że

inf_{T ∈GL(n)} M(T K)M((T K)^{0}) c(1 + logn).

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw IX

Celem tego zestawu jest naszkicowanie dowodu, że dla dowolnej popprzestrzeni ℝ^{n} wymiaru n − 1 i n 2,

vol_{n−1} (B_{∞}^{n−1} ) vol_{n−1} (B_{∞}^{n} ∩ E) \sqrt{2}vol_{n−1} (B_{∞}^{n−1} ).  (1)

Dolne (łatwiejsze) oszacowanie pochodzi od Hensleya (1979), górne od Balla (1986). Oczywiście oba są optymalne.

By udowodnić górną nierówność wykorzystamy udowodnione przez Balla oszacowanie

\frac{1}{π} ∫_{∞}^{∞} | \frac{sint}{t}|^{p} \sqrt{\frac{2}{p}} dla p 2.  (2)

Można tez wykazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2.

1. Niech X_{1}, X_{2}, …, X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−1/2, 1/2]. Wykaż, że jeśli

E = a^{⊥} = {x ∈ ℝ^{n} : ∑_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} = 0}, dla pewnego a ∈ S^{n−1}

oraz zmienna Y = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}X_{k} ma gęstość g_{Y}, to

\frac{vol_{n−1} (B_{∞}^{n} ∩ E)}{vol_{n−1} (B_{∞}^{n−1} )} = vol_{n−1} ( \frac{1}{2}B_{∞}^{n} ∩ E) = g_{Y}(0) = ∥g_{Y}∥_{∞} .

2. Załóżmy, że Y jest symetryczną zmienną losową z gęstością g. Udowodnij, że 𝔼Y^{2} 𝔼U^{2}, gdzie U jest zmienną o rozkładzie jednostajnym na przedziale [−(2∥g∥_{∞} )^{−1} , (2∥g∥_{∞} )^{−} 1] i wywnioskuj stąd dolne oszacowanie w (1).

3. Stosując wzór na odwrócenie funkcji charakterystycznej wykaż, że gęstość w zerze zmiennej Y z zadania 1 wynosi

g_{Y}(0) = \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} ∏_{a_{k} ≠0} \frac{sin(a_{k}t)}{a_{k}t}dt.

4. Załóżmy, że a_{k}^{2} \frac{1}{2} dla wszystkich k. Stosując nierówność Höldera i (2) wykaż, że g_{Y}(0) \sqrt{2}. Kiedy zachodzi równość?

5. Uzupełnij dowód (2) o przypadek gdy a_{k}^{2} > \frac{1}{2} dla pewnego k.

6. Korzystając z oszacowania Balla wykaż, że dla dużych n, jeśli B = r_{n}B_{2}^{n}, gdzie r_{n} jest tak dobrane by vol_{n}(B) = vol_{n}(B_{∞}^{n} ) to

vol_{n−1} (E ∩ B_{2}^{n}) > vol_{n−1} (E ∩ B_{∞}^{n} )

dla dowolnej przestrzeni E wymiaru n − 1.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw X

Transformatę Legendre’a funkcji φ: ℝ^{n} → ℝ określamy wzorem

Lφ(x) = sup_{y}(⟨x, y⟩ − φ(x)).

1. Wykaż, że, jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n} i φ(x) = \frac{1}{2}∥x∥_{K}^{2} , to Lφ(x) = \frac{1}{2}∥x∥_{K^{0}}^{2} .

2. Udowodnij (używając nierówności Santaló) nierówność Balla - dla dowolnej funkcji parzystej wypukłej φ: ℝ^{n} → [0, ∞)

∫_{ℝ^{n}} e^{−φ} ∫_{ℝ^{n}} e^{−Lφ} (2π)^{n}.

Wskazówka:

i) Dla t, s > 0, {Lφ < s} ⊂ (s + t){φ < t}^{0} ii) Jeśli F (t) := e^{−t} vol({φ < t}), G(s) := e^{−s} vol({Lφ < s}) i H(u) := vol(B_{2}^{n})e^{−u} (2u)^{n/2} , to H((s + t)/2) (F (t)G(s))^{1/2} . iii) Skorzystaj z ii) i nierówności Prekopy-Leindlera.

3. Pokaż, że

∫_{ℝ^{n}} exp(−\frac{1}{2}∥x∥_{K}^{2} )dx = (2π)^{n/2} \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(B_{2}^{n})}

i wyprowadź z poprzedniej nierówności, nierówność Santaló.

4. Zbiór wypukły nazywamy zonoidem, jeśli jest granicą (w metryce Banacha Mazura) zonotopów. Wykaż, że jeśli Z jest zonoidem to istnieje miara symetryczna μ (zwana miarą generującą Z) na S^{n−1} taka, że

∥x∥_{Z^{0}} = sup_{y∈K}⟨x, y⟩ = ∫_{S^{n−1}} |⟨x, u⟩|dμ(u).

5. Wykaż, że dla zonoidu Z z miarą generującą μ zachodzi

\frac{n}{n + 1} vol(Z^{0}) = ∫_{S^{n−1}} ∫_{Z^{0}} |⟨x, y⟩dydμ(x),

vol(Z) = \frac{2}{n} ∫_{S^{n−1}} vol_{n−1} (P_{x^{⊥}} (Z))dμ(x).

i wywnioskuj stąd, że istnieje x_{0} ∈ S^{n−1} takie, że

(n + 1)vol(Z) ∫_{Z^{0}} |⟨x_{0}, y⟩|dy 2vol(Z^{0})vol_{n−1} (P_{x_{0}^{⊥}} (Z))

6. Załóżmy, że p > 0 i f: [0, ∞) → [0, ∞) jest takie, że f(0) = 1, ∫ f > 0 i f^{1/p} jest wklęsła na swoim nośniku. Wykaż, że

∫_{0}^{∞} tf(t)dt \frac{p + 1}{p + 2} ( ∫_{0}^{∞} f(t)dt)^{2}.

Wywnioskuj stąd, że dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K w ℝ^{n},

∫_{K} |⟨x, y⟩dy| \frac{n}{2(n + 1)} \frac{vol(K)^{2}}{vol_{n−1} (x^{⊥} ∩ K)}

7. Wykaż, że dla dowolnego zonoidu Z, vol(Z)vol(Z^{0}) \frac{4^{n}}{n!} .

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw XI

Naszkicujemy dowód twierdzenia Borela mówiącego, że jeśli μ jest miarą log-wklęsłą na ℝ^{n}, skończoną na zbiorach zwartych, to istnieje podprzestrzeń afiniczna E taka, że μ się zeruje poza E i ma log-wklęsłą gęstość na E.

Nośnikiem miary μ nazyzwamy zbór

supp(μ) = {x ∈ ℝ^{n} : μ(B(x, r)) > 0 dla r > 0}.

W zadaniach 2-3 zakładamy, że μ spełnia słabszy warunek niż log-wklęsłość - mianowicie

μ(λA + (1 − λ)B) min{μ(A), μ(B)} λ ∈ (0, 1).  (1)

1. Wykaż, że nośnik μ jest zbiorem domkniętym i miara jego uzupełnienia jest zerowa.

2. Wykaż, że warunek (1) implikuje, że nośnik μ jest zbiorem wypukłym.

Niech E będzie najmniejszą podprzestrzenią afiniczną zawierającą supp(μ), wówczas z zadania 1, μ się koncentruje na E. Dalej będziemy zakładać, że E = ℝ^{n}.

3. Korzystając z teorii miary możemy rozłożyć μ = μ_{a} + μ_{o}, gdzie dμ_{a} = g(x)dx jest absolutnie ciągłą częścią μ, a μ_{o} częścią osobliwą. Ponadto dla p.w. (względem miary Lebesgue’a) x ∈ ℝ^{n},

g(x) = lim_{r→0} \frac{μ(B(x, r))}{vol(B(x, r))}  (3)

oraz dla dowolnego ciągu r_{n} ↘ 0 i μ_{o}-p.w. x,

lim sup_{n→∞} \frac{μ(B(x, r_{n}))}{vol(B(x, r_{n}))} = ∞.

Udowodnij, że

i) nośnik μ_{o} nie może być pełnowymiarowy, ii) μ_{o} = 0.

4. Załóżmy teraz, że μ jest log-wklęsła o pełnowymiarowym nośniku. Wiemy już, że dμ(x) = g(x)dx, gdzie g spełnia p.w. (2). Wykaż, że

i) g obcięta do punktów spełniających (2) jest log-wklęsła, ii) zbiór x takich, że zachodzi (2) i g(x) > 0 jest gęsty w supp(μ), iii) jeśli zachodzi (2) i x leży we wnętrzu supp(μ), to g(x) > 0, iv) g można zmodyfikować na zbiorze miary zero do funkcji log-wklęsłej, która jest gęstością μ.

5. Niech P_{n,k} będzie rzutem ℝ^{n} = ℝ^{k} × ℝ^{n−k} na pierwsze k współrzednych, a μ_{p} rozkładem jednostajnym na n^{1/p}B_{p}^{n}. Zbadaj zbieżność μ ∘ P_{n,k}^{−1} przy n → ∞.

6. Załóżmy, że μ jest probabilistyczną miarą logwklęsłą na ℝ^{n}, a K symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n}. Dla n = 1, 2, … i u 0 niech P_{u} := \{x: u − \frac{1}{2n} < ∥x∥_{K} < u + \frac{1}{2n} \}. Wykaż, że

i) λP_{u} + (1 − λ)(2n)^{−1} K ⊂ P_{λu} , ii) jeśli μ(MK) (1 + δ)μ(K) to istnieje stała C zależna tylko od ilorazu M/δ taka, że μ(tK) Ctμ(K) dla t ∈ (0, 1), iii) jeśli μ(K) b < 1 to istnieje stała zależna tylko od b taka, że μ(tK) C_{b}tμ(K).

7. Wykaż, że dla dowolnej normy ∥ ∥ na ℝ^{n} i dowolnej probabilistycznej miary log-wklęsłej μ na ℝ^{n},

∫ ∥x∥dμ C exp( ∫ ln∥x∥dμ(x)) ,

gdzie C jest stałą uniwersalną.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw XII

1. Niech X będzie zmienną losową. Dla p ≠ 0 określamy ∥X∥_{p} = (𝔼|X|^{p})^{1/p} przyjmując konwencję, że ∞^{a} = 0 dla a < 0 i ∞^{a} = ∞ dla a > 0. Wykaż, że

i) jeśli ∥X∥_{p} > 0 dla pewnego p > 0, to 𝔼(ln|X|)_{+} < ∞ oraz

lim_{p→0+} ∥X∥_{p} = ∥X∥_{0} := exp(𝔼 ln|X|),

jak to jest z lim_{p→0−} ?; ii) funkcja p ↦ ∥X∥_{p} jest niemalejąca.

2. i) Jeśli p > 0 oraz A = ∥X∥_{−p} > 0, to ℙ(|X| ε) (ε/A)^{p} dla ε > 0. ii) Jeśli ℙ(|X| ε) (ε/A)^{p} dla ε > 0, to ∥X∥_{−q} cA(\frac{p−q}{q} )^{1/q} cA(p − q)^{1/p} dla 0 < q < p.

3. Załóżmy, że K jest zwartym zbiorem wypukłym w ℝ^{n} zaś f funkcją półciągłą z góry na K. Wykaż, że zbiór

P_{f} = {μ miara prob. logwklęsła o nośniku w K, ∫ fdμ 0}

jest zwartym zbiorem w słabej* topologii na zbiorze miar borelowskich na K. Ponadto miara μ jest punktem ekstremalnym P_{f} wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci

i) μ = δ_{x}, x ∈ K, f(x) 0, ii) μ ma nośnik na [a, b], a ≠ b, a, b ∈ K oraz gęstość e^{l} gdzie l jest afiniczną funkcją na [a, b], ∫_{[}a, b]fdμ = 0 i albo ∫_{[}a, x]fdμ > 0 dla wszystkich x ∈ (a, b) albo ∫_{[}x, b]fdμ > 0 dla wszystkich x ∈ (a, b).

Wskazówka. Załóżmy, że μ jest punktem ekstremalnym P_{f} i nie jest miarą Diraca. Udowodnij, że

1. nośnik miary μ leży w przesztrzeni afinicznej wymiaru 1,

2. μ ma nośnik równy [a, b] i ma logwklęsłą gęstość na [a, b].

3. ∫_{[}a, b]fdμ = 0 i albo ∫_{[}a, x]fdμ > 0 dla wszystkich x ∈ (a, b) albo ∫_{[}x, b]fdμ > 0 dla wszystkich x ∈ (a, b).

4. logarytm gęstości μ jest funkcją afiniczną.

Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw XIII

1. Korzystając z ogólnej formuły co-area:

∫_{X} |∇f|dμ ∫_{ℝ} μ^{+} ({x: f(x) > r})dr

wykaż, że miara μ na ℝ^{n} spełnia nierówność Cheegera

μ^{+} (A) \frac{1}{D} min\{μ(A), 1 − μ(A)\}

wtedy i tylko wtedy, gdy

𝔼_{μ}|f − Med_{μ}f| D𝔼_{μ}|∇f|

dla wszystkich lipschitzowskich funkcji f.

2. Wykaż, że nierówność Poincaré

Var_{μ}(f) D^{2}𝔼_{μ}|∇f|^{2}, f ∈ C_{ogr}^{1}(ℝ^{n})

jest równoważna nierówności

𝔼_{μ}|f − Med_{μ}f|^{2} D̃^{2} ∫ |∇f|^{2}dμ, f ∈ C_{ogr}^{1}(ℝ^{n}).

Ponadto optymalna stała w powyższej nierówności spełnia D_{Poin} D̃_{opt} (1 + \sqrt{2})D_{Poin} .

3. Udowodnij, że nierówność Cheegera na ℝ^{n} implikuje nierówność Poincaré oraz D_{Poin} 2D_{Che} .

4. Pokaż, że jeśli miara μ spełnia nierówność Poincaré ze stałą D, to dla każdej funkcji 1-lipschitzowskiej F i t > 0,

μ( \{F ∫ F dμ + t\}) 2 exp( − \frac{t}{D} ) .

Wskazówka. Załóż, że ∫ F dμ = 0 i zastosuj nierówność Poincaré do e^{λF/2} by dostać dla λ < 2/D, M(λ) (1 − D^{2}λ^{2}/4)^{−1} M(\frac{λ}{2} )^{2}, gdzie M(λ) = ∫ exp(λF)dμ.

5. Wykaż, że jeśli miary μ_{1}, …, μ_{k} spełniają nierówność Poincaré ze stałą D, to miara produktowa μ_{1} ⊗ ⋯⊗ μ_{k} spełnia nierówność Poincaré ze stałą D.

6. Wykaż, że symetryczny rozkład wykładniczy ν na ℝ z gęstością \frac{1}{2}e^{−|x|} spełnia nierówność Poincaré ze stałą 2.

7. Udowodnij, że każdy symetryczny rozkład log-wklęsły na prostej o wariancji jeden jest lipschitzowskim obrazem ν ze stałą lipschitza nie większą niż L_{0} 4\sqrt{3}. Wywnioskuj stąd, że dowolny produktowy symetryczny izotropowy rozkład log-wklęsły spełnia nierówność Poincaré ze stałą nie większą niż 2L_{0}.