Zadania z Koncentracji Miary I

Przez λ_{n} oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue’a, a przez σ_{n} unormowaną miarę powierzchniową na S^{n}. Jeśli μ jest miarą na (X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę wewnętrzną A,

μ_{∗}(A) = sup{μ(C): C ⊂ A, C ∈ B(X)}.

Przypomnijmy, że dla podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) i t > 0 określamy

A_{t} = {x ∈ X: d(x, A) < t}.

Ponadto dla miary μ na (X, d) i zbioru borelowskiego A definiujemy miarę brzegu A jako

μ^{+} (A) = lim inf_{t→0+} \frac{μ(A_{t}) − μ(A)}{t} .

Uwagi:

1) Miarę wewnętrzną μ_{∗} wprowadzamy, by uniknąć problemów z mierzalnością sumy zbiorów borelowskich. Daje się jednak pokazać, że suma zbiorów borelowskich, choć nie musi być borelowska jest mierzalna w sensie Lebesguea.

2) Jeśli μ miara na ℝ^{n} z ciągłą gęstością g, a zbiór A jest porządny, to

μ^{+} (A) = ∫_{∂A} g(x)dH_{n−1} (x),

zatem na przykład dla porządnych zbiorów λ_{n}^{+} (A) to miara powierzchniowa brzegu A.

1. Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B ⊂ ℝ

λ_{1,∗} (A + B) λ_{1}(A) + λ_{1}(B)

2. (Nierówność Prekopy-Leindlera) Wykaż, że jeśli s ∈ [0, 1], f, g, h są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi na ℝ^{n} takimi, że

h(sx + (1 − s)y) f(x)^{s}g(y)^{1−s} dla x, y ∈ ℝ^{n}

to

∫_{ℝ^{n}} h(x)dx (∫_{ℝ_{n}} f(x)dx)^{s}(∫_{ℝ_{n}} g(x)dx)^{1−s}

Wskazówki:

i) Dla n = 1 zauważ, że można zakładać, że sup_{x} f(x) = sup_{x} g(x) = 1 i wtedy ∫ f(x)dx = ∫_{0}^{1} λ_{1}({f > t})dt, ∫ g(x)dx = ∫_{0}^{1} λ_{1}({g > t})dt oraz ∫ h(x)dx ∫_{0}^{1} λ_{1}({h > t})dt i można stosować poprzednie zadanie. ii) Krok indukcyjny. Ustalmy funkcje mierzalne f, g, h na ℝ^{n+1} i dla x, y ∈ ℝ rozpatrzmy funkcje f_{x}(·) = f(x, ·), g_{y}(·) = g(y, ·) i h_{sx+(1−s)y} (·) = f(sx + (1 − s)y, ·) i wykorzystajmy dla nich założenie indukcyjne.

3. (Nierówność Brunna-Minkowskiego)

i) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B ⊂ ℝ^{n} i s ∈ [0, 1]

λ_{n,∗} (sA + (1 − s)B) λ_{n}(A)^{s}λ_{n}(B)^{1−s} .

ii) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B ⊂ ℝ^{n}

λ_{n,∗} (A + B)^{1/n} λ_{n}(A)^{1/n} + λ_{n}(B)^{1/n} .

4. (Klasyczna izoperymetria)

Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w ℝ^{n} takim, że λ_{n}(A) = λ_{n}(B(x, r)), to

i) Dla wszystkich t > 0, λ_{n}(A_{t}) λ_{n}((B(x, r))_{t}) = λ_{n}(B(x, r + t)). ii) λ_{n}^{+} (A) λ_{n}^{+} (B(x, r)) = λ_{n−1} (∂B(x, r)).

5. Niech x_{0} będzie ustalonym punktem S^{n} a H podprzestrzenią w ℝ^{n+1} wymiaru n, nie przechodzącą przez x_{0}. Wówczas ℝ^{n+1} \H jest sumą dwóch otwartych półprzestrzeni H_{+} zawierającej x_{0} i H_{−} nie zawierającej x_{0}. Niech i = i_{H} : S^{n} → S^{n} będzie odbiciem względem H. Określmy dla mierzalnej, ograniczonej funkcji f: S^{n} → ℝ

f^{H} (x) := \{ \begin{matrix}max\{f(x), f(ix)\} & dla x ∈ H_{+} \\ min\{f(x), f(ix)\} & dla x ∈ H_{−} \\ f(x) & dla x ∈ H \end{matrix}

Wykaż, że

i) dist_{σ_{n}} (f) = dist_{σ_{n}} (f^{H}). ii) Jeśli f jest Lipschitzowska ze stałą L, to f^{H} też jest Lipschitzowska ze stałą L. iii) ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)f(x)dσ_{n}(x) ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)f^{H} (x)dσ_{n}(x) ponadto, jeśli f jest ciągła, to równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy f = f^{H}.

6. Funkcję g na S^{n} nazywamy radialną (względem ustalonego punktu x_{0} ∈ S^{n}, jeśli d(x, x_{0}) d(y, x_{0}) implikuje g(x) g(y). Jeśli f: S^{n} → ℝ jest funkcją mierzalną ograniczoną to jej radialną symetryzacją nazywamy funkcję radialną f^{∗} taką, że dist_{σ_{n}} (f) = dist_{σ_{n}} (f^{∗}). Udowodnij, że

i) Funkcja f^{∗} istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero. ii) Funkcja g jest radialna wtedy i tylko wtedy gdy g^{H} = g dla wszystkich H.

7. Ustalmy funkcję L-Lipschitzowską f: S^{n} → ℝ i niech

A := {g: S^{n} → ℝ: dist_{σ_{n}} (f) = dist_{σ_{n}} (g), g L-Lipschitzowska}.

Ponadto niech m := inf_{g∈A} ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g(x)dσ_{n}(x). Udowodnij, że

i) Istnieje ciąg (g_{k}) ⊂ A jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji g taki, że ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g_{k}(x)dσ_{n}(x) → m przy k → ∞ (skorzystać z twierdzenia Arzeli-Ascoli) ii) g ∈ A oraz m = ∫_{S^{n}} d(x_{0}, x)g(x)dσ_{n}(x). iii) g = f^{∗}.

8. (Izoperymetria sferyczna) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w S^{n} takim, że σ_{n}(A) = σ_{n}(B(x_{0}, r)), to

i) Dla wszystkich t > 0, σ_{n}(A_{t}) σ_{n}((B(x_{0}, r))_{t}) = σ_{n}(B(x_{0}, r + t)). ii) σ_{n}^{+} (A) σ_{n}^{+} (B(x, r)). Wskazówka. Wykorzystaj fakt, że symetryzacja radialna funkcji max{t − d(x, A), 0} jest 1-Lipschitzowska.

9. Wykaż, że σ_{n}(A) \frac{1}{2} implikuje 1 − σ_{n}(A_{t}) e^{−(n−1)t^{2} /2} .

Zadania z Koncentracji Miary II

1. Miarę μ na ℝ^{n} nazywamy logarytmicznie wklęsłą jeśli dla dowolnych dwu niepustych zbiorów borelowskich A, B i s ∈ [0, 1],

μ_{∗}(sA + (1 − s)B) μ(A)^{s}μ(B)^{1−s} .

i) Wykaż, że jeśli K jest zbiorem zwartym wypukłym o niepustym wnętrzu to rozkład jednostajny na K jest logarytmicznie wklęsły. ii) Wykaż, że afiniczny obraz miary logarytmicznie wklęsłej jest logarytmicznie wklęsły. iii) Wykaż, że jeśli funkcja f: ℝ^{n} → (−∞, ∞] jest wypukła oraz miara μ ma gęstość g = e^{−f} , to μ jest logarytmicznie wklęsła. iv) Wykaż, że rozkłady gaussowskie są logarytmicznie wklęsłe.

v) Wykaż, że jeśli miara logarytmicznie wklęsła μ ma ciągłą gęstość g, to g jest logarytmicznie wklęsła (tzn. jest postaci jak w punkcie ii)).

Uwaga 1. Daje się wykazać znaczne wzmocnienie v) - jeśli μ jest logarytmicznie wklęsła i nie jest skoncentrowana na podprzestrzeni afinicznej niższego wymiaru, to μ ma logarytmicznie wklęsłą gęstość.

Uwaga 2. Można wykazać, że miary probabilistyczne logarytmicznie wklęsłe to słabe granice rzutów rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych.

2. Wykaż, że jeśli μ jest probabilistyczną miarą logarytmicznie wklęsłą oraz A jest zbiorem symetrycznym wypukłym takim, że μ(A) = a > 0, to dla r > 1,

1 − μ(rA) a( \frac{1 − a}{a} )^{(r+1)/2} .

3. Wykaż, że jeśli X ma rozkład logarytmicznie wklęsły a ∥ · ∥ jest dowolną normą na ℝ^{n} to dla p > 1,

(𝔼∥X∥^{p})^{1/p} Cp𝔼∥X∥,

gdzie C jest stałą absolutną.

4. Dla ε ∈ (0, 1) i miary probabilistycznej μ na (X, d) określmy

α_{μ}^{ε}(t) := sup{1 − μ(A_{t}): μ(A) ε}.

Wykaż, że jeśli α_{μ}(t_{0}) < ε to dla t > 0, α_{μ}^{ε}(t + t_{0}) α_{μ}(t).

5. Wykaż, że dla dowolnej (ustalonej) miary probabilistycznej na (X, d) i ε > 0 zachodzi α_{μ}^{ε}(t) → 0 przy t → ∞.

6. Wykaż, że jeśli φ jest funkcją L-Lipschitzowską z (X, d) w (Y, ρ) oraz ν = μ ∘ φ^{−1} , to α_{ν}^{ε}(t) α_{μ}(t/L).

7. Wykaż, że transport radialny miary γ_{n} na rozkład jednostajny na kuli jednostkowej ma stałą Lipschitza nie większą niż C/\sqrt{n}.

Zadania z Koncentracji Miary III

1. Załóżmy, że wiemy, że dla mierzalnej funkcji F istnieje stała a_{F} taka, że

μ({|F − a_{F} | t}) α(t) dla t > 0.

Wówczas jeśli α(t_{0}) < 1/2, to

μ({|F − Med_{μ}(F)| t + t_{0}}) α(t) dla t > 0.

Ponadto, jeśli ᾱ = ∫_{0}^{∞} α(t)dt < ∞, to F jest całkowalna oraz |a_{F} − ∫ F dμ| ᾱ oraz

μ({|F − ∫ F dμ| t + ᾱ}) α(t) dla t > 0.

W szczególności jeśli α(t) C_{1} exp(−|t|^{p}/C_{2}), to dla dowolnego ε > 0 i m ∈ {Med_{μ}(F), ∫ F dμ}

μ({|F − m| t)) C_{3} exp(−(1 − ε)|t|^{p}/C_{2}) dla t > 0,

gdzie C_{3} zależy tylko od C_{1}, ε i p.

2. Wykaż, że jeśli X_{i} są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że a_{i} X_{i} b_{i} oraz S = ∑ _{i=1}^{n} X_{i}, to

ℙ(S 𝔼S + t) 2 exp(−\frac{t^{2}}{2D^{2}} )

dla D^{2} = ∑ _{i=1}^{n} (b_{i} − a_{i})^{2}.

3. Niech Y_{i} bedą niezależnymi wektorami losowymi w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz S = ∑ _{i=1}^{n} Y_{i}. Wykaż, że

ℙ(|∥S∥ − 𝔼∥S∥| t) 2 exp(−\frac{t^{2}}{8D^{2}} )

dla D^{2} = ∑ _{i=1}^{n} ∥Y_{i}∥_{∞}^{2} .

Zadania z Koncentracji Miary IV

1. Wykaż, że jeśli miara ν jest L-lipschitzowskim obrazem miary μ oraz μ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, to ν spełnia nierówność Poincaré ze stałą CL^{2}.

2. Niech μ będzie symnetryczną miarą logwklęsłą na ℝ z gęstością g(x) taką, że Var_{μ}(x) = 1.

i) Wykaż, że istnieją stałe uniwersalne C_{1} i C_{2} takie, że C_{1}^{−1} g(0) C_{2} (wsk. rozpatrzeć dodatkowo x_{0} = inf{x > 0: g(x) g(0)/e}.) ii) Wykaż, że istnieje stała uniwersalna L taka, że μ jest L-lipschitzowskim obrazem symetrycznej miary wykładniczej ν.

3. Przeprowadzić analogiczne rozumowanie dla miar logwklęsłych na prostej bez założenia symetrii.

4. Wykaż, że by udowodnić nierówność Poincaré dla miary μ na ℝ^{n} wystarczy wykazać, że Var_{μ}(f) C ∫ |∇f|^{2}dμ dla funkcji f ∈ C_{ogr}^{1}(ℝ^{n}).

Zadania z Koncentracji Miary V

Mówimy, że miara μ na przestrzeni (X, d) spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0, jeśli

μ^{+} (A) c min{μ(A), 1 − μ(A)}

dla dowolnego zbioru borelowskiego A.

1. Wykaż, że nierówność Poincaré jest równoważna nierówności

𝔼_{μ}|f − Med_{μ}f|^{2} C̃𝔼_{μ}|∇f|^{2}

dla wszystkich funkcji Lipschitzowskich. Co więcej optymalne stałe w obu nierównościach spełniają C_{opt} C̃_{opt} (1 + \sqrt{2})^{2}C_{opt}.

2. Wykaż, że symetryczny rozkład wykładniczy ν spełnia nierówność Cheegera ze stałą c = 1.

3. Wykaż, że miara μ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

μ(A) = ν(−∞, x] ⇒ μ(A_{t}) ν(−∞, x + ct] dla t > 0.

4. Niech μ będzie miarą na prostej, F (t) = μ(−∞, t], zaś p będzie gęstością jej części absolutnie ciągłej. Wykaż, że następujące warunki są równoważne i) μ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 ii) μ jest \frac{1}{c}-lipschitzowskim obrazem ν iii) essinf \frac{p(x)}{min \{F (x),1−F (x)\}} c

5. Wykaż, że miara μ na ℝ^{n} spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy gdy

c𝔼_{μ}|f − Med_{μ}f| 𝔼_{μ}|∇f|

dla wszystkich lipschitzowskich funkcji f.

6. Wykaż, że nierówność Cheegera na ℝ^{n} implikuje nierówność Poincaré ze stałą \frac{2}{c}.

7. Pokaż, że miara na ℝ z gęstością \frac{1+α}{2} |x|^{α} I_{\{|x| 1\}} dla α ∈ (0, 1) spełnia nierówność Poincaré, a nie spełnia nierówności Cheegera.

Zadania z Koncentracji Miary VI

W zadaniach poniżej I = I_{γ} = φ(Φ^{−1} ).

1. Wykaż, że

∫_{X} |∇f|dμ ∫_{ℝ} μ^{+} ({x: f(x) > r})dr

Wskazówka: Najpierw rozpatrzeć ograniczone f, co można zredukować do przypadku f 0. Rozpatrując zbiory A(r) = {x: f(x) > r} i funkcje f_{t}(x) = sup_{d(x,y)<t} f(y) wykaż, że {x: f_{t}(x) > r} = A(r)_{t} oraz, że

∫_{X} \frac{f_{t} − f}{t} dμ = ∫_{0}^{∞} \frac{μ(A(r)_{t}) − μ(A(r))}{t} dr

i przejdź z t → 0+.

2. Wykaż, że jeśli miara μ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, to spełnia nierówność Poincaré z tą samą stałą.

3. Wykaż, że jeśli miary μ_{i} spełniają nierówność Bobkowa ze stałymi C_{i}, to miara μ_{1} ⊗ ⋯⊗ μ_{n} spełnia nierówność Bobkowa ze stałą max_{i} C_{i}.

4. Wykaż, że następujące dwie własności miary μ są równoważne: i) μ(A_{t}) Φ(Φ^{−1} (μ(A))+t) dla dowolnego zbioru borelowskiego A i t > 0 ii) μ^{+} (A) I(μ(A)) dla dowolnego zbioru borelowskiego A.

5. Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b ∈ [0, 1],

I(\frac{a + b}{2} ) \frac{1}{2}\sqrt{I^{2}(a) + \frac{(b − a)^{2}}{4}} + \frac{1}{2}\sqrt{I^{2}(b) + \frac{(b − a)^{2}}{4}}

i wywnioskuj stąd, że miara γ_{n} spełnia nierówność Bobkowa ze stałą 1.

6. Wykaż, że I(t) ∼ \sqrt{2}t\sqrt{ln \frac{1}{t}} przy t → 0+ i wywnioskuj stąd, że nierówność Bobkowa implikuje logarytmiczną nierówność Sobolewa.

Zadania z Koncentracji Miary VII

1. Wykaż, że jeśli para (μ, φ) ma własność (τ), to i) μ(A + B_{φ} (t)) \frac{e^{t}μ(A)}{(e^{t}−1)μ(A)+1} , ii) μ(A + B_{φ} (t)) > min{e^{t/2}μ(A), 1/2}, iii) jeśli μ(A) \frac{1}{2}, to 1 − μ(A + B_{φ} (t)) < e^{−t/2} (1 − μ(A)) oraz iv) jeśli μ(A) = ν(−∞, x], to μ(A + B_{φ} (t)) ν(−∞, x + t/2].

2. Dla miary probabilistycznej μ na ℝ^{n} określamy

Λ_{μ}(t) = lnM_{μ}(t) = ln∫ e^{⟨t,x⟩}dμ(x)

i

Λ_{μ}^{∗}(t) = LΛ_{μ}(t) = sup{⟨s, t⟩ − Λ_{μ}(s): s ∈ ℝ^{n}}.

(Ogólnie Lf(t) = sup_{s}(⟨s, t⟩ − f(s)) nazywamy transformatą Legendre’a funkcji f). Wykaż, że jeśli (μ, φ) ma własność (τ) oraz φ jest wypukła, to Lφ 2Λ_{μ} oraz φ(t) 2Λ_{μ}^{∗}(t/2).

3. Udowodnij, że dla symetrycznego rozkładu wykładniczego na ℝ

Λ_{ν}^{∗}(t) = \sqrt{1 + t^{2}} − 1 − ln( \frac{\sqrt{1 + t^{2}} − 1}{2} ) min\{t^{2}, |t|\}.

Zatem znaleziona na wykładzie funkcja kosztu dla miary ν jest optymalna z dokładnością do stałej.

4. Wykaż, że para (γ_{n}, \frac{1}{4}|x|^{2}) ma własność (τ) oraz, że \frac{1}{4}|x|^{2} jest optymalną funkcją kosztu.

5. Niech μ będzie symetryczną miarą logarytmicznie wklęsłą na ℝ o wariancji 1. Określmy h(x) = − lnμ[x, ∞) dla x > 0 oraz

h̃(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & dla |x| 2/3 \\ max\{\frac{4}{9}, h(|x|)\} & dla |x| > 2/3. \end{matrix}

Wykaż, że Λ_{μ}^{∗}(t) h̃(t) oraz para (μ, h̃(t/C)) ma własność (τ) dla pewnej uniwersalnej stałej C.

Zadania z Koncentracji Miary VIII

1. Załóżmy, że zmienne Y_{i} są niezależne oraz u_{i} Y_{i} v_{i} prawie na pewno. Niech T będzie ograiczonym podzbiorem ℝ^{n} oraz

Z = sup_{t∈T} ∑_{i=1}^{n} t_{i}Y_{i}.

Wykaż, że

ℙ(|Z − Med(Z)| t) 4 exp(−\frac{t^{2}}{4σ^{2}} ),

gdzie

σ^{2} = sup_{t∈T}∑ t_{i}^{2}(v_{i} − u_{i})^{2}.

Ponadto 𝔼|Z − Med(Z)| 4\sqrt{π}σ i Var(Z) 16σ^{2}.

2. (Nierówność Chinczyna-Kahane’a) Niech ε_{i} będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi takimi, że ℙ(ε_{i} = ±1) = \frac{1}{2}, zaś v_{1}, …, v_{n} wektorami w pewnej przestrzeni unormowanej F. Wykaż, że dla M = Med(∥ ∑ _{i=1}^{n} v_{i}ε_{i}∥) i t > 0

ℙ(|∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}ε_{i}∥ − M| t) 4 exp(−\frac{t^{2}}{16σ^{2}} ),

gdzie

σ^{2} = sup{∑ φ^{2}(v_{i}): φ ∈ F^{∗}, ∥φ∥ 1}.

Wywnioskuj stąd, że istnieje stała C < ∞ taka, że dla dowolnego p 1,

(𝔼∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}ε_{i}∥^{p})^{1/p} M + C\sqrt{p}σ

oraz

(𝔼∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}ε_{i}∥^{p})^{1/p} C̃\sqrt{p}(𝔼∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}ε_{i}∥^{2})^{1/2} .

3. (Zmodyfikowana nierówność Sobolewa). Niech ν oznacza symetryczny rozkład wykładniczy na ℝ, tzn. rozkład z gęstością \frac{1}{2}e^{−|x|} .

i) Wykaż, że dla dowolnej funkcji gładkiej f na ℝ takiej, że |f′| ρ < 1 zachodzi

Ent_{ν}(e^{f} ) \frac{2}{1 − ρ} ∫ (f′)^{2}e^{f} dν.

ii) Udowodnij, że jeśli funkcja F ∈ C^{1}(ℝ^{n}) spełnia max_{i} |∂_{i}F | 1 to dla |λ| ρ < 1,

Ent_{ν^{n}} (e^{λF} ) \frac{2λ^{2}}{1 − ρ} ∫ ∑_{i=1}^{n} (∂_{i}F)^{2}e^{λF} dν^{n}.

iii) Wywnioskuj stąd, że jeśli F ∈ C^{1}(ℝ^{n}) spełnia

max_{i}|∂_{i}F | b oraz ∑_{i=1}^{n} (∂_{i}F)^{2} a^{2}

to

ν^{n}(\{F ∫ F dν^{n} + t\}) exp(−\frac{1}{4} min\{\frac{t}{b}, \frac{t^{2}}{a^{2}} \}).

Zadania z Koncentracji Miary IX

Ciałem wypukłym nazywamy zwarty wypukły podzbiór ℝ^{n} o niepustym wnętrzu.

1. Wykaż, że 𝔼 max_{1 i n} |g_{i}| c\sqrt{ln(n + 1)} .

2. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n} oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru c(ε) logn oraz elipsoida E w V taka, że

E ⊂ K ∩ V ⊂ (1 + ε)E.

3. Wykaż, że każda n wymiarowa elipsoida ma ⌈\frac{n}{2} ⌉-wymiarowy przekrój, który jest kulą euklidesową.

4. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n} oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru c(ε) logn oraz ρ > 0 takie, że

ρB_{V} ⊂ K ∩ V ⊂ (1 + ε)ρB_{V},

gdzie B_{V} = {x ∈ V : |x| = 1}.

5. Wykaż, że jeśli l_{2}^{k} się wkłada ze stałą C w l_{p}^{n} oraz p 2, to k A(C)pn^{2/p}, gdzie A(C) jest stałą zależną tylko od C.

6. Wykaż, że jeśli l_{2}^{k} się wkłada ze stałą C w l_{∞}^{n} , to k A(C) logn.

7. Oblicz d(l_{p}^{n}). Co można powiedzieć o wymiarze przekrojów kuli jednostkowej w l_{p}^{n}, które są bliskie euklidesowym?

Zadania z Koncentracji Miary X

1. Wykaż, że ∫_{x}^{∞} e^{−y^{2} /2} dy ∼ \frac{1}{x}e^{−x^{2} /2} dla x → ∞ i wykorzystaj to do dowodu faktu, że dla X ∼ N (a, σ^{2}), lim_{t→∞} \frac{1}{t^{2}} logℙ(X t) = −\frac{1}{2σ^{2}} .

2. Niech X będzie scentrowanym wektorem gaussowskim w ośrodkowej przestrzeni Banacha F. Wykaż, że istnieją wektory x_{1}, x_{2}, … w F oraz zmienne g_{1}, g_{2}, … o rozkładzie N (0, 1) takie, że X = ∑ _{i=1}^{∞} x_{i}g_{i}, przy czym szereg jest zbieżny p.n. i w każdym L^{p}. Jak się zmieni odpowiedź, jeśli nie założymy scentrowania X? Wskazówka. Rozpatrzyć domkniętą powłokę liniową wektorów (φ(X))_{φ∈F^{∗}} w L^{2}. Za g_{i} można wziąć bazę ortonormalną tej przestrzeni Hilberta.

3. Załóżmy, że g_{i}, g̃_{j} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1) oraz X = ∑ _{i,j=1}^{n} a_{i,j} g_{i} g̃_{j}. Wykaż, że

i) ℙ(|X| C(\sqrt{t}∥(a_{ij} )∥_{HS} + t∥(a_{ij} )∥_{op})) 2e^{−t} ,

gdzie

∥(a_{ij} )∥_{op} = sup{∑_{ij} a_{i}jx_{i}y_{j} : ∑_{i} x_{i}^{2} 1, ∑_{j} y_{j}^{2} 1}

oraz

∥(a_{ij} )∥_{HS} = (∑_{ij} a_{ij}^{2} )^{1/2} .

ii) ∥X∥_{p} C(\sqrt{p}∥(a_{ij} )∥_{op} + p∥(a_{ij} )∥_{HS}) dla p 2. iii) ∥X∥_{p} Cp∥X∥_{2} dla p 2.

4. Niech Y_{1}, …, Y_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie z gęstością \frac{1}{2}e^{−|x|} . Wykaż, że dla dowolnych a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ oraz Y = ∑ _{i=1}^{n} a_{i}Y_{i},

ℙ(Y C(t∥a∥_{∞} + \sqrt{t}∥a∥_{2})) e^{−t}

i wywnioskuj stąd, że ∥Y ∥_{p} C(p∥a∥_{∞} + \sqrt{p}∥a∥_{2}) dla p 2. Wykaż, że ∥Y ∥_{p} \frac{1}{C} (p∥a∥_{∞} + \sqrt{p}∥a∥_{2}) dla p 2.

5. Niech Y = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}Y_{i} gdzie v_{i} są wektorami w pewnej przestrzeni Banacha F, a Y_{i} są jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że

ℙ(∥Y ∥ 𝔼∥Y ∥ + C(t sup_{∥φ∥ 1} ∥(φ(v_{i})∥_{∞} + \sqrt{t} sup_{∥φ∥ 1} ∥(φ(v_{i})∥_{2})) e^{−t}

i wywnioskuj stąd, że dla p 2,

(𝔼∥Y ∥^{p})^{1/p} 𝔼∥Y ∥ + C(p sup_{∥φ∥ 1} ∥(φ(v_{i})∥_{∞} + \sqrt{p} sup_{∥φ∥ 1} ∥(φ(v_{i})∥_{2})

oraz

(𝔼∥Y ∥^{p})^{1/p} 𝔼∥Y ∥ + sup_{∥φ∥ 1} (𝔼|φ(Y)|^{p})^{1/p}.

Zadania z Koncentracji Miary XI

W zadaniach tej serii zakładamy, że

S = ∑_{i=1}^{n} X_{i},

gdzie X_{i} są niezależnymi, ograniczonymi zmiennymi losowymi o średniej zero.

1. Nierówność Hoeffdinga. Wykaż, że

ℙ(S t) exp( − \frac{t^{2}}{2 ∑ _{i=1}^{n} ∥X_{i}∥_{∞}^{2}} )

2. Nierówność Bernsteina. Udowodnij, że

i) jeśli liczby σ_{i}^{2}, M < ∞ są takie, że

𝔼|X_{i}|^{k} \frac{k!}{2}σ_{i}^{2}M^{k−2} dla k 2,

to

𝔼 exp(λS) exp( \frac{λ^{2} ∑ _{i=1}^{n} σ_{i}^{2}}{2(1 − M|λ|)} ) dla M|λ| < 1

oraz dla t > 0,

ℙ(S t) exp( − \frac{t^{2}}{2 ∑ _{i=1}^{n} σ_{i}^{2} + 2Mt} ) ,

ii) jeśli |X_{i}| C, to

ℙ(S t) exp( − \frac{t^{2}}{2Var(S) + \frac{2}{3}Ct} ) .

3. Nierówność Benetta. Wykaż, że jeśli |X_{i}| C, to dla λ > 0

𝔼 exp(λS) exp( \frac{Var(S)}{C^{2}}(e^{λC} − tC − 1))

oraz dla t 0,

ℙ(S t) exp( − \frac{Var(S)}{C^{2}}h( \frac{Ct}{Var(S)}) ) exp( − \frac{t}{2C} ln( 1 + \frac{tC}{Var(S)}) ) ,

gdzie h(x) := (1 + x) ln(1 + x) − x dla x 0.

4. Rozpatrując jako przypadki graniczne zmienne o rozkładzie gaussowskim i Poissona, przedyskutuj optymalność oszacowania w nierówności Bennetta.

Zadania z Koncentracji Miary XII

1. Załóżmy, że φ_{i}: ℝ → ℝ dla 1 i n są funkcjami 1-lipschitzowskimi oraz φ_{i}(0) = 0. Wykaż, że dla dowolnego ograniczonego T ⊂ ℝ^{n} oraz funkcji wypukłej niemalejącej G: ℝ → ℝ,

𝔼G( sup_{t∈T} ∑_{i=1}^{n} ε_{i}φ_{i}(t_{i})) 𝔼G( sup_{t∈T} ∑_{i=1}^{n} ε_{i}t_{i}) .

Wskazówka. Sprowadzić zadanie do wykazania, że dla ograniczonego zbioru T ⊂ ℝ^{2} i funkcji 1-lipschitzowskiej φ takiej, że φ(0) = 0 zachodzi

𝔼G( sup_{t∈T}(t_{1} + ε_{1}φ(t_{2}))) 𝔼G( sup_{t∈T}(t_{1} + ε_{1}t_{2})) .

Następnie zredukować do zbioru dwupunktowego T i rozpatrzyć przypadki

2. Przy założeniach poprzedniego zadania udowodnij, że dla dowolnej funkcji wypukłej niemalejącej F: [0, ∞) → [0, ∞),

𝔼F ( \frac{1}{2} sup_{t∈T} | ∑_{i=1}^{n} ε_{i}φ_{i}(t_{i})|) 𝔼F ( sup_{t∈T} | ∑_{i=1}^{n} ε_{i}t_{i} |) .

3. Załóżmy, że wektory losowe X_{i} w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha są scentrowane, wspólnie ograniczone oraz szereg S = ∑ _{i=1}^{∞} X_{i} jest zbieżny prawie na pewno. Wykaż, że istnieje λ > 0 takie, że 𝔼 exp(λ∥S∥ log^{+} ∥S∥) < ∞.