Zestaw 1

1. Wykaż, że dla x 0

T (x) = 1 − ϕ(x) \frac{1}{2}e^{−x^{2}/2} .

2. Wykaż, że wektor losowy N (a, C) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy macierz kowariancji C jest odwracalna i znajdź tę gestość kiedy istnieje.

3. Podaj przykład zmiennych losowych X, Y o rozkładzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y) = 0, ale X i Y nie są niezależne.

4. Udowodnij, że odwzorowanie (a_{i}) → ∑ a_{i}g_{i} definiuje izometrię z l_{2} w L^{p}(Ω).

5. Wykaż, że odwzorowanie f → ∫_{0}^{1} f(s)dW_{s} jest izometrią z L^{2}[0, 1] w L^{p}(Ω).

6. Udowodnij, że 𝔼 sup_{n} \frac{|g_{n} |}{\sqrt{ln n}} < ∞ oraz jeśli lim_{n→∞} \frac{c_{n}}{\sqrt{ln n}} = 0, to sup_{n} \frac{|g_{n} |}{c_{n}} = ∞ p.n.

7. Oblicz γ(p) := (𝔼|g|^{p})^{1/p} i wykaż, że dla p 2 c\sqrt{p} γ(p) C\sqrt{p} dla pewnych stałych uniwersalnych 0 < c < C < ∞.

W kolejnych zadaniach E oznacza ośrodkową przestrzeń Banacha

8. Wykaż, że istnieją funkcjonały f_{1}, f_{2}, … z kuli jednostkowej E^{∗} takie, że ∥x∥ = sup_{n} f_{n}(x) dla wszystkich x ∈ E.

9. Wykaż, że jeśli X: (Ω, F) → E jest takie, że f(X) jest mierzalne dla wszystkich f ∈ E^{∗}, to X jest mierzalne.

10. Wykaż, że jeśli X, Y: (Ω, F) → E są mierzalne, to X + Y też jest mierzalne.

11. Wykaż, że jeśli zmienne losowe X i Y są takie, że dla wszystkich f ∈ E^{∗}, f(X) ma ten sam rozkład co f(Y), to X i Y mają ten sam rozkład. Wywnioskuj stąd, że funkcja charakterystyczna φ_{X}(f) = 𝔼e^{if(X)} , f ∈ F^{∗} wyznacza rozkład X.

1. Niech X = (X_{t})_{t∈[0,1]} będzie procesem gaussowskim o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że X traktowany jako wektor losowy w C([0, 1]) jest zmienną gaussowską. Podobnie jeśli C([0, 1]) zastąpimy przez L^{p}[0, 1], 1 p < ∞.

2. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Wykaż, że istnieje zmienna X o funkcji charakterystycznej

φ_{X}(f) := 𝔼e^{i⟨t,X⟩} = e^{−|t|^{2}/2} , t ∈ H

wtedy i tylko wtedy gdy dimH < ∞.

3. Wykaż, że istnieją stałe uniwersalne 0 < c < C < ∞ takie, że c\sqrt{ln(n + 1)}

𝔼 max_{1 k n} |g_{k}| C\sqrt{ln(n + 1)} .

4. Dla zmiennej losowej X określamy ∥X∥_{p} = (𝔼∥X∥^{p})^{1/p}. Wykaż, że funkcja p → ln∥X∥_{1/p} jest wypukła.

5. Wykaż, że jeśli dla pewnego p > q > 0, ∥X∥_{p} C∥X∥_{q} to dla dowolnych p p̃ > q̃ > 0 istnieje stała C̃ zależna tylko od p, p̃, q, q̃ i C taka, że ∥X∥p̃ C̃∥X∥q̃.

6. Niech (U, U, μ) będzie przestrzenią z miarą nieujemną μ, a α: X → E funkcją mierzalną o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha E taką, że ∫_{U} ∥α(x)∥dμ(x) < ∞. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden wektor S ∈ E taki, że f(S) = ∫ f(α(x))dμ(x) dla wszystkich f ∈ E^{∗}. Definiujemy S = ∫_{U} α(x)dμ(x), pokaż, że tak zdefiniowana całka jest liniowa oraz ∥ ∫_{U} α(x)dμ(x)∥ ∫_{U} ∥α(x)∥dμ(x)

7. Niech (E, d) będzie przestrzenią polską (tzn. metryczną, zupełną i ośrodkową). Wyka,że, że rodzina miar probabilistycznych μ_{i} jest relatywnie słabo zwarta wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K taki, że μ_{i}(K) > 1 − ε dla wszystkich i.

8. Niech X_{i} będzie ciągiem niezależnych wektorów losowych w ośrodkowej przestrzeni Banacha E oraz S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} X_{i}. Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) S_{n} jest zbieżny p.n.; ii) S_{n} jest zbieżny według prawdopodobieństwa; iii) S_{n} jest zbieżny według rozkładu; iv) Istnieje zmienna losowa S taka, że dla dowolnego f ∈ E^{∗}, f(S_{n}) jest zbieżny według rozkładu do f(S).

9. Wykaż, że poprzednie twierdzenie zachodzi również bez założenia symetrii X_{i}.

10. Skonstruuj przykład niezależnych symetrycznych zmiennych losowych X_{i} takich, że ciąg f(S_{n}) jest zbieżny według rozkładu dla każdego f ∈ E^{∗}, ale nie spełnione są warunki i)-iv).

1. Niech f: ℝ^{n} → ℝ bȩdzie funkcją klasy C^{1}. Wykaż, że f jest Lipschitzowska ze stałą L wtedy i tylko wtedy gdy |∇f(x)| L dla wszystkich x.

2. Wykaż, że dla dowolnej funkcji L-Lipschitzowskiej f: ℝ^{n} → ℝ i ε > 0 istnieje funkcja L-Lipschitzowska g klasy C^{1} taka, że ∥f − g∥_{∞} ε.

3. Niech X be.dzie wektorem losowym o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha E takim, że 𝔼∥X∥^{p} < ∞. Wykaż, że podprzestrzeń L^{p} będąca domknięciem {f(X): f ∈ E^{∗}} jest ośrodkowa.

4. Niech W będzie procesem Wienera na [0, 1], a H_{W} = \overline{\{f(W) : f ∈ (C[0, 1])^{∗}\}}. Wykaż, że przekształcenie h → ∫_{0}^{1} h(t)dW_{t} wyznacza izometrię L^{2}[0, 1] w H_{W}.

5. Niech X = (X_{t})_{t∈[0,1]} będzie scentrowanym procesem gaussowskim o trajektoriach ciągłych i funkcji kowariancji K. Rozważmy przestrzenie H_{X} = \overline{\{f(X) : f ∈ (C[0, 1])^{∗}\}} oraz H_{K} będącą uzupełnieniem L^{1} względem normy euklidesowej zadanej przez iloczyn skalarny ⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} K(t, s)f(s)g(t)dsdt. Wykaż, że obie te przestrzenie są w naturalny sposób izometryczne. Niech f_{i} będzie bazą ortonormalną H_{K} oraz h_{i}(s) = ∫_{0}^{1} K(t, s)f_{i}(t)dt. Wykaż, że szereg ∑ _{i=1}^{∞} g_{i}h_{i} jest pn zbieżny w C[0, 1] i jego granica ma taki sam rozkład jak X.

6. Znajdź kulę Camerona Martina dla d wymiarowego wektora gaussowskiego N (0, C).

1. Niech μ będzie miarą probabilistyczną na ℝ^{n}. Wykaż, że jeśl nierówność

Bobkowa

I(∫_{ℝ^{n}} fdμ) ∫_{ℝ^{n}} \sqrt{I^{2}(f) + |∇f|^{2}} dμ

zachodzi dla dowolnej funkcji f: ℝ^{n} → [0, 1] klasy C^{∞} o nośniku zwartym, to zachodzi dla dowolnej funkcji klasy C^{1}.

2. Wykaż, że dla dowolnego borelowkskiego zbioru A w ℝ^{n} oraz δ, h > 0 istnieje 1/h-Lipschitzowska funkcja f klasy C^{∞} taka, że f = 1 na A_{δ/4}, f = 0 poza A_{δ+h} oraz 0 f 1.

3. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ograniczonej klasy C^{1}(ℝ) i dowolnej miary nieujemnej absolutnie ciągłej μ zachodzi

∫_{ℝ} |f′(x)|dμ(x) = ∫_{ℝ} μ^{+} (f s)ds.

4. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ograniczonej klasy C^{1}(ℝ^{n}) i dowolnej miary nieujemnej absolutnie ciągłej μ zachodzi

∫_{ℝ^{n}} |∇f(x)|dμ(x) = ∫_{ℝ} μ^{+} (f s)ds.

5. Niech μ będzie absolutnie ciągłą miarą nieujemną na ℝ^{n}, skończoną na zbiorach zwartych. Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) Dla dowolnego zbioru ograniczonego A ∈ B(ℝ^{n}), μ^{+} (A) c(μ(A))^{(n−1)/n} ; ii) Dla dowolnej funkcji f ∈ C^{1}(ℝ^{n}) o nośniku zwartym, ∫_{ℝ^{n}} |∇f|dμ (∫_{ℝ^{n}} |f|^{n/n−1} )^{(n−1)/n} .

6. Niech μ będzie miarą probabilistyczną na przestrzeni metrycznej (X, d), zaś α pewną funkcją na ℝ_{+} . Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) μ(A_{t}) α(t) dla μ(A) 1/2, t > 0; ii) μ(f < Med_{μ}(f)+Lt) α(t) dla L-Lipschitzowskich funkcji f: X ↦ ℝ i t > 0; iii) μ(f > Med_{μ}(f)−Lt) α(t) dla L-Lipschitzowskich funkcji f: X ↦ ℝ i t > 0.

7. Dla miary probabilistycznej μ na przestrzeni metrycznej X określamy dla t, h > 0

Is_{μ}(t) := inf{μ^{+} (A): A ∈ B(X), μ(A) = t}

oraz

R_{μ}(t, h) := inf{μ(A_{h}): A ∈ B(X), μ(A) t}

Niech (X, d) i (Y, ρ) będą przestrzeniami metrycznymi, zaś T: X → Y przekształceniem nierozszerzającym tzn. ρ(T x, T y) d(x, y). Niech μ będzie miarą probabilistyczną na X, zaś ν jej obrazem przy T tzn. ν(A) := μ(T^{−1} A) dla A ∈ B(Y). Wykaż, że Is_{ν} Is_{μ} oraz R_{ν} R_{μ}.

8. Wykaż, że istnieje nierozszerzające przekształcenie ℝ^{n} na [0, \sqrt{2π}]^{n}, które przeprowadza miarę gaussowską γ_{n} na rozkład jednostajny μ na [0, \sqrt{2π}]^{n}. Wywnioskuj stąd, że μ^{+} (A) I(μ(A)). Jak oszacować funkcję izoperymetryczną rozkładu jednostajnego na [0, 1]^{n}?

1. Niech X będzie wektorem gaussowskim w ośrodkowej przestrzeni Banacha, M = Med(∥X∥), σ^{2} = sup_{∥f∥ 1} Varf(X). Udowodnij, że dla p > 0,

∥X∥_{p} M + C_{p}σ,

gdzie c_{p} stała zależna tylko od p oraz c_{p} C\sqrt{p} dla p 2. Ponadto M można zastąpić przez ∥X∥_{1}.

2. Wykaż, że dla symetrycznych wektorów gaussowskich i p > 0 ∥X∥_{p} C_{p}M. Co więcej dla α ∈ (0, 1) i p > 0 istnieje stała C_{p,α} zależna tylko od p i α taka, że ∥X∥_{p} C_{p,α}M_{α}, gdzie M_{α} := inf{t > 0: Pr(∥X∥

t) α}.

3. Udowodnij, że przy oznaczeniach z poprzedniego zadania |𝔼∥X∥−M| \frac{1}{\sqrt{2π}} σ.

4. Niech (X_{t})_{t∈T} będzie procesem gaussowskim indeksowanym przez przeliczalny zbiór T. Określmy M = Med(sup_{t∈T} X_{t}), σ = sup_{t∈T} Var(X_{t}). Wykaż, że dla u > 0

Pr(sup_{t∈T}X_{t} M + uσ) 1 − Φ(u).

5. Niech S = ∑ _{i<j}^{n} a_{ij} g_{i}g_{j}. Wykaż, że dla pewnej stałej uniwersalnej K i wszystkich t > 0 zachodzi Pr(S \sqrt{t}∥a_{ij} ∥_{HS} + t∥a_{ij} ∥) Ke^{−t/K} oraz \frac{1}{K} (\sqrt{p}∥a_{ij} ∥_{HS} + p∥a_{ij} ∥)) ∥S∥_{p} K(\sqrt{p}∥a_{ij} ∥_{HS} + p∥a_{ij} ∥)), gdzie ∥a_{ij} ∥_{HS} := (∑ a_{ij}^{2} )^{1/2} oraz ∥a_{ij} ∥ := sup{∑ a_{ij} x_{i}y_{j}: ∑ x_{i}^{2} 1, ∑ y_{j}^{2} 1}.

6. Udowodnij, że dla A ∈ B(ℝ^{∞} ), to dla dowolnego ε > 0 istnieje N takie, że dla n N γ_{n}(x ∈ ℝ^{n}: γ_{(n+1,∞)} (A_{x}) ∈ [ε, 1 − ε]) ε, gdzie A_{x} := {y: (x, y) ∈ A}.

7. Udowodnij, że dla A ∈ B(ℝ^{∞} ), (γ_{∞} )_{∗}(A_{t}) Φ(Φ^{−1} (γ_{∞} (A)) + t).

1. Wykaż, że I(t) = t\sqrt{2 ln \frac{1}{t} + lnln \frac{1}{t} + ln4π} + o(t(ln \frac{1}{t})^{−1/2} ) przy t → 0+ i wywnioskuj stąd, że dla 0 α A < ∞, I(at) = aI(t) + a log \frac{1}{a}t(2 ln \frac{1}{t})^{−1/2} + o_{A}(t(ln \frac{1}{t})^{−1/2} ) przy t → 0+.

2. Wykaż, że nierówność Bobkowa ze stałą C implikuje nierówność logarytmiczną Sobolewa ze stałą C^{−2} .

3. Dla funkcji f na przestrzeni probabilistycznej (X, F, μ) określamy Var_{μ}(f) := ∫ f^{2}dμ − (∫ fdμ)^{2} o ile ∫ f^{2}dμ < ∞. Wykaż, że jeśli miara μ jest produktem miar probabilistycznych μ = μ_{1} ⊗ ⋯⊗ μ_{k} to dla dowolnego f ∈ L^{2}(μ)

Var_{μ}(f) ∑_{i=1}^{k} ∫ Var_{μ_{i}} (f)dμ.

4. Mówimy, że miara probabilistyczna μ na ℝ^{n} spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, jeśli dla dowolnego f ∈ C^{1}(ℝ^{n}) ∩ L^{2}(μ) zachodzi

Var_{μ}(f) C ∫ |∇f|^{2}dμ.

Wykaż, że jeśli miary μ_{i} spełniają nierówność Poincaré ze stałymi C_{i} to miara μ = μ_{1} ⊗ ⋯⊗ μ_{k} spełnia nierówność Poincaré ze stałą C = max(C_{1}, …, C_{k}).

5. Wykaż, że nierówność logarytmiczna Sobolewa ze stałą C implikuje nierówność Poincaré ze stałą C.

6. (układ Hermite’a) Niech dla k = 0, 1, …

h_{k}(x) := \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k!}} e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d^{k}}{dx^{k}}e^{− \frac{x^{2}}{2}} .

Wykaż, że

a) funkcje h_{k} tworzą bazę ortonormalną L^{2}(γ_{1});

b) h_{k} jest parzyste dla parzystych k i nieparzyste dla nieparzystych k;

c) h′_{k}(x) = \sqrt{k}h_{k−1} (x) = xh_{k}(x) − \sqrt{k + 1} h_{k+1} (x);

d) ∫ f′h_{h}dγ_{1} = \sqrt{k + 1} ∫ fh_{k+1} ;

e) ∫ fh_{h}dγ_{1} = \frac{1}{\sqrt{k!}} ∫ f^{(k)}dγ_{1}.

7. Dla k = (k_{1}, k_{2}, …, k_{n}) ∈ ℤ_{+}^{n} oraz x ∈ ℝ^{n} określamy H_{k}(x) := h_{k_{1}}(x_{1}) ⋯ h_{k_{n}} (x_{n}). Wykaż, że funkcje H_{k} tworzą bazę ortonormalną L^{2}(γ_{n}).

8. Udowodnij, że miara γ_{n} spełnia nierówność Poincaré ze stałą 1, używając rozwinięcia w układzie Hermite’a.

1. Wykaż, że nierówność Ehrharda dla γ_{n} implikuje nierówność Ehrharda dla dowolnej miary gaussowskiej μ.

2. Wykaż, że jeśli λ ∈ (0, 1), a f, g, h: ℝ^{n} ↦ [0, 1] są funkcjami borelowskimi takimi, że

∀_{x,y} Φ^{−1} (h(λx + (1 − λ)y)) λΦ^{−1} (f(x)) + (1 − λ)Φ^{−1} (g(y)),

to

Φ^{−1} (∫ hdγ_{n}) λΦ^{−1} (∫ fdγ_{n}) + (1 − λ)Φ^{−1} (∫ gdγ_{n}).

(przyjmujemy umowę, że −∞ + ∞ = −∞)

3. Wykaż, że miary gaussowskie są logarytmicznie wklęsłe tzn

μ(λA + (1 − λ)B) μ(A)^{λ}μ(B)^{1−λ} .

4. Wykaż, że dla dowolnego wektora gaussowskiego X zachodzi 𝔼∥X∥ Med(∥X∥). Wskazówka: wykorzystując fakt, że funkcja Φ^{−1} (Pr(∥X∥ t)) jest wklęsła, wykaż, że istnieje a > 0 takie, że Pr(∥X∥ t) Φ(a(t − M)).

5. Wykaż, że dla t > 0 i k = 1, 2, …

lim_{λ→0+} λΦ^{−1} (γ_{k}(B(0, λ^{−1} t))) = t

i wywnioskuj stąd, że nierówność Ehrharda implikuje nierówność izoperymetryczną.

6. (Symetryzacja Ehrharda) Niech E będzie k-wymiarową podprzestrzenią ℝ^{n}, zaś u ∈ S^{n−1} ∩ E. Dla dowolnego zbioru domkniętego A definiujemy zbiór B = T (E, u)(A) spełniający dwa warunki:

i) ∀_{x∈E^{⊥}} B ∩ (x + E) = H_{x} ∩ (x + E) dla pewnej domkniętej półprzestrzeni afinicznej H_{x} w kierunku u (tzn. H_{x} = {y: ⟨y, u⟩ f(x)}, f: E^{⊥} ↦ [−∞, ∞]). ii) ∀_{x∈E^{⊥}} γ_{k,x+E} (B ∩ (x + E)) = γ_{k,x+E} (A ∩ (x + E)), gdzie γ_{k,x+E} (C) = γ_{k}(C − x) dla C ⊂ x + E. Wykaż, że a) B jest zbiorem domkniętym;

b) γ_{n}(B) = γ_{n}(A);

c) γ_{n}(B_{t}) γ_{n}(A_{t}) dla t > 0 oraz γ_{n}^{+} (B) γ_{n}^{+} (A);

d) jeśli A jest zbiorem wypukłym to B jest również wypukłe.

1. Niech μ będzie probabilistyczną miarą logarytmicznie wklęsłą, a K zbiorem wypukłym symetrycznym z μ(K) = θ. Wykaż, że dla t > 1,

1 − μ(tK) θ(\frac{1 − θ}{theta})^{(1+t)/2} .

Wywnioskuj stąd, że jeśli rozkład wektora X jest logarytmicznie wklęsły to dla p 1, ∥X∥_{p} Cp∥X∥_{1}, gdzie C jest stałą uniwersalną.

2. Wykaż, że dla a < 1 istnieje stała C_{a} taka, że przy założeniach poprzedniego zadania dla μ(K) a,

μ(tK) C_{a}tμ(K).

Wywnioskuj stąd, że dla p, q > −1 istnieje stała C(p, q) taka, że dla wektorów X o logarytmicznie wklęsłym rozkładzie, ∥X∥_{p} C(p, q)∥X∥_{q}.

3. Niech K będzie symetrycznym zbiorem wypukłym w ℝ^{n}, zaś w(K) := sup{r 0: B(0, r) ⊂ K}. Wykaż, że jeśli γ_{n}(K) 1/2, to

γ_{n}(tK) t^{\frac{ln 2}{8} w^{2}(K)}γ_{n}(K) dla 0 t 1/2

oraz

γ_{n}(tK) (2t)^{w^{2}(K)/4} γ_{n}(K) dla 0 t 1.

4. Niech X będzie symetrycznym wektorem gaussowskim, M = Med(X), a σ = sup_{∥f∥ 1} 𝔼(f^{2}(X))^{1/2}. Wykaż, że dla

Pr(∥X∥ tM) \frac{1}{2}(2t)^{\frac{M^{2}}{4σ^{2}}} .

5. Wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania dla p, q > min(−1, −M^{2}/4σ^{2}), ∥X∥_{p} C(p, q)∥X∥_{q}.

6. Określmy dla t 0, f: ℝ^{n} → ℝ, T_{t}f: ℝ^{n} → ℝ wzorem

T_{t}f(x) := ∫_{ℝ^{n}} f(e^{−t} x + \sqrt{1 − e^{−2t}} y)dγ_{n}(y).

Wykaż, że dla T_{t}: L^{p}(γ_{n}) → L^{p}(γ_{n}) oraz ∥T_{t}f∥_{p} ∥f∥_{p}. Wykaż, że operatory T_{t} są nieujemne i symetryczne (tzn. ∫(T_{t}f)gdγ_{n} = ∫ fT_{t}gdγ_{n}).

7. Wykaż, że (T_{t})_{t 0} jest półgrupą mocno ciągłą (tzn. ∥T_{t}f −f∥ → 0, jeśli t → 0) na L^{p}(dγ_{n}). Ponadto ∥T_{t}f − ∫ fdγ_{n}∥_{p} → 0 dla t → ∞.

8. Niech L będzie generatorem T_{t} na L^{2}. Wykaż, że C_{0}^{∞} ⊂ D(L) oraz Lf := △f − ⟨x, ∇f⟩ dla f ∈ C_{0}^{∞} .

9. Niech H_{k}, k ∈ ℤ_{+}^{n} będzie układem Hermite’a. Wykaż, że T_{t}H_{k} = e^{−t|k|} H_{k}, LH_{k} = −|k|H_{k}. Wykaż, że D(L) = {∑ _{k} a_{k}H_{k}: ∑ _{k} |k|^{2}a_{k}^{2} < ∞} oraz L(∑ _{k} a_{k}H_{k}) = ∑ _{k} −|k|a_{k}H_{k}.

10. Wykaż, że jeśli p q 1, to dla dowolnego f ∈ L^{p}

∥T_{t}f∥_{p} ∥T_{t}f∥_{q} dla e^{2t} \frac{p − 1}{q − 1} .

1. i) Wykaż, że jeśli f jest funkcją parzystą, nierosnącą na [0, ∞), to

funkcja t ↦ ^{\frac{∫_{−t}^{t} f(x)dγ_{1}(x)}{γ_{1}[−t,t]}} jest nierosnąca; ii) Wykaż, że jeśli K jest zbiorem wypukłym symetrycznym w ℝ^{n}, oraz P = \{x ∈ ℝ^{n}: |x_{1}| 1\} t ↦ \frac{γ_{n} (K∩tP}{γ_{n} (tP)} jest nierosnąca; iii) Wykaż, że jeśli K jest wypukły symetryczny w ℝ^{n}, a P jest pasem symetrycznym, to γ_{n}(K ∩ P) γ_{n}(K)γ_{n}(P).

2. Niech f, g: ℝ^{n} → ℝ_{+} będą funkcjami takimi, że jeśli x, y ∈ ℝ^{n} spełniają |x_{i}| |y_{i}|, i = 1, …, n, to f(x) f(y), g(x) g(y). Wykaż, że ∫ f(x)g(x)dγ_{n}(x) ∫ f(x)dγ_{n}(x) ∫ g(x)dγ_{n}(x). Wywnioskuj stąd, że jeśli K i L są zbiorami wypukłymi, symetrycznymi względem wszystkich osi, to γ_{n}(K ∩ L) γ_{n}(K)γ_{n}(L).

3. Niech f, g będą nieujemnymi, parzystymi funkcjami log-wklęsłymi na ℝ^{n}, zaś T_{t} półgrupą Ornsteina-Uhlenbecka. Wykaż, że

∫ fgdγ_{n} − ∫ fdγ_{n} ∫ gdγ_{n} = ∫_{0}^{infty} ∫ ⟨∇f, ∇T_{t}g⟩dγ_{n}dt.

Wywnioskuj stąd, że hipoteza korelacyjna jest spełniona, jeśli wykażemy iż ∫⟨∇f, ∇g⟩ 0 dla dowolnych funkcji parzystych log-wklęsłych na ℝ^{n}.

4. i) Niech f będzie log-wklęsłą nieujemną funkcją na ℝ, a x_{0} = med_{γ_{1}}(f) w tym sensie, że ∫_{−∞}^{x_{0}} fdγ_{1} = 1/2 ∫_{−∞}^{∞} fdγ_{1}. Niech T będzie przekształceniem Breniera między γ_{1} a fγ_{1}/ ∫ fdγ_{1}. Wykaż, że T (0) = x_{0} oraz

∫_{x_{0}−t}^{x_{0}+t} fdγ_{1} γ_{1}[−t, t] ∫ fdγ_{1} γ_{1}[x_{0} − t, x_{0} + t] ∫ fdγ_{1}.

ii) Załóżmy, że f i g są logwklęsłe nieujemne na ℝ, przy czym x_{0} = med_{γ_{1}}(f), zaś g jest parzysta. Wykaż, że

∫ f(x)g(x − x_{0})dγ_{1} ∫ fdγ_{1} ∫ gdγ_{1} ∫ fdγ_{1} ∫ g(x − x_{0})dγ_{1}.

iii) Niech K będzie zbiorem wypukłym takim, że γ_{n}(K ∩ ⟨x, u⟩ s_{0}) = 1/2γ_{n}(K), zaś P = {x: s_{0} − t ⟨x, u⟩ s_{0} + t}. Wykaż, że

γ_{n}(K ∩ P) γ_{n}(K)γ_{1}[−t, t] γ_{n}(K)γ_{n}(P).

Zestaw 10

1. Niech X i Y będą scentrowanymi wektorami gaussowskimi w ośrodkowej przestrzeni Banacha E takimi, że 𝔼f(X)^{2} 𝔼f(Y)^{2} dla f ∈ E^{∗}. Wykaż, że

a) Pr(∥X∥ t) Pr(∥Y ∥ t) dla t > 0 oraz 𝔼∥X∥ 𝔼∥Y ∥.

b) Pr(X ∈ K) Pr(Y ∈ K) dla dowolnego symetrycznego zwartego K.

2. Niech (X_{i})_{i∈I} oraz X będą scentrowanymi wektorami gaussowskimi w ośrodkowej przestrzeni Banacha E takimi, że sup_{i} 𝔼f(X_{i})^{2} 𝔼f(X)^{2} dla f ∈ E^{∗}. Wykaż, że rodzina (X_{i})_{i∈I} jest ciasna.

3. Dla macierzy n × m, A = (a_{ij}) określmy

∥A∥ := sup{∑_{ij} a_{ij} x_{i}y_{j}: ∑ x_{i}^{2} 1, ∑ y_{j}^{2} 1}.

Wykaż, że dla pewnych stałych uniwersalnych 0 < c < C < ∞ mamy

c(\sqrt{n} + \sqrt{m}) 𝔼∥(g_{ij})_{i n,j m} ∥ C(\sqrt{n} + \sqrt{m}),

gdzie g_{ij} są iid N (0, 1).

4. Dla t ∈ ℝ^{n} określamy X_{t} = ∑ _{i=1}^{n} t_{i}g_{i} (tzw. kanoniczny proces gaussowski). Dla A ⊂ ℝ^{n} niech l(A) := 𝔼 sup_{t∈A} |X_{t}|. Wykaż, że dla t > 0 mamy

t\sqrt{logN(A, tB_{2}^{n})} Kl(A) oraz t\sqrt{logN(B_{2}^{n}, tA^{o})} Kl(A),

gdzie N(A, B) oznacza najmniejszą liczbę przesunięć zbioru A, które pokrywają zbiór B oraz

A^{o} := {x ∈ ℝ^{n}: sup_{y∈A}|⟨x, y⟩| 1}.

5. Wykaż, że dla dowolnego zwartego, wypukłego symetrycznego zbioru K ⊂ ℝ^{n} o niepustym wnętrzu 2^{n} N(K, \frac{1}{2}K) 5^{n}.

6. Dla t ∈ l^{2} niech X_{t} = ∑ _{i} a_{i}t_{i}g_{i}. Wykaż, że S(a) = 𝔼 sup_{∥t∥_{2} 1} X_{t} = (∑ _{i} a_{i}^{2})^{1/2} oraz jeśli a_{1} a_{2} … 0, to

E(a) = ∫_{0}^{∞} \sqrt{logN(B_{2}, d_{X}, t)}dt c ∑_{i=1}^{∞} 2^{n/2}a_{2^{n}} .

Wywnioskuj stąd, że istnieje a takie, że S(a) < ∞, ale E(a) = ∞.