Metody Losowe w Geometrii Wypukłej

Rafał Latała

21 stycznia 2013

Poniższe notatki powstają na podstawie (wybranych) wykładów z Metod Losowych w Geometrii Wypukłej prowadzonych w semestrze zimowym 2012/13.

Przepraszam za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące pojawić się w tekście i jednocześnie zwracam się z prośbą do czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o kontakt mailowy na adres rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek (daty) do której chcą się ustosunkować.

Dziękuje panu Robertowi Boguckiemu za uważną lekturą i wychwycenie licznych literówek.

Rafał Latała

Spis treści

1 Wstęp 4

2 Nierówność Brunna-Minkowskiego 5 2.1 Nierówność Prékopy-Leindlera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Dowód twierdzenia Brunna-Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Nierówność izoperymetryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Koncentracja Gaussowska 9

4 Ciała wypukłe. Podstawowe fakty i definicje 11 4.1 Metryka Hausdorffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Odległość Banacha-Mazura. Twierdzenie Johna . . . . . . . . . . 12 4.3 Polarność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Liczby pokryciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Twierdzenie Gluskina 19

6 Twierdzenie Dvoretzky’ego 24

7 Twierdzenie Kaszina-Szarka 29

8 Elipsoidy Milmana 33 8.1 Minoryzacja Sudakowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.2 Twierdzenie Lewisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.3 Porównywanie l(T^{∗}) z l^{∗}(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.4 Liczby aproksymacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.5 Konkluzja dowodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Wnioski z Twierdzenia o Elipsoidzie Milmana 47 9.1 Odwrotna nierówność Brunna-Minkowskiego . . . . . . . . . . . . 47 9.2 Twierdzenie o rzucie przekroju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9.3 Odwrotna nierówność Santaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.4 Dualność liczb entropijnych modulo czynnik wykładniczy …. 51

10 Nierówność Santaló. Hipoteza Mahlera 52

11 Hyperplane Conjecture 55

12 Rozkłady logarytmicznie wklęsłe 60

13 Oszacowania stałej izotropowej 64 14 Otwarte pytania 66

14.1 Hipoteza KLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 14.2 Szacowania �thin-shell” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 14.3 Nierówności splotu infimum i pokrewne nierówności koncentracyjne 69 14.4 Porównywanie słabych i silnych momentów . . . . . . . . . . . . 69

1 Wstęp

Celem wykładu jest omówienie pewnych zagadnień związanych z zastosowaniami rachunku prawdopodobieństwa w geometrii wysokowymiarowych zbiorów wypukłych. Metody losowe, o których mowa w tytule, będą polegać na

• wykazywaniu pewnych ciekawych i zaskakujących własności deterministycznych ciał wypukłych (np istnieniu prawie kulistych przekrojów),

• konstruowaniu losowych ciał (wielościanów) wypukłych o nieoczywistych własnościach, których deterministyczna konstrukcja jest często nieznana,

• badaniu własności obiektów probabilistycznych w naturalny sposób pojawiających się w geometrii wypukłej (np. rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych).

Zanim jednak przejdziemy do struktur probabilistycznych w pierwszych wykładach przedstawimy szereg deterministycznych wyników, które wprowadzą nas w tematykę geometrii wypukłej.

2 Nierówność Brunna-Minkowskiego

Zacznijmy od następującej definicji.

Definicja 2.1. Sumą Minkowskiego dwóch niepustych zbiorów A, B ⊂ ℝ^{n} nazywamy zbiór

A + B = {x + y: x ∈ A, y ∈ B}.

Dla ∅ ≠ A ⊂ ℝ^{n} i λ ∈ ℝ definiujemy

λA := {λx: x ∈ A}.

Będziemy też pisać −A zamiast (−1)A, A − B zamiast A + (−B) oraz A ± x zamiast A ± {x}.

Uwaga 2.2. Jeśli A i B są zwarte, to zbiór A + B jest zwarty. Jeśli jeden ze zbiorów A lub B jest otwarty, to A + B jest otwarty. Ogólnie zbiór A + B nie musi być borelowski, jeśli A i B są borelowskie. Korzystając z teorii zbiorów analitycznych można jednak udowodnić, że suma Minkowskiego zbiorów borelowskich jest mierzalna w sensie Lebesgue’a.

Przykłady.

1. Suma Minkowskiego zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Suma Minkowskiego wielościanów jest wielościanem. Dla dowolnego zbioru wypukłego K i a, b > 0, aK + bK = (a + b)K.

2. Niech B(0, r) = {x ∈ ℝ^{n} : |x| < r} będzie euklidesową kulą otwartą o środku w zerze i promieniu r > 0. Dla dowolnego niepustego zbioru A ⊂ ℝ^{n},

A_{r} := A + B(0, r) = A + rB(0, 1) = {x ∈ ℝ^{n} : dist(x, A) < r}.

Zbiór A_{r} nazywamy r-otoczką zbioru A.

Głównym celem pierwszego wykładu jest udowodnienie następującego twierdzenia

Twierdzenie 2.3 (Brunn-Minkowski). Dla dowolnych niepustych zwartych zbiorów A, B ⊂ ℝ^{n},

vol_{n}^{1/n} (A + B) vol_{n}^{1/n} (A) + vol_{n}^{1/n} (B).  (1)

Uwaga 2.4. Założenie zwartości można zastąpić borelowskością.

Przykład. Załóżmy, że A jest zbiorem wypukłym oraz B = aA dla pewnego a > 0. Wówczas A + B = (1 + a)A i jak łatwo widać w nierówności Brunna-Minkowskiego (1) zachodzi wtedy równość.

Notacja. Dla uproszczenia oznaczeń będziemy często pisać |A| zamiast vol_{n}(A) dla oznaczenia miary Lebesgue’a zbioru mierzalnego A ⊂ ℝ^{n}.

Lemat 2.5. Twierdzenie 1 zachodzi dla n = 1.

Dowód. Z uwagi na niezmienniczość obu stron nierówności ze względu na przesunięcia zbiorów A i B możemy zakładać, że inf A = supB = 0. Zauważmy, że wtedy A∩B = {0}, więc A+B ⊃ A∪B oraz |A∪B| = |A|+|B\A| = |A|+|B|.

Dla n > 1 twierdzenie Brunna-Minkowskiego już nie jest aż tak oczywiste, choć obecnie znanych jest kilka niezbyt trudnych dowodów. My oprzemy się na pewnej pokrewnej nierówności funkcyjnej, odkrytej przez Prékopę i Leindlera.

2.1 Nierówność Prékopy-Leindlera

Twierdzenie 2.6 (Prékopa-Leindler). Załóżmy, że λ ∈ (0, 1) oraz funkcje mierzalne f, g, h: ℝ^{n} → [0, ∞) spełniają warunek

h(λx + (1 − λ)y) f(x)^{λ}g(y)^{1−λ} dla wszystkichx, y ∈ ℝ^{n}.  (2)

Wówczas

∫_{ℝ^{n}} h(x)dx ( ∫_{ℝ^{n}} f(x)dx) ^{λ}( ∫_{ℝ^{n}} g(x)dx) ^{1−λ} .  (3)

Dowód. Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem n. Zacznijmy od przypadku n = 1. Możemy zakładać, że funkcje f i g są ograniczone, wykorzystując zaś jednorodność wystarczy rozpatrzyć przypadek supf = supg = 1. Weźmy t ∈ [0, 1], wówczas

|{x: h(x) t}| |λ{x: f(x) t} + (1 − λ){x: g(x) t}|
|λ{x: f(x) t}| + |(1 − λ){x: g(x) t}|.

Stąd, całkując przez części, dostajemy

∫_{ℝ} h(x)dx ∫_{0}^{1}{x: h(x) t}|dt
λ ∫_{0}^{1} |{x: f(x) t}|dt + (1 − λ) ∫_{0}^{1} |{x: g(x) t}|dt

= λ ∫_{ℝ} f(x)dx + (1 − λ) ∫_{ℝ} g(x)dx ( ∫_{ℝ} f(x)dx) ^{λ}( ∫_{ℝ} g(x)dx) ^{1−λ} ,

gdzie ostatnia nierównośc wynika z porównania średniej arytmetycznej i geometrycznej.

Dowód kroku indukcyjnego. Załóżmy, że n > 1 i nierówność Prékopy-Leindlera zachodzi w wymiarze n − 1. Weżmy funkcje f, g i h spełniające (2) i określmy F, G, H: ℝ^{n−1} → ℝ wzorami

F (x) := ∫_{ℝ} f(x, y)dy, G(x) := ∫_{ℝ} g(x, y)dy, i H(x) := ∫_{ℝ} h(x, y)dy.

Wówczas z udowodnionego już jednowymiarowego przypadku wynika, że

H(λx + (1 − λ)y) F (x)^{λ}G(y)^{1−λ} dla wszystkich x, y ∈ ℝ^{n−1} ,

zatem z założenia indukcyjnego otrzymujemy

∫_{ℝ^{n}} h(x)dx = ∫_{ℝ^{n−1}} H(x)dx ( ∫_{ℝ^{n−1}} F (x)dx) ^{λ}( ∫_{ℝ^{n−1}} G(x)dx) ^{1−λ}

= ( ∫_{ℝ^{n}} f(x)dx) ^{λ}( ∫_{ℝ^{n}} g(x)dx) ^{1−λ} .

2.2 Dowód twierdzenia Brunna-Minkowskiego

Z nierówności Prékopy-Leindlera natychmiast można wyprowadzić nierówność Brunna-Minkowskiego w wersji logarytmicznej.

Wniosek 2.7. Dla dowolnych niepustych zwartych zbiorów A, B ⊂ ℝ^{n} oraz λ ∈ [0, 1],

vol_{n}(λA + (1 − λ)B) vol_{n}(A)^{λ}vol_{n}(B)^{1−λ} .  (4)

Dowód. Dla λ ∈ {0, 1} nierówność jest oczywista. Dla λ ∈ (0, 1) stosujemy nierówność Prékopy-Leindlera z f = I_{A}, g = I_{B} oraz h = I_{λA+(1−λ)B} .

Dowód twierdzenia 2.3. Jeśli vol_{n}(B) = 0, to wybierając dowolny punkt b ∈ B mamy

vol_{n}^{1/n} (A + B) vol_{n}^{1/n} (A + b) = vol_{n}^{1/n} (A) = vol_{n}^{1/n} (A) + vol_{n}^{1/n} (B),

podobny argument działa dla vol_{n}(A) = 0. Możemy więc zakładać, że 0 < vol_{n}(A), vol_{n}(B) < ∞. Określmy

Ã := vol_{n}(A)^{−1/n} A, B̃ := vol_{n}(A)^{−1/n} B, λ := \frac{vol_{n}(A)^{1/n}}{vol_{n}(A)^{1/n} + vol_{n}(B)^{1/n}} .

Wówczas vol_{n}(Ã) = vol_{n}(B̃) = 1 oraz λÃ+(1−λ)B̃ = (vol_{n}(A)^{1/n} +vol_{n}(B)^{1/n} )^{−1} (A+ B), zatem z Wniosku 2.7,

vol_{n}^{1/n} (A + B) = (vol_{n}(A)^{1/n} + vol_{n}(B)^{1/n} )vol_{n}(λÃ + (1 − λ)B̃)
vol_{n}(A)^{1/n} + vol_{n}(B)^{1/n} .

2.3 Nierówność izoperymetryczna

Zacznijmy od sformułowania otoczeniowej wersji nierówności izoperymetrycznej dla miary Lebesgue’a. Przypomnijmy, że A_{t} = A + B(0, t).

Twierdzenie 2.8. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim ℝ^{n} takim, że vol_{n}(A) = vol_{n}(B(x_{0}, r)), to dla dowolnego t > 0,

vol_{n}(A_{t}) vol_{n}(B(x_{0}, r)_{t}) = vol_{n}(B(x_{0}, r + t)).

Dowód. Niech c_{n} = vol_{n}(B(0, 1)), wówczas vol_{n}(A) = c_{n}r^{n} i na podstawie nierówności Brunna-Minkowskiego (1),

vol_{n}(A_{t}) = vol_{n}(A + B(0, t)) (vol_{n}(A)^{1/n} + vol_{n}(B(0, t))^{1/n} )^{n}
= c_{n}(r + t)^{n} = vol_{n}(B(x_{0}, r + t)).

Definicja 2.9. Dla miary μ na przestrzeni metrycznej (X, d) określamy zewnętrzną miarę brzegową μ^{+} wzorem

μ^{+} (A) := lim inf_{t→0+} \frac{μ(A_{t}) − μ(A)}{t} .

Uwaga 2.10. Jeśli miara μ na ℝ^{n} ma ciągłą gęstość g(x) oraz zbiór A ma gładki brzeg, to

μ^{+} (A) = ∫_{∂A} g(x)dH_{n−1} (x),

gdzie H_{n−1} oznacza n−1 wymiarową miarę Haussdorffa. W szczególności vol_{n}^{+} (A) = vol_{n−1} (∂A) dla zbiorów borelowskich A w ℝ^{n} z gładkim brzegiem.

Równoważna różniczkowa forma klasycznej nierówności izoperymetrycznej mówi, że spośród zbiorów o ustalonej objętości najmniejszą powierzchnię brzegu ma kula. Dokładniej:

Twierdzenie 2.11. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim ℝ^{n} takim, że vol_{n}(A) = vol_{n}(B(x_{0}, r)), to

vol_{n}^{+} (A) vol_{n}^{+} (B(x_{0}, r)) = nc_{n}^{1/n} (vol_{n}(A))^{(n−1)/n} ,

gdzie

c_{n} = vol_{n}(B(0, 1)) = \frac{π^{n/2}}{Γ(n/2 + 1)} .

Pierwsza historycznie forma nierówności izoperymetrycznej mówiła, że z podzbiorów płaszczyzny o ustalonym obwodzie największe pole ma koło. W tej formie równoważna postać Twierdzeń 2.8 i 2.11 jest następująca:

Twierdzenie 2.12. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim ℝ^{n}, n 2, takim, że vol_{n}^{+} (A) = vol_{n}^{+} (B(x_{0}, r)), to vol_{n}(A) vol_{n}(B(x_{0}, r)).

Uwaga 2.13. Ogólnie dla miary μ na przestrzeni metrycznej (X, d) można postawić problem izoperymetryczny w wersji klasycznej (różniczkowej) polegający na wyznaczeniu funkcji izoperymetrycznej

I_{μ}(c) = inf{μ^{+} (A): μ(A) = c}

oraz w wersji otoczeniowej pytający o funkcję koncentracji

R_{μ}(c, t) = inf{μ(A_{t}): μ(A) = c}.

Dokładna postać funkcji I_{μ} i R_{μ} jest znana tylko w kilku przypadkach (obejmujących między innymi miarę powierzchniową na S^{n−1} i rozkład gaussowski). Dla nieco szerszej klasy miar znane są dość dobre oszacowania funkcji izoperymetrycznej i koncentracyjnej. Jedno z takich oszacowań dla miary gaussowskiej zaprezentujemy w czasie kolejnych wykładów.

3 Koncentracja Gaussowska

Przez γ_{n} będziemy oznaczać kanoniczny rozkład gaussowski na ℝ^{n}, tzn. rozkład z gęstością (2π)^{−n/2} exp(−|x|^{2}/2).

Nasze pierwsze twierdzenie mówi o koncentracji funkcji Lipschitzowskich względem γ_{n}.

Twierdzenie 3.1. Załóżmy, że F: ℝ^{n} → ℝ jest funkcją L-Lipschitzowską, wówczas dla t 0,

γ_{n}\{x: F (x) − ∫_{ℝ^{n}} F dγ_{n} > Lt\} exp( − \frac{2}{π^{2}} t^{2})  (5)

oraz

γ_{n}\{x: |F (x) − ∫_{ℝ^{n}} F dγ_{n} | > Lt\} 2 exp( − \frac{2}{π^{2}} t^{2})  (6)

Dowód. Ponieważ funkcja −F jest również Lipschitzowska, więc szacowanie (6) wynika z (5). By udowodnić (5) możemy, stosując argument aproksymacyjny, założyć, że funkcja F jest gładka. Niech zmienne X i Y mają kanoniczny rozkład gaussowski, określmy dla θ ∈ [0, π/2] zmienne

X(θ) = X sin(θ) + Y cos(θ) oraz X′(θ) := \frac{d}{dθ}X(θ) = X cos(θ) − Y sin(θ).

Wówczas

F (X)−F (Y) = F (X(\frac{π}{2}))−F (X(0)) = ∫_{0}^{π/2} \frac{d}{dθ}F (X(θ))dθ = ∫_{0}^{π/2} ⟨∇F (X(θ)), X′(θ)⟩dθ.

Ustalmy λ ∈ ℝ, z wypukłości funkcji t → exp(λt) i nierówności Jensena otrzymujemy

exp(λ(F (X) − F (Y))) \frac{2}{π} ∫_{0}^{π/2} exp(λ\frac{π}{2}⟨∇F (X(θ)), X′(θ)⟩)dθ.

Jeszcze raz stosując nierówność Jensena dostajemy

𝔼 exp(λ(F (X)−𝔼F (Y))) 𝔼 exp(λ(F (X)−F (Y))) 𝔼\frac{2}{π} ∫_{0}^{π/2} exp(λ\frac{π}{2}⟨∇F (X(θ)), X′(θ)⟩)dθ.

Zauważmy, że para zmiennych (X(θ), X′(θ)) ma dla każdego θ ten sam rozkład, co (X, Y), zatem na mocy twierdzenia Fubiniego,

𝔼 exp(λ(F (X) − 𝔼F (Y))) 𝔼 exp(λ\frac{π}{2}⟨∇F (X), Y ⟩) = 𝔼 exp(λ^{2} \frac{π^{2}}{8} |∇F (X)|^{2}),

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że 𝔼 exp(⟨t, Y ⟩) = exp(|t|^{2}/2) dla t ∈ ℝ^{n}. Z Lipschitzowskości F wynika, że |∇F (x)| L dla wszystkich x, zatem

𝔼 exp(λ(F (X) − 𝔼F (Y))) 𝔼 exp(λ^{2} \frac{π^{2}}{8} L^{2})

i z nierówności Czebyszewa dostajemy, że dla dowolnego λ, t 0,

ℙ(F (X) − 𝔼F (Y) > Lt) exp(λ^{2} \frac{π^{2}}{8} L^{2} − Lλt).

Optymalizując powyższą nierówność po λ 0, czyli wybierając λ = 4t/(π^{2}L) dostajemy

ℙ(F (X) − 𝔼F (Y) > Lt) exp(−\frac{2}{π^{2}} t^{2})

czyli nierówność (5).

Uwaga 3.2. Można udowodnić (zob. np. rodział 5.1 w [2]), że stałą \frac{2}{π^{2}} w (5) i (6) można poprawić do optymalnej stałej \frac{1}{2}.

Przypomnijmy, że X jest wektorem gaussowskim w ℝ^{n}, jeśli ma taki sam rozkład jak afiniczny obraz kanonicznego wektora gaussowskiego.

Wniosek 3.3. Załóżmy, że X jest wektorem gaussowskim w ℝ^{n}, a ∥ ∥ normą na ℝ^{n}. Wówczas dla t 0,

ℙ(|∥X∥ − 𝔼∥X∥| > σt) 2 exp( − \frac{2}{π^{2}} t^{2}) ,

gdzie

σ = σ(X) = sup_{∥u∥_{∗} 1} (Var(⟨u, X⟩))^{1/2} ,

a ∥ ∥_{∗} oznacza normę dualną do ∥ ∥.

Dowód. Wiemy, że X ma ten sam rozkład co x_{0}+AG, gdzie G jest kanonicznym wektorem gaussowskim, x_{0} ∈ ℝ^{n}, zaś A pewnym przekształceniem liniowym w ℝ^{n}. Zauważmy, że

∥x_{0} + AG∥ = sup_{∥u∥_{∗} 1} ⟨u, x_{0} + AG⟩ = sup_{∥u∥_{∗} 1} (⟨u, x_{0}⟩ + ⟨A^{∗}u, G⟩).

Funkcja F (x) = sup_{∥u∥_{∗} 1} (⟨u, x_{0}⟩ + ⟨A^{∗}u, x⟩) jak łatwo sprawdzić jest Lipschitzowska ze stałą

sup_{∥u∥_{∗} 1} |A^{∗}u| = sup_{∥u∥_{∗} 1} Var^{1/2} (⟨A^{∗}u, G⟩) = sup_{∥u∥_{∗} 1} Var^{1/2} (⟨u, X⟩).

Wniosek 3.4. Przy założeniach i notacji Wniosku 3.3 mamy dla p 1,

(𝔼∥X∥^{p})^{1/p} 𝔼∥X∥ + C_{1} \sqrt{p}σ(X) C_{2} \sqrt{p}]𝔼∥X∥,

gdzie C_{1} i C_{2} są pewnymi stałymi absolutnymi.

Dowód. Pierwsza nierówność wynika łatwo z Wniosku 3.3 i z całkowania przez części, by udowodnić drugą wystarczy zauważyć, że dla dowolnego u takiego, że ∥u∥_{∗} 1 mamy

(Var(⟨u, X⟩))^{1/2} = \sqrt{\frac{π}{2}}𝔼|⟨u, X − 𝔼X⟩| \sqrt{\frac{π}{2}}𝔼∥X − 𝔼X∥ \sqrt{2π}𝔼∥X∥.

Uwaga 3.5. Wnioski 3.3 i 3.4 są prawdziwe dla wektorów gaussowskich w ośrodkowych przestrzeniach Banacha. Jest wiele równoważnych definicji wektora gaussowskiego w takich przestrzeniach – np. X jest gaussowski, jeśli φ(X) jest zmienną gaussowską dla każdego funkcjonału φ.

4 Ciała wypukłe. Podstawowe fakty i definicje

Definicja 4.1. Ciałem wypukłym w ℝ^{n} nazywamy zwarty wypukły podzbiór ℝ^{n} o niepustym wnętrzu.

Ciało wypukłe K nazywamy środkowosymetrycznym lub krócej symetrycznym jeśli jest symetryczne względem środka układu współrzędnych, tzn. jeśli x ∈ K, to −x ∈ K.

Przykłady ciał wypukłych. 1.Kula w l_{p}

B_{p}^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{p} 1}, 1 p ∞,

gdzie dla x ∈ ℝ^{n}

∥x∥_{p} = (∑_{i=1}^{∞} |x_{i}|^{p})^{1/p}, ∥x∥_{∞} = max_{i n}|x_{i}|.

Dla uproszczenia notacji będziemy pisać |x| zamiast ∥x∥_{2}. 2.Kula Orlicza. Załóżmy, że φ: [0, ∞) → [0, ∞) jest niezdegenerowaną funkcją wypukłą taką, że φ(0) = 0, kulą Orlicza wyznaczoną przez φ nazywamy zbiór

B_{φ}^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∑_{i=1}^{n} φ(|x_{i}|) 1}.

3.Załóżmy, że A jest zwartym podzbiorem ℝ^{n}, który nie jest zawarty we właściwej podprzestrzeni afinicznej ℝ^{n}, wówczas conv(A) jest ciałem wypukłym. Jeśli A jest zbiorem skończonym, to conv(A) jest wielościanem. Jeśli A jest zbiorem złożonym z n + 1 punktów w położeniu ogólnym, to A jest sympleksem.

Uwaga 4.2. Każde symetryczne ciało wypukłe K wyznacza normę ∥ ∥_{K} zadaną wzorem

∥x∥_{K} := inf{t > 0: x/t ∈ K}.

Ciało K jest domkniętą kulą jednostkową w normie ∥ ∥_{K}.

Na odwrót, dla dowolnej normy ∥ ∥ na ℝ^{n} istnieje symetryczne ciało wypukłe K = {x: ∥x∥ 1} takie, że ∥ ∥ = ∥ ∥_{K}.

4.1 Metryka Hausdorffa

Określimy kilka metryk na zbiorze ciał wypukłych. Zaczniemy od przypomnienia odległości Hausdorffa.

Definicja 4.3. Załóżmy, że A i B są niepustymi zwartymi podzbiorami ℝ^{n}. Definiujemy wówczas odległość Hausdorffa A i B wzorem

d_{H} (A, B) := inf{t > 0: A ⊂ B_{t} i B ⊂ A_{t}}.

Łatwo sprawdzić, że d_{H} spełnia wszystkie warunki metryki. Ponadto granica zbiorów wypukłych (wypukłych symetrycznych) w metryce Hausdorffa jest zbiorem wypukłym (wypukłym symetrycznym). Granica ciał wypukłych nie musi być ciałem, gdyż może mieć puste wnętrze. Uwaga 4.4. Równoważnie możemy określić

d_{H} (A, B) = max{ sup_{x∈A} inf_{y∈B} |x − y|, sup_{y∈B} inf_{x∈A} |x − y|}.

Twierdzenie 4.5. Załózmy, że K jest zwartym podzbiorem ℝ^{n}. Wówczas przestrzeń C(K) wszystkich niepustych zwartych podzbiorów K z metryką Hausdorffa jest przestrzenią zwartą.

By udowodnić to twierdzenie skorzystamy z następującej charakteryzacji zwartych przestrzeni metrycznych.

Twierdzenie 4.6. Załóżmy, że (E, ρ) jest przestrzenią metryczną. Wówczas E jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona, tzn. dla każdego ε > 0, E da się pokryć skończoną liczbą kul o promieniu ε.

Dowód Twierdzenia 4.5. Najpierw udowodnimy całkowitą ograniczoność C(K). Ustalmy ε > 0, wówczas istnieją x_{1}, …, x_{N} ∈ K takie, że K = ⋃ _{i N} B(x_{i}, ε). Niech C = {x_{1}, …, x_{N} }, wystarczy pokazać, że jeśli A ∈ C(K) to istnieje B ⊂ C taki, że d_{H} (B, A) ε. Przyjmijmy B := \overline{A_{ε}} ∩ C, oczywiście B ⊂ \overline{A_{ε}}, ponadto dla x ∈ A istnieje x_{i} takie, że d(x_{i}, x) ε, stąd x_{i} ∈ B, a więc A ⊂ \overline{B_{ε}}, czyli istotnie d_{H} (B, A) ε.

By wykazać zupełność, weźmy ciąg Cauchy’ego (A_{k})_{k 1} w C(K) i połóżmy A := ⋂ _{k 1} \overline{⋃ _{l k} A_{l}}. Wówczas A jest niepusty i zwarty jako przecięcie zstępującego ciągu niepustych zbiorów zwartych, pokażemy, że A jest granicą zbiorów A_{k}. Niech ε > 0, wtedy dla k, l N, A_{k} ⊂ (A_{l})_{ε}, ustalmy k N, wystarczy udowodnić, że d_{H} (A_{k}, A) ε. Niech x ∈ A_{k}, wówczas istnieją x_{l} ∈ A_{l} takie, że |x_{l} − x| ε dla l k, biorąc granicę podciągu zbieżnego x_{l_{j}} dostajemy y ∈ A takie, że |y − x| ε, zatem A_{k} ⊂ \overline{A_{ε}}. Z drugiej strony jeśli, x ∈ A, to x ∈ \overline{⋃ _{l k} A_{l}} ⊂ \overline{(A_{k})_{ε}}, zatem istotnie d_{H} (A_{k}, A) ε.

4.2 Odległość Banacha-Mazura. Twierdzenie Johna

Odległość Hausdorffa ma wiele zalet, ale chcielibyśmy mieć metrykę na zbiorach wypukłych, która mierzy jak bardzo różnią się kształty zbiorów.

Definicja 4.7. Niech K i L będą ciałami wypukłymi w ℝ^{n}. Odległością geometryczną K i L nazywamy liczbę

d_{G}(K, L) := inf\{\frac{b}{a}: ∃_{x,y} a(K − x) ⊂ L − y ⊂ b(K − x)\}.

Odległością Banacha-Mazura K i L nazywamy liczbę

d_{BM}(K, L) := inf\{\frac{b}{a}: ∃_{x,y} ∃_{T ∈GL(n)} a(K − x) ⊂ T L − y ⊂ b(K − x)\}.

Zacznijmy od prostej obserwacji.

Fakt 4.8. W przypadku gdy K i L są symetryczne można w defnicjach odległości geometrycznej i Banacha-Mazura pozbyć się przesunięć x i y.

Dowód. Załóżmy, że K i L są ciałami symetrycznymi oraz L − y ⊂ b(K − x). Wówczas L − (y − bx) ⊂ bK czyli L + (y − bx) = −(L + (y − bx)) ⊂ −bK = bK, a więc

L = \frac{1}{2}(L − (y − bx)) + \frac{1}{2}(L + (y − bx)) ⊂ \frac{1}{2}bK + \frac{1}{2}bK = bK.

Analogicznie pokazujemy, że warunek a(K − x) ⊂ L − y implikuje aK ⊂ L, stąd teza dla odległości geometrycznej (i dla Banacha-Mazura, bo ciało T L też jest symetryczne).

Tak naprawdę ani odległość geometryczna ani Banacha-Mazura nie są odległościami w ścisłym znaczeniu tego słowa. Po pierwsze spełniają multyplikatywną a nie addytywną nierówność trójkąta (czyli odległość K od L mierzy raczej lnd(K, L) a nie d(K, L)), a po drugie ciała w minimalnej odległości jeden nie muszą się pokrywać.

Fakt 4.9. i) d_{G}(K, L) 1 oraz d_{G}(K, L) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy K = aL + x dla pewnego a ∈ ℝ i x. ii) d_{BM}(K, L) 1 oraz d_{BM}(K, L) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy K = T L + x dla pewnego T ∈ GL(n) i x. iii) d_{G}(K, M) d_{G}(K, L)d_{G}(L, M) i d_{BM}(K, M) d_{BM}(K, L)d_{BM}(L, M).

Prosty dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

Metryka Banacha-Mazura została pierwotnie wprowadzona jako odległość między przestrzeniami Banacha.

Definicja 4.10. Załóżmy, że X i Y są dwiema przestrzeniami unormowanymi. Określamy wówczas odległość Banacha-Mazura X i Y wzorem

d_{BM}(X, Y) := inf{∥T ∥_{X→Y} ∥T^{−1} ∥_{Y →X} : T: X → Y izomorfizm}.

Fakt 4.11. Niech K i L będą symetrycznymi ciałami wypukłymi w ℝ^{n}, wówczas d_{BM}(K, L) = d_{BM}((ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}), (ℝ^{n}, ∥ ∥_{L})). W szczególności d_{BM}(K, L) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) i (ℝ^{n}, ∥ ∥_{L}) są izometryczne.

Przypomnijmy, że elipsoidą nazywamy niezdegenerowany afiniczny obraz kuli jednostkowej czyli ciało postaci

E = AB_{2}^{n}+y = {x ∈ ℝ^{n} : |A^{−1} (x−y)| 1} = {x ∈ ℝ^{n} : ⟨C(x−y), (x−y)⟩ 1},

gdzie A ∈ GL(n), y ∈ ℝ^{n}, C = (A^{−1} )^{∗}A^{−1} . Zauważmy, że C jest macierzą symetryczną dodatnią, diagonalizuje się więc w bazie ortogonalnej i ma wartości własne dodatnie. Zatem

E = \{x ∈ ℝ^{n} : ∑_{i=1}^{n} \frac{⟨x − y, u_{i}⟩^{2}}{d_{i}^{2}} 1\},  (7)

gdzie (u_{i})_{i n} to baza ortonormalna ℝ^{n}, a (d_{i})_{i n} liczby dodatnie (długości półosi elipsoidy). Ponadto elipsoida E postaci (7) jest symetryczna względem y i ma objętość

vol_{n}(E) = vol_{n}(B_{2}^{n}) ∏_{i=1}^{n} d_{i}.

Twierdzenie 4.12 (John). Niech K będzie symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n}, wówczas istnieje dokładnie jedna elipsoida symetryczna maksymalnej objętości E_{max} wpisana w K. Ponadto E_{max} ⊂ K ⊂ \sqrt{n}E_{max} .

Wniosek 4.13. Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K, d_{BM}(K, B_{2}^{n}) \sqrt{n}.

Dowód twierdzenia Johna zacznijmy od następującego lematu.

Lemat 4.14. Załóżmy, że d > 1, x_{0} = (d, 0, …, 0), K := conv(B_{2}^{n}, x_{0}, −x_{0}) oraz

E = \{x ∈ ℝ^{n} : \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + ∑_{i 2} \frac{x_{i}^{2}}{b^{2}} 1\}.

Wówczas E ⊂ K, jeśli |b| 1 i a^{2} + (d^{2} − 1)b^{2} d^{2}.

Dowód. Z uwagi na rotacyjną niezmienniczość K i E na obroty względem osi x_{1}, wystarczy rozpatrzeć przypadek n = 2. Przypadek |a| 1 jest oczywisty, więc będziemy zakładać, że |a| > 1 |b|.

Zauważmy, że prosta przechodząca przez punkt x_{0} = (d, 0) oraz punkt (0, d/(d^{2} − 1)^{1/2} ) jest styczna do kuli B_{2}^{2} w punkcie (1/d, (d^{2} − 1)^{1/2} ) i ma równanie x_{1} + (d^{2} − 1)^{1/2} x_{2} = d. Weźmy teraz punkt x = (x_{1}, x_{2}) ∈ E, pokażemy, że x ∈ K. Z uwagi na symetrię możemy zakładać, że x_{1}, x_{2} 0. Rozpatrzymy dwa przypadki.

i) x_{1} 1/d. Wówczas

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} x_{1}^{2} + b^{2} − \frac{b^{2}}{a^{2}}x_{1}^{2} = ( 1 − \frac{b^{2}}{a^{2}}) x_{1}^{2} + b^{2} ( 1 − \frac{b^{2}}{a^{2}}) \frac{1}{d^{2}} + b^{2}

= \frac{1}{a^{2}} ( \frac{a^{2}}{d^{2}} + ( 1 − \frac{1}{d^{2}}) b^{2}) + b^{2}( 1 − \frac{1}{a^{2}} ) \frac{1}{a^{2}} + 1 − \frac{1}{a^{2}} = 1.

czyli x ∈ B_{2}^{n} ⊂ K.

ii) x_{2} 1/d, wtedy na mocy nierówności Schwarza

x_{1} + (d^{2} − 1)^{1/2} x_{2} ( \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}})^{1/2} (a^{2} + (d^{2} − 1)b^{2})^{1/2} d,

skąd łatwo wynika, że x ∈ K.

Dowód Twierdzenia 4.12. Istnienie elipsoidy maksymalnej objętości wynika stąd, że bazy ortonormalne tworzą zwarty podzbiór (ℝ^{n})^{n} oraz długości półoś elipsoid zawartych w K są ograniczone (ze zwartości K). Przekształcając liniowo K możemy założyć E_{max} = B_{2}^{n}.

Załóżmy, że K nie jest zawarte w \sqrt{n}B_{2}^{n}, wówczas w K istnieje punkt x_{0} długości d > \sqrt{n}. Bez straty ogólności możemy założyć x_{0} = (d, 0, …, 0). Ponieważ oczywiście K ⊃ conv(B_{2}^{n}, x_{0}, −x_{0}), więc z Lematu 4.14 elipsoida

E := \{x ∈ ℝ^{n} : \frac{nx_{1}^{2}}{d^{2}} + ∑_{i 2} \frac{n(d^{2} − 1)x_{i}^{2}}{(n − 1)d^{2}} 1\} ⊂ K.

Mamy jednak

vol_{n}(E) = vol_{n}(B_{2}^{n})\frac{d}{\sqrt{n}}( \sqrt{\frac{(n − 1)d^{2}}{n(d^{2} − 1)}} ) ^{n−1} = vol_{n}(B_{2}^{n})\sqrt{\frac{f(\frac{1}{n})}{f(\frac{1}{d^{2}} )}} ,

gdzie f(t) = t(1 − t)^{n−1} . Łatwo sprawdzić, że f jest rosnąca na (0, n^{−1/2} ), więc E ma większą objętość niż E_{max} = B_{2}^{n}, co jest niemożliwe.

By wykazać jednoznaczność, założmy, że E jest elipsoidą zawartą w K o tej samej objętości co E_{max} = B_{2}^{n}. Ewentualnie obracając K możemy założyć, że

E = \{x ∈ ℝ^{n} : ∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} 1\},

gdzie a_{1}, …, a_{n} > 0, wówczas 1 = vol(E′)/vol(B_{2}^{n}) = a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}. Niech

Ẽ:= \{x ∈ ℝ^{n} : ∑_{i=1}^{n} \frac{4x_{i}^{2}}{(1 + a_{i})^{2}} 1\}.

Zauważmy, że jeśli x ∈ E oraz zdefiniujemy y i z wzorami y_{i} = 2a_{i}x_{i}/(1+a_{i}) oraz z_{i} = 2/(1+x_{i}), to x ∈ E, y ∈ B_{2}^{n} oraz x = (y+z)/2. Zatem Ẽ ⊂ \frac{1}{2}(E +B_{2}^{n}) ⊂ K. Ponadto

vol_{n}(Ẽ) = vol_{n}(B_{2}^{n}) ∏_{i=1}^{n} \frac{1 + a_{i}}{2} vol_{n}(B_{2}^{n}) ∏_{i=1}^{n} \sqrt{a_{i}} = vol_{n}(B_{2}^{n})

oraz równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a_{i} = 1 dla wszystkich i, czyli gdy E = B_{2}^{n}.

Przykład. Mamy d_{BM}(B_{1}^{n}, B_{2}^{n}) = \sqrt{n}, czyli stała \sqrt{n} w twierdzeniu Johna jest optymalna.

Istotnie, niech d := d_{BM}(B_{1}^{n}, B_{2}^{n}), wtedy istnieje elipsoida E taka, że E ⊂ B_{∞}^{n} ⊂ dE. Mamy wtedy ∥x∥_{1} ∥x∥_{E} d∥x∥_{1} dla wszystkich x, stąd na mocy tożsamości równoległoboku,

d^{2}n = d^{2} ∑_{i=1}^{n} ∥e_{i}∥_{1}^{2} ∑_{i=1}^{n} ∥e_{i}∥_{E}^{2} = \frac{1}{2^{n}} ∑_{η_{1} ,η_{2} ,...,η_{n} =±1} ∥ ∑_{i=1}^{n} η_{i}e_{i} ∥_{E}^{2}

\frac{1}{2^{n}} ∑_{η_{1} ,η_{2} ,...,η_{n} =±1} ∥ ∑_{i=1}^{n} η_{i}e_{i} ∥_{1}^{2} = n^{2},

zatem d \sqrt{n}. Z drugiej strony n^{−1/2} B_{2}^{n} ⊂ B_{1}^{n} ⊂ B_{2}^{n}, więc d = \sqrt{n}.

Wniosek 4.15. Zbiór n-wymiariowych symetrycznych ciał wypukłych z metryką Banacha-Mazura jest zwarty.

Dowód. Niech (K_{m}) będzie ciągiem ciał wypukłych symetrycznych. Ponieważ metryka Banacha-Mazura jest niezmiennicza na przekształcenia liniowe, więc możemy zakładać, że B_{2}^{n} ⊂ K_{m} ⊂ \sqrt{n}B_{2}^{n}. Zbiór \sqrt{n}B_{2}^{n} jest zwarty więc pewien podciąg K_{m_{j}} zbiega do zbioru zwartego K w metryce Hausdorffa. Zbiór K jest wypukły, symetryczny oraz B_{2}^{n} ⊂ K, więc K jest ciałem. Zauważmy też, że jeśli L jest ciałem wypukłym takim, że B_{2}^{n} ⊂ L, to L_{ε} ⊂ L + εL = (1 + ε)L, więc d_{BM}(K_{m_{j}} , K) (1 + d_{H} (K_{m_{j}} , K))^{2}, czyli K_{m_{j}} zbiega do K w metryce Banacha-Mazura.

Uwaga 4.16. Zachodzi niesymetryczna wersja twierdzenia Johna: jeśli K jest ciałem wypukłym, to istnieje dokładnie jedna elipsoida maksymalnej objętości E_{max} wpisana w K oraz E_{max} − x ⊂ K − x ⊂ n(E_{max} − x), gdzie x jest środkiem E. W szczególności d_{BM}(K, B_{2}^{n}) n. Zbiór symetrycznych ciał wypukłych w ℝ^{n} z metryką Banacha-Mazura jest zwarty.

4.3 Polarność

Definicja 4.17. Dla niepustego zbioru A ⊂ ℝ^{n} definiujemy

A^{0} := {y ∈ ℝ^{n} : ⟨x, y⟩ 1 dla wszystkich x ∈ A}.

Fakt 4.18. i) A^{0} jest domkniętym, wypukłym podzbiorem ℝ^{n} zawierającym 0, ii) A^{0} = conv(A)^{0}, iii) A^{0} jest zwarty, jeśli 0 ∈ int(conv(A)), iv) 0 ∈ int(A^{0}), jeśli A jest ograniczony,

v) A^{0} jest symetryczny, jeśli A jest symetryczny, vi) (T^{∗})^{−1} (A^{0}) = (T (A))^{0} dla T ∈ GL(n), w szczególności (tA)^{0} = \frac{1}{t}A^{0} dla t > 0, vii) A^{0} ⊃ B^{0}, jeśli A ⊂ B.

Prosty dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wniosek 4.19. Zbiór A^{0} jest ciałem wypukłym, jeśli A jest ciałem wypukłym zawierającym 0 w swoim wnętrzu oraz A^{0} jest symetrycznym ciałem wypukłym, jeśli A jest symetrycznym ciałem wypukłym.

Uwaga 4.20. Jeśli K jest kulą jednostkową w n-wymiarowej przestrzeni Banacha X, to K^{0} jest kulą jednostkową w przestrzeni dualnej X^{∗}.

Ważną własnością polarności jest jej inwolucyjność.

Fakt 4.21. Dla dowolnego niepustego A, A ⊂ (A^{0})^{0}. Jeśli A jest ciałem wypukłym zawierającym 0, to (A^{0})^{0} = A.

Dowód. Pierwsza część jest oczywista. By udowodnić drugą wystarczy pokazać zawieranie (A^{0})^{0} ⊂ A. Załóżmy, że x ∈ ℝ^{n} \ A, wówczas A i x można oddzielić pewną hiperpłaszczyzną, tzn. istnieje y ∈ ℝ^{n} takie, że A ⊂ {z: ⟨z, y⟩ < a} oraz ⟨x, y⟩ > a. Ponieważ 0 ∈ A, to a > 0, stąd y/a ∈ A^{0}, co implikuje, że x ∉ (A^{0})^{0}.

Wniosek 4.22. Dla dowolnych symetrycznych ciał wypukłych mamy d_{BM}(K, L) = d_{BM}(K^{0}, L^{0}).

Dowód. Jeśli aK ⊂ T L ⊂ bK, to \frac{1}{a}K^{0} = (aK)^{0} ⊃ (T L)^{0} = (T^{∗})^{−1} (L^{0}) ⊃ (bK)^{0} = \frac{1}{b}K^{0}, stąd d_{BM}(K, L) d_{BM}(K^{0}, L^{0}). Przeciwna nierówność wynika stąd, że (K^{0})^{0} = K i (L^{0})^{0} = L.

Uwaga 4.23. W przypadku niesymetrycznych ciał wypukłych K wygodnie jest często zdefiniować polarność względem innego punktu niż 0, kładąc dla z ∈ ℝ^{n}

K^{z} = {y ∈ ℝ^{n} : ⟨x − z, y⟩ 1 dla wszystkich x ∈ K}.

4.4 Liczby pokryciowe

Definicja 4.24. Załóżmy, że K i L są ciałami wypukłymi w ℝ^{n}. Definiujemy wówczas liczbę pokryciową K względem L wzorem

N(K, L) := inf {N: K ⊂ ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + L) dla pewnych x_{1}, …, x_{N} ∈ K}.

Będziemy bardzo często wykorzystywali następujące oszacowania liczb pokryciowych oparte na porównywaniu objętości.

Fakt 4.25. i) Dla dowolnych ciał wypukłych K, L w ℝ^{n},

N(K, L) \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(L)}.

ii) Dla dowolnych n-wymiarowych symetrycznych ciał wypukłych

N(K, L) \frac{vol_{n}(2K + L)}{vol_{n}(L)} .

W szczególności, jeśli L ⊂ K, to N(K, L) 3^{n}vol_{n}(K)/vol_{n}(L).

Dowód. i) Mamy | ⋃ _{i=1}^{N} (x_{i} + L)| ∑ _{i=1}^{N} |x_{i} + L| = N|L|.

ii) Wybierzmy maksymalny zbiór A = {x_{1}, …, x_{N} } ⊂ K taki, że ∥x_{i} − x_{j} ∥_{L} 1 dla i ≠ j. Wówczas ciała x_{i} + \frac{1}{2}L, 1 i N, mają rozłączne wnętrza oraz są zawarte w K + \frac{1}{2}L, stąd

N| \frac{1}{2}L| = ∑_{i=1}^{N} |x_{i} + \frac{1}{2}L| = | ⋃_{i=1}^{N} x_{i} + \frac{1}{2}L| |K + \frac{1}{2}L|.

Ponadto z maksymalności A, K ⊂ ⋃ _{i=1}^{N} (x_{i} + L), zatem N(K, L) N |K + \frac{1}{2}L|/|\frac{1}{2}L| = |2K + L|/|L|.

Wniosek 4.26. Dla dowolnego symetrycznego ciała K i ε > 0,

\frac{1}{ε^{n}} N(K, εK) ( 1 + \frac{2}{ε})^{n}.

Uwaga 4.27. i) Dla przestrzeni metrycznej (T, d) definiujemy liczbę pokryciową N(T, d, ε) jako najmniejszą liczbę kul domkniętych o środkach w T i promieniu ε, która pokrywa T. Wtedy dla ciała symetrycznego L, N(K, εL) = N(K, ∥ ∥_{L}, ε). ii) Dla przestrzeni metrycznej (T, d) możemy zdefiniować

S(T, d, ε) := sup{N: istnieją x_{1}, …, x_{N} ∈ T, d(x_{i}, x_{j}) > ε dla i ≠ j},

wtedy N(T, d, ε) S(T, d, ε) N(T, d, ε/2). iii) Możemy zmodyfikować definicję N(K, L) nie żądając by środki przesunięć należały do K:

Ñ(K, L) := inf {N: K ⊂ ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + L) dla pewnych x_{1}, …, x_{N} ∈ ℝ^{n}}.

Wówczas oczywiście Ñ(K, L) N(K, L), ponadto dla symetrycznych ciał L, N(K, 2L) Ñ(K, L).

Definicja 4.28. Zbiór A ⊂ K taki, że K ⊂ A + εK będziemy nazywać ε-siecią w K.

Fakt 4.29. Załóżmy, że ε ∈ (0, 1) oraz A jest ε-siecią w K, wówczas dla dowolnego operatora liniowego T z (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) w przestrzeń unormowaną (X, ∥ ∥) zachodzi

∥T ∥ = sup_{∥x∥_{K} 1} ∥T x∥ \frac{1}{1 − ε} sup_{x∈A} ∥T x∥.

Dowód. Jeśli x ∈ K to istnieje y ∈ A taki, że ∥x − y∥_{K} ε i wtedy ∥T x∥ ∥T y∥ + ∥T (x − y)∥ ∥T y∥ + ε∥T ∥, biorąc supremum po wszystkich x ∈ K dostajemy tezę.

5 Twierdzenie Gluskina

Z twierdzenia Johna i podmultyplikatywności odległości Banacha-Mazura natychmiast wynika

Wniosek 5.1. Dla dowolnych n-wymiarowych ciał wypukłych K i L, d_{BM}(K, L) n.

Przez długi czas problem dolnego oszacowania średnicy kompaktu Banacha-Mazura był otwarty. Rozwiązał go z początkiem lat 80-tych Efim Głuskin.

Twierdzenie 5.2 (Głuskin). Dla dowolnego n istnieją symetryczne ciała wypukłe K i L takie, że d_{BM}(K, L) cn, gdzie c > 0 jest stałą uniwersalną.

Konstrukcja Głuskina da się prosto opisać. Niech X_{1}, X_{2}, …, X_{m}, Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{m} będą niezależnymi wektorami losowymi o rozkładzie jednostajnym na S^{n−1} . Kładziemy

K_{m} := conv(±e_{1}, …, ±e_{n}, ±X_{1}, …, ±X_{m}), L_{m} := conv(±e_{1}, …, ±e_{n}, ±Y_{1}, …, ±Y_{m}).

Oczywiście K_{m} i L_{m} są (losowymi) symetrycznymi ciałami wypukłymi. Pokażemy, że (dla odpowiednio dobranego m) odległość Banacha-Mazura tych ciał jest z dużym prawdopodobieństwem większa niż cn.

W dowodzie wykorzystamy szereg użytecznych faktów, które sformułujemy osobno. Będziemy też potrzebowali pewnych ustaleń notacyjnych.

Przez M_{n×n} będziemy oznaczać przestrzeń macierzy (rzeczywistych) n × n, którą możemy utożsamiać zarówno z przestrzenią przekształceń liniowych ℝ^{n} w ℝ^{n} jak i z ℝ^{n^{2}} . Z tymi utożsamieniami są ściśle związane dwie normy macierzy A = (a_{ij} ) ∈ M_{n×n} – operatorowa i Hilberta-Schmidta:

∥A∥_{op} := ∥A: l_{2}^{n} ↦ l_{2}^{n}∥ = sup{|Ax|: |x| 1},

∥A∥_{HS} := ( ∑_{i=1}^{n} |Ae_{i}|^{2})^{1/2} = ( ∑_{i=1}^{n} |a_{ij} |^{2})^{1/2} .

Przez U_{op} i U_{HS} będziemy oznaczać kule jednostkowe w M_{n×n} w odpowiednich normach, tzn.

U_{op} := {A ∈ M_{n×n} : ∥A∥_{op} 1}, U_{HS} := {A ∈ M_{n×n} : ∥A∥_{HS} 1}.

Dla uproszczenia notacji będziemy też pisać dla operatora liniowego T na ℝ^{n} i dwóch symetrycznych n-wymiarowych ciał wypukłych K i L,

∥T: K ↦ L∥ := ∥T: (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) ↦ (ℝ^{n}, ∥ ∥_{L})∥.

Fakt 5.3 (Chevet). Niech G = (g_{ij} )_{i,j n} będzie losową macierzą n × n, której współrzędne g_{ij} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Wówczas 𝔼∥G∥_{op}^{2} Cn.

Dowód. Niech A ⊂ B_{2}^{n} będzie 1/2-siecią w B_{2}^{N} taka, że #A N(B_{2}^{n}, \frac{1}{2}B_{2}^{n}) 5^{n}. Wówczas

∥G∥_{op} = sup{|⟨Gx, y⟩|: x, y ∈ B_{2}^{n}} 4 sup{|⟨Gx, y⟩|: x, y ∈ A}.

Zauważmy, że dla dowolnego x, y ∈ B_{2}^{n}, zmienna ⟨Gx, y⟩ ma rozkład normalny o średniej zero i wariancji σ^{2}(x, y) = |x|^{2}|y|^{2} 1. Stąd

ℙ(∥G∥_{op} t) ∑_{x,y∈A} ℙ(|⟨Gx, y⟩| t/4) ∑_{x,y∈A} exp(−\frac{t^{2}}{32σ^{2}(x, y)}) 25^{n} exp(−\frac{t^{2}}{32}).

Zatem otrzymujemy dla t_{0} > 0,

𝔼∥G∥_{op}^{2} = 2 ∫_{0}^{∞} tℙ(∥G∥_{op} t)dt 2 ∫_{0}^{t_{0}} tdt + 2 ∫_{t_{0}}^{∞} t25^{n} exp(−\frac{t^{2}}{32})dt

= t_{0}^{2} + 32 · 25^{n} exp(−\frac{t_{0}^{2}}{32}).

Wybierając np t_{0} = 16\sqrt{n} otrzymujemy 𝔼∥G∥_{op}^{2} 16^{2}n + 1 17^{2}n.

Fakt 5.4. Dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K w ℝ^{n} zachodzi

vol_{n}(K) = vol_{n}(B_{2}^{n}) ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{K}^{−n} dσ_{n−1} (θ).

Dowód. Zauważmy, że dla θ ∈ S^{n−1} i r > 0, rθ ∈ K wtedy i tylko wtedy gdy r ∥θ∥_{K}^{−1} , stąd całkując we wspólrzędnych biegunowych dostajemy

vol_{n}(K) = ∫_{ℝ^{n}} I_{K} (x)dx = vol_{n−1} (S^{n−1} ) ∫_{S^{n−1}} ∫_{0}^{∞} I_{K} (rθ)r^{n−1} drdσ_{n−1} (θ)

= vol(B_{2}^{n}) ∫_{S^{n−1}} ∫_{0}^{∥θ∥_{K}^{−1}} nr^{n−1} drdσ_{n−1} (θ) = vol_{n}(B_{2}^{n}) ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{K}^{−n} dσ_{n−1} (θ).

Zauważmy, że ∥A∥_{op} ∥A∥_{HS} \sqrt{n}∥A∥_{op}, stąd U_{HS} ⊂ U_{op} ⊂ \sqrt{n}U_{HS}, czyli

vol_{n^{2}} (U_{HS}) vol_{n^{2}} (U_{op}) n^{n^{2} /2} vol_{n^{2}} (U_{HS}).

Następny lemat pokazuje, że górne szacowanie jest bliskie optymalnemu.

Lemat 5.5. Istnieje stała c niezależna od wymiaru taka, że dla dowolnego n,

\frac{vol_{n^{2}} (U_{op})}{vol_{n^{2}} (U_{HS})} (cn)^{n^{2} /2} .

Dowód. Oczywiście możemy zakładać, że n 2 (bo dla n = 1, U_{op} = U_{HS} = [−1, 1]). Dla uproszczenia notacji będziemy pisać S zamiast S^{n^{2} −1} i σ zamiast σ_{n^{2} −1} . Zauważmy, że kulę U_{HS} możemy utożsamiać z B_{2}^{n^{2}} , więc na mocy Faktu 5.4,

\frac{vol_{n^{2}} (U_{op})}{vol_{n^{2}} (U_{HS} )} = ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{−n^{2}} dσ(θ).

Z nierówności Höldera otrzymujemy

1 = ∫_{S} 1dσ(θ) ( ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{2}dσ(θ))^{1/2} ( ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{−2} dσ(θ))^{1/2}
( ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{2}dσ(θ))^{1/2} ( ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{−n^{2}} dσ(θ))^{1/n^{2}} .

Zatem

\frac{vol_{n^{2}} (U_{op})}{vol_{n^{2}} (U_{HS} )} ( ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{2}dσ(θ))^{−n^{2} /2} .

Niech G = (g_{ij} ) będzie macierzą gaussowską, której współczynniki są niezależne o rozkładzie N (0, 1). Wówczas G można utożsamiać z kanonicznym wektorem gaussowskim w ℝ^{n^{2}} , stąd G/|G| ma jednostajny rozkład na S oraz jest niezależne od |G|. Zatem

𝔼∥G∥_{op}^{2} = 𝔼|G|^{2}𝔼∥ \frac{G}{|G|}∥_{op}^{2} = n^{2} ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{2}dσ(θ)

i z Faktu 5.3 dostajemy ∫_{S} ∥θ∥_{op}^{2}dσ(θ) C/n.

Lemat 5.6. Dla dowolnego ciała wypukłego K w ℝ^{n} takiego, że 0 ∈ int(K) zachodzi

σ_{n−1} (K ∩ S^{n−1} ) \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(B_{2}^{n})}.

Dowód. Określmy

K̃ := \{x ∈ ℝ^{n} : \frac{x}{|x|} ∈ K\}.

Zauważmy, że jeśli x ∈ K̃, to x = |x|\frac{x}{|x|} + (1 − |x|)0 ∈ K, zatem K̃ ⊂ K. Stąd

σ_{n−1} (K ∩ S^{n−1} ) = \frac{vol_{n}(K̃)}{vol_{n}(B_{2}^{n})} \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(B_{2}^{n})}.

Lemat 5.7. Niech L = conv(±y_{1}, …, ±y_{k}) dla pewnych y_{1}, y_{2}, …, y_{k} ∈ B_{2}^{n}, k n. Wówczas

vol_{n}(L) \binom{2k}{n} \frac{1}{n!} α^{n}( \frac{k}{n^{3/2}} )^{n}vol_{n}(B_{2}^{n}),

gdzie α = (6e^{3}/π)^{1/2} .

Dowód. Zauważmy, że L = ⋃ conv(0, x_{1}, …, x_{n}) gdzie sumowanie przebiega po wszystkich wyborach x_{1}, …, x_{n} spośród wektorów ±y_{1}, …, ±y_{k}, a takich wyborów jest \binom{2k}{n}. Ponadto na podstawie nierówności Hadamarda,

vol_{n}(conv(0, x_{1}, …, x_{n})) = \frac{1}{n!} det[(x_{1}, …, x_{n})] \frac{1}{n!} ∏_{i=1}^{n} |x_{i}| = \frac{1}{n!}.

Nierówność n! (\frac{n}{e})^{n} (która np. wynika ze wzoru Stirlinga) implikuje dla m n, \binom{m}{n} \frac{m^{n}}{n!} (\frac{em}{n} )^{n}. Stąd

vol_{n}(L) ∑ vol_{n}(conv(0, x_{1}, …, x_{n})) \binom{2k}{n} \frac{1}{n!} ( \frac{2e^{2}k}{n^{2}})^{n}.

Zauważmy, że vol(B_{2}^{n}) = π^{n/2} /Γ(n/2 + 1). By zakończyć dowód wystarczy więc wykazać, że

Γ(\frac{n}{2} + 1) ( \frac{3n}{2e})^{n/2} .

Oszacowanie to sprawdzamy indukcyjnie (zwiększając w kroku indukcyjnym n o 2). Dla n = 1, 2 nierówność zachodzi i zauważamy, że

Γ(\frac{n + 2}{2} + 1) = (\frac{n}{2} + 1)Γ(\frac{n}{2} + 1) \frac{3(n + 2)}{2e} Γ(\frac{n}{2} + 1).

Lemat 5.8. Niech L i α będą jak w Lemacie 5.7, wówczas dla T ∈ GL(n) takiego, że |det(T)| = 1

ℙ( ∥T: K_{m} ↦ L∥ t\frac{n^{3/2}}{αk} ) t^{nm} dla 0 < t < 1.

Dowód. Na mocy definicji K_{m} i niezależności występujących w niej zmiennych X_{j},

ℙ(∥T: K_{m} ↦ L∥ r) ℙ(T X_{j} ∈ rL, 1 j n) = ℙ(X_{1} ∈ rT^{−1} L)^{n}.

Ale na podstawie Lematu 5.6,

ℙ(X_{1} ∈ rT^{−1} L) = σ_{n−1} (rT^{−1} L ∩ S^{n−1} ) \frac{vol_{n}(rT^{−1} L)}{vol_{n}(B_{2}^{n})} = r^{n} \frac{vol_{n}(L)}{vol_{n}(B_{2}^{n})},

gdzie ostatnia równość wynika stąd, że |detT | = 1. Podstawiając r = tn^{3/2} /(αk) i wykorzystując oszacowanie z Lematu 5.7 dostajemy tezę.

Lemat 5.9. Niech L = conv(±e_{1}, …, ±e_{n}, ±x_{1}, …, ±x_{l}) dla pewnych x_{1}, …, x_{l} ∈ B_{2}^{n} oraz

M_{L} = \{T ∈ M_{n×n} : | det(T)| = 1, ∥T e_{i}∥_{L} \sqrt{n}, 1 i n\}

Istnieje stała uniwersalna a taka, że dla 0 < ε < 1,

N(M_{L}, ∥ ∥_{op}, ε) ( a\frac{n + l}{εn} )^{n^{2}}

Dowód. Zauważmy, że przy utożsamieniu M_{n×n} z (ℝ^{n})^{n} danym jako T → (T e_{1}, …, T e_{n}) otrzymujemy, że M_{L} ⊂ (\sqrt{n}L)^{n}. Stąd na mocy Uwagi 4.27 iii) dostajemy

N(M_{L}, ∥ ∥_{op}, 2ε) N((\sqrt{n}L)^{n}, ∥ ∥_{op}, ε) = N((\sqrt{n}L)^{n}, εU_{op}).

By oszacować ostatnią wielkość zauważmy, że B_{1}^{n} ⊂ L, więc dla x ∈ ℝ^{n}

∥T x∥_{L} ∥T x∥_{1} \sqrt{n}|T x| \sqrt{n}∥T ∥_{op}|x|,

zatem U_{op} ⊂ (\sqrt{n}L)^{n}. Stąd 2(\sqrt{n}L)^{n} + εU_{op} ⊂ (2 + ε)(\sqrt{n}L)^{n}) i na mocy Faktu 4.25

N((\sqrt{n}L)^{n}, εU_{op}) \frac{vol_{n^{2}} ((2 + ε)(\sqrt{n}L)^{n})}{vol_{n^{2}} (εU_{op})} ( 1 + \frac{2}{ε})^{n^{2}} \frac{(vol_{n}(L))^{n}}{vol_{n^{2}} (U_{op})}

( \frac{3}{ε})^{n^{2}} \frac{α^{n^{2}} (\frac{n+l}{n^{3/2}} )^{n^{2}} (vol_{n}(B_{2}^{n}))^{n}}{(cn)^{n^{2} /2} vol_{n^{2}} (B_{2}^{n^{2}} )} ( C \frac{n + l}{εn} )^{n^{2}} ,

dla pewnej stałej uniwersalnej C, gdzie druga nierówność wynika z Lematów 5.5 i 5.7, a ostatnie oszacowanie z tego, że (vol_{n}(B_{2}^{n}))^{1/n} ∼ n^{−1/2} .

Wniosek 5.10. Niech L i a będą jak w poprzednim lemacie, α jak w Lemacie 5.7. Wówczas dla 0 < ε < ρ < 1,

ℙ( ∃_{T ∈M_{n×n} ,| det T |=1} ∥T: K_{m} ↦ L∥ (ρ−ε)\sqrt{n}) ( a\frac{(n + l)}{εn} )^{n^{2}} ( αρ\frac{n + l}{n} )^{nm} .

W szczególności,

ℙ( ∃_{T ∈M_{n×n} ,| det T |=1} ∥T: K_{m} ↦ L_{m}∥ (ρ−ε)\sqrt{n}) ( a\frac{(n + m)}{εn} )^{n^{2}} ( αρ\frac{n + m}{n} )^{nm} .

Dowód. Zauważmy najpierw, że ponieważ K_{m} ⊂ B_{2}^{n}, to ∥Id: K_{m} ↦ B_{2}^{n}∥ 1, ponadto B_{2}^{n} ⊂ \sqrt{n}B_{1}^{n} ⊂ \sqrt{n}L, zatem ∥Id: B_{2}^{n} ↦ L∥ \sqrt{n}, stąd dla S ∈ M_{n×n} ,

∥S: K_{m} ↦ L∥ ∥Id: K_{m} ↦ B_{2}^{n}∥∥S: B_{2}^{n} ↦ B_{2}^{n}∥∥Id: B_{2}^{n} ↦ L∥ \sqrt{n}∥S∥_{op}.

(8)

Zauważmy, że jeśli ∥T: K_{m} ↦ L∥ \sqrt{n}, to T e_{i} ∈ \sqrt{n}L, więc, jeśli dodatkowo założymy, że | detT | = 1, to T ∈ M_{L}. Niech N będzie ε-siecią w normie operatorowej w M_{L}, wówczas na podstawie definicji ε-sieci i szacowania (8) dostajemy

ℙ(∥T: K_{m} ↦L∥ (ρ + ε)\sqrt{n} dla pewnego T ∈ M_{n×n} , | detT | = 1)

ℙ(∥T: K_{m} ↦ L∥ ρ\sqrt{n} dla pewnego T ∈ N)

∑_{T ∈N} ℙ(∥T: K_{m} ↦ L∥ 2ρ\sqrt{n}) #N ( αρ\frac{n + l}{n} )^{nm} ,

gdzie ostatnia nierówność wynika z Lematu 5.8. Na podstawie Lematu 5.9 można wybrać taką ε-sieć, by #N (a(n + l)/(εn))^{n^{2}} .

Drugie szacowanie z lematu wynika z pierwszego i niezależności L_{m} od K_{m}.

Twierdzenie 5.11. Istnieje stała uniwersalna c > 0 taka, że d_{BM}(K_{2n} , L_{2n}) cn z prawdopodobieństwem większym niż 1 − 2 exp(−n^{2}) > 0.

Dowód. Zauważmy, że dla dowolnych ciał wypukłych K i L,

d_{BM}(K, L) = inf{∥T: K ↦ L∥∥T^{−1} : K ↦ L∥: T ∈ GL(n)}
= inf{∥T: K ↦ L∥∥T^{−1} : K ↦ L∥: T ∈ GL(n), | detT | = 1},

stąd

ℙ(d_{BM}(K_{2n} , L_{2n}) < \frac{1}{4}ρ^{2}n)
ℙ(∥T: K_{2n} ↦ L_{2n} ∥ \frac{1}{2}ρ\sqrt{n} dla pewnego T ∈ M_{n×n} , | detT | = 1)

+ ℙ(∥T^{−1} : L_{2n} ↦ K_{2n} ∥ \frac{1}{2}ρ\sqrt{n} dla pewnego T ∈ M_{n×n} , | detT | = 1).

Ponieważ | detT^{−1} | = | detT |^{−1} oraz zbiory losowe K_{2n} i L_{2n} są niezależne i mają taki sam rozkład, więc ostatnie dwa prawdopodobieństwa są równe. Stąd przyjmując we Wniosku 5.10 n = 2m oraz ε = ρ/2 dostajemy dla ρ ∈ (0, 1)

ℙ(d_{BM}(K_{2n} , L_{2n}) < \frac{1}{4}ρ^{2}n) 2( \frac{6a}{ρ})^{n^{2}} (3αρ)^{2n^{2}} = 2(54ρaα^{2})^{n^{2}}

i wystarczy przyjąć ρ := min(1, (54eaα^{2})^{−1} ).

Uwaga 5.12. Konstrukcja Głuskina jest losowa. Nie jest znana deterministyczna konstrukcja symetrycznych ciał wypukłych w ℝ^{n}, których odległość Banacha-Mazura jest większego rzędu niż n^{1/2} . Uwaga 5.13. i) Przyjęcie m = 2n w Twierdzeniu 5.11 było arbitralne. Modyfikując dowód można przyjąć, że m = δn z δ > 0, oczywiśćie stała c wówczas zależy od δ. ii) W konstrukcji Głuskina wierzchołki losowych wielościanów wypukłych wybiera się korzystając z rozkładu jednostajnego na sferze. Można go zastąpić (odpowiednio znormalizowanym) innym �porządnym” rozkładem, np. gaussowskim, czy jednostajnym na kostce dyskretnej {−1, 1}^{n} - to ostatnie wymaga jednak istotnych zmian w dowodzie.

6 Twierdzenie Dvoretzky’ego

W tej sekcji g_{1}, g_{2}, … oznaczają niezależne zmienne N (0, 1). Przypomnijmy, że jeśli X = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}g_{i} jest scentrowanym wektorem gaussowskim w n-wymiarowej przestrzeni unormowanej (ℝ^{n}, ∥ ∥), to definiujemy

σ(X) = σ(X, ∥ ∥) = sup_{∥u∥_{∗} 1} (𝔼|⟨u, X⟩|^{2})^{1/2} = sup_{∥u∥_{∗} 1} (∑_{i=1}^{n} |⟨u, v_{i}⟩|^{2})^{1/2}

= sup_{∥u∥_{∗} 1} sup_{|t| 1} ∑_{i=1}^{n} ⟨u, v_{i}⟩t_{i} = sup_{|t| 1} sup_{∥u∥_{∗} 1} ⟨u, ∑_{i=1}^{n} v_{i}t_{i}⟩ = sup_{|t| 1} ∥ ∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i}∥.

Definicja 6.1. Dla wektora gaussowskiego X w przestrzeni unormowanej (ℝ^{n}, ∥ ∥) określamy

d(X) = d(X, ∥ ∥) := ( \frac{𝔼∥X∥}{σ(X, ∥ ∥)} )^{2}.

Dla symetrycznego ciała wypukłego K w ℝ^{n} definiujemy

d(K) := sup{d(X, ∥ ∥_{K}): X scentrowany wektor gaussowski w ℝ^{n}}.

Przykład. Biorąc X = ∑ _{i=1}^{n} e_{i}g_{i} widzimy, że 𝔼∥X∥_{1} = n𝔼|g_{1}| = n(2/π)^{1/2} oraz σ(X, ∥ ∥_{1}) = sup_{|t|=1} ∥t∥_{1} = \sqrt{n}, zatem d(B_{1}^{n}) d(X) = \frac{2}{π} n. Ogólniej, rozważając taki sam X, ale w przestrzeni l_{p}^{n} widzimy, że dla 1 p 2, σ(X, ∥ ∥_{p}) = n^{1/p−1/2} oraz, na mocy Wniosku 3.4, 𝔼∥X∥_{p} c(𝔼∥X∥_{p}^{p})^{1/p} c′n^{1/p}. Wykazaliśmy zatem, że

d(B_{p}^{n}) d(X) cn dla 1 p 2.

Dla 2 < p < ∞ mamy σ(X, ∥ ∥_{p}) = 1. By oszacować 𝔼∥X∥_{p} zauważmy, ponownie korzystając z Wniosku 3.4, że

𝔼∥X∥ + C\sqrt{p} (𝔼∥X∥_{p}^{p})^{1/p} = n^{1/p}(𝔼|g_{1}|^{p})^{1/p} c_{1} \sqrt{p}n^{1/p},

czyli dla logn C′p mamy d(X) = (𝔼∥X∥_{p})^{2} \frac{1}{2}c_{1}^{2}pn^{2/p}. Ponadto dla dowolnego p 2, 𝔼∥X∥_{p} 𝔼∥X∥_{∞} c log^{1/2} (n + 1). W ten sposób pokazaliśmy, że

d(B_{p}^{n}) d(X) \{ \begin{matrix}cpn^{2/p} & dla 2 p log(n + 1) \\ c log(n + 1) & dla p log(n + 1). \end{matrix}

Możemy teraz sformułować twierdzenie Dvoretzky’ego w wersji pochodzącej od Vitaliego Milmana.

Twierdzenie 6.2. Dla dowolnego ε > 0 istnieje stała c(ε) > 0 o następującej własności. Dla każdego symetrycznego ciała wypukłego K i k c(ε)d(K) istnieje podprzestrzeń liniowa V wymiaru k taka, że d_{BM}(K ∩ V, B_{2}^{k}) 1 + ε.

Lemat 6.3. Niech A będzie ε-siecią w S^{n−1} dla pewnego ε ∈ [0, 1]. Wówczas dla dowolnych wektorów v_{1}, …, v_{n} w ℝ^{n} i dowolnej normy ∥∥,

sup_{|t|=1} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}t_{i} ∥ \frac{1}{1 − ε} sup_{s∈A} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}s_{i} ∥

oraz

inf_{|t|=1} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}t_{i} ∥ inf_{s∈A} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}s_{i} ∥ − \frac{ε}{1 − ε} sup_{s∈A} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}s_{i} ∥.

Dowód. Z definicji ε-sieci łatwo wynika, że dowolny wektor t ∈ S^{n−1} można zapisać w postaci t = s + au, s ∈ A, u ∈ S^{n−1} , a ε, stąd

|∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}t_{i} ∥ − ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}s_{i} ∥| a∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}u_{i} ∥ ε sup_{u∈S^{n−1}} ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}u_{i} ∥.

Dowód Twierdzenia 6.2. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ε < 1, dobierzmy δ > 0 takie, że (1 + δ)/(1 − δ) \sqrt{1 + ε} oraz 1 − δ − δ(1 + δ)/(1 − δ) 1/\sqrt{1 + ε} (np. można przyjąć δ = ε/20). Niech A będzie δ-siecią w S^{k−1} mocy nie większej niż (\frac{3}{δ})^{k}. Zauważmy, iż wystarczy wykazać, że istnieją wektory u_{1}, …, u_{k} w ℝ^{n} takie, że

1 − δ ∥ ∑_{i=1}^{k} t_{i}u_{i} ∥_{K} 1 + δ dla t ∈ A.  (9)

Istotnie wobec Lematu 6.3 nierówność (9) implikuje

\frac{1}{\sqrt{1 + ε}} ∥ ∑_{i=1}^{k} x_{i}u_{i} ∥_{K} \sqrt{1 + ε} dla x ∈ S^{k−1} .

Zatem, jeśli zdefiniujemy T: ℝ^{k} → V := Lin(u_{1}, u_{2}, …, u_{k}) wzorem T x = ∑ _{i=1}^{k} x_{i}u_{i}, to ∥T: B_{2}^{k} ↦ K∩V ∥, ∥T^{−1} : K∩V ↦ B_{2}^{k}∥ \sqrt{1 + ε}, czyli d_{BM}(B_{2}^{k}, K∩ V) 1 + ε.

By wykazać istnienie u_{1}, …, u_{k} spełniających (9) wybierzmy X = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}g_{i} spełniający d(X) d(K)/2. Dla uproszczenia notacji przyjmijmy ∥ ∥ = ∥ ∥_{K}, d = d(K), σ = σ(X) oraz M = 𝔼∥X∥. Na podstawie Wniosku 3.3 dostajemy

ℙ( | \frac{∥X∥}{M} − 1| δ) = ℙ(|∥X∥ − 𝔼∥X∥| δM) = 2 exp( − \frac{2δ^{2}M^{2}}{π^{2}σ^{2}} ) .

Niech X_{1}, …, X_{k} będą niezależnymi kopiami zmiennej X. Wówczas, dla dowolnego t ∈ S^{n−1} , zmienna ∑ _{i=1}^{k} t_{i}X_{i} ma ten sam rozkład co X. Zatem

ℙ( |∥ ∑_{i=1}^{k} t_{i} \frac{X_{i}}{M} ∥ − 1| δ) = ℙ( | \frac{∥X∥}{M} − 1| δ) 2e^{−2π^{−2} δ^{2} d(X)} 2e^{−δ^{2} d/10} ,

czyli

ℙ( ∃_{t∈A} |∥ ∑_{i=1}^{k} t_{i} \frac{X_{i}}{M} ∥ − 1| δ) 2#Ae^{−δ^{2} d/10} 2( \frac{3}{δ})^{k}e^{−δ^{2} d/10} < 1,

jeśli tylko k c(δ)d, czyli można za u_{i} przyjąć X_{i}(ω)/M dla pewnego ω.

Uwaga 6.4. Powyższy dowód pokazuje, że można przyjąć c(ε) = cε^{2}/ log(3/ε) dla ε 1.

By móc efektywnie korzystać z Twierdzenia 6.2 musimy umieć szacować z dołu d(K). Zacznijmy od geometrycznego lematu.

Lemat 6.5 (Dvoretzky-Rogers). Niech K będzie n-wymiarowym symetrycznym ciałem wypukłym. Wówczas istnieją wektory v_{1}, …, v_{n} takie, że ∥ ∑ _{i=1}^{n} t_{i}v_{i}∥_{K} |t| dla t ∈ ℝ^{n} oraz ∥v_{i}∥_{K} \frac{n−i+1}{n} dla 1 i n.

Dowód. Zbiór przekształceń liniowych T: ℝ^{n} ↦ ℝ^{n} spełniających ∥T ∥ := ∥T: B_{2}^{n} ↦ K∥ 1 jest zwarty (w topologii ℝ^{n^{2}} ), w szczególności istnieje operator T o normie jeden taki, że

det(T) = max{det(S): ∥S: B_{2}^{n} → K∥ 1}.

Wówczas dla dowolnego ε > 0,

det(T + εS) det(T)∥T + εS∥^{n}.

Mamy jednak

det(T + εS) = det(T) det(I + εT^{−1} S) = det(T)(1 + εtr(T^{−1} S) + o(ε)),

więc

1 + εtr(T^{−1} S) ∥T + εS∥^{n} + o(ε) (∥T ∥ + ε∥S∥)^{n} + o(ε) 1 + εn∥S∥ + o(ε).

Wykazaliśmy w ten sposób, że tr(T^{−1} S) n∥S∥ dla dowolnego przekształcenia liniowego S. Niech S = T P, gdzie P oznacza rzut ortogonalny na podrzestrzeń V. Wówczas

n∥T P ∥ tr(T^{−1} T P) = tr(P) = dimV.

Niech y_{1} ∈ ℝ^{n} będzie takie, że |y_{1}| = 1 i ∥T y_{1}∥_{K} = ∥T ∥. Jeśli wybraliśmy już y_{1}, …, y_{k}, to kładziemy V_{k} = {y_{1}, …, y_{k}}^{⊥} i wybieramy y_{k+1} ∈ V_{k} takie, że |y_{k+1} | = 1 oraz ∥T y_{k+1} ∥_{K} = ∥T P_{k}∥ (n − k)/n, gdzie P_{k} oznacza rzut ortogonalny na V_{k}. Wystarczy, że położymy v_{k} = T y_{k}.

Lemat 6.6. Niech ε_{i} będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości ±1. Wówczas dla dowolnych wektorów u_{i} ∈ ℝ^{n} i dowolnej normy ∥ ∥, 𝔼∥ ∑ _{i=1}^{n} u_{i}ε_{i}∥ max_{1 i n} ∥u_{i}∥.

Dowód. Mamy dla dowolnego 1 i n,

𝔼∥ ∑_{k=1}^{n} u_{k}ε_{k} ∥ = 𝔼\frac{1}{2}( ∥u_{i}ε_{i} + ∑_{k≠i}^{n} u_{k}ε_{k} ∥ + ∥u_{i}ε_{i} − ∑_{k≠i}^{n} u_{k}ε_{k} ∥)
𝔼∥u_{i}ε_{i}∥ = ∥u_{i}∥.

Wniosek 6.7. Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K, d(K) \frac{1}{C} log(n + 1), gdzie C jest stałą uniwersalną.

Dowód. Niech v_{i} będą takie jak w Lemacie 6.5 oraz X = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}g_{i}. Wówczas σ(X, ∥ ∥_{K}) = 1. Niech (ε_{i}) będzie ciągiem niezależnych symetrycznymi zmiennych losowych przyjmujących wartości ±1, niezależnym od (g_{i}). Wówczas na mocy symetrii g_{i},

𝔼∥X∥_{K} = 𝔼∥ ∑_{i=1}^{n} ε_{i}v_{i}g_{i} ∥_{K} 𝔼 max_{i n}∥v_{i}g_{i}∥_{K} \frac{1}{2}𝔼 max_{i ⌈n/2⌉} |g_{i}| c\sqrt{log(n + 1)} .

Wniosek 6.8. Dla każdego symetrycznego ciała wypukłego K i ε > 0 istnieje podprzestrzeń liniowa V wymiaru k c(ε) log(n+1), gdzie c(ε) jest stałą zależną tylko od ε taka, że d_{BM}(K ∩ V, B_{2}^{k}) 1 + ε.

Definicja 6.9. Dla symetrycznego ciała wypukłego K i ε > 0 określmy

d_{ε}(K) := sup{k: d_{BM}(V ∩K, B_{2}^{k}) 1+ε dla pewnej podprzestrzeni V wymiaru k}.

Uwaga 6.10. Twierdzenie Dvoretzky’ego mówi, że d_{ε}(K) c(ε)d(K), nietrudno udowodnić, że d(K) c′(ε)d_{ε}(K).

Poniższy fakt pokazuje w szczególności, że logarytmicznej zależności od wymiaru we Wniosku 6.8 nie można poprawić.

Fakt 6.11. Mamy d_{ε}(B_{p}^{n}) C(1 + ε)^{2}pn^{2/p} dla 2 p log(n + 1) oraz d_{ε}(B_{p}^{n}) C(1 + ε)^{2} log(n + 1) dla p log(n + 1).

Dowód. Załóżmy napierw, że p < ∞ oraz wektory u_{i} = (u_{i}(j))_{j n} ∈ ℝ^{n}, 1 i k spełniają

|t| ∥ ∑_{i=1}^{k} t_{i}u_{i} ∥_{p} (1 + ε)|t| dla t ∈ ℝ^{k}.

Niech X = ∑ _{i=1}^{k} u_{i}g_{i}, wówczas

k = 𝔼|(g_{1}, …, g_{k})|^{2} 𝔼∥X∥_{p}^{2} (𝔼∥X∥_{p}^{p})^{2/p} = ( ∑_{j=1}^{n} 𝔼| ∑_{i=1}^{k} u_{i}(j)g_{i} |^{p})^{2/p}

= ( ∑_{j=1}^{n} 𝔼|g_{1}|^{p}( ∑_{i=1}^{k} |u_{i}(j)|^{2})^{p/2})^{2/p}.

Zauważmy jednak, że dla 1 j n,

( ∑_{i=1}^{k} |u_{i}(j)|^{2})^{1/2} = sup_{|t|=1} | ∑_{i=1}^{k} t_{i}u_{i}(j)| sup_{|t|=1} ∥ ∑_{i=1}^{k} t_{i}u_{i} ∥_{p} (1 + ε).

Stąd otrzymujemy d_{ε}(B_{p}^{n}) C(1 + ε)^{2}pn^{2/p} dla 2 p < ∞. By otrzymać postulowane oszacowanie dla log(n + 1) p ∞ wystarczy zauważyć, że dla q := max(2, log(n + 1)) p zachodzi ∥x∥_{p} ∥x∥_{q} e∥x∥_{p}.

Fakt 6.11 oraz Przykład po Definicji 6.1 pokazują, że

d_{ε}(B_{p}^{n}) ∼_{ε} d(B_{p}^{n}) ∼ \{ \begin{matrix}n & dla 1 p 2 \\ pn^{2/p} & dla 2 p log(n + 1) \\ log(n + 1) & dla p log(n + 1). \end{matrix}

7 Twierdzenie Kaszina-Szarka

Z twierdzenia Dvoretzky’ego wynika, że kula B_{1}^{n} ma prawie-kuliste przekroje wymiaru cn, gdzie c jest stałą uniwersalną. Jednak ani to twierdzenie ani metoda dowodu nie pozwalają nic wywnioskować o przekrojach wymiaru λn, gdy λ jest liczbą mniejszą od 1, ale nie bardzo bliską 0, np λ = 1/2. Kaszin znalazł metodę pokazującą, że takie przekroje też są bliskie euklidesowym (ze stałą zależną oczywiście od λ) i wykazał wiele ciekawych konsekwencji tego fenomenu. Nieco później Szarek zauważył, że w dowodzie Kaszina wykorzystuje się zasadniczo to, że elipsoida Johna wypełnia dużą część B_{1}^{n} i wprowadził pojęcie stosunku objętości.

Definicja 7.1. Dla n-wymiarowego ciała wypukłego K definiujemy stosunek objetości (ang. volume ratio) wzorem

vr(K) := ( \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(E_{max} )}) ^{1/n} ,

gdzie E_{max} oznacza elipsoidę maksymalnej objętości zawartą w K.

Uwaga 7.2. Oczywiście

vr(K) = inf \{ ( \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(E)}) ^{1/n} : E elipsoida zawarta w K\} ,

ponadto vr(K) = vr(T K) dla T ∈ GL(n). Przykład. Dla kuli B_{1}^{n} mamy n^{−1/2} B_{2}^{n} ⊂ B_{1}^{n} stąd

vr(B_{1}^{n}) ( \frac{vol_{n}(B_{1}^{n})}{vol_{n}(n^{−1/2} B_{2}^{n})} ) ^{1/n} = ( \frac{2^{n}n^{n/2} Γ(\frac{n}{2} + 1)}{n!π^{n/2}} ) ^{1/n} ( \frac{2e}{π})^{1/2} .

Dla 1 < p < 2 mamy n^{−1/2} B_{2}^{n} ⊂ n^{1/p−1} B_{p}^{n} ⊂ B_{1}^{n}, więc

vr(B_{p}^{n}) = vr(n^{1/p−1} B_{p}^{n}) vr(B_{1}^{n}) ( \frac{2e}{π})^{1/2} .

Zanim sformułujemy główne twierdzenie tego wykładu, wprowadźmy pewne oznaczenia. Przez G_{n,k} będziemy oznaczać rozmaitość Grassmana wszystkich k-wymiarowych podprzestrzeni ℝ^{n} z odległością np. zadaną wzorem ρ(V, V′) = d_{H} (V ∩ S^{n−1} , V′∩ S^{n−1} ). Można wykazać, że G_{n,k} jest zwartą rozmaitością bez brzegu, ale nam wystarczy obserwacja, że jest to przestrzeń metryczna na której zwarta grupa metryczna O(n) działa izometrycznie i tranzytywnie w naturalny sposób, tzn. V ↦ T V dla T ∈ O(n). W związku z tym, jeśli m oznacza miarę Haara na O(n), to wzór

μ_{n,k} (Γ) = m({T ∈ O(n): T V_{0} ∈ Γ})

nie zależy od wyboru V_{0} ∈ G_{n,k} i określa miarę probabilistyczną na G_{n,k} , niezmienniczą ze względu na działanie grupy O(n).

Twierdzenie 7.3. Załóżmy, że K jest symetrycznym ciałem wypukłym w ℝ^{n} takim, że B_{2}^{n} ⊂ K oraz vol_{n}(K) A^{n}vol_{n}(B_{2}^{n}) dla pewnej liczby A 1. Wówczas dla 1 k n istnieje przestrzeń V wymiaru k taka, że

B_{2}^{n} ∩ V ⊂ K ∩ V ⊂ (4πA)^{\frac{n}{n−k}} B_{2}^{n} ∩ V.

Co więcej, jeśli Ω_{0} jest zbiorem tych przestrzeni V ∈ G_{n,k} , które spełniają powyższą nierówność, to μ_{n,k} (Ω_{0}) > 1 − 2^{−n} .

Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia sformułujemy dwa proste lematy.

Lemat 7.4. Dla dowolnej ograniczonej funkcji mierzalnej f: S^{n−1} → ℝ,

∫_{S^{n−1}} f(x)dσ_{n−1} (x) = ∫_{G_{n,k}} ∫_{S_{V}} f(x)dσ_{V}(x)dμ_{n,k} (V),

gdzie S_{V} = S^{n−1} ∩V, a σ_{V} oznacza unormowaną miarę powierzchniową na S_{V}.

Dowód. Wzór

μ(A) := ∫_{G_{n,k}} ∫_{S_{V}} I_{A}(x)dσ_{V}(x)dμ_{n,k} (V)

określa miarę probabilistyczną na S^{n−1} niezmienniczą na działanie O(n), czyli μ = σ_{n−1} .

Lemat 7.5. Dla dowolnego x ∈ S^{k−1} , k 2, oraz 0 < δ < \sqrt{2} zachodzi

σ_{k−1} (\{y ∈ S^{k−1} : |x − y| δ\}) > ( \frac{δ}{π})^{k}.

Dowód. Zauważmy, że szukana miara to miara kuli w metryce geodezyjnej na S^{k−1} o środku w x i promieniu α spełniającym sin(α/2) = δ/2, zatem wynosi ona F (α)/F (π), gdzie F (s) = ∫_{0}^{s} sin^{k−2} (t)dt. Oczywiście F (π) π oraz

(k − 1)F (α) (k − 1) ∫_{0}^{s} sin^{k−2} (t) cos(t)dt = sin^{k−1} (α) = ( 2 sin( \frac{α}{2}) cos( \frac{α}{2}) )^{k−1}

= ( δ( 1 − \frac{δ^{2}}{4})^{1/2} )^{k−1} ( \frac{δ}{\sqrt{2}})^{k−1} .

Zatem

\frac{F (α)}{F (π)} \frac{1}{π(k − 1)} ( \frac{δ}{\sqrt{2}})^{k−1} = ( \frac{δ}{π})^{k}( \frac{π}{\sqrt{2}})^{k−1} \frac{1}{δ(k − 1)} ( \frac{δ}{π})^{k} \frac{2^{k−1}}{\sqrt{2}(k − 1)} > ( \frac{δ}{π})^{k}.

Dowód Twierdzenia 7.3. Niech ∥x∥ = ∥x∥_{K}, z założenia wiemy, że ∥x∥ |x|. Przypomnijmy, że na mocy Faktu 5.4 zachodzi

A^{n} \frac{vol_{n}(K)}{vol_{n}(B_{2}^{n})} = ∫_{S^{n−1}} ∥x∥^{−n} dσ_{n−1} (x).

Określmy

Ω_{0} := {V ∈ G_{n,k} : ∫_{S_{V}} ∥x∥^{−n} dσ_{V}(x) (2A)^{n}},

wówczas Lemat 7.4 oraz nierówność Czebyszewa implikują, że μ_{n,k} (G_{n,k} \Ω_{0}) < 2^{−n} . Wystarczy, że pokażemy, że jeśli V ∈ Ω_{0}, to |x| (4πA)^{n/(n−k)} ∥x∥, czyli z jednorodności norm, że

∥x∥ (4πA)^{−n/(n−k)} dla x ∈ S_{V}, V ∈ Ω_{0}.  (10)

Ustalmy V ∈ Ω_{0}, wówczas z definicji Ω_{0} i nierówności Czebyszewa wynika, że

σ_{V}({y ∈ S_{V} : ∥y∥ r}) (2Ar)^{n} dla r > 0.

Wybierzmy r > 0 tak, by (2Ar)^{n} = (\frac{r}{2π} )^{k}, wówczas, na mocy Lematu 7.5 dla δ = r/2, zbiór L_{r} := {y ∈ S_{V} : ∥y∥ r} nie zawiera kuli w S_{V} o promieniu r/2 w metryce euklidesowej. Wybierzmy x ∈ S_{V}, wówczas istnieje y ∈ S_{V} \ L_{r} takie, że |x − y| r/2, stąd

∥x∥ ∥y∥ − ∥x − y∥ ∥y∥ − |x − y| r − \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.

Zauważmy, że

( \frac{r}{2})^{n−k} = \frac{1}{4^{n}π^{k}A^{n}} (4πA)^{−n}

i nierówność (10), a co za tym idzie całe twierdzenie, została udowodniona.

Wniosek 7.6. Dla 1 k n i dowolnego symetrycznego n-wymiarowego ciała wypukłego K istnieje podprzestrzeń V wymiaru k taka, że d_{BM}(K ∩ V, B_{2}^{k}) (4πvr(K))^{n/(n−k)} .

W szczególności, korzystając z tego, że vr(B_{1}^{n}) C dostajemy

Wniosek 7.7. Dla λ ∈ (0, 1) istnieje stała C(λ) taka, że dla dowolnego n można znaleźć podprzestrzeń V wymiaru k λn dla której d_{BM}(B_{1}^{n} ∩ V, B_{2}^{k}) C(λ).

Wniosek 7.8. Załóżmy, że n = 2k, K jest symetrycznym, n-wymiarowym ciałem wypukłym takim, że B_{2}^{n} ⊂ K oraz vol_{n}(K) A^{n}vol_{n}(B_{2}^{n}) dla pewnej liczby A 1. Wówczas istnieją dwie ortogonalne podprzestrzenie E_{1} i E_{2} wymiaru k takie, że ℝ^{n} = E_{1} ⊕ E_{2} oraz

\frac{1}{(4πA)^{2}} |x| ∥x∥_{K} |x| dla x ∈ E_{1} ∪ E_{2}.

Dowód. Zauważmy, że przekształcenie V ↦ V^{⊥} jest niezmiennicze względem miary μ_{n,k} dla n = 2k. Niech Ω_{0} będzie jak w Twierdzeniu 7.3, wówczas

μ_{n,k} (V : V, V^{⊥} ∈ Ω_{0}) 1 − μ_{n,k} (V ∉ Ω_{0}) − μ_{n,k} (V^{⊥} ∉ Ω_{0})
= 1 − 2μ_{n,k} (V ∉ Ω_{0}) > 1 − 2^{1−n} > 0.

Wystarczy przyjąć E_{1} = V, E_{2} = V^{⊥} dla V ∈ G_{n,k} takiego, że V, V^{⊥} ∈ Ω_{0}.

Wniosek 7.9. Załóżmy, że n = 2k, wówczas w przestrzeni l_{2}^{n} można znaleźć dwie ortogonalne k-wymiarowe podprzestrzenie E_{1} i E_{2} takie, że l_{2}^{n} = E_{1} ⊕ E_{2} oraz

∥x∥_{1} \sqrt{n}∥x∥_{2} C∥x∥_{1} dla x ∈ E_{1} ∪ E_{2},

gdzie C = 32eπ.

Dowód. Stosujemy poprzedni wniosek do K = n^{−1/2} B_{2}^{n} i A = (2e/π)^{1/2} (zob. Przykład po Definicji 7.1).

Wniosek 7.10. Istnieje stała C i dwie ortogonalne podprzestrzenie E_{1}, E_{2} ⊂ L_{2}[0, 1] takie, że E_{1} ⊕ E_{2} = L_{2}[0, 1] oraz

∥f∥_{1} ∥f∥_{2} C∥f∥_{1} dla f ∈ E_{1} ∪ E_{2}.

Dowód. Niech (h_{n})_{n 1} będzie układem Haara na [0, 1], tzn. h_{0} = I_{[0,1]}, h_{1} = I_{[0,1/2)} −I_{[1/2,1)} oraz h_{2^{m} +k} (t) = 2^{m/2} h_{2}(2^{m}t−k) = 2^{m/2} (I_{[k2^{−m} ,(2k+1)2^{−m−1} )} (t)− I_{[(2k+1)2^{−m−1} ,(k+1)2^{−m} )} (t)) dla m = 1, 2, … i 0 k 2^{m} − 1. Wówczas h_{n} jest bazą ortonormalną L_{2}[0, 1]. Określmy

X_{0} := Lin(h_{0}) i X_{m} := Lin(h_{n} : 2^{m} n < 2^{m+1} ) dla m = 1, 2, . . ..

Z rozłączności nośników odpowiednich funkcji Haara łatwo wynika, że dla f = ∑ _{k=0}^{2^{m} −1} a_{k}h_{2^{m} +k} ∈ X_{m}, ∥f∥_{2} = ∥a∥_{2} i ∥f∥_{1} = 2^{−m/2} ∥a∥_{1}. Stąd Wniosek 7.9 daje rozkład ortogonalny X_{m} = X_{m,1} ⊕ X_{m,2} taki, że

∥f∥_{1} ∥f∥_{2} C_{0}∥f∥_{1} dla f ∈ X_{m,1} ∪ X_{m,2}  (11)

dla pewnej stałej uniwersalnej C_{0}. Możemy dodatkowo położyć (z zachowaniem oszacowania (11)) X_{0,1} := X_{0}, X_{1,1} := 0. Zdefiniujmy E_{1} := ⊕_{m 0} X_{m,1} , E_{2} := ⊕_{m 0} X_{m,2} . Oczywiście przestrzenie E_{1} i E_{2} są ortogonalne. By pokazać porównywalność norm, oznaczmy przez P_{m} rzut ortogonalny z L_{2}[0, 1] na X_{m} i ustalmy 1 < p < 2, np. p = 3/2. Ponieważ układ Haara jest bazą bezwarunkową L_{p} oraz L_{p} ma kotyp 2, więc istnieje stała C_{p} < ∞ taka, że

( ∑_{m 0} ∥P_{m}f∥_{p}^{2})^{1/2} C_{p}∥f∥_{p} dla f ∈ L_{2}[0, 1] ⊂ L_{p}[0, 1].

Stąd dla f ∈ E_{1} ∪ E_{2}, wobec (11)

∥f∥_{2} = ( ∑_{m 0} ∥P_{m}f∥_{2}^{2})^{1/2} C_{0}( ∑_{m 0} ∥P_{m}f∥_{1}^{2})^{1/2} C_{0}( ∑_{m 0} ∥P_{m}f∥_{p}^{2})^{1/2} C_{0}C_{p}∥f∥_{p}.

Ale, jeśli \frac{1}{p} = \frac{1−θ}{1} + \frac{θ}{2}, to z nierówności Höldera ∥f∥_{p} ∥f∥_{1}^{1−θ} ∥f∥_{2}^{θ} i

∥f∥_{2} (C_{0}C_{p})^{1/(1−θ)} ∥f∥_{1} dla f ∈ E_{1} ∪ E_{2}.

Uwaga 7.11. Ostatni wniosek można przeformułować w następujący sposób - istnieje baza o.n. (f_{n})_{n 1} przestrzeni L_{2}[0, 1] taka, że na przestrzeniach \overline{Lin(f_{2k} : k 1)} i \overline{Lin(f_{2k−1} : k 1)} normy L_{1} i L_{2} są porównywalne. Nie jest znana żadna deterministyczna konstrukcja takej bazy.

8 Elipsoidy Milmana

Definicja 8.1. Dla symetrycznych ciał wypukłych K, L zdefiniujmy liczbę

M(K, L) := ( \frac{vol_{n}(K + L)}{vol_{n}(K ∩ L)} · \frac{vol_{n}(K^{0} + L^{0})}{vol_{n}(K^{0} ∩ L^{0})} ) ^{1/n} .

Oczywiście M(K, L) 1, niewielka liczba M(K, L) mówi, że ciała K i L oraz ich polary są w �podobnym” położeniu.

Uwaga 8.2. i) Być może nieco naturalniej jest zdefiniować

M̃(K, L) := ( \frac{vol_{n}(conv(K, L))}{vol_{n}(K ∩ L)} · \frac{vol_{n}(conv(K^{0}, L^{0}))}{vol_{n}(K^{0} ∩ L^{0})} ) ^{1/n} .

Ponieważ conv(K, L) ⊂ K + L ⊂ 2conv(K, L), więc M̃(K, L) M(K, L) 4M̃(K, L). Ponadto M̃(K, L) 1 i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy K = L. ii) Zauważmy, że jeśli L ⊂ K ⊂ dL, to M(K, L) (1 + d)^{2}. W szczególności dla dowolnego ciała wypukłego K istnieje elipsoida E taka, że M(K, E) (1 + d_{BM}(K, B_{2}^{n}))^{2}. Nierówność tę można jednak znacząco wzmocnić.

Twierdzenie 8.3 (Milman). Dla dowolnego symetrycznego n-wymiarowego ciała wypukłego K istnieje elipsoida E taka, że M(K, E) C, gdzie C jest pewną stałą uniwersalną.

Elipsoidę spełniającą warunek M(K, E) C będziemy nazywać elipsoidą Milmana dla ciała K. Oczywiście taka elipsoida (w przeciwieństwie np. do elipsoidy Johna) nie jest wyznaczona jednoznacznie.

Podczas tego wykładu, jak zawsze, g_{1}, g_{2}, … jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych N (0, 1). Przez c, C, c_{1}, C_{1} itp. będziemy oznaczać stałe uniwersalne, przy czym stałe C i c mogą miec inną wartość przy każdym wystąpieniu, a wartość stałych �numerowanych” będziemy się starali trzymać (dla wygody Czytelnika) ustaloną.

8.1 Minoryzacja Sudakowa

Zacznijmy od sformułowania ważnego twierdzenia, zwanego zasadą minoryzacyjną Sudakowa, które pozwala szacować pewne liczby pokryciowe przez średnią supremum odpowiedniego procesu gaussowskiego.

Twierdzenie 8.4. Istnieje stała C_{1} 64 taka, że dla dowolnego wypukłego, symetrycznego n-wymiarowego ciała wypukłego K

sup_{ε>0}ε\sqrt{logN(K, εB_{2}^{n})} C_{1}𝔼 sup_{t∈K} ∑_{i=1}^{n} t_{i}g_{i}.

Udowodnimy najpierw dualną wersję tej nierówności:

Twierdzenie 8.5. Istnieje stała C_{2} 8 taka, że dla dowolnego wypukłego, symetrycznego n-wymiarowego ciała wypukłego K,

sup_{ε>0}ε\sqrt{logN(B_{2}^{n}, εK^{0})} C_{2}𝔼 sup_{t∈K} ∑_{i=1}^{n} t_{i}g_{i}.

Dowód. Dla uproszczenia notacji niech a := 𝔼 sup_{t∈K} ∑ _{i=1}^{n} t_{i}g_{i}. Zauważmy, że jeśli x ∉ uK^{0}, to sup_{t∈K} ∑ _{i=1}^{n} t_{i}x_{i} u, zatem, na mocy nierówności Czebyszewa,

γ_{n}(4aK^{0}) = 1 − γ_{n}(ℝ^{n} \ 4aK^{0}) \frac{3}{4}.

Załóżmy, że N = N(B_{2}^{n}, εK^{0}) = N(\frac{8a}{ε} B_{2}^{n}, 8aK^{0}), wtedy istnieją x_{1}, …, x_{N} ∈ \frac{8a}{ε} B_{2}^{N} takie, że x_{i} − x_{j} ∉ 8aK^{0} dla i ≠ j, czyli zbiory x_{i} + 4aK^{0}, 1 i N są rozłączne. Mamy

1 γ_{n}( ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + 4aK^{0})) = ∑_{i=1}^{N} γ_{n}(x_{i} + 4aK^{0}) ∑_{i=1}^{N} e^{−|x_{i} |^{2} /2} γ_{n}(4aK^{0})

\frac{3}{4}Ne^{−32a^{2} ε^{−2}} ,

gdzie druga nierówność wynika z lematu sformułowanego poniżej. Stąd \frac{3}{4}N exp(32a^{2}ε^{−2} ) i ε\sqrt{logN} 8a (bo albo N = 1 albo \frac{3}{4}N \sqrt{N}).

Lemat 8.6. Dla dowolnego z ∈ ℝ^{n} i symetrycznego zbioru borelowskiego A, γ_{n}(z + A) e^{−|z|^{2} /2} γ_{n}(A).

Dowód. Mamy

γ_{n}(A + z) = (2π)^{−n/2} ∫_{z+A} e^{−|x|^{2} /2} dx = (2π)^{−n/2} ∫_{A} e^{−|x−z|^{2} /2} dx

= e^{−|z|^{2} /2} ∫_{A} e^{⟨x,z⟩}dγ_{n}(x) = e^{−|z|^{2} /2} ∫_{A} \frac{1}{2}(e^{⟨x,z⟩} + e^{−⟨x,z⟩} )dγ_{n}(x)

e^{−|z|^{2} /2} ∫_{A} dγ_{n}(x) = e^{−|z|^{2} /2} γ_{n}(A),

gdzie w przedostatniej równości wykorzystaliśmy symetrię miary γ_{n} i zbioru A.

Twierdzenie 8.4 jest konsekwencją Twierdzenia 8.5 i następującego lematu:

Lemat 8.7. Dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K w ℝ^{n},

sup_{ε>0}ε\sqrt{logN(K, εB_{2}^{n})} 8 sup_{ε>0}ε\sqrt{logN(B_{2}^{n}, εK^{0})}.

Dowód. Najpierw wykażemy, że dla symetrycznego ciała K,

N(K, L) = N(K, 2K ∩ L).  (12)

Nierówność ” ” wynika stąd, że 2K ∩ L ⊂ L. By udowodnić ” ” wystarczy zauważyć, że dla x ∈ K, (x + L) ∩ K ⊂ x + (2K ∩ L).

Jeśli x ∈ 2K∩\frac{ε^{2}}{2} K^{0}, to |x|^{2} = ⟨x, x⟩ 2\frac{ε^{2}}{2} = ε^{2}, co pokazuje, że 2K∩\frac{ε^{2}}{2} K^{0} ⊂ εB_{2}^{n}, stąd

N(K, εB_{2}^{n}) N( K, 2K ∩ \frac{ε^{2}}{2}K^{0}) N( K, \frac{ε^{2}}{2}K^{0}) N(K, 2εB_{2}^{n})N( B_{2}^{n}, \frac{ε}{4}K^{0}) .

Zatem

ε\sqrt{logN(K, εB_{2}^{n})} ε\sqrt{logN(K, 2εB_{2}^{n})} + ε\sqrt{logN( B_{2}^{n}, \frac{ε}{4}K^{0})}

Przyjmując f(ε) := ε\sqrt{logN(K, εB_{2}^{n})} i M := sup_{ε>0} ε\sqrt{logN(B_{2}^{n}, εK^{0})} dostajemy f(ε) \frac{1}{2}f(2ε) + 4M i przez łatwą iterację (wobec f(ε) = 0 dla dużych ε) otrzymujemy f(ε) 8M.

Uwaga 8.8. Otwartym problemem jest czy istnieją stałe absolutne c, C takie, że dla dowolnych symetrycznych ciał wypukłych logN(K, L) C logN(L^{0}, cK^{0}). Wiadomo, że tak jest w wielu szczególnych przypadkach, m.in. gdy K lub L jest elipsoidą (co jest oczywiście znacznym wzmocnieniem Lematu 8.7).

Wprowadźmy teraz następujące definicje, które uproszczą sformułowania wielu wyników.

Definicja 8.9. Dla operatora liniowego T: ℝ^{n} → X, gdzie (X, ∥ ∥) jest przestrzenią Banacha określmy

l(T) := ( 𝔼∥ ∑_{i=1}^{n} g_{i}T (e_{i})∥^{2})^{1/2} = ( ∫_{ℝ^{n}} ∥T x∥^{2}dγ_{n}(x))^{1/2} .

Definicja 8.10. Dla przekształcenia liniowego T: X → Y, gdzie X i Y są przestrzeniami Banacha z kulami jednostkowymi B_{X} i B_{Y} definiujemy liczby entropijne e_{k}(T), k 1 wzorem

e_{k}(T) := inf{ε > 0: N(T (B_{X}), εB_{Y}) 2^{k−1} }.

Uwaga 8.11. Zauważmy, że ∥T ∥ = e_{1}(T) e_{2}(T) . . .. Ponadto, jeśli i: Y → Y_{1} jest izometrycznym włożeniem, to \frac{1}{2}e_{k}(T) e_{k}(iT) e_{k}(T), a jeśli q jest rzutem z X′ na X = X′/X_{0} to e_{k}(T q) = e_{k}(T).

Twierdzenia 8.4 i 8.5 implikują:

Wniosek 8.12. Dla dowolnego przekształcenia liniowego T: l_{2}^{n} → X zachodzi

\sqrt{k}max\{e_{k}(T), e_{k}(T^{∗})\} C_{3}l(T).

Dowód. Stosując Twierdzenie 8.4 do K = T^{∗}B_{X^{∗}} dostajemy

ε\sqrt{logN(T^{∗}(B_{X^{∗}} ), εB_{2}^{n})} C_{1} ∫ sup_{y∈T^{∗} B_{X}^{∗}} ⟨y, x⟩dγ_{n}(x) = C_{1} ∫ ∥T x∥dγ_{n}(x).

Ponieważ dla ε < e_{k}(T^{∗}), N(T^{∗}(B_{X^{∗}} ), εB_{2}^{n}) 2^{k−1} + 1 2^{k/2} , więc powyższe szacowanie implikuje \sqrt{k}e_{k}(T^{∗}) \sqrt{2/ log2}C_{1}l(T).

By udowodnić drugie załóżmy najpierw, że T jest izomorfizmem. Wówczas zastosujmy Twierdzenie 8.5 do K jak wyżej zauważając, że (T^{∗}B_{X^{∗}} )^{0} = T^{−1} (B_{X}) i otrzymamy

ε\sqrt{logN(T (B_{2}^{n}), εB_{X})} = ε\sqrt{logN(B_{2}^{n}, ε(T^{∗}B_{X^{∗}} )^{0})} C_{2} ∫ sup_{y∈T^{∗} B_{X}^{∗}} ⟨y, x⟩dγ_{n}(x)
= C_{2} ∫ ∥T x∥dγ_{n}(x).

i jak powyżej dostajemy \sqrt{k}e_{k}(T) \sqrt{2/ log2}C_{2}l(T). Jeśli T nie jest izomorfizmem, to T = iT_{1}q, gdzie q jest rzutem na l_{2}^{n}/Ker(T) ≃ l_{2}^{m}, T_{1} izomorfizmem między l_{2}^{m} a T (l_{2}^{n}), a i włożeniem T (l_{2}^{n}) w X. Wówczas l(T) = l(T_{1}) oraz e_{n}(T) 2e_{n}(T_{1}).

Zakończmy tę część faktem pokazującym związek oszacowań liczb entropijnych i M(K, E).

Fakt 8.13. Dla dowolnego odwracalnego przekształcenia T: l_{2}^{n} → (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) mamy

M(K, T (B_{2}^{n})) 16(1 + e_{n}(T^{−1} ))(2 + e_{n}(T))(1 + e_{n}(T^{∗}))(2 + e_{n}((T^{∗})^{−1} )).

Dowód. Niech E = T (B_{2}^{n}), zauważmy, że wtedy (T^{∗})^{−1} (B_{2}^{n}) = E^{0}, stąd

i) N(E, e_{n}(T)K) = N(T (B_{2}^{n}), e_{n}(T)K) 2^{n−1} ,
ii) N(K, e_{n}(T^{−1} )E) = N(T^{−1} (K), e_{n}(T^{−1} )B_{2}^{n}) 2^{n−1} ,
iii) N(E^{0}, e_{n}((T^{∗})^{−1} )K^{0}) = N((T^{∗})^{−1} (B_{2}^{n}), e_{n}((T^{∗})^{−1} )K^{0}) 2^{n−1} ,
iv) N(K^{0}, e_{n}(T^{∗})E^{0}) = N(T^{∗}(K^{0}), e_{n}(T^{∗})B_{2}^{n}) 2^{n−1} .

Na mocy ii) mamy

vol(E + K) N(K, e_{n}(T^{−1} )E)vol(E + e_{n}(T^{−1} )E) 2^{n−1} (1 + e_{n}(T^{−1} ))^{n}vol(E).

Ponieważ dla a > 0, N(E, aK) = N(E, aK ∩ 2E) i aK ∩ 2E ⊂ (a + 2)(K ∩ E), więc i) implikuje

vol(E) N(E, e_{n}(T)K ∩ 2E)vol(e_{n}(T)K ∩ 2E) 2^{n−1} (e_{n}(T) + 2)^{n}vol(K ∩ E),

zatem

( \frac{vol(K + E)}{vol(K ∩ E)} ) ^{1/n} 4(1 + e_{n}(T^{−1} ))(2 + e_{n}(T)).

Analogicznie z iii) i iv) wynika, że

( \frac{vol(K^{0} + E^{0})}{vol(K^{0} ∩ E^{0})} ) ^{1/n} 4(1 + e_{n}(T^{∗}))(2 + e_{n}((T^{∗})^{−1} )).

8.2 Twierdzenie Lewisa

By wykazać twierdzenie Milmana spróbujemy znaleźć operator T między l_{2}^{n} a przestrzenią (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) taki, że zarówno l(T), jak i l((T^{∗})^{−1} ) są małe. Pierwszym krokiem w tym kierunku będzie twierdzenie Lewisa.

Załóżmy, że α jest normą na przestrzeni macierzy losowych M_{n×n} (którą utożsamiamy z przestrzenią przekształceń liniowych na ℝ^{n}). Określmy normę α^{∗} na M_{n×n} śladowo-dualną do α wzorem

α^{∗}(T) = sup{tr(T S): α(S) 1}.

Zauważmy, że z definicji wynika, że |tr(T S)| α(T)α^{∗}(S), w szczególności α(T)α^{∗}(T^{−1} ) n. Poniższe twierdzenie, pochodzące od Lewisa, pokazuje, że istnieje operator dla którego zachodzi w tym oszacowaniu równość.

Twierdzenie 8.14. Dla dowolnej normy α na M_{n×n} istnieje przekształcenie odwracalne T takie, że α(T) = 1 i α^{∗}(T^{−1} ) = n.

Dowód. Zbiór K = {S ∈ M_{n×n} : α(S) 1} jest zwarty, wyznacznik jest ciągłą funkcją na K, więc istnieje T ∈ K takie, że

| det(T)| = sup{| det(S)|: α(S) 1}.

Stąd dla dowolnego S ∈ M_{n×n} ,

| det(T + S)| = | det( \frac{T + S}{α(T + S)} ) |α^{n}(T + S) | det(T)|α^{n}(T + S).

Oczywiście T ma niezerowy wyznacznik, więc dzieląc powyższą nierówność stronami przez det(T) i zastępując S przez εS dostajemy dla S ∈ M_{n×n} ,

| det(I + εT^{−1} S)| α^{n}(T + εS) (α(T) + εα(S))^{n} dla wszystkich ε > 0.

Ponieważ det(I + εT^{−1} S) = 1 + εtr(T^{−1} S) + o(ε) przy ε → 0, więc tr(T^{−1} S) nα(S) dla wszystkich macierzy S, skąd α^{∗}(T^{−1} ) n na mocy definicji α^{∗}. Ponieważ α^{∗}(T^{−1} )α(T) n, więc musi zachodzić α(T) = 1 i α^{∗}(T^{−1} ) = n.

8.3 Porównywanie l(T^{∗}) z l^{∗}(T)

Twierdzenie Lewisa pozwala nam znaleźć operator T taki, że l(T) = l^{∗}(T^{−1} ) = \sqrt{n}. By przełożyć ostatnią równość na oszacowanie l((T^{−1} )^{∗}) chcielibyśmy wiedzieć, że dla operatorów T: X → l_{2}^{n}, l(T^{∗}) C_{X} l^{∗}(T), gdzie C_{X} jest stałą zależną tylko od przestrzeni X.

Spróbujmy zatem udowodnić takie oszacowanie, w tym celu ustalmy T: X → l_{2}^{n}, gdzie X jest n wymiarową przestrzenią Banacha, wówczas T^{∗}: l_{2}^{n} → X^{∗} i jeśli utożsamimy X i X^{∗} z ℝ^{n} a działanie funkcjonału na wektorze z braniem iloczynu skalarnego, to

l(T^{∗})= ( ∫_{ℝ^{n}} ∥T^{∗}x∥^{2}dγ_{n})^{1/2}
= sup{ ∫_{ℝ^{n}} ⟨T^{∗}x, F (x)⟩dγ_{n} : F: ℝ^{n} → X, ∫_{ℝ^{n}} ∥F (x)∥^{2}dγ_{n} 1}.

Przekształcenie F, które wybija supremum nie musi być liniowym odwzorowaniem. Wydzielmy więc �liniową część” F kładąc

P F (x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i} ∫_{ℝ^{n}} F (y)y_{i}dγ_{n}(y).  (13)

Wówczas P F: ℝ^{n} → X liniowe oraz dla dowolnego j

∫_{ℝ^{n}} P F (x)x_{j} dγ_{n}(x) = ∑_{i=1}^{n} ∫_{ℝ^{n}} F (y)y_{i}dγ_{n}(y) ∫_{ℝ_{n}} x_{i}x_{j} dγ_{n}(x) = ∫_{ℝ^{n}} F (x)x_{j} dγ_{n}(x),

czyli

∫_{ℝ^{n}} ⟨T^{∗}x, F (x)⟩dγ_{n}= ∫_{ℝ^{n}} ⟨T^{∗}x, P F (x)⟩dγ_{n} = ∫_{ℝ^{n}} ⟨x, T P F (x)⟩dγ_{n}
= tr(T (P F)) l^{∗}(T)l(P F).

Wystarczy więc umieć szacować l(P F) poprzez (∫_{ℝ^{n}} ∥F (X)∥^{2}dγ_{n})^{1/2} , czyli normę operatora P na przestrzeni

L_{2}(X) = L_{2}(γ_{n}, X) = {f: ℝ^{n} → X mierzalne, ∥f∥_{L_{2} (X)} := ∫_{ℝ^{n}} ∥f∥_{X}^{2} dγ_{n} < ∞}.

W ten spośob udowodniliśmy następujący fakt.

Fakt 8.15. Jeśli T jest przekształceniem liniowym między n-wymiarową przestrzenią unormowaną X a l_{2}^{n}, to

l(T^{∗}) ∥P: L_{2}(X) → L_{2}(X)∥l^{∗}(T),

gdzie P jest przekształceniem zadanym wzorem (13).

Zanim przejdziemy do oszacowań normy P na L_{2}(X) wprowadzimy trochę notacji.

Wielomiany Hermite’a

h_{k}(x) = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n!}} e^{x^{2} /2} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (e^{−x^{2} /2} ), k = 0, 1, 2, …

stanowią bazę ortogonalną przestrzeni L_{2}(ℝ, γ_{1}). Zauważmy, że w szczególności h_{1}(x) = x. Bazą ortogonalną L_{2}(ℝ^{n}, γ_{n}) są n-wymiarowe wielomiany Hermite’a, tzn. układ

h_{α} (x) = ∏_{i=1}^{n} h_{α_{i}} (x_{i}), α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℕ^{n}.

Przez Q_{k} oznacza rzut L_{2}(ℝ^{n}, γ_{n}) na Lin(h_{α} : |α| = k). W szczególności Q_{1} jest rzutem na Lin(x_{1}, …, x_{n}).

Dla przestzeni Banacha X definiujemy

L_{2} ⊗ X := {F ∈ L_{2}(X): F = ∑_{i=1}^{k} y_{i}f_{i}, f_{i} ∈ L_{2}(γ_{n}), y_{i} ∈ X}.

Jeśli X jest skończenie wymiarowe, to L_{2}⊗X = L_{2}(X), a jeśli X jest ośrodkowe, to L_{2} ⊗ X jest gęste w L_{2}(X). Dla operatora T na L_{2}(γ_{n}) określamy operator T ⊗ Id wzorem

T ⊗ Id( ∑_{i=1}^{k} y_{i}f_{i}) = ∑_{i=1}^{k} y_{i}T f_{i}.

Mamy

φ(T ⊗ Idf) = T φ(f) dla φ ∈ X^{∗},  (14)

co implikuje, że operator T ⊗ Id jest dobrze określony. Nietrudno sprawdzić, że operator P zadany przez (13) to Q_{1} ⊗ Id.

Mamy następujące łatwe oszacowanie

Lemat 8.16. Jeśli X jest n-wymiarową przestrzenią Banacha, to

∥Q_{k} ⊗ Id: L_{2}(X) → L_{2}(X)∥ d_{BM} (X, l_{2}^{n}), k = 0, 1, 2, . . ..

Dowód. Wystarczy wybrać bazę e_{i} przestrzeni X taką, że |t| ∥ ∑ _{i=1}^{n} t_{i}e_{i}∥ d|t|, gdzie d = d_{BM}(x, l_{2}^{n}) i zauważyć, że Q_{k} ⊗Id jest rzutem na Lin(e_{i}h_{α} : |α| = k).

Uwaga 8.17. Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to supremum po n = 1, 2, … norm ∥Q_{1} ⊗ Id∥ na L_{2}(γ_{n}, X) nazywamy stałą K-wypukłości X. Mówimy, że X jest K-wypukłe, jeśli ta stała jest skończona. Twierdzenie Pisiera mówi, że przestrzeń X jest K-wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jednostajnie l_{1}^{n}.

Głównym wynikiem tej części jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 8.18. Jeśli X jest n wymiarową przestrzenią Banacha, to

∥Q_{1} ⊗ Id: L_{2}(X) → L_{2}(X)∥ C_{4}(1 + logd_{BM} (X, l_{2}^{n})).

Co wobec Faktu 8.15 implikuje

Wniosek 8.19. Jeśli T jest przekształceniem liniowym między (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) a l_{2}^{n}, to

l(T^{∗}) C_{4}(1 + logd_{BM} (K, B_{2}^{n}))l^{∗}(T).

W dowodzie Twierdzenia 8.18 wykorzystamy półgrupę Ornsteina-Uhlebecka określoną wzorem

P_{t}f(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(e^{−t} x + (1 − e^{−2t} )^{1/2} y)dγ_{n}(y) t 0, f ∈ L_{2}(γ_{n}).

Łatwo sprawdzić, że istotnie jest to półgrupa, tzn. P_{0}f = f, P_{t+s} = P_{t}P_{s}, ponadto P_{t} są operatorami samosprzężonymi.

Zauważmy, że dla n = 1, P_{t}h_{k} jest wielomianem stopnia k, ponadto dla l < k, ⟨P_{t}h_{k}, h_{l}⟩ = ⟨h_{k}, P_{t}h_{l}⟩ = 0, gdyż h_{k} jest prostopadły do wszystkich wielomianów stopnia mniejszego niż k. Stąd P_{t}h_{k} = c(t, k)h_{k} i z porównania współczynników przy x^{k} dostajemy P_{t}h_{k} = e^{−t|k|} h_{k}. Stąd łatwo dostajemy, że w przypadku dowolnego n, P_{t}h_{α} = e^{−t|α|} h_{α}, czyli innymi słowy

P_{t}f = ∑_{k=0}^{∞} e^{−tk} Q_{k}f.

Dla uproszczenia notacji określmy też dla ε ∈ [−1, 1] operator Q(ε) wzorem

Q(ε) = ∑_{k=0}^{∞} ε^{k}Q_{k}.

Fakt 8.20. Mamy dla f ∈ L_{2}(γ_{n}),

Q(ε)f(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(εx + (1 − ε^{2})^{1/2} y)dγ_{n}(y), ε ∈ [−1, 1].

Ogólniej, dla dowolnej przestrzeni Banacha X i F ∈ L_{2} ⊗ X,

Q(ε) ⊗ IdF (x) = ∫_{ℝ^{n}} F (εx + (1 − ε^{2})^{1/2} y)dγ_{n}(y), ε ∈ [−1, 1].

Stąd ∥Q(ε) ⊗ IdF ∥_{L_{2} (X)} ∥F ∥_{L_{2} (X)}

Dowód. Dla ε ∈ [0, 1], Q(ε) = P_{− ln(ε)} , a dla ε ∈ [−1, 1], Q(ε) = SP_{− ln(ε)} , gdzie S jest izometrią L_{2}(X) daną wzorem F (x) ↦ F (−x). Stąd wynika pierwsza tożsamość. Druga wynika z pierwszej i (14). Ostatnie szacowanie wynika z nierówności Jensena oraz tego, że εG_{1} + (1 − ε^{2})^{1/2} G_{2} ∼ G, jeśli G, G_{1}, G_{2} są wektorami w ℝ^{n} o rozkładzie γ(n) oraz G_{1} i G_{2} są niezależne.

Lemat 8.21. Załóżmy, że (x_{k})_{k 0} jest ciągiem wektorów z przestrzeni Banacha X takim, że A := max_{k 0} ∥x_{k}∥ < ∞. Jeśli sup_{−1/2 t 1/2} ∥ ∑ _{k=0}^{∞} t^{k}x_{k}∥ 1, to

∥x_{1}∥ C(1 + log_{+} (A)),

gdzie C jest stałą uniwersalną.

W dowodzie wykorzystamy słabszą wersję nierówności Bernsteina Lemat 8.22. Niech Q(s) = ∑ _{k=−n}^{n} a_{k}e^{iks} będzie wielomianem trygonometrycznym stopnia n o współczynnikach zespolonych. Wówczas ∥Q′∥_{∞} 2n∥Q∥_{∞} .

Uwaga 8.23. Prawdziwa jest nieco silniejsza nierówność ∥Q′∥_{∞} n∥Q∥_{∞} .

Dowód. Niech F_{n}(t) = ∑ _{|j| n} (1 − \frac{|j|}{n+1} )e^{ijt} będzie jądrem Fejera oraz ψ_{n}(t) = 2nF_{n−1} (t) sin(nt), wówczas ∥F_{n}∥_{1} = 1, zatem ∥ψ_{n}∥_{1} 2n. Łatwo sprawdzić (patrząc na współczynniki Fouriera), że Q′ = −Q∗ψ_{n}, czyli ∥Q′∥_{∞} ∥ψ_{n}∥_{1}∥Q∥_{∞} 2n∥Q∥_{∞} .

Dowód Lematu 8.21. Ustalmy funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że ∥φ∥ 1 i określmy

P_{n}(t) = ∑_{j=0}^{n} t^{j} φ(x_{j}) oraz Q_{n}(s) := P_{n}( \frac{1}{2} sins) .

Wówczas Q_{n} jest wielomianem trygonometrycznym stopnia n i Q′_{n}(0) = \frac{1}{2}P′_{n}(0) = \frac{1}{2}φ(x_{1}). Stąd na mocy Lematu 8.22,

|φ(x_{1})| 2∥Q′_{n}∥_{∞} 4n∥Q_{n}∥_{∞} 4n sup_{|t| 1/2} | ∑_{k=0}^{n} t^{k}φ(x_{k})|

4n( sup_{|t| 1/2} | ∑_{k=0}^{∞} t^{k}φ(x_{k})| + ∑_{k=n+1}^{∞} 2^{−k} |φ(x_{k})|) 4n(1 + A2^{−n} ).

Biorąc supremum po wszystkich funkcjonałach otrzymujemy ∥x_{1}∥ 4n(1 + A2^{−n} ) i wystarczy przyjąć n = ⌈ln_{+} (A)⌉.

Dowód Twierdzenia 8.18. Teza natychmiast wynika z Faktu 8.20 oraz Lematów 8.16 i 8.21.

8.4 Liczby aproksymacyjne

Definicja 8.24. Niech T: X → Y będzie operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha. Definiujemy liczby aproksymacyjne a_{k}(T), liczby Gelfanda c_{k}(T) oraz liczby Kołmogorowa d_{k}(T) dla k = 1, 2, … wzorami

a_{k}(T):= inf{∥T − S∥: S: X → Y, rk(S) < k}
c_{k}(T):= inf{∥T_{|Z} ∥: Z ⊂ X, codim(Z) < k}
d_{k}(T):= inf{∥π_{Z} T ∥: Z ⊂ Y, dim(Z) < k},

gdzie π_{Z} oznacza kanoniczny rzut Y na Y/Z.

Oczywiście a_{1}(T) = c_{1}(T) = d_{1}(T) = ∥T ∥ oraz ciągi (a_{k}(T)), (c_{k}(T)) i (d_{k}(T)) są nierosnące.

Fakt 8.25. Załóżmy, że T jest przekształceniem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y.

i) Jeśli X = l_{1}(Γ)/Z oraz q: l_{1}(Γ) → l_{1}(Γ)/Z jest kanonicznym rzutem, to d_{k}(T) = a_{k}(T q). ii) Jeśli j: Y → l_{∞} (Γ) jest izometrycznym włożeniem, to c_{k}(T) = a_{k}(jT). iii) c_{k}(T) = d_{k}(T^{∗}).

Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie 8.26. Dla dowolnego α > 0 istnieje liczba C(α) zależna tylko od α taka, że dla dowolnego operatora liniowego T między przestrzeniami Banacha X i Y zachodzi

sup_{k n}k^{α} e_{k}(T) C(α) sup_{k n}k^{α} s_{k}(T) dla wszystkichn 1,

gdzie s_{k} oznacza a_{k}, c_{k} lub d_{k}.

Dowód. Z uwagi na poprzedni fakt oraz to, że każda przestrzeń Banacha jest izometryczna z ilorazem pewnego l_{1}(Γ) i wkłada się izometrycznie w pewne l_{∞} (Γ), wystarczy udowodnić twierdzenie dla s_{k} = a_{k}. Wykorzystując jednorodność oraz monotoniczność liczb e_{k} i a_{k} wystarczy pokazać, że jeśli sup_{k n} k^{α} a_{k}(T) < 1 i n = 2^{N} dla pewnego N 0, to n^{α} e_{n}(T) C′(α).

Załóżmy więc, że zachodzi powyżej wzmiankowany warunek. Z definicji liczb a_{k} znajdziemy operatory S_{m} : X → Y, m = 0, 1, …, N takie, że rk(S_{m}) < 2^{m} oraz ∥T − S_{m}∥ < 2^{−mα} . Określmy Δ_{m} = S_{m} − S_{m−1} dla 1 m N i Δ_{0} = S_{0}, wówczas T = ∑ _{m=0}^{N} Δ_{m} + T − S_{N}, ∥Δ_{m}∥ 2^{α+1} 2^{−mα} oraz rk(Δ_{m}) < 2^{m+1} . Niech K := T (B_{X}) oraz K_{m} := Δ_{m}(B_{X}). Zauważmy, że K_{m} ⊂ ∥Δ_{m}∥B_{Y}, zatem

N(K_{m}, ε∥Δ_{m}∥B_{Y}) ( 1 + \frac{2}{ε})^{rk(Δ_{m} )} ( 1 + \frac{2}{ε})^{2^{m+1}} .

Mamy

K ⊂ ∑_{m=0}^{N} K_{m} + (T − S_{m})B_{X} ⊂ ∑_{m=0}^{N} K_{m} + 2^{−Nα} B_{Y}

stąd dla ε_{m} > 0 otrzymujemy

N( K, ( ∑_{m=0}^{N} ε_{m}∥Δ_{m}∥ + 2^{−Nα} ) B_{Y}) ∏_{m=0}^{N} (K_{m}, ε_{m}∥Δ_{m}∥B_{Y}) ∏_{m=0}^{N} ( 1 + \frac{2}{ε_{m}} )^{2^{m+1}} .

Wybierzmy ε_{m} = t2^{2α(m−N)} , t > 0, wówczas

∑_{m=0}^{N} ε_{m}∥Δ_{m}∥ + 2^{−Nα} ∑_{m=0}^{N} t2^{2α(m−N)} 2^{α+1} 2^{−mα} + 2^{−Nα} 2^{−Nα} (C_{1}(α)t + 1).

Niech r = min(1, \frac{1}{4α} ), zauważmy, że 1 + s (1 + s^{r})^{1/r} exp(s^{r}/r) dla s > 0, zatem

∏_{m=0}^{N} ( 1 + \frac{2}{ε_{m}} )^{2^{m+1}} exp( ∑_{m=0}^{N} ( \frac{2}{ε_{m}} )^{r} \frac{2^{m+1}}{r} ) exp(C_{2}(α)t^{−r} 2^{N}),

czyli wykazaliśmy, że dla t > 0,

N(K, 2^{−Nα} (C_{1}(α)t + 1)) exp(C_{2}(α)t^{−r} 2^{N}).

Zauważmy teraz, że jeśli t(α) jest odpowiednio duże to 2 exp(C_{2}(α)t(α)^{−r} 2^{N}) 2^{2^{N}} , czyli

e_{n}(T) 2^{−Nα} (C_{1}(α)t(α) + 1) = n^{−α} C′(α),

co mieliśmy pokazać.

Twierdzenie 8.27. Istnieje stała uniwersalna C taka, że dla dowolnego operatora liniowego T między przestrzenią Banacha X a l_{2}^{n},

c_{k}(T) C_{5} \sqrt{\frac{n}{k}}e_{k}(T) dla k n.

Zanim przejdziemy do dowodu powyższego twierdzenia sformułujemy jeden prosty lemat dotyczący macierzy gaussowskich.

Lemat 8.28. Niech G_{n,k} = (g_{ij} )_{i k,j n} będzie macierzą gaussowską, której współczynniki są niezależnymi zmiennymi N (0, 1). Wówczas

i) 𝔼∥G_{n,k} ∥_{l_{2}^{n} →l_{2}^{k}} C_{6} max(n, k), ii) jeśli A ⊂ l_{2}^{n} jest zbiorem mocy co najwyżej 2^{k}, to

ℙ(∀_{x∈A} |G_{n,k} x| c_{7} \sqrt{k}|x|) \frac{1}{2}.

Dowód. i) Niech m = max(\sqrt{n}, \sqrt{k}) wówczas macierz G_{n,k} możemy traktować jako obcięcie macierzy G_{m,m} i teza wynika z Faktu 5.3.

ii) Zauważmy, że

|G_{n,k} x|^{2} = ∑_{i=1}^{k} | ∑_{j=1}^{n} g_{ij} x_{j} |^{2} ∼ |x|^{2} ∑_{i=1}^{k} g_{i}^{2}.

Stąd dla t > 0

ℙ(|G_{n,k} x| < t\sqrt{k}|x|) = ℙ( ∑_{i=1}^{k} g_{i}^{2} < kt^{2}) = γ_{k}(t\sqrt{k}B_{2}^{k})
(2π)^{−k/2} vol(t\sqrt{k}B_{2}^{k}) (C_{0}t)^{k}

dla pewnej stałej uniwersalnej C_{0}. Zatem

ℙ(∃_{x∈A} |G_{n,k} x| < t\sqrt{k}|x|) |A|(C_{0}t)^{k} (2C_{0}t)^{k} \frac{1}{2}.

dla t = 1/(4C_{0}).

Dowód Twierdzenia 8.27. Ustalmy 1 k n − 1, niech ε = e_{k+1} (T) wówczas możemy wybrać A ⊂ l_{2}^{n} będący ε-siecią w odległości euklidesowej dla T (B_{X}) oraz taki, że |A| 2^{k}.

Niech G_{n,k} będzie macierzą gaussowską jak w poprzednim Lemacie, wtedy zbiór

Ω_{1} = \{ω: ∥G_{n,k} (ω)∥_{l_{2}^{k} →l_{2}^{n}} 3C_{6} \sqrt{n}, ∀_{y∈A} |G_{n,k} (ω)y| c_{7} \sqrt{k}|y|\}

ma dodatnie prawdopodobieństwo, czyli jest niepusty. Niech G = G_{n,k} (ω) dla pewnego ω ∈ Ω_{1} oraz F = Ker(GT). Wówczas GT: X → l_{2}^{k}, czyli F jest podprzestrzenią X kowymiaru conajwyżej k, stąd c_{k+1} (T) ∥GT_{|F} ∥. By oszacować tę ostatnią liczbę ustalmy x ∈ F, ∥x∥ 1, z definicji A istnieje y ∈ A taki, że |y − T x| ε. Wówczas

|Gy| = |Gy − GT x| ∥G∥|y − T x| 3C_{6} \sqrt{n}ε

oraz

|y| c_{7}^{−1} k^{−1/2} |Gy| 3C_{6}c_{7}^{−1} \sqrt{\frac{n}{k}}ε.

Ponieważ |T y| |y| + ε i y było dowolnym wektorem z kuli jednostkowej w F, to

c_{k+1} (T) ∥GT_{|F} ∥ ( 3C_{6}c_{7}^{−1} \sqrt{\frac{n}{k}} + 1) ε = ( 3C_{6}c_{7}^{−1} \sqrt{\frac{n}{k}} + 1) e_{k+1} (T)

C′\sqrt{\frac{n}{k + 1}} e_{k+1} (T).

Mamy też e_{1}(T) = c_{1}(T) = ∥T ∥, więc teza twierdzenia została udowodniona.

Możemy teraz przejść do dowodu kluczowego faktu, który jest wnioskiem z Twierdzenia Kaszina-Szarka oraz wcześniej udowodnionych oszacowań liczb aproksymacyjnych i entropijnych.

Wniosek 8.29. Istnieje stała uniwersalna C_{8} taka, że dla dowolnego przekształcenia T z przestrzeni X = (ℝ^{n}, ∥ ∥_{K}) w l_{2}^{n} zachodzi

\sqrt{n} max(e_{n}(T), e_{n}(T^{∗})) C_{8}(1 + logvr(K))l^{∗}(T).

Dowód. W poniższym dowodzie wielokrotnie wykorzystujemy konwencje, że C oznacza stałą uniwersalną, która może zmieniać wartość przy każdym wystąpieniu.

Dla uproszczenia notacji niech A := vr(K) 1. Ustalmy k takie, że 2k n, wówczas z Twierdzenia 7.3 istnieje podprzestrzeń F w ℝ^{n} kowymiaru k taka, ze d_{BM}(K ∩ F, B_{2}^{n−k} ) (4πA)^{n/k} . Ponieważ l^{∗}(T_{|F} ) l^{∗}(T), więc na mocy Wniosku 8.19

l((T_{|F} )^{∗}) C_{4}(1 + logd_{BM}(K ∩ F, B_{2}^{n−k} ))l^{∗}(T_{|F} ) C \frac{n}{k}(1 + logA)l^{∗}(T).

Stąd z Twierdzenia 8.27 i Wniosku 8.12,

c_{k}(T_{|F} ) C_{5} \sqrt{\frac{n − k}{k}} e_{k}(T_{|F} ) C_{3}C_{5} \frac{\sqrt{n − k}}{k} l((T_{|F} )^{∗}) C \frac{n^{3/2}}{k^{2}} (1+logA)l^{∗}(T).

Otrzymujemy zatem

c_{2k}(T) c_{k}(T_{|F} ) C \frac{n^{3/2}}{k^{2}} (1 + logA)l^{∗}(T),

zatem z monotoniczności c_{k} i Twierdzenia 8.26 z α = 2

n^{2}e_{n}(T) C(2) max_{k n}k^{2}c_{k}(T) C max_{2k n}(2k)^{2}c_{2k}(T) Cn^{3/2} (1 + logA)l^{∗}(T).

Ponieważ c_{k}(T) = d_{k}(T^{∗}), więc analogicznie jak wyżej Twierdzenie 8.26 implikuje, że n^{1/2} e_{n}(T^{∗}) C(1 + logA)l^{∗}(T).

8.5 Konkluzja dowodu

Wniosek 8.30. Dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K istnieje elipsoida E taka, że

M(K, E) C(1 + logvr(K))^{2}.

Dowód. Stosując twierdzenie Lewisa znajdujemy T: l_{2}^{n} → X takie, że l(T) = \sqrt{n} i l^{∗}(T^{−1} ) \sqrt{n}. Wówczas Wniosek 8.12 implikuje e_{n}(T), e_{n}(T^{∗}) C, zaś z Faktu 8.29 wynika e_{n}(T^{−1} ), e_{n}(T −1 ^{∗}) C(1 + logvr(K)). Przyjmujemy zatem E = T (B_{2}^{n}) i korzystamy z Faktu 8.13.

Jesteśmy gotowi do dowodu głównego twierdzenia.

Dowód Twierdzenia 8.3. Ustalmy n 1 i określmy

m_{n} := sup_{K}inf{M(K, E): E elipsoida w ℝ^{n}},

gdzie supremum przebiega po wszystkich symetrycznych ciałach wypukłych K. Naszym celem jest pokazanie, że m_{n} jest ograniczone przez stałą uniwersalną. Zauważmy, że m_{n} C(1 + logn)^{2} < ∞.

Ustalmy ciało wypukłe K i wybierzmy elipsoidę E taką, że M(K, E) 4m_{n}.Pokażemy, że wówczas istnieje elipsoida E_{1} taka, że

M(K, E_{1}) C_{9}m_{n}^{1/2} (1 + logm_{n})^{2}  (15)

dla pewnej stałej uniwersalnej C_{9}.

Zauważmy, że M(K, E) = M_{1}(K, E)M_{2}(K, E), gdzie

M_{1}(K, E) := ( \frac{vol(K + E)}{vol(K)} · \frac{vol(K^{0})}{vol(K^{0} ∩ E^{0})} ) ^{1/n} ,

M_{2}(K, E) := M_{1}(K^{0}, E^{0}) = ( \frac{vol(K^{0} + E^{0})}{vol(K^{0})} · \frac{vol(K)}{vol(K ∩ E)} ) ^{1/n} .

Mamy albo M_{1}(K, E) 2m_{n}^{1/2} lub M_{1}(K^{0}, E^{0}) 2m_{n}^{1/2} . Ponieważ M(K, E_{1}) = M(K^{0}, E_{1}^{0}), więc (ewentualnie zamieniając rolami K z K^{0} i E z E^{0}) możemy zakładać, że zachodzi ta pierwsza możliwość.

Połóżmy

α := ( \frac{vol(K + E)}{vol(K)} ) ^{1/n} , β := ( \frac{vol(K^{0})}{vol(K^{0} ∩ E^{0})} ) ^{1/n}

wówczas αβ = M_{1}(K, E) 2m_{n}^{1/2} . Na mocy Faktu 4.25b) mamy

N(K + E, E) (3α)^{n}, N(K^{0}, K^{0} ∩ E^{0}) (3β)^{n}.

Mamy też

vr(K + E) ( \frac{vol(K + E)}{vol(E)} ) ^{1/n} M(K, E) 4m_{n}.

Fakt 8.29 implikuje zatem istnienie elipsoidy E_{1} takiej, że

M(K + E, E_{1}) C_{1}(1 + log(4m_{n}))^{2}.

Pokażemy, że elipsoida E_{1} spełnia (15).

Mamy

N((K + E) ∩ E_{1}, K ∩ 2E_{1}) N((K + E) ∩ E_{1}, K) N(K + E, K) (3α)^{n},

stąd

vol(((K + E) ∩ E_{1}) (3α)^{n}vol(K ∩ 2E_{1}) (6α)^{n}vol(K ∩ E_{1})

i, wobec oczywistej nierówności vol(K + E_{1}) vol(K + E + E_{1}), dostajemy

\frac{vol(K + E_{1})}{vol(K ∩ E_{1})} (6α)^{n} \frac{vol(K + E + E_{1})}{vol((K + E) ∩ E_{1})} .  (16)

Z drugiej strony,

vol(K^{0} + E_{1}^{0}) N(K^{0}, K^{0} ∩ E^{0})vol(K^{0} ∩ E^{0} + E_{1}^{0})
(3β)^{n}vol(conv(K, E)^{0} + E_{1}^{0}) (6β)^{n}vol((K + E)^{0} + E_{1}^{0}).

Ponadto, oczywiście vol((K + E)^{0} ∩ E_{1}^{0}) vol(K^{0} ∩ E_{1}^{0}), zatem

\frac{vol(K^{0} + E_{1}^{0})}{vol(K^{0} ∩ E_{1}^{0})} (6β)^{n} \frac{vol((K + E)^{0} + E_{1}^{0})}{vol((K + E)^{0} ∩ E_{1}^{0})} .  (17)

Szacowania (16) i (17) po wymnożeniu stronami dają

M(K, E_{1}) 36αβM(K + E, E_{1}) 72m_{n}^{1/2} C_{1}(1 + log(4m_{n}))^{2},

czyli dostaliśmy (15). Stąd (wobec dowolności wyboru ciała K) mamy

m_{n} 72C_{1}m_{n}^{1/2} (1 + log(4m_{n}))^{2},

skąd już łatwo wynika, że m_{n} C dla pewnej stałej uniwersalnej C.

9 Wnioski z Twierdzenia o Elipsoidzie Milmana

Definicja 9.1. Mówimy, że n-wymiarowe ciało symetryczne K jest w pozycji regularnej ze stałą C, jeśli istnieje a > 0 takie, że M(K, aB_{2}^{n}) C.

Uwaga 9.2. i) Ponieważ M(T K, T L) = M(K, L), więc, na mocy twierdzenia Milmana, istnieje stała uniwersalna C_{0} taka, że dla dowolnego ciała symetrycznego K istnieje takie T, że T K jest w pozycji regularnej ze stałą C_{0}. Ponadto możemy wybrać T, takie, że det(T) = 1. ii) Ponieważ M(K, aB_{2}^{n}) = M(K^{0}, a^{−1} B_{2}^{n}), więc ciało K jest w pozycji regularnej wtedy i tylko wtedy, gdy ciało K^{0} jest w pozycji regularnej.

9.1 Odwrotna nierówność Brunna-Minkowskiego

Przypomnijmy, że nierówność Brunna-Minkowskiego mówi, że dla dowolnych zbiorów zwartych w ℝ^{n}

vol_{n}(A + B)^{1/n} vol(A)^{1/n} + vol(B)^{1/n} .

Biorąc na przykład n = 2, K = [−1, 1] × [−m, m], L = [−m, m] × [−1, 1] widzimy, że niemożliwe jest zachodzenie nierówności odwrotnej vol(K +L)^{1/n} C(vol(K)^{1/n} + vol(L)^{1/n} ) dla dowolnych symetrycznych ciał wypukłych K i L. Okazuje się, że jednak taka nierówność jest prawdziwa, jeśli K i L mają jednokładne elipsoidy Milmana.

Twierdzenie 9.3. Załóżmy, że K_{1}, …, K_{m} są symetrycznymi ciałami wypukłymi w ℝ^{n} w pozycji regularnej ze stałą C. Wówczas dla dowolnych t_{1}, t_{2}, …, t_{m} > 0 mamy

vol(t_{1}K_{1} + … + t_{m}K_{m})^{1/n} C(3C)^{m}( t_{1}vol(K_{1})^{1/n} + … + t_{m}vol(K_{m})^{1/n} )

oraz

vol(t_{1}K_{1}^{0} + … + t_{m}K_{m}^{0})^{1/n} C(3C)^{m}( t_{1}vol(K_{1}^{0})^{1/n} + … + t_{m}vol(K_{m}^{0})^{1/n} ) .

Dowód. W dowodzie wielokrotnie będziemy wykorzystywać Fakt 4.25 pokazujący związek między liczbami pokryciowymi a ilorazami objętości.

Ponieważ ciała t_{i}K_{i} oraz t_{i}K_{i}^{0} też są w pozycji regularnej, wystarczy udowodnić pierwsze z oszacowań dla t_{1} = … = t_{m} = 1. Załóżmy zatem, że dla B_{i} = a_{i}B_{2}^{n} mamy M(K_{i}, B_{i}) C. Wówczas

N(K_{i}, B_{i}) N(K_{i} + B_{i}, K_{i} ∩ B_{i}) 3^{n} \frac{vol(K_{i} + B_{i})}{vol(K_{i} ∩ B_{i})} (3C)^{n}.

Stąd dla dowolnego ciała L,

vol(K_{i} + L) N(K_{i} + L, B_{i} + L)vol(B_{i} + L) N(K_{i}, B_{i})vol(B_{i} + L)
(3C)^{n}vol(B_{i} + L).

W szczególności

vol(K_{1} + K_{2} + … + K_{m})^{1/n} 3Cvol(B_{1} + K_{2} + … + K_{m})^{1/n}

i powtarzając ten argument dostajemy

vol(K_{1} + … + K_{m})^{1/n} (3C)^{m}vol(B_{1} + … + B_{m})^{1/n}

Zauważmy jednak, że kule B_{i} są jednokładne, zatem

vol(B_{1} + … + B_{m})^{1/n} = vol(B_{1})^{1/n} + … + vol(B_{m})^{1/n} .

Ponadto

\frac{vol(B_{i})}{vol(K_{i})} \frac{vol(K_{i} + B_{i})}{vol(K_{i} ∩ B_{i})} M(K_{i}, B_{i})^{n} C^{n}

zatem wykazaliśmy żądaną nierówność

vol(K_{1} + … + K_{m})^{1/n} C(3C)^{m}( vol(K_{1})^{1/n} + … + vol(K_{m})^{1/n} ) .

9.2 Twierdzenie o rzucie przekroju

Dla podprzestrzeni E ⊂ ℝ^{n} przez P_{E} będziemy oznaczać zarówno rzut ortogonalny ℝ^{n} na E. Będziemy często wykorzystywać fakt, że (K ∩ E)^{0} = P_{E}(K^{0}).

Twierdzenie 9.4. Dla δ ∈ (0, 1) istnieje stała C(δ) zależna tylko od δ taka, że dla dowolnego wypukłego ciała symetrycznego K w ℝ^{n} istnieją podprzestrzenie F ⊂ E ⊂ ℝ^{n} takie, że l = dim(F) δn oraz

d(P_{F} (E ∩ K), B_{2}^{l}) C(δ).

Zanim przejdziemy do dowodu udowodnimy następujący fakt.

Fakt 9.5. Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K i k-wymiarowej podprzestrzeni E ⊂ ℝ^{n} mamy

\frac{1}{\binom{n}{k}}vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K)vol_{k}(P_{E}K) vol_{n}(K) vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K)vol_{k}(P_{E}K).

Dowód. Na mocy nierówności Brunna-Minkowskiego funkcja

x ↦ vol_{n−k} (K ∩ (E^{⊥} + x))^{1/(n−k)}

jest wklęsła na P_{E}K, ponadto jest symetryczna, zatem osiąga maksimum w zerze. Stąd i z twierdzenia Fubiniego mamy

vol_{n}(K) = ∫_{P_{E} K} vol_{n−k} (K ∩ (E^{⊥} + x)) vol_{k}(P_{E}K)vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K).

By udowodnić odwrotne szacowanie zauważmy, że jeśli x ∈ E i ∥x∥_{P_{E} K} = t to x/t ∈ P_{E}K, czyli zbiór K ∩ (E^{⊥} + \frac{x}{t}) jest niepusty. Ponadto, jeśli dodatkowo t 1, to

K ∩ (E^{⊥} + x) ⊃ (1 − t)(K ∩ E^{⊥} ) + t( K ∩ ( E^{⊥} + \frac{x}{t}) ) ,

więc

vol_{n−k} (K ∩ (E^{⊥} + x)) (1 − t)^{n−k} vol_{n−k} (K ∩ E^{⊥} ).

Zatem

vol_{n}(K) = ∫_{P_{E} K} vol_{n−k} (K∩(E^{⊥} +x)) vol_{n−k} (K∩E^{⊥} ) ∫_{P_{E} K} (1−∥x∥_{P_{E} K} )^{n−k} .

Mamy jednak dla ciała wypukłego L := P_{E}K ⊂ E

∫_{L}(1 − ∥x∥_{L})^{n−k} dx = ∫_{L} ∫_{∥x∥_{L}}^{1} (n − k)(1 − t)^{n−k−1} dtdx

= (n − k) ∫_{0}^{1}(1 − t)^{n−k−1} ∫_{E} I_{{x∈L: ∥x∥_{L} t}} dxdt

= (n − k) ∫_{0}^{1}(1 − t)^{n−k−1} t^{k}vol_{k}(L)dt = \frac{1}{\binom{n}{k}}vol_{k}(L).

Dowód Twierdzenia 9.4. Możemy bez straty ogólności zakładać, że n \frac{2}{1−δ} , w przeciwnym przypadku wystarczy wziąć F = E = ℝ^{n} i skorzystać z twierdzenia Johna.

Niech E będzie elipsoidą Milmana dla K, czyli M(K, E) C_{0}. Wówczas

( \frac{vol(K + E)}{vol(E)} ) ^{1/n} M(K, E) C_{0}.

Na mocy Twierdzenia 7.3 dla 1 k n − 1 istnieje podprzestrzeń E wymiaru k taka, że

K ∩ E ⊂ (K + E) ∩ E ⊂ (4πC_{0})^{\frac{n}{n−k}} E ∩ E.

Dla uproszczenia notacji niech λ := (4πC_{0})^{n/(n−k)} , wówczas dualizując powyższą nierówność dostajemy

P_{E}(K^{0}) ⊃ \frac{1}{λ}P_{E}(E^{0}).  (18)

Mamy

vol_{k}(P_{E}(K^{0})) 2^{n} \frac{vol_{n}(K^{0})}{vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K^{0})} (2C_{0})^{n} \frac{vol_{n}(K^{0} ∩ E^{0})}{vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K^{0})}

(2C_{0})^{n} \frac{vol_{k}(P_{E}(K^{0} ∩ E^{0}))vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ (K^{0} ∩ E^{0}))}{vol_{n−k} (E^{⊥} ∩ K^{0})}

(2C_{0})^{n}vol_{k}(P_{E}(K^{0} ∩ E^{0})) (2C_{0})^{n}vol_{k}(P_{E}(E^{0})), gdzie pierwsza i trzecia nierówność wynikają z Faktu 9.5 (i tego, że \binom{n}{k} 2^{n}), a druga z oszacowania M(K, E) C_{0}. Zatem dla k n/2,

( \frac{vol_{k}(P_{E}(K^{0}))}{vol_{k}(P_{E}(E^{0}))}) ^{1/k} (2C_{0})^{2}

co razem z (18) implikuje, że vr(P_{E}(K^{0})) (2C_{0})^{2}λ. Stąd, ponownie stosując Twierdzenie 7.3, dla 1 l < k znajdujemy podprzestrzeń F ⊂ E wymiaru l taką, że

\frac{1}{λ}P_{E}(E^{0}) ∩ F ⊂ P_{E}(K^{0}) ∩ F ⊂ (4π(2C_{0})^{2}λ)^{\frac{k}{k−l}} \frac{1}{λ}P_{E}(E^{0}) ∩ F.

Dualizując otrzymujemy

P_{F} (λ(E ∩ E)) ⊃ P_{F} (K ∩ E) ⊃ (4π(2C_{0})^{2}λ)^{− \frac{k}{k−l}} P_{F} (λ(E ∩ E)),

czyli

d_{BM}(P_{F} (K ∩ E), B_{2}^{l}) (4π(2C_{0})^{2}λ)^{\frac{k}{k−l}} .

Pozostaje teraz wybrać k, l w ten sposób by n − k = k − l = ⌊\frac{1−δ}{2} n⌋ \frac{1−δ}{4} n i wtedy k n/2, l δn oraz

(4π(2C_{0})^{2}λ)^{\frac{k}{k−l}} C(δ) = ( 4π(2C_{0})^{2}(4πC_{0})^{4/(1−δ)} )^{4/(1−δ)} .

9.3 Odwrotna nierówność Santaló

Definicja 9.6. Objętością Mahlera symetrycznego ciała wypukłego K nazywamy liczbę

s(K) = vol(K)^{1/n} vol(K^{0})^{1/n} .

Zauważmy, że

s(T K) = s(K) dla T ∈ GL(n).

W szczególności dla dowolnej elipsoidy E w ℝ^{n}

s(E) = s(B_{2}^{n}) = vol(B_{2}^{n})^{2/n} = \frac{π}{Γ(n/2 + 1)^{2/n}} .

Nierówność Santaló, którą udowodnimy nieco później mówi, że s(K) s(B_{2}^{n}) dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K. Twierdzenie Milmana pozwala w jednej linijce wykazać jej odwrotną wersję – ten trudny i nieoczywisty wynik pierwotnie udowodnili Bourgain i Milmana.

Twierdzenie 9.7 (Odwrotna nierówność Santaló). Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K

vol(K)^{1/n} vol(K^{0})^{1/n} \frac{1}{C_{0}} vol(B_{2}^{n})^{2/n} ,

gdzie C_{0} jest stałą z twierdzenia o elipsoidzie Milmana.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla elipsoidy Milmana E

C_{0} M(K, E) \frac{s(E)}{s(K)}.

Uwaga 9.8. Ponieważ M(K, E) s(K)/s(E), więc taki sam dowód jak wyżej pokazuje też, że s(K) C_{0}s(E). Stąd dla dowolnych ciał wypukłych symetrycznych K i L, s(K) C_{0}^{2}s(L).

9.4 Dualność liczb entropijnych modulo czynnik wykładniczy

Twierdzenie 9.9 (König-Milman). Istnieje stała uniwersalna C_{1} taka, że dla dowolnych symetrycznych ciał wypukłych K i L w ℝ^{n},

\frac{1}{C_{1}^{n}} N(L^{0}, K^{0}) N(K, L) C_{1}^{n}N(L^{0}, K^{0}).

Lemat 9.10. Dla dowolnych n-wymiarowych symetrycznych ciał wypukłych K i L,

vol(K) N(K, L)vol(K ∩ L)

Dowód. Niech N = N(K, L) wówczas istnieją wektory x_{1}, …, x_{N} takie, że

K ⊂ ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + L), czyli K = ⋃_{i=1}^{N} (x_{i} + L) ∩ K.

Zauważmy, że funkcja x ↦ vol_{n}((x + L) ∩ K))^{1/n} jest symetryczna i wklęsła na K + L, stąd przyjmuje maksimum w zerze i

vol(K) ∑_{i=1}^{N} vol((x_{i} + L) ∩ K) Nvol(K ∩ L).

Dowód Twierdzenia 9.9. Lemat 9.10 oraz odwrotna nierówność Santaló wraz z uwagą po niej implikują

N(K, L) \frac{vol(K)}{vol(K ∩ L)} \frac{1}{C_{0}^{2n}} \frac{vol((K ∩ L)^{0})}{vol(K^{0})} .

Mamy jednak

(K ∩ L)^{0} = conv(K^{0}, L^{0}) ⊃ \frac{K^{0} + L^{0}}{2} ,

stąd

N(K, L) \frac{1}{(4C_{0}^{2})^{n}} \frac{vol(2K^{0} + 2L^{0})}{vol(K^{0})} \frac{1}{(4C_{0}^{2})^{n}} \frac{vol(K^{0} + 2L^{0})}{vol(K^{0})} \frac{1}{(4C_{0}^{2})^{n}} N(L^{0}, K^{0}),

gdzie ostatnia nierówność wynika z Faktu 4.25ii). Wykazaliśmy, że N(K, L) C_{1}^{−n} N(L^{0}, K^{0}) zamieniając K z L^{0} i L z K^{0} dostajemy drugą nierówność z tezy.

10 Nierówność Santaló. Hipoteza Mahlera

Zacznijmy od sformułowania nierówności Santaló.

Twierdzenie 10.1. Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K,

vol(K)vol(K^{0}) vol(B_{2}^{n})^{2}.

Dowód. Dowód przeprowadzimy używając symetryzacji Steinera. Ustalmy ciało wypukłe K oraz n − 1 wymiarową podprzestrzeń E, niech a ∈ S^{n−1} ∩ E^{⊥} , czyli E = a^{⊥} . Zdefiniujemy zbiór S_{E}(K) w następujący sposób. Dla x ∈ P_{E}(K) kładziemy

S_{E}(K) ∩ (x + E^{⊥} ) = x + [ − \frac{1}{2}vol_{1}(K ∩ (x + Lin(a))), \frac{1}{2}vol_{1}(K ∩ (x + Lin(a)))]a,

a dla x ∉ P_{E}(K) definiujemy s_{E}(K) ∩ (x + E^{⊥} ) = ∅. Innymi słowy, zbiór S_{E}(K) to zbiór którego cięcia prostopadłe do E są odcinkami symetrycznymi o tej samej długości co odpowiednie cięcia K. Z jednowymiarowej nierówności Brunna-Minkowskiego łatwo wynika, że zbiór S_{E}(K) jest wypukły, nietrudno też wykazać, że jest on zwarty, zatem jest ciałem wypukłym. Z twierdzenia Fubiniego natychmiast dostajemy, że vol_{n}(S_{E}K) = vol_{n}(K). Wykażemy, że

vol(S_{E}K)vol((S_{E}K)^{0}) vol(K)vol(K^{0}).  (19)

W tym celu wystarczy udowodnić, że vol_{n}((S_{E}K)^{0}) vol_{n}(K^{0}). Dla s ∈ ℝ połóżmy

K^{0}(s) := {y ∈ E: y + sa ∈ K^{0}}, (S_{E}K)^{0}(s) := {y ∈ E: y + sa ∈ (S_{E}K)^{0}}.

Z twierdzenia Fubiniego,

vol_{n}(K^{0}) = ∫ vol_{n−1} (K^{0}(s))ds, vol_{n}((S_{E}K)^{0}) = ∫ vol_{n−1} ((S_{E}K)^{0}(s))ds,

zatem by udowodnić (19) wystarczy pokazać, że

vol_{n−1} ((S_{E}K)^{0}(s)) vol_{n−1} (K^{0}(s)) dla s ∈ ℝ.  (20)

Zauważmy, że

K^{0}(s) = {y ∈ E: ∀_{x∈E} ∀_{t∈ℝ} ⟨x, y⟩ + ts 1, jeśli x + ta ∈ K},

S_{E}K = \{x + \frac{t_{1} − t_{2}}{2} a: x ∈ E, x + t_{1}a, x + t_{2}a ∈ K\},

(S_{E}K)^{0}(s) = \{y ∈ E: ∀_{x∈E} ⟨x, y⟩ + \frac{t_{1} − t_{2}}{2} s 1, jeśli x + t_{i}a ∈ K, i = 1, 2\}.

Jeśli y_{1} ∈ K^{0}(s), y_{2} ∈ K^{0}(−s) oraz x + t_{1}a ∈ K, x + t_{2}a ∈ K, to

⟨x, y_{1}⟩ + t_{1}s 1, ⟨x, y_{2}⟩ − t_{2}s 1,

czyli

⟨x, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} ⟩ + \frac{t_{1} − t_{2}}{2} s 1,

co pokazuje, że \frac{1}{2}(y_{1} + y_{2}) ∈ (S_{E}K)^{0}(s). Zatem

\frac{1}{2}(K^{0}(s) + K^{0}(−s)) ⊂ (S_{E}K)^{0}(s)

i z nierówności Brunna Minkowskiego,

vol_{n−1} ((S_{E}K)^{0}(s)) (vol_{n−1} (K^{0}(s))vol_{n−1} (K^{0}(−s)))^{1/2}

i (20) wynika stąd, że K^{0}(−s) = −K^{0}(s) na mocy symetrii K^{0}.

Udowodniliśmy zatem (19) dla dowolnej przestrzeni E wymiaru n − 1. Dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K o tej samej objęctości co cB_{2}^{n} istnieje ciąg symetryzacji Steinera taki, że K_{i} = S_{E_{i}} ⋯ S_{E_{2}} S_{E_{1}} K zbiega do cB_{2}^{n} w odległości Hausdorffa, a zatem również geometrycznej. Stąd K_{i}^{0} zbiega do c^{−1} B_{2}^{n} w odległości geometrycznej. Stąd z (19)

vol_{n}(K)vol_{n}(K^{0}) vol_{n}(K_{i})vol_{n}(K_{i}^{0}) → vol_{n}(cB_{2}^{n})vol_{n}(c^{−1} B_{2}^{n})
= vol_{n}(B_{2}^{n})vol_{n}(B_{2}^{n}).

Hipoteza 10.2 (Mahler). Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K,

s(K)^{n} = vol(K)vol(K^{0}) s(B_{1}^{n})^{n} = vol(B_{1}^{n})vol(B_{∞}^{n} ) = \frac{4^{n}}{n!} .

Uwaga 10.3. Zauważmy, że s(B_{2}^{n}) = πΓ(\frac{n}{2} + 1)^{−2/n} = \frac{1}{n} (2πe + o(1)) oraz s(B_{1}^{n}) = 4(n!)^{−1/n} = \frac{1}{n} (4e + o(1)). Twierdzenie 9.7 pokazuje zatem, że s(K) cs(B_{1}^{n}) dla pewnej stałej uniwersalnej c > 0. Greg Kuperberg wykazał, że s(K) \frac{π}{4} s(B_{1}^{n}), co jest najlepszym znanym do tej pory wynikiem.

Uwaga 10.4. Można wykazać, że hipoteza Mahlera jest spełniona w ℝ^{2}. Przypadek trzy i więcej wymiarowy jest otwarty.

Uwaga 10.5. Nietrudno wykazać, że K ↦ s(K) jest ciągłe względem odległości Banacha-Mazura, w szczególności przyjmuje minimum dla jakiegoś ciała wypukłego symetrycznego K. Nazarov, Ryabogin i Zvavitch wykazali, że B_{1}^{n} jest lokalnym minimum dla objętości Mahlera na kompakcie Banacha-Mazura. Wiadomo też, że każde lokalne minimum nie może być ciałem gładkim.

Definicja 10.6. Ciało wypukłe w ℝ^{n} nazywamy bezwarunkowym, jeśli dla dowolnego x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K oraz dowolnych znaków η_{1}, …, η_{n} ∈ {±1}, (η_{1}x_{1}, …, η_{n}x_{n}) ∈ K.

Twierdzenie 10.7 (Saint-Raymond). Jeśli K jest n-wymiarowym bezwarunkowym ciałem wypukłym, to

s(K)^{n} = vol(K)vol(K^{0}) s(B_{1}^{n})^{n} = vol(B_{1}^{n})vol(B_{∞}^{n} ) = \frac{4^{n}}{n!} .

Dowód. Udowodnimy twierdzenie przez indukcję po n. Dla n = 1 teza jest oczywista, bo s([−a, a]) = 4 dla dowolnego a > 0. Załóżmy zatem, że n > 1 i twierdzenie zachodzi dla n − 1-wymiarowych bezwarunkowych ciał wypukłych. Niech K będzie bezwarunkowym ciałem wypukłym w ℝ^{n}. Określmy

K^{+} := K ∩ ℝ_{+}^{n} = {x ∈ K: x_{1}, …, x_{n} 0}.

Dla 1 i n i x ∈ K^{+} zdefiniujmy ostrosłup o wierzchołku w x i podstawie K^{+} ∩ e_{i}^{⊥} ,

K_{i}^{+} (x) := conv{x, K^{+} ∩ e_{i}^{⊥} } ⊂ K^{+} .

Zauważmy, że przecięcie K_{i}^{+} (x) i K_{j}^{+} (x) dla i ≠ j ma wymiar co najwyżej n−1, czyli zerową objetość. Zatem

vol(K) = 2^{n}vol(K^{+} ) 2^{n} ∑_{i=1}^{n} vol(K_{i}^{+} (x)) = 2^{n} ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{n}x_{i}vol_{n−1} (K^{+} ∩ e_{i}^{⊥} )

= ∑_{i=1}^{n} x_{i} \frac{2}{n}vol_{n−1} (K ∩ e_{i}^{⊥} ).

Stąd otrzymujemy, że

∑_{i=1}^{n} x_{i} \frac{2vol_{n−1} (K ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K)} ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|\frac{2vol_{n−1} (K ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K)} 1 dla x ∈ K,

czyli

( \frac{2vol_{n−1} (K ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K)} ) _{i=1}^{n} ∈ K^{0}.

Zamieniając rolami K z K^{0} (które też oczywiście jest ciałem bezwarunkowym) dostajemy

( \frac{2vol_{n−1} (K^{0} ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K^{0})} ) _{i=1}^{n} ∈ K.

Ponieważ ⟨x, y⟩ 1 dla x ∈ K, y ∈ K^{0}, więc

∑_{i=1}^{n} \frac{2vol_{n−1} (K ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K)} · \frac{2vol_{n−1} (K^{0} ∩ e_{i}^{⊥} )}{nvol_{n}(K^{0})} 1.  (21)

Zauważmy, że (K ∩ e_{i}^{⊥} )^{0} = P_{e_{i}^{⊥}} (K^{0}) = K^{0} ∩ e_{i}^{⊥} , więc z założenia indukcyjnego i (21) dostajemy

vol_{n}(K)vol_{n}(K^{0}) \frac{4}{n^{2}} ∑_{i=1}^{n} vol_{n−1} (K ∩e_{i}^{⊥} )vol_{n−1} (K^{0}∩e_{i}^{⊥} ) \frac{4}{n} · \frac{4^{n−1}}{(n − 1)!} = \frac{4^{n}}{n!} .

11 Hyperplane Conjecture

Zacznijmy od sformułowania ważnego otwartego problemu, któremu poświęcimy tę część wykładu.

Problem 11.1 (Hyperplane Conjecture, Slicing Problem). Czy istnieje stała uniwersalna c > 0 taka, że dla dowolnego symetrycznego n–wymiarowego ciała wypukłego o objętości jeden istnieje podprzestrzeń H wymiaru n − 1 dla której vol_{n−1} (K ∩ H) c?

Uwaga 11.2. Można rozpatrywać niesymetryczne ciała wypukłe, ale wtedy za H trzeba brać n − 1–wymiarowe podprzestrzenie afiniczne.

Definicja 11.3. Mówimy, że ciało wypukłe K znajduje się w pozycji izotropowej, jeśli

i) vol_{n}(K) = 1; ii) ∫_{K} x_{i}dx = 0 dla 1 i n; iii) ∫_{K} x_{i}x_{j} dx = αδ_{ij} dla 1 i, j n i pewnego α > 0.

Uwaga 11.4. Warunek ii) oznacza, że zero jest środkiem ciężkości K, oczywiście jest on spełniony dla ciał symetrycznych. Warunek iii) mówi, że Cov(X_{K}) = αId, gdzie X_{K} oznacza wektor losowy rozłożony jednostajnie na K.

Fakt 11.5. i) Dla każdego ciała wypukłego istnieje takie przekształcenie afiniczne T x = Ax + b, det(A) ≠ 0, że T K = AK + b jest w pozycji izotropowej. ii) Jeśli K_{1} = T_{1}K i K_{2} = T_{2}K dwa przekształcenia afiniczne n-wymiarowego ciała K będące w pozycji izotropowej, to K_{2} = AK_{1} dla pewnego A ∈ O(n).

Dowód. i) Najpierw przesuwamy ciało K tak, by środek ciężkości stał się zerem, potem je przeskalowujemy, by objętość była równa 1, a na końcu przekształcamy liniowo z zachowaniem objętości tak, by macierz kowariancji była wielokrotnością identyczności (korzystamy tu z prostej obserwacji, że Cov(X_{AK} ) = ACov(X_{K})A^{T}).

ii) Załóżmy, że K_{2} = AK_{1} + b, ponieważ K_{1} i K_{2} mają równą objetość, więc det(A) = 1, zero jest środkiem ciężkości K_{1} i K_{2}, zatem b = 0. Wreszcie

α_{2}Id = Cov(X_{K_{2}} ) = Cov(X_{AK_{1}} ) = ACov(X_{K_{1}} )A^{T} = α_{1}AA^{T}.

Z porównania wyznaczników α_{1} = α_{2}, stąd AA^{T} = Id, czyli A ∈ O(n).

Definicja 11.6. Stałą izotropową n-wymiarowego ciała wypukłego K nazywamy liczbę L_{K} = vol_{n}(K)^{−1/n} (detCov(X_{K}))^{1/2n} .

Uwaga 11.7. Dla dowolnego nieosobliwego przekształcenia afinicznego T, L_{T K} = L_{K}. Jeśli ciało K jest w pozycji izotropowej, to Cov(X_{K}) = L_{K}^{2} Id.

Problem 11.8. Czy istnieje taka stała C, że dla dowolnego symetrycznego ciała wypukłego K, L_{K} C?

By powiązać Problemy 11.1 i 11.8 potrzebujemy kilku prostych lematów.

Lemat 11.9. Niech g będzie gęstością miary probabilistycznej na ℝ^{n}, wówczas

∥g∥_{∞}^{2/n} ∫_{ℝ^{n}} |x|^{2}g(x)dx ∫_{c_{n} B_{2}^{n}} |x|^{2}dx,  (22)

gdzie c_{n} > 0 takie, że vol_{n}(c_{n}B_{2}^{n}) = 1.

Dowód. Niech μ oznacza miarę z gęstością g. Zauważmy, że jeśli przeskalujemy liniowo miarę μ, tzn. g zmienimy na g_{a}(x) = a^{n}g(ax) dla a > 0, to lewa strona (22) się nie zmieni. Możemy zatem zakładać, że ∥g∥_{∞} = 1. Mamy wówczas dla t > 0

μ{x: |x| t} = 1 − ∫_{tB_{2}^{n}} g(x)dx 1 − vol_{n}(tB_{2}^{n}).

Całkując przez części otrzymujemy:

∫_{ℝ^{n}} |x|^{2}g(x)dx = 2 ∫_{0}^{∞} tμ{x: |x| t}dt 2 ∫_{0}^{c_{n}} t(1 − vol_{n}(tB_{2}^{n}))dt
= 2 ∫_{0}^{c_{n}} tvol_{n}{x ∈ B_{2}^{n} : |x| t} = ∫_{c_{n} B_{2}^{n}} |x|^{2}dx.

Wniosek 11.10. Dla dowolnego ciała wypukłego K w ℝ^{n}, L_{K} L_{B_{2}^{n}} \frac{1}{\sqrt{2πe}} .

Dowód. Pierwsza nierówność wynika natychmiast z Lematu 11.9 zastosowanego do gęstości rozkładu jednostajnego na K. By obliczyć L_{B_{2}^{n}} zauważmy, że

\frac{1}{vol_{n}(B_{2}^{n})} ∫_{B_{2}^{n}} |x|^{2}dx = 2 ∫_{0}^{1} t\frac{vol_{n}\{x ∈ B_{2}^{n} : |x| t\}}{vol_{n}(B_{2}^{n})} dt = 2 ∫_{0}^{1} t(1−t^{n}) = \frac{n}{n + 2} ,

czyli Cov(X_{B_{2}^{n}} ) = \frac{1}{n+2} Id. Zatem

L_{B_{2}^{n}}^{2n} = \frac{1}{vol_{n}^{2}(B_{2}^{n})(n + 2)^{n}} = \frac{Γ^{2}(n/2 + 1)}{π^{n}(n + 2)^{n}} \frac{1}{(2πe)^{n}} ,

gdzie ostatnią nierówność dla n = 1, 2 sprawdzamy na palcach, a dla n 3 korzystamy z wzoru Stirlinga i oszacowania dla x 3/2

Γ(x + 1) \sqrt{2πx}x^{x}e^{−x} \sqrt{3π}(x + 1)^{x}e^{−x−1} (x + 1)^{x}e^{−x} .

Lemat 11.11. Niech g będzie funkcją logarytmicznie wklęsłą na ℝ (tzn. g = e^{−f} , f: ℝ → [0, ∞] wypukła), parzystą oraz ∫_{ℝ} gdx = 1. Wówczas

\frac{1}{12} g(0)^{2} ∫_{ℝ} x^{2}g(x)dx \frac{1}{2}.

Dowód. Niech μ będzie miarą z gęstością g, wówczas na mocy nierówności Prékopy-Leindlera, μ jest logarytmicznie wklęsła, tzn. μ(tA + (1 − t)B) μ(A)^{t}μ(B)^{1−t} . Zauważmy, że g(0) = ∥g∥_{∞} (bo parzysta funkcja wypukła ma minimum w 0), więc dolne oszacowanie wynika z (22). By udowodnić górne oszacowanie, możemy przeskalowując liniowo μ założyć, że g(0) = 1. Zdefiniujmy h: [0, ∞) → [0, ∞] wzorem

h(t) = − ln(2μ([t, ∞))).

Z logarytmicznej wklęsłości μ wynika wypukłość h, ponadto h(0) = 0, h′(0) = 2g(0) = 2, stąd h(t) 2t, czyli

g(0) ∫_{ℝ} x^{2}g(x)dx = 2 ∫_{0}^{∞} te^{−h(t)} dt 2 ∫_{0}^{∞} te^{−2t} dt = \frac{1}{2}.

Twierdzenie 11.12. i) Dla dowolnego n-wymiarowego symetrycznego ciała wypukłego K o objetości jeden istnieje hiperpłaszczyzna H taka, że

vol_{n−1} (K ∩ H) \frac{1}{2\sqrt{3}L_{K}}

ii) Załóżmy, że ciało K jest w pozycji izotropowej. Wówczas dla dowolnej hiperpłaszczyzny H,

\frac{1}{2\sqrt{3}L_{K}} vol_{n−1} (K ∩ H) \frac{1}{\sqrt{2}L_{K}} .

Dowód. i) Z definicji L_{K} wynika, że detCov(X_{K}) = L_{K}^{2n}. Macierz Cov(X_{K}) jest symetryczna, nieujemna, więc jej najmniejsza wartość własna λ_{1} L_{K}^{2} . Niech u ∈ S^{n−1} takie, że Cov(X_{K})u = λ_{1}u oraz

g_{u}(t) = vol_{n−1} (K ∩ (tu + u^{⊥} )), t 0.

Funkcja g_{u} jest symetryczna, logarytmicznie wklęsła, czyli z Lematu 11.11

\frac{1}{12} g_{u}^{2}(0) ∫_{ℝ} t^{2}g_{u}(t)dt = g_{u}^{2}(0) ∫_{K} ⟨x, u⟩dx = g_{u}(0)^{2}⟨Cov(X_{K})u, u⟩
= vol_{n−1}^{2} (K ∩ u^{⊥} )λ_{1} vol_{n−1}^{2} (K ∩ u^{⊥} )L_{K}^{2} .

Zatem vol_{n−1} (K ∩ u^{⊥} ) \frac{1}{2\sqrt{3}L_{K}} .

ii) Oszacowanie dolne już wykazaliśmy w i), by wykazać oszacowanie górne załóżmy, że H = u^{⊥} i postępujemy jak wcześniej wykorzystując jednak tym razem górne oszacowanie z Lematu 11.11.

Wniosek 11.13. Problemy 11.1 i 11.8 są równoważne. Dokładniej, jeśli

C_{n} = sup{L_{k}: Ksym. ciało wypukłe wℝ^{n}},

c_{n} := inf { sup_{H∈G_{n−1,n}} vol_{n−1} (K ∩H): Ksym. ciało wypukłe wℝ^{n}, vol_{n}(K) = 1},

to \frac{1}{2\sqrt{3}} c_{n}C_{n} \frac{1}{\sqrt{2}}.

Lemat 11.14. Załóżmy, że rzeczywista zmienna losowa X ma symetryczny rozkład z logarytmicznie wklęsłą gęstością, wówczas

(𝔼|X|^{p})^{1/p} \frac{Γ(p + 1)^{1/p}}{Γ(q + 1)^{1/q}} (𝔼|X|^{q})^{1/q} dla p q > 0.

Równość zachodzi dla zmiennych o symetrycznym rozkładzie wykładniczym.

Dowód. Odpowiednio przeskalowując X możemy założyć, że 𝔼|X|^{q} = 𝔼|Y |^{q}, gdzie Y symetryczny rozkład wykładniczy z parametrem 1, tzn. rozkład z gęstośćią \frac{1}{2}e^{−x} . Musimy pokazać, że 𝔼|Y |^{p} 𝔼|X|^{p}. Zauważmy, że ℙ(Y t) = \frac{1}{2}e^{−t} . Zdefiniujmy

h(t) = − lnℙ(X t) dla t 0,

wówczas h jest funkcją wypukłą, h(0) = ln2 = − lnℙ(Y 0). Ponieważ 𝔼|X|^{q} = 𝔼|Y |^{q}, więc istnieje t_{0} > 0 takie, że h(t_{0}) = − lnℙ(Y t_{0}) = ln2 + t_{0}. Z wypukłości h wnioskujemy, że h(t) ln2 + t dla t ∈ [0, t_{0}] oraz h(t) ln2 + t dla t t_{0}. Zatem

( ( \frac{t}{t_{0}})^{p−1} − ( \frac{t}{t_{0}})^{q−1} ) (ℙ(|Y | t) − ℙ(|X| t)) 0

dla wszystkich t > 0. Stąd

𝔼|Y |^{p} − 𝔼|X|^{p} = pt_{0}^{p−1} ∫ ( \frac{t}{t_{0}})^{p−1} (ℙ(|Y | t) − ℙ(|X| t))dt

pt_{0}^{p−1} ∫ ( \frac{t}{t_{0}})^{q−1} (ℙ(|Y | t) − ℙ(|X| t))dt

= \frac{p}{q}t_{0}^{p−q} (𝔼|Y |^{q} − 𝔼|X|^{q}) = 0.

Twierdzenie 11.15. Dla dowolnego bezwarunkowego ciała wypukłego K, L_{K} \frac{1}{\sqrt{2}}.

Dowód. Zamieniając ciało K na DK gdzie D jest dodatnią macierzą diagonalną, możemy zakładać, że K jest w pozycji izotropowej. Określmy K_{+} := 2K ∩ ℝ_{+}^{n} , wówczas vol_{n}(K_{+} ) = 1. Zauważmy, że jeśli x ∈ K_{+} , to [0, x_{1}] × [0, x_{2}] × ⋯× [0, x_{n}] ⊂ K_{+} , czyli x_{1}x_{2} ⋯ x_{n} vol_{n}(K_{+} ) = 1. Niech

V := {x ∈ ℝ_{+}^{n} : x_{1}x_{2} ⋯ x_{n} > 1},

wówczas V jest zbiorem wypukłym, rozłącznym ze zbiorem K_{+} . Z twierdzenia o oddzielaniu wynika, że istnieją liczby λ_{1}, …, λ_{n} takie, że

V ⊂ {x: ∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i} > n} oraz K_{+} ⊂ {x: ∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i} n}.  (23)

Ponieważ (a^{n} + 1, 1/a, 1/a, …, 1/a) ∈ V dla dowolnego a > 0, to biorąc a → ∞ widzimy, że λ_{1} > 0, analogicznie λ_{i} > 0 dla i = 2, …, n. Gdyby ∏ _{i=1}^{n} λ_{i} < 1, to (1/λ_{1}, …, 1/λ_{n}) ∈ V, co przeczyłoby (23). Zatem ∏ _{i=1}^{n} λ_{i} 1 i z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną wynika, że

1 = vol(K_{+} ) ∫_{K_{+}} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i}dx = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ∫_{K_{+}} x_{i}dx

( ∏_{i=1}^{n} λ_{i} ∏_{i=1}^{n} ∫_{K_{+}} x_{i}dx) ^{1/n} ( ∏_{i=1}^{n} ∫_{K_{+}} x_{i}dx) ^{1/n} .

Ale wykorzystując nierówność z Lematu 11.14,

∫_{K_{+}} x_{i}dx = 2 ∫_{K} |x_{i}|dx \sqrt{2}( ∫_{K} x_{i}^{2}dx)^{1/2} = \sqrt{2}L_{K}

i otrzymujemy tezę.

L_{K} można łatwo oszacować przez odległość od kuli euklidesowej

Fakt 11.16. Dla dowolnego wypukłego symetrycznego ciała K w ℝ^{n}, L_{K} d_{BM}(K, B_{2}^{n}).

Dowód. Ponieważ L_{K} = L_{T K} możemy założyć, że vol(K) = 1 oraz aB_{2}^{n} ⊂ K ⊂ adB_{2}^{n}, gdzie d = d_{BM}(K, B_{2}^{n}). Z porównania objętości wynika, że a \sqrt{n}, zatem K ⊂ d\sqrt{n}B_{2}^{n} i oczywiście

tr(Cov(X_{K})) = ∫_{K} |x|^{2}dx sup_{x∈K} |x|^{2} d^{2}n.

Zatem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną,

L_{K}^{2} = (detCov(X_{K}))^{1/n} \frac{1}{n}tr(Cov(X_{K})) d^{2}.

Uwaga 11.17. Poprzedni Fakt i twierdzenie Johna implikują, że L_{K} \sqrt{n}. Najlepsze znane oszacowanie stałej L_{K} pochodzi od Klartaga i mówi, że L_{K} Cn^{1/4} .

12 Rozkłady logarytmicznie wklęsłe

Definicja 12.1. Miarę μ na ℝ^{n} nazywamy logarytmicznie wklęsłą (lub krócej log-wklęsłą), jeśli dla dowolnych niepustych zbiorów zwartych A i B zachodzi

μ(λA + (1 − λ)B) μ(A)^{λ}μ(B)^{1−λ} dla 0 < λ < 1.

Z nierówności Brunna-Minkowskiego łatwo wynika, że miara Lebesgue’a oraz rozkład jednostajny na ciele wypukłym są logarytmicznie wklęsłe. By wprowadzić nieco szerszą klasę miar będziemy potrzebowali definicji funkcji logarytmicznie wklęsłej.

Definicja 12.2. Funkcja nieujemna g na ℝ^{n} (lub ogólniej na wypukłym podzbiorze ℝ^{n}) jest logarytmicznie wklęsła, jeśli g = e^{−h} , gdzie h jest funkcją wypukłą o wartościach w (−∞, ∞] (równoważnie f(λx + (1 − λ)y) f(x)^{λ}f(y)^{1−λ} ).

Fakt 12.3. Załóżmy, że g jest funkcją logarytmicznie wklęsłą na k-wymiarowej afinicznej podprzestrzeni E ⊂ ℝ^{n}. Wówczas miara μ na ℝ^{n} skoncentrowana na E i mająca gęstość g, tzn. miara zadana wzorem

μ(A) = ∫_{E∩A} g(x)dx

jest logarytmicznie wklęsła.

Dowód. Łatwo widać, że wystarczy rozpatrzeć przypadek E = ℝ^{n}. Ustalmy zbiory zwarte A, B w ℝ^{n} i λ ∈ (0, 1), wówczas funkcje F := gI_{A}, G := gI_{B} i H = gI_{λA+(1−λ)B} spełniają założenia nierówności Prékopy-Leindlera (Twierdzenie 2.6). Zatem

μ(λA + (1 − λ)B) = ∫ Hdx ( ∫ F dx)^{λ}( ∫ Gdx)^{1−λ} = μ(A)^{λ}μ(B)^{1−λ} .

Okazuje się, że nie ma innych miar logarytmicznie wklęsłych.

Twierdzenie 12.4 (Borel). Miara μ na ℝ^{n}, która jest skończona na zbiorach zwartych, jest logarytmicznie wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podprzestrzeń afiniczna E wymiaru 0 k n w której leży nośnik μ oraz logarytmicznie wklęsła funkcja nieujemna g na E będąca gęstością μ.

Wniosek 12.5. Jeśli nośnik miary σ-skończonej μ na ℝ^{n} jest pełnowymiarowy (tzn. μ nie jest skupiona na afinicznej podprzestrzeni mniejszego wymiaru), to miara μ jest logarytmicznie wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy ma logarytmicznie wklęsłą gęstość.

W czasie tego wykładu będziemy rozważali miary (rozkłady) probabilistyczne.

Przykłady rozkładów logarytmicznie wklęsłych:

1) Rozkład jednostajny na ciele wypukłym K. Wówczas g = I_{K};

2) Rozkład gaussowski. Wówczas g = exp(⟨Ax, x⟩ + ⟨b, x⟩) dla x ∈ E;

3) Produktowy symetryczny rozkład wykładniczy, czyli rozkład z gęstością

g_{λ}(x) = (2λ)^{−n} exp(−λ∥x∥_{1}) λ > 0;

4) Rozkład z gęstością c_{p,K} exp(−∥x∥_{K}^{p}), p 1, K ciało wypukłe w ℝ^{n}.

Następny fakt pokazuje podstawowe, użyteczne własności rozkładów logwklęsłych.

Fakt 12.6. Następujące rozkłady są logarytmicznie wklęsłe:

i) afiniczny obraz rozkładu logarytmicznie wklęsłego (tzn. rozkład postaci μ∘T^{−1} , gdzie μ jest logarytmicznie wklęsły na ℝ^{n}, a T jest afinicznym przekształceniem ℝ^{n} w ℝ^{m}); ii) produkt rozkładów logarytmicznie wklęsłych; iii) splot rozkładów logarytmicznie wklęsłych; iv) słaba granica rozkładów logarytmicznie wklęsłych.

Dowód. i) jest oczywista z definicji, ii) wynika z charakteryzacji Borela, a iii) wynika z ii) i i), bo splot to obraz produktu przy przekształceniu (x, y) ↦ x+y.

By udowodnić iv) załóżmy, że rozkłady logwklęsłe μ_{n} zbiegają słabo do rozkładu μ. Ustalmy λ ∈ (0, 1) i zbiory zwarte A i B, niech C = λA + (1 − λ)B. Oczywiście μ(∂A) nie musi być zerem, więc nie wiemy, że μ_{n}(A) → μ(A). Ale da się znaleźć ciąg t_{k} zbiezny do zera taki, że μ(∂A_{t_{k}} ) = μ(∂B_{t_{k}} ) = μ(∂C_{t_{k}} ) = 0 i wtedy jak łatwo sprawdzić C_{t_{k}} ⊃ λA_{t_{k}} + (1 − λ)B_{t_{k}} , zatem

μ(C_{t_{k}} ) = lim_{n→∞} μ_{n}(C_{t_{k}} ) lim_{n→∞} μ_{n}(A_{t_{k}} )^{λ}μ_{n}(B_{t_{k}} )^{1−λ}
= μ(A_{t_{k}} )^{λ}μ(B_{t_{k}} )^{1−λ} μ(A)^{λ}μ(B)^{1−λ} .

Ze zwartości C wynika, że ⋂ _{k} C_{t_{k}} = C, czyli μ(C_{t_{k}} ) → μ(C) przy k → ∞.

Lemat 12.7. Załóżmy, że miara probabilistyczna μ ma gęstość g taką, że funkcja g^{s} jest wklęsła na zbiorze zwartym wypukłym K, który zawiera nośnik g. Niech \frac{1}{m} s i

K_{m} = {(x, y) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{m} : x ∈ K, |y| (g(x)/c_{m})^{1/m} },

gdzie c_{m} = vol_{m}(B_{2}^{m}). Wówczas K_{m} jest ciałem wypukłym o objętości 1, ponadto jeśli P_{m} jest kanonicznym rzutem ℝ^{n} ×ℝ^{m} na ℝ^{n}, to P_{m}X_{K_{m}} ma rozkład μ.

Dowód. Z twierdzenia Fubiniego vol_{n+m} (K_{m}) = ∫ g = 1, to, że wektor P_{m}X_{K_{m}} ma gęstość g jest oczywiste. Funkcja g^{1/m} jest wklęsła na K jako złożenie funkcji wklęsłej g^{s} i funkcji wklęsłej niemalejącej t ↦ t^{1/(ms)} na [0, ∞), a stąd łatwo wynika, że K_{m} jest ciałem wypukłym.

Wniosek 12.8. Załóżmy, że g jest logarytmicznie wklęsłą gęstością na ℝ^{n}, wówczas istnieją ciała wypukłe K_{m} w ℝ^{n} × ℝ^{m} o objętości 1 takie, że jeśli P_{m} jest kanonicznym rzutem ℝ^{n} × ℝ^{m} na ℝ^{n}, to gęstości zmiennych P_{m}X_{K_{m}} zbiegają punktowo do g.

Dowód. Dla s > 0 określmy

g̃_{s}(x) = ( 1 + s lng(x)) _{+}^{1/s}

wówczas oczywiście g̃_{s}^{s} jest funkcją wklęsłą na swoim nośniku. Ponadto 0 g_{s} g, czyli na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbiezności zmajoryzowanej,

c_{s} := ∫ g̃_{s}(x)dx → ∫ gdx = 1.

Określmy (dla na tyle małych s by c_{s} > 0) g_{s} := c_{s}^{−1} g̃_{s}. Wtedy funkcja g_{1/m} spełnia założenia Lematu 12.7 i możemy skonstruować ciało K_{m} by g_{1/m} była gęstością P_{m}X_{K_{m}} .

Z charakteryzacji Borela i poprzedniego wniosku (wykorzystując też fakt, że zbieżność gęstości implikuje słabą zbieżność rozkładów) natychmiast otrzymujemy:

Wniosek 12.9. Każdy rozkład log-wklęsły jest słabą granicą rzutów rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych.

Mamy zatem następujący wniosek pokazujący dlaczego klasa rozkładów logwklęsłych jest naturalnym obiektem.

Wniosek 12.10. Klasa rozkładów logarytmicznie wklęsłych to najmniejsza klasa rozkładów probabilistycznych zawierających rozkłady jednostajne, która jest zamknięta ze względu na przekształcenia afiniczne (niekoniecznie zachowujące wymiar) i słabe granice.

Lemat 12.11 (Borel). Załóżmy, że μ jest rozkładem logarytmicznie wklęsłym na ℝ^{n}, a K wypukłym ciałem symetrycznym w ℝ^{n} oraz μ(K) = θ > 0. Wówczas

1 − μ(tK) θ( \frac{1 − θ}{θ} ) ^{\frac{1+t}{2}} dla t 1.

Dowód. Zauważmy, że jeśli ∥x∥_{K} > t oraz ∥y∥_{K} 1, to

∥ \frac{2}{t + 1} x + \frac{t − 1}{t + 1} y∥_{K} \frac{2}{t + 1} ∥x∥_{K} − \frac{t − 1}{t + 1} ∥y∥_{K} > 1,

co pokazuje, że

\frac{2}{t + 1} (ℝ^{n} \ tK) + \frac{t − 1}{t + 1} K ⊂ ℝ^{n} \ K,

czyli

1 − θ = μ(ℝ^{n} \ K) μ(ℝ^{n} \ tK)^{\frac{2}{t+1}} μ(K)^{\frac{t−1}{t+1}} = (1 − μ(tK))^{\frac{2}{t+1}} θ^{\frac{t−1}{t+1}}

i po prostych przekształceniach dostajemy dowodzone oszacowanie.

Wniosek 12.12. Istnieje stała uniwersalna C taka, że dla dowolnej normy ∥ ∥ na ℝ^{n} i dowolnej miary logarytmicznie wklęsłej na ℝ^{n}, jeśli μ{∥x∥ m} 2/3, to

( ∫ ∥x∥^{p}dμ(x))^{1/p} Cpm dla p 1.

Ponadto

( ∫ ∥x∥^{p}dμ(x))^{1/p} C \frac{p}{q}( ∫ ∥x∥^{q}dμ(x))^{1/q} dla p q 1.

Dowód. Niech X ma rozkład μ, wówczas na mocy Lematu 12.11 z θ = 2/3 otrzymujemy

ℙ(∥X∥ tm) ( \frac{1}{2}) ^{\frac{1+t}{2}} dla t 1

Stąd całkując przez części

𝔼∥X∥^{p} = p ∫_{0}^{∞} t^{p−1} ℙ(∥X∥ t)dt m^{p}( 1 + p ∫_{1}^{∞} t^{p−1} ℙ(∥X∥ tm)dt)
m^{p}( 1 + p ∫_{1}^{∞} t^{p−1} 2^{− \frac{1+t}{2}} dt) (Cm)^{p}.

Oznaczmy ∥X∥_{q} := (𝔼∥X∥^{q})^{1/q}, wówczas na mocy nierówności Czebyszewa,

ℙ(∥X∥ 2e^{2}∥X∥_{q}) (2e^{2})^{−q} \frac{1}{2}e^{−2q} ,

skąd z Lematu 12.11,

ℙ(∥X∥ 2e^{2}t∥X∥_{q}) e^{−q(t+1)} dla t 1

i całkując przez części jak wcześniej dostajemy

𝔼∥X∥^{p} (2e^{2}∥X∥_{q})^{p}( 1 + p ∫_{1}^{∞} t^{p−1} e^{−(t+1)q} dt) ( C \frac{p}{q}∥X∥_{q})^{p}.

Uwaga 12.13. Oszacowania z Wniosku 12.12 są optymalnego rzędu, bo dla zmiennej X o rozkładzie symetrycznym wykładniczym na prostej ∥X∥_{p} = Γ(p+ 1)^{1/p} ∼ p dla p 1.

Uwaga 12.14. Liczbę \frac{2}{3} w definicji m można zastąpić przez dowolną liczbę p z przedziału (0, 1), gdyż można pokazać, że jeśli μ{x: ∥x∥ m_{p}} 1 − p i p > 0, to istnieje stała C_{p} zależna tylko od p taka, że μ{x: ∥x∥ tm_{p}} C_{p}t dla t ∈ (0, 1).

13 Oszacowania stałej izotropowej

Twierdzenie 13.1 (Bourgain). Dla dowolnego wypukłego symetrycznego ciała K, L_{K} Cn^{1/4} logn.

Definicja 13.2. Dla wypukłego ciała symetrycznego K określamy średnią szerokość K jako

w(K) := ∫_{S^{n−1}} sup_{x∈K} |⟨x, θ⟩|dσ_{n−1} (θ) = ∫_{S^{n−1}} sup_{x∈K} ∥θ∥_{K^{0}} dσ_{n−1} (θ).

Uwaga 13.3. Alternatywnie się często określna

M(K) = ( ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{K}^{2} dσ_{n−1} (θ))^{1/2} .

Wówczas \frac{1}{C} M(K^{0}) w(K) M(K^{0}). Ponadto, jeśli G ma rozkład γ_{n}, to

w(K) = \frac{1}{𝔼|G|}𝔼∥G∥_{K^{0}} \frac{C}{\sqrt{n}}𝔼∥G∥_{K^{0}} .

Wniosek 8.19 razem z Twierdzeniem Lewisa 8.14 implikują, że istnieje takie T ∈ GL(n), że

w(T K)w((T K)^{0}) M(T K)M((T K)^{0}) C(1+logd_{BM}(K, B_{2}^{n})) C log(n+1).

Ponieważ w(cK) = cw(K) możemy oczywiście zakładać, że T ∈ SL(n). Oszacowanie powyższe się nazywa MM^{∗}-estimate.

Wniosek 13.4. Dla dowolnego wypukłego ciała symetrycznegi K istnieje nieujemny symetryczny operator T ∈ SL(n) taki, że w(T K) C\sqrt{n} log(n+1)vol(K)^{1/n} .

Dowód. Niech T ∈ SL(n) spełnia w(T K)w((T K)^{0}) C log(n+1). Z Faktu 5.4,

vol_{n}(K)^{1/n} = vol_{n}(T K)^{1/n} = ( vol_{n}(B_{2}^{n}) ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{T K}^{−n}dσ_{n−1} (θ))^{1/n}

\frac{1}{C\sqrt{n}}( ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{T K}^{−n}dσ_{n−1} (θ))^{1/n} .

Zauważmy, że

( ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{T K}^{−n}dσ_{n−1} (θ))^{−1/n} ∫_{S^{n−1}} ∥θ∥_{T K}dσ_{n−1} (θ) = w((T K)^{0}),

skąd wynika, że w(T K) C\sqrt{n} log(n + 1)vol(K)^{1/n} . By zakończyć dowód zauważmy, że w(T K) = w(UT K) dla dowolnego U ∈ O(n), więc dobierając U tak, by UT = |T | dostajemy symetrię i nieujemność.

Lemat 13.5. Załóżmy, że X jest symetrycznym wektorem logwklęsłym w ℝ^{n} takim, że Cov(X) = a^{2}Id oraz S jest skończonym podzbiorem ℝ^{n}. Wtedy

𝔼 max_{s∈S}|⟨s, X⟩| Ca log(#S + 1) sup_{t∈S}|t|.

Dowód. Mamy ∥⟨s, X⟩| = a|s|, zatem dla u 0,

ℙ(|⟨s, X⟩| ua|s|) 2e^{−u/C}

i

ℙ(max_{s∈S}|⟨s, X⟩| ua max_{s∈S}|s|) 2#Se^{−u/C} .

Teza wynika przez całkowanie przez części.

Dowód Twierdzenia 13.1. Bez straty ogólności możemy założyć, że ciało K jest w pozycji izotropowej czyli vol(K) = 1 oraz Cov(X_{K}) = L_{K}^{2} Id. Korzystając z Wniosku 13.4 znajdujemy takie T ∈ SL(n) nieujemne i symetryczne, że w(T K) C\sqrt{n} log(n + 1). Ponadto tr(T)/n det(T)^{1/n} = 1, więc

nL_{K}^{2} = \frac{1}{n}tr(T)L_{K}^{2} = ∫_{K} ⟨T x, x⟩dx ∫_{K} sup_{y∈T K} |⟨y, x⟩|dx.

Niech R > 0 będzie najmniejszą liczbą taką, że T K ⊂ RB_{2}^{n}. Stąd

nL_{K}^{2} ∫_{K} sup_{y∈T K} |⟨y, x⟩|dx R ∫_{K} |x|dx R\sqrt{n}L_{K} ,

więc możemy zakładać, że R n^{3/4} log(n + 1).

Zauważmy, że

𝔼∥G∥_{(T K)^{0}} = 𝔼|G|w(T K) Cn log(n + 1),

więc korzystając z minoryzacji Sudakowa dla j = 1, 2, … (Twierdzenie 8.4),

logN(T K, R2^{−j} B_{2}^{n}) C \frac{2^{2j}}{R^{2}} (𝔼∥G∥_{(T K)^{0}} )^{2} C \frac{2^{2j}}{R^{2}} n^{2} log^{2}(n + 1).

Możemy znaleźć zatem zbiory A_{j} ⊂ T K oraz przekształcenia π_{j} : T K → A_{j} takie, że log#A_{j} C2^{2j} R^{−2} n^{2} log^{2}(n + 1) i |y − π_{j} (y)| R2^{−j} dla y ∈ T K. Połóżmy dodatkowo A_{0} = {0} i π_{0}(y) = 0. Wtedy dla liczby całkowitej m, którą dobierzemy później i y ∈ T K,

y = y − 0 = y − π_{m}(y) + ∑_{i=i}^{m} (π_{i}(y) − π_{i−1} (y)),

stąd dla x ∈ ℝ^{n}

sup_{y∈T K} |⟨y, x⟩| sup_{y∈T K} |⟨y − π_{m}(y), x⟩| + sup_{y∈T K} ∑_{i=i}^{m} |⟨π_{i}(y) − π_{i−1} (y), x⟩|

R2^{−m} |x| + ∑_{i=i}^{m} sup_{y∈T K} |⟨π_{i}(y) − π_{i−1} (y), x⟩|.

Mamy π_{i}(y) − π_{i−1} (y) ∈ A_{i} − A_{i−1} ,

log#(A_{i} − A_{i−1} ) log#A_{i} + log#A_{i−1} C2^{2i}R^{−2} n^{2} log^{2}(n + 1) i = 1, 2, …

oraz |π_{i}(y) − π_{i−1} (y)| |π_{i}(y) − y| + |y − π_{i−1} (y)| 3R2^{−i} . Zatem z Lematu 13.5 dla X = X_{K},

∫_{K} sup_{y∈T K} |⟨π_{i}(y) − π_{i−1} (y), x⟩| C_{1}L_{K} \frac{2^{i}}{R}n^{2} log^{2}(n + 1).

Ponieważ ∫_{K} |x|dx \sqrt{n}L_{K}, więc

nL_{K}^{2} ∫_{K} sup_{y∈T K} |⟨y, x⟩|dx R2^{−m} \sqrt{n}L_{K} + C_{1} ∑_{i=1}^{m} \frac{2^{i}}{R}n^{2} log^{2}(n + 1)L_{K}

R2^{−m} \sqrt{n}L_{K} + C_{1} \frac{2^{m+1}}{R} n^{2} log^{2}(n + 1)L_{K} .

Wybierzmy największe m 0 takie, że R2^{−m} \sqrt{n}L_{K} 2^{m}R^{−1} n^{2} log^{2}(n + 1)L_{K} dostajemy

nL_{K}^{2} C( R\sqrt{n}L_{K} R^{−1} n^{2} log^{2}(n + 1)L_{K} )^{1/2} = Cn^{5/4} log(n + 1)L_{K} .

Uwaga 13.6. Klartag poprawił nieco oszacowanie Bourgaina i najlepsze obecnie znane oszacowanie stałej izotropowej to L_{K} Cn^{1/4} .

Uwaga 13.7. Mówimy, że wypukłe ciało symetryczne K jest ciałem Ψ_{α} ze stałą A jeśli dla u > 0 i t ∈ ℝ^{n},

ℙ(|⟨X, t⟩| > Au∥⟨X, t⟩∥_{2}) 2e^{−t^{α}} .

Każde ciało wypukłe jest Ψ_{1} ze stałą uniwersalną. Podobny argument jak powyżej pokazuje, że dla ciała Ψ_{α}, 1 α < 2 w pozycji izotropowej,

𝔼 max_{t∈S}|⟨t, X⟩| CA log(#S + 1)^{1/α} sup_{t∈S}|t|

oraz

L_{K} C_{α} A^{α/2} n^{1/2−α/4} log(n + 1).

14 Otwarte pytania

Najważniejszym otwartym problemem w przedstawianej dziedzinie wydaje się pytanie o ograniczoność (niezależną od wymiaru) stałej izotropowej dla ciał wypukłych. W ostatnim rozdziale tego skryptu przedstawiamy szereg innych, ważnych problemów, często ściśle związanych z �hyperplane conjecture”.

14.1 Hipoteza KLS

Definicja 14.1. Dla miary probabilistycznej μ na ℝ^{n} określamy

μ_{+} (A) := lim inf_{t→0+} \frac{μ(A_{t}) − μ(A)}{t} .

Zauważmy, że gdy ν oznacza symetryczny rozkład wykładniczy na prostej z gęstością \frac{1}{2}e^{−|x|} oraz ν(−∞, x] = p, to ν_{+} (−∞, x] = \frac{1}{2}e^{−|x|} = min\{p, 1 − p\}

Definicja 14.2. Powiemy, że miara probabilistyczna μ na ℝ^{n} spełnia nierówność Cheegera ze stałą D, jeśli

μ_{+} (A) \frac{1}{D} min\{μ(A), 1 − μ(A)\} dla A ∈ B(ℝ^{n}).  (24)

Najmniejszą stałą D dla której zachodzi powyższa nierówność będziemy oznaczać D_{Che} (μ).

Uwaga 14.3. Nietrudno wykazać, że nierówność (24) jest równoważna

∀_{A∈B(ℝ^{n} )} μ(A) = ν(−∞, x] ⇒ μ(A_{Dt}) = ν(−∞, x + t] dla t 0.

Nietrywialny wynik Bobkowa i Houdré mówi, że jeśli μ = ⊗_{k m} μ_{k}, to D_{Che} (μ) \sqrt{6}max_{k m} D_{Che} (μ_{k}).

Hipoteza 14.4 (Kannan-Lóvasz-Simonovits). Istnieje stała uniwersalna C taka, że D_{Che} (μ) C dla dowolnej izotropowej miary logarytmicznie wklęsłej μ.

W dalszej części wskażemy wielkości równoważne D_{Che} (μ) dla miary logwklęsłej μ.

Definicja 14.5. Powiemy, że miara probabilistyczna μ na ℝ^{n} spełnia nierówność Poincaré ze stałą D, jeśli dla dowolnej funkcji gładkiej ograniczonej f

Var_{μ}(f) = ∫ ( f − ∫ fdμ)^{2}dμ D^{2} ∫ |∇f|^{2}dμ

Najmniejszą stałą D 0 dla której zachodzi powyższa nierówność będziemy oznaczać D_{Poin} (μ).

Zaletą nierówności Poincaré jest jej tensoryzowalność – jeśli μ = ⊗_{k m} μ_{k} oraz μ_{k} spełniają nierówność Poincaré, to μ też spełnia nierówność Poincaré oraz D_{Poin} (μ) max_{k m} D_{Poin} (μ_{k}).

Mazya i Cheeger (przy pomocy �co-area formula”) pokazali, że nierówność Cheegera implikuje nierówność Poincaré i stała D_{Poin} (μ) 2D_{Che} (μ). Odwrotna implikacja nie jest prawdziwa – miara μ_{α} na [−1, 1] z gęstością \frac{1+α}{2} |x|^{α} dla α ∈ (0, 1) spełnia nierówność Poincaré, a nie spełnia nierówności Cheegera, bo μ([−1, 0]) = \frac{1}{2} i μ_{+} ([−1, 0]) = 0. Buser i Ledoux wykazali, że dla miar logarytmicznie wklęsłych μ nierówność Poincaré implikuje nierówność Cheegera i D_{Che} (μ) CD_{Poin} (μ).

Definicja 14.6. Powiemy, że miara probabilistyczna μ na ℝ^{n} spełnia wykładniczą koncentrację ze stałą D, jeśli dla dowolnego zbioru borelowskiego A takiego, że μ(A) 1/2,

μ(A_{t}) = μ(A + tB_{2}^{n}) 1 − 2e^{−t/D} dla t 0.

Najmniejszą stałą D 0 dla której zachodzi powyższa nierówność będziemy oznaczać D_{exp}(μ).

Nietrudno zauważyć, że nierówność Cheegera implikuje wykładniczą koncentrację oraz D_{exp}(μ) D_{Che} (μ). Gromov i Milman jako pierwsi zauważyli, że koncentracja wykładnicza wynika również z nierówności Poincaré. Stosując np. tzw. argument Herbsta, spopularyzowany przez Ledoux, można pokazać, że D_{exp}(μ) 2D_{Poin} (μ). Biorąc np. miarę z gęstością \frac{1}{2}(I_{[0,1]} + I_{[2,3]}) widzimy, że odwrotne implikacje są fałszywe.

Można też rozważyć słabszą formę nierówności Poincaré mianowicie, że dla gładkich funkcji ograniczonych

∫ |f − ∫ fdμ|dμ D sup_{x}|∇f(x)|.  (25)

Zauważmy, że sup_{x} |∇f(x)| to stała Lipschitza funkcji f. Najmniejszą stałą D w powyższej nierówności będziemy oznaczać przez D_{Lip}(μ).

Twierdzenie 14.7 (E.Milman). Dla miary logarytmicznie wklęsłej μ na ℝ^{n} nierówności Cheegera, Poincaré, słabsza nierówność Poincaré 25 oraz wykładnicza koncentracja są równoważne. Co więcej stałe D_{Che} (μ), D_{Poin} (μ), D_{Lip}(μ) i D_{exp}(μ) porównują się z dokładnością do stałych uniwersalnych.

Najlepsze znane obecnie oszacowania, to D_{Che} (μ) Cn^{1/3} log^{1/2} n dla miar izotropowych log-wklęsłych (wynik Eldana w oparciu o szacowania z pracy Guédona i Milmana) i D_{Che} (μ) C logn dla bezwarunkowych log-wklęsłych miar izotropowych (Klartag przy użyciu wyników Milmana).

14.2 Szacowania �thin-shell”

Kluczowym elementem dowodu Klartaga centralnego twierdzenia granicznego dla wektorów logwklęsłych było pokazanie, że jeśli X jest izotropowy log-wklęsły, to |X|/\sqrt{n} ma małą wariancję, czyli się silnie koncentruje wokół 1.

Hipoteza 14.8. Dla dowolnego izotropowego wektora log-wklęsłego X, 𝔼(|X| − \sqrt{n})^{2} C.

Zauważmy, że funkcja |x| jest 1-Lipschitzowska, więc jeśli X ma rozkład μ, to Var(|X|)^{1/2} D_{Poin} (μ). Zauważmy też, że 𝔼|X|^{2} = n oraz |(𝔼|X|^{2})^{1/2} −𝔼|X|| (𝔼||X| − 𝔼|X||^{2})^{1/2} , stąd

((𝔼(|X| − \sqrt{n})^{2})^{1/2} Var(|X|) + |\sqrt{n} − 𝔼|X|| 2Var(|X|) 2D_{Poin} (μ), czyli hipoteza KLS implikuje Hipotezę 14.8. Ciekawe jest, że (z dokładnością do logarytmu) zachodzi też odwrotna implikacja. By ją dokładnie sformułować zdefiniujmy

D_{n} := max{D_{Che} (μ): μ log-wklęsła izotropowa wℝ^{n}}

oraz

σ_{n} := max\{(𝔼(|X| − \sqrt{n})^{2})^{1/2} : X log-wklęsły izotropowy wℝ^{n}\}

Twierdzenie 14.9 (Eldan). Dla dowolnego n 2,

D_{n} C\sqrt{logn ∑_{k=1}^{n} \frac{σ_{k}^{2}}{k}} .

Uwaga 14.10. Powyższe szacowanie w przeciwieństwie do poprzednio omawianych szacowań jest �globalne”. Nie wiadomo czy jeśli X jest izotropowy o rozkładzie μ oraz umiemy oszacować 𝔼(|X| − \sqrt{n})^{2} (oraz być może podobne wielkości dla rzutów X), to otrzymujemy ograniczenie dla D_{Poin} (μ).

Wielkość σ_{n} ogranicza też stałe izotropowe. Mianowicie niech

L_{n} := sup{L_{K} : K ciało wypukłe wℝ^{n}}.

Twierdzenie 14.11 (Eldan-Klartag). Dla dowolnego n, L_{n} Cσ_{n}.

Wynik ten pokazuje w szczególności, że Hipoteza 14.8 implikuje hyperplane conjecture, zatem również prawdziwość hipotezy KLS pociągałaby za sobą ograniczoność stałych izotropowych – ten ostatni wynik został wcześniej zaanonsowany przez Balla (choć nie był opublikowany). Twierdzenie Eldana-Klartaga też jest �globalne”. Ball i Nguyen niedawno wykazali, że L_{μ} exp(16D_{Poin} (μ)) dla izotropowej miary log-wklęsłej μ.

14.3 Nierówności splotu infimum i pokrewne nierówności koncentracyjne

14.4 Porównywanie słabych i silnych momentów

Literatura

[1] E. Gluskin, The diameter of Minkowski compactum roughly equals to n, Funct. Anal. Appl. 15 (1981), 57–58.

[2] M. Ledoux, The concentration of measure phenomenon, AMS 2001.

[3] M. Ledoux, M. Talagrand, Probability in Banach spaces. Isoperimetry and processes, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

[4] V.D. Milman, G. Schechtman, Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces, Lecture Notes in Math. 1200, Springer 1986.

[5] G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge Univ. Press 1989.